否命题与命题的否定
命题的否定和否命题 举例
命题的否定和否命题举例命题的否定和否命题命题是指能够明确判断真假的陈述句，例如“今天是星期一”。
而命题的否定是指对原命题的反向陈述，例如“今天不是星期一”。
而否命题则是指对原命题的完全相反的陈述，例如“今天不是星期二”。
一、命题的否定1.1 否定的定义否定是指对原命题进行反向陈述，即将其真假性质颠倒。
如果原来的命题为真，那么它的否定就为假；如果原来的命题为假，那么它的否定就为真。
1.2 否定的表示方法在逻辑中，常用符号“¬”表示否定。
例如，“¬p”表示对p进行了否定。
1.3 否定与肯定之间的关系在逻辑中，肯定和否定之间存在着互补关系。
即一个命题与其否定只有一个为真，另一个必须为假。
二、否命题2.1 否命题的定义否命题是指对原来的命题进行完全相反的陈述。
如果原来的命题为真，则其否命题为假；如果原来的命题为假，则其否命题为真。
2.2 否命题与否定之间的区别否命题与否定之间的区别在于，否命题是对原来的命题进行了完全相反的陈述，而否定只是对原来的命题进行了反向陈述。
2.3 否命题的表示方法在逻辑中，常用符号“∼”或“~”表示否命题。
例如，“∼p”或“~p”表示对p进行了否命题。
三、举例说明3.1 命题的否定举例原命题：“今天是星期一。
”否定：“今天不是星期一。
”解释：如果原来的命题为真，则其否定为假，即如果今天是星期一，则今天不可能不是星期一。
3.2 否命题举例原命题：“今天是星期一。
”否命题：“今天不是星期二。
”解释：如果原来的命题为真，则其否命题为假，即如果今天是星期一，则今天肯定不可能不是星期二。
结语：通过以上内容可以得知，在逻辑学中，除了肯定和否定之外还有一个重要概念——否命题。
而这些概念在日常生活中也经常被运用到。
因此，掌握这些概念能够帮助我们更好地理解和分析各种事物。
否命题与命题的否定
否命题与命题的否定一、识别否命题与命题的否定1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，命题“若p 则q ”，则其否命题是“若非p ，则非q ”。
2．“非m ”叫做命题m 的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即命题是“若 p，则q ”，那么命题“非m ”是：若p ，则非q 。
由此可知命题的否定与原命题的条件相同，结论相反；命题的否定与原命题的的真假相反；。
二、区别否命题与命题的否定1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。
命题的否定为“非”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。
2．“非”是否定的意思，一个命题m经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非m ”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。
“非”的含义有四条：①“非m ”只否定的结论；②m与“非m ”的真假必须相反；③“非m ”必须包含原结论的所有对立面；④“非m ”必须使用否定词语。
三、实例帮您理解否命题与命题的否定对于这两个问题，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。
若 m是一个命题，则非m 是m 的否定，它是对整个命题进行否定。
命题“若p 则q ”的否命题是“若非p 则非q ”，即对命题的题设与结论同时否定，例如：①命题：（所有）质数不都是奇数（真）；否定形式：（所有）质数都是奇数（假）；否命题：有些质数是奇数（真）。
②命题：面积相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。
四、“或”、“且”连结的命题的否定形式“p 或q ”的否定是“非p且非 q”；“p且q”的否定形式是“非p 或非q ”。
它类似于集合中的“并、交”，如“实数a与b 均为零”的否定是“实数a 与 b中至少有一个不为零”，而不是“实数 a与b 都不为零”；“实数 a与 b中至少有一个为零”的否定是“实数a 与b 均为零”。
否命题与否定命题的区别
文档素材否命题与否认命题的区别“否命题〞与“命题的否认〞这两个概念，如果原命题是“假设p则q〞，那么这个命题的否命题是“假设非p，则非q〞，而这个命题的否认是“假设p则非q〞。
可见，否命题既否认条件又否认结论，而命题的否认只否认结论。
一个命题与它的否认形式是完全对立的。
两者之间有且只有一个成立。
例1原命题：全部自然数的平方都是正数原命题的标准形式：任意x，〔假设x是自然数，则x²是正数〕“任意〞是限定词，“x是自然数〞是条件，“x²是正数〞是结论。
否认一个命题，需要同时否认它的限定词和结论。
限定词“任意〞和“存在〞互为否认。
否认形式：不是〔任意x，〔假设x是自然数，则x²是正数〕〕＝存在x，〔假设x是自然数，则x²不是正数〕换一个说法就是：至少有一个自然数的平方不是正数而一个命题的否命题用得较少。
命题是否成立，与它的否命题是否成立，两者没有关系。
得到一个问题的否命题很简单，把限定词，条件，结论全部否认就可以了。
原命题：全部自然数的平方都是正数原命题的标准形式：任意x，〔假设x是自然数，则x²是正数〕否命题：存在x，〔假设x不是自然数，则x²不是正数〕换一个说法就是：存在某个非自然数，其平方不是正数此外，对于逆命题，是否认限定词，然后交换条件和结论题目中的命题的逆命题就是：存在x，〔假设x²是正数，则x是自然数〕逆否命题，就是逆命题的否命题，或者否命题的逆命题，就是限定词不变，否认条件和结论并交换。
题目中的命题的逆否命题就是：任意x，〔假设x²不是正数，则x不是自然数〕例2例如:原命题:等边三角形的三个角都是60度否命题:如果一个三角形不是等边三角形,那么它的三个角不都是60度命题的否认:等边三角形的三个角不都是60度例3〞全部的正棱柱都是直棱柱〞那么它的否认应该是：〞有些正棱柱不是直棱柱〞，它的否命题是：不是全部的正棱柱都不是直棱柱例4假设一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角都为锐角；命题的否认：假设一个三角形为锐角三角形，则它的三个内角不都为锐角。
否命题,命题的否定,逻辑联接词和真假关系及运算之间的思维导图
否命题,命题的否定,逻辑联接词和真假关系及运算之间的思维导图一、判断一件事情的语句，叫做命题。
命题的概念包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
二、命题的否定和否命题的区别1.命题的否定和否命题的区别在于命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
2.命题的否定和否命题的区别是命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
3.原命题：等腰三角形的底角相等。
4.命题的否定：如果一个三角形是等腰三角形,那么它的底角不相等;5.否命题：如果一个三角形不是等腰三角形,那么它的底角不相等。
6.结论：命题的否定是在原命题题设不变的情况下对结论进行否定，而否命题是既要否定原命题题设,又要否定原命题的结论。
7.一个命题与它的否定形式是完全对立的。
两者之间有且只有一个成立。
数学中常用到反证法，要证明一个命题，只需要证明它的否定形式不成立就可以了。
而对于否命题，它是否成立和原命题是否成立没有直接关系。
三、命题的分类：（按正确、错误与否分）分为真命题（正确的命题），假命题（错误的命题），所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
四、四种命题：1．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
2．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。
3．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。
五、相互关系：1．四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。
否命题与命题的否定和反证法
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4
∴p+q ≤2，这与命题的条件p＋q＞2相矛盾，
∴假设不成立，即p2＋q2≠2，
故原命题为真命题。
反证法
（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）
关于反证法
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
否命题与命题的否定 关于反证法
紐绅中学
否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结
论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q 。 命题的否定: 若 p ，则┐q 。
例.命题：△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角.命
• 证明一：要证“若p＋q＞2，则p2＋q2≠2”
只需证它的逆否命题“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”成立。
∵p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4
∴p+q ≤2 ∴逆否命题为真命题，
故原命题也为真命题。
等价法
证明二：假设p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
方法一：直接法，从命题的条件p出发，经 推理直接得出结论p，证明其为真命题；
方法二：等价法，证明命题（若p，则q） 的等价命题——逆否命题（若┐q，则┐q） 为真，则原命题也为真；
方法三：反证法，证明命题的否定（若p， 则┐q）为假命题，从而间接地证明了命题 （若p，则q）为真命题。
例1： 证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
命题的否定与否命题的区别
命题的否定与否命题的区别命题的否定与否命题是完全不同的概念。
其理由一任何命题均有否定无论是真命题还是假命题而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
二命题的否定是原命题的矛盾命题两者的真假性必然是一真一假一假一真而否命题与原命题可能是同真同假也可能是一真一假。
如下面真值表可知Pq┓p┓q”Pq┓p┓q”110011100101011010001111三原命题“若P则q”的形式它的否定命题在前面已讲过而它的否命题为“若非P则非q”记为“若┓p则┓q”即是说既否定条件又否定结论。
例6写出下列命题的否定命题与否命题。
并判断其真假性。
1若xy则5x5y。
2若x2x2则x2-x2。
3正方形的四条边相等。
4已知ab为实数若x2axb≤0有非空实解集则a2-4b≥0。
解1的否定xyxy且5x≤5y。
假命题否命题Vxyx≤y5x≤5y。
真命题原命题为Vxyxy5x5y。
真命题2的否定xx2x2且x2-x≥2。
真命题否命题Vxx2x≥2x2-x≥2。
假命题原命题为Vxx2x2x2-x2。
假命题3的否定存在一个四边形尽管它是正方形然而四条边中至少有两条边不相等。
假命题否命题若一个四边形不是正方形则它的四条边不相等。
假命题原命题是真命题。
看例554的否定存在两个实数ab虽然满足x2axb≤0有非空实解集但使a2-4b0。
假命题否命题已知ab为实数若x2axb≤0没有非空实解集则a2-4b0。
真命题原命题为对任意的实数ab若x2axb≤0有非空实解集则a2-4b≥0真命题在教学中务必理清各类型命题形式结构性质关系。
才能真正准确地完整地表达出命题的否定才能避犯逻辑性错误才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别
（1）从定义的角度：
<1>否命题：设原命题是“若p则q”形式，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；
<2>命题的否定：设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定。
（2）从真值的角度：
<1>否命题：
是对原命题的条件和结论都进行否定，“若p则qà若非p则非q”，对于不具有“若p则q”形式的命题，我们应该先改写成“若p则q”形式，再写否命题。
注意：否命题与原命题真值可同真同假。
举例：原命题是“若同位角相等，则两直线平行”。
<2>命题的否定：
如果考虑原命题的条件和结论，则只对命题的结论进行否定，即“若
非p则非q”；
如果不考虑原命题的条件和结论，则对整个命题作否定，也就是在原命题前面加上“并非”即可。
由此看出：命题的否定与原命题必然真值相反。
另外，如果原命题涉及一些关键词，在否定时也要相应地做出改变：
都à不都（而不是都不）；
全是à不全是（而不是都不是）；
且à或，或à且；
任意à存在，存在à任意；
至少有一个à一个也没有；
至多有一个à至少有两个等等。
否命题与命题的否定
否命题与命题的否定嵩县一高王少敏学生们在学习四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）时，对于否命题的认识不会有什么疑问，但在学习了或、且、非命题之后，常有学生这样问:“命题的否定”和“否命题”有什么区别？这说明很多同学混淆了这两个概念，其根本原因是对于“否命题”和“命题的否定”认识不够全面，理解不够深刻，没有准确理解这两个概念。
遗憾的是，很多学习参考资料上、部分教师轻率地告诉同学们说：“否命题”是既否定条件又否定结论，而“命题的否定”是只否定结论。
这是一种不严谨不负责的说法，误导了学生们。
本文希望就此问题做一些分析，帮同学们认清否命题与命题的否定。
一、否命题：一个命题是“如果p,那么q”的形式时，它的否命题是既否定条件又否定结论，即“如果⌝p,那么⌝q”。
原命题和其否命题的真假关系不确定，可能同真可能同假也可能一真一假。
1．要想写出否命题，需先把原命题改写成“如果（若）……那么（则）……”的形式。
例1：（1）原命题：若三角形中有两边相等，则其对角相等。
（真）否命题：若三角形中有两边不等，则其对角也不相等。
（真）（2）原命题：若两角为对顶角，则此二角相等。
（真）否命题：若两角不是对顶角，则此二角不相等。
（假）（3）原命题：若四边形的四边相等，则为正方形。
（假）否命题：若四边形四边不等，则不是正方形。
（真）（4）原命题：若|x+1|=2，则x=10。
（假）否命题：若|x+1|≠2，则x≠10。
（假）例2：（1）原命题：正方形的四条边相等。
改写为：如果一个四边形为正方形，那么这个四边形的四条边相等。
（真）否命题：如果一个四边形不是正方形，那么这个四边形的四条边不相等。
（假）（2）原命题：负数的绝对值等于它的相反数。
改写为：如果x<0，那么|x|=-x。
（真）否命题：如果x≥0，那么|x|≠-x。
（假）2．如果一个命题没有改写成“如果（若）……那么（则）……”的形式，我们就不能试图去写它的否命题。
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否命题与命题的否定
一、识别否命题与命题的否定
1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，命题“若p 则q ”，则其否命题是“若非p ，则非q ”。
2．“非m ”叫做命题m 的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即命题
是“若p，则q ”，那么命题“非m ”是：若p ，则非q 。
由此可知命题的否定与原命题的条件相同，结论相反；命题的否定与原命题的的真假相反；。
二、区别否命题与命题的否定
1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。
命题的否定为“非”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。
2．“非”是否定的意思，一个命题m经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非m ”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。
“非”的含义有四条：
①“非m ”只否定的结论；
②m与“非m ”的真假必须相反；
③“非m ”必须包含原结论的所有对立面；
④“非m ”必须使用否定词语。
三、实例帮您理解否命题与命题的否定
对于这两个问题，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。
若m是一个命题，则非m 是m 的否定，它是对整个命题进行否定。
命题“若p 则q ”的否命题是“若非p 则非q ”，即对命题的题设与结论同时否定，例如：
①命题：（所有）质数不都是奇数（真）；否定形式：（所有）质数都是奇数（假）；否命题：有些质数是奇数（真）。
②命题：面积相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。
四、“或”、“且”连结的命题的否定形式
“p 或q ”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定形式是“非p 或非q ”。
它类似于集合中的“并、交”，如“实数a与b 均为零”的否定是“实数a 与b中至少有一个不为零”，而不是“实数a与b 都不为零”；“实数a与b中至少有一个为零”的否定是“实数a 与b 均为零”。
六、命题中关键词的否定表
把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词的否定，见下表：
关键词大（小）于是有全部任何，所有的至少有一个至多有一个任意
否定不大（小）于不是无不全部不都某些，有几个一个也没有至少有两个存在
七、含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题：，它的否定：
全称命题的否定是存在性命题。
含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：
存在性命题：，它的否定：：
存在性命题的否定是全称命题
八、典型例题剖析
例1写出命题“若≤ 或≤ ，则≤ ”的否命题
错解一：否命题为“若≤ 或≤ ，则”
错解二：否命题为“若或，则”。
错解剖析：这两种结论都是错误的，在写否命题时，首先要分清是“否命题”还是“命题的否定”。
“否命题”是对条件与结论分别否定，而“命题的否定”是只对结论的否定。
即若原命题为，那么它的否命题是非非，而命题的否定是非。
其次要注意对“且”与“或”的否定。
一般来说，“且”的否定是“或”，而“或”的否定是“且”。
正解：原命题的否命题为：
若且，则。
例2写出下列命题的否定，并判断其真假
（1）：R，≥ ；（2）：所有的正方形都是矩形；（3）：R，≤ ；（4）：至少有一个实数，使。
解：（1）：R，。
（假）
这是由于R，≥ 恒成立；
（2）：至少存在一个正方形不是矩形。
（假）
（3）：R，。
（真）
这是由于，R，≥ 成立。
例3已知命题：存在一个实数，使得，写出。
分析：命题有两种答案：（1）存在一个实数，使得≥ ；或（2）不存在一个实数，使得。
这两个答案哪一种正确？
解：由。
故原命题是真命题。
又时，，所以分析中答案（1）也是真命题。
而与的真假性相反，所以（1）是错误的。
答案（2）是正确的。
事实上，我们不妨把命题改写成：若一个不等式是，则存在一个实数使这个不等式成立。
由此可知，答案（2）才是否定了命题的结论，得到了“ ”。
例4写出命题“若，则”的否定和否命题。
解：命题“若，则”的否定为“若，则≤ ”；否命题为：若，则≤ 。