构造法及在初等数学中应用论文

浅谈构造法及在初等数学中的应用
所谓构造法，即构造性解题方法，根据对题设条件或结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是图形、函数、方程等，借助于该数学模型认识与解决数学问题的一种思想方法。

构造法”包含下述两层意思：（1）利用抽象问题的普遍性，把实际问题转化为数学模型；（2）利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架。

构造法打破了基本的“要什么，求什么，给什么，用什么”的常规解题思路和解题模式，应用它解题，则另辟蹊径，它是一种重要而灵活的思维方式，没有固定的模式，常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性。

它的应用十分广泛，特别是对有些技巧性强的题目，这时利用构造法往往能达到意想不到的效果，它是一种探索和创新，适当的构造可以给人带来耳目一新的解题感受，能提高学生的解题能力，还可以让学生体会到数学灵巧之美。

1.构造方程法
构造方程就是构造一些特殊的方程，将一些“相等关系”转化为“不等关系”，“不等关系”转化为“相等关系”。

【例】设a1，a2，…，an为任意正数，证明对任意正整数n
不等式（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）均成立
证明：原不等式即
4（a1+a2+…+an）2-4n（a12+a22+…+an2）≤0
由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：
（a12+a22+…+an2）x2+2（a1+a2+…+an）x+n=0 （*）
因方程左边=（a1x+1）2+（a2x+1）2+…+（anx+1）2≥0
当a1，a2，…，an不全相等时，a1x+1，a2x+1，…，anx+1至少有一个不为0，
方程（*）左边恒为正数，方程（*）显然无解。

当a1=a2=…=an时，方程（*）有唯一解
故δ=4（a1+a2+…+an）2-4n（a12+a22+…+an2）≤0
即（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）对任意正整数n均成立。

通过以上例题考察题设条件中的数量关系和结构特征，巧妙设计新的方程，创立新的问题情境，灵活快速地解决问题，解出“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的欢快心情。

2.构造函数法
函数在我们整个中学数学中占有相当的内容，学生对于函数性质也比较熟悉。

解题过程中不断挖掘学生的潜在意识而不让学生的思维使注意到某一点上，把自己的解题思路搁浅了。

启发学生思维多变，从而达到培养学生发散思维。

【例】设a，b，c为三角形三边长，求证：
证明：构造函数
显然f（x）在（0，+∞）上是增函数
∵a，b，c是三角形三边长，∴c∴f（c）bn，an>cn ∴an3>anbncn ∴即：
此题看似非常繁琐，但通过构造已知式的对偶式，问题就巧妙地解决了。

所以说构造对偶式对解决这类问题就显得十分简便了。

4构造几何图形法
华罗庚说过：“数离开形少直观，形离开数难入微。

”利用数形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题巧解在解题时若以数形结合的思想作指导，对于某些较复杂的问题，通过构造图形启发思维，借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷.
【例】实数x，y满足4x2+4y2-5xy=5，求s=x2+y2的极值。

分析：首先观察约束条件和目标函数，发现它们都是二次曲线。

令x=x′+y′，y=x′-y′，将约束条件化为目标函数化为因此其几何模型为：动圆与定椭圆相切时，动圆半径平方的2倍，即为目标函数的最小值，也即为定椭圆的长半轴、短半轴平方的两倍。

如图所示。

然后，由建立的几何模型，易求得：
此题首先观察命题的约束条件和目标函数的形状与结构形似联想，构造几何模型，即由数及形；然后根据几何模型的特征，求解极值，即由形促数。

这种构造的重要之点在于，善于发掘题设条件中的几何意义，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决.
巧用构造法来证明，是通过建立和构造模型创造性的解题，是不
同于常规解法的创造性思维。

由于构造法具有非常规性，构造内容也变化不定，灵活性强，有时需要构造一个式子，有时需时构造图形，有时需要构造方程，有时需要构造函数，复数或向量，这给学生的创新思维提供了很大的培养和训练空间，需要学生不断去探索和总结，当然，创造性思维的培养并不是一朝一夕的事，也不是一章一节之内容，而是应该长期坚持，立足课堂主战场，注重教材中潜在内涵的挖掘，引导学生的科学研究的方式去探索，标新立异。

因此，我们应以关注学生的创新思维发展出发，着眼于学生创新意识的培养，鼓励学生主动参与，自主探讨，让他们在观察、分析、思考、探索和运用中学习、领悟、积累和发展。