泰安市高三1月考数学试题

高三年级考试
数 学 试 题（理科）
2015.1
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合{}
{}{}3,2,,4a A B a b A B A B ==⋂=⋃，则，则等于 A. {}234，，
B. {}341，，
C. {}0,1,2,3
D. {}1,2,3,4 2.已知a R ∈，则“2a a <”是“1a <”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.正项等比数列{}n a 的公比为2，若21016a a =，则9a 的值是
A.8
B.16
C.32
D.64
4.已知命题4:0,4p x x x ∀>+
≥：命题001:,22x q x R +∃∈=.则下列判断正确的是 A.p 是假命题
B.q 是真命题
C.()p q ∧⌝是真命题
D.()p q ⌝∧是真命题 5.已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是
A. ,////m n m n αα⊂⇒
B. ,m n m n αα⊂⊥⇒⊥
C. ,////m n n m αβαβ⊂⊂⇒
D. ,n n βααβ⊂⊥⇒⊥ 6.若变量,x y 满足条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
，则2x y +的取值范围为 A. 5,02⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦ B. 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 55,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
7.下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭
⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是 A. 1y x =-
B. 22y x =+
C. 33y x =-
D. 1log e y x =
8.设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将(
)y f x =的图象向左平移8
π个单位得函数()y g x =的图象，则 A. ()02g x π⎛⎫
⎪⎝⎭在，上单调递减 B. ()344g x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在，上单调递减 C. ()02g x π⎛⎫
⎪⎝⎭在，上单调递增
D. ()344g x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在，上单调递增 9.设函数()f x 的零点为()1,422x x g x x =+-的零点为2x ，若()
120.25x x f x -≤，则可以是
A. ()21f x x =-
B. ()24x f x =-
C. ()()ln 1f x x =+
D. ()82f x x =-
10.定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，则不等式()1x x
e f x e >-（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A. ()(),10,-∞-⋃+∞ B. ()0,+∞ C. ()(),01,-∞⋃+∞ D. ()1,-+∞
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.
11.已知向量()()()3,1,0,1,,3.2m n k t m n k ==-=-若与共线，则t= ▲ . 12.设α为锐角，若4cos sin 6512ππαα⎛⎫⎛⎫+
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 ▲ . 13.若()()120
3f x x f x dx =+⎰，则()1
0f x dx ⎰= ▲ .
14.20y -+=100y --=截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是 ▲ .
15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 ▲ .
三、解答题：（本大题共6个小题，满分75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）
16.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2.c A b ⋅= （I ）求角C 的大小；
（II ）若b =，ABC ∆2
A ，求a 、c 的值.
17.（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,4,3,A A A B
A C
B
C D
====为AB 的中点，且11AB AC ⊥
（I ）求证：11AB A D ⊥； （II ）求二面角1A AC D --的平面的正弦值.
18.（本小题满分12分）
若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：
()21262n n n S S S n n N *++++=-∈.
（I ）若数列{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式.
（II ）若121a a ==，求50S .
19.（本小题满分12分）
某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y （单位：万元）与投资x （单位：万元）满足：()ln 3f x a x bx =-+（,,,a b R a b ∈为常数），且曲线()y f x =与直线y kx =在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.
（I ）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；
（II ）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
（参考数据：ln 10 2.303,ln15 2.708,ln 20 2.996,ln 25 3.219,ln30 3.401======）
20.（本小题满分13分）
已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点为12F F 、，离心率为2
，直线l 与椭圆相
交于A 、B 两点，且满足121,2OA OB AF AF K K +=⋅=-O 为坐标原点. （I ）求椭圆的方程;
（II ）求OA OB ⋅的最值.
21.（本小题满分14分）
设函数()()11ln .22f x m x x m R x =-
+∈. （I ）当54
m =时，求()f x 的极值； （II ）设A 、B 是曲线()y f x =上的两个不同点，且曲线在A 、B 两点处的切线均与x 轴平行，直线AB 的斜率为k ，是否存在m ，使得1?m k -=若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.。