工程力学第三章
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工程力学 第3章 力偶系
M 2 F2 , F2'
M F1'
r1
F F1 F2 F ' F1' F2'
F2' MR F, F '
F2
F1 F
M2
MR r F ' r (F1'F2 ') r F1'r F2 '
M1 M2
结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且
第三章 力偶系
§1 力对点之矩矢 一、 平面力对点之矩（回顾）
力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。 例如扳手旋转螺母。
BF
dA L
O
力F对O点之矩定义为： Mo(F)＝±Fd
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩 为正，反之为负。
第三章 力偶系
二、力对点之矩矢量 1、空间力矩三个要素：
一、力偶 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、 方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
第三章 力偶系
B d
F’
F A
M
B
F
rBA
F’ d A
1. 定义：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力 称为力偶，用符号 ( F , F′)表示。
两个力作用线之间的垂直距离 d 称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
x (F ) y (F )
yFz zFx
zFy xFz
M
z
(F
)
xFy
yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
MO z
O xr
工程力学(第三章)
MR
y
MR Mz cos MR
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
即：力偶系平衡
一、平面力偶系的平衡条件
M R M（代数和） i
M 0
平面力偶系的平衡方程
§3-6
力偶系的平衡条件
M 0
平衡： 力偶系平衡的充要条件是 其合力偶矩矢为零。
力对点之矩矢
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。
（代数量） 一、平面中力对点之矩（力矩）
F
O
h
定义：M O
F Fh
正负号规定： 力使物体绕矩心逆转为正，顺转为负。
作用： 用来度量力使物体绕某点转动效应的量。 1、平面问题
（代数量） 力矩作用面
矩心 O h
力臂
定义： M O F Fh
A
O x
y
Fx
z
y
Fy
x
A x, y, z ,
F Fx , Fy , Fz
（一）、力对点的矩
1、平面问题
MO
F Fh
MO F
O
h
z
F
F
2、空间问题
MO F r F
x
（二）、力对轴的矩
空间： 力偶对空间任一点的矩矢恒等于力偶矩矢， 而与矩心位置无关。
性质二 力偶可在其作用面内任意移转，或移到另
一平行平面，而不改变对刚体的作用效应。
= =
F
F
F
F
工程力学-第3章
TSINGHUA UNIVERSITY A
C
B C
FR
但是由于 A 、 B 、 C 三点不共线， 所以力系也不可能简化为一合力。 因此，样满足上述方程的平面力系 只可能是一平衡力系。
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系平衡方程的其他形式－例题 3
例题3 l/2 l/2
A 45° D
TSINGHUA UNIVERSITY
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
例题2
A 端固定的悬臂梁 AB 受力如 图示。梁的全长上作用有集度为 q 的均布载荷；自由端B处承受一集 中力和一力偶 M 的作用。已知 FP ＝ql，M=ql2；l为梁的长度。试求 固定端处的约束力。 求：固定端处的约束力。
TSINGHUA UNIVERSITY
平面力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
悬臂式吊车结构中AB为吊车大梁， BC 为钢索， A 、处为固定铰链支座， B 处为铰链约束。已知起重电动电动 机 E 与重物的总重力为 FP( 因为两滑轮 之间的距离很小， FP 可视为集中力作 用在大梁上)，梁的重力为FQ。已知角 度θ=30º 。
B A A、B 连线 不垂直于x 轴
FR
TSINGHUA UNIVERSITY
这是因为，当上述3个方程中 的第二式和第三式同时满足时，力 系不可能简化为一力偶，只可能简 化为通过AB两点的一合力或者是平 衡力系。 但是，当第一式同时成立时， 而且AB与x轴不垂直，力系便不可 能简化为一合力FR，否则，力系中 所有的力在x轴上投影的代数和不可 能等于零。因此原力系必然为平衡 力系。
l/2 FP B
《工程力学：第三章-力系的平衡条件和平衡方程》解析
工程力学 1. 选择研究对象。以吊车大梁 AB为研究对象，进行受力分析 （如图所示） 2.建立平衡方程
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
FAX FTB cos 0 Fy 0
F
x
0
： （1）
M
FAy FQ FP FTB sin 0
A
(F ) 0
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
§3.3 考虑摩擦时的平衡问题
3.3.1 滑动摩擦定律
概念：
静摩擦力：F 最大静摩擦力：Fmax 滑动摩擦力： Fd
静摩擦因数：
水平拉力： Fp
Fmax f s FN
fs
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.3.2 考虑摩擦时构件的平衡问题
考虑摩擦力时与不考虑摩擦力时的平衡 解题方法和过程基本相同， 但是要注意摩擦力的方向与运动趋势方向相反；且在滑动之前摩擦 力不是一个定值，而是在一定范围内取值。
l l sin 0
（3）
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
• 联立方程（1）（2）（3）得：
FAX
FQ FP 3 l x 2
（2）由FTB结果可以看出，当x=L时，即当电动机移动到大梁右 端B点时，钢索所受的拉力最大，最大值为
非静定问题：未知数的数目多于等于独立的平衡方程的数目，不能 解出所有未知量。相应的结构为非静定结构或超静定结构。
会判断静定问题和非静定问题
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
工程力学
第三章 力系的平衡条件和平衡方程
3.2.2 刚体系统平衡问题的特点与解法
1.整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个 2.研究对象有多种选择 刚体也必然是平衡的。
工程力学第三章总结
第三章力系的平衡3—1平衡与平衡条件3—1—1平衡的概念概念：物体静止或做等速直线平移运动，这种状态称为平衡。
3—1—2平衡的充要条件力系的平衡是刚体和刚体系统平衡的充要条件力系平衡：力系的主矢和力系对任意一点的主距都等于零F R =∑=n i Fi 1=0 M o=∑=ni MoFi 1=03—2任意力系的平衡方程3—2—1平衡方程的一般形式∑Fx =0，)(F Mx ∑=0 ∑=0Fy ，∑=0)(F My ∑=0Fz ，∑=0)(F Mz3—2—2空间力系的特殊情况一个力通过距心，力到该点的力矩为零。
空间汇交力系交与点O ，平衡方程：∑=0Fx ，∑=0Fy ，∑=0Fz 空间力偶系的平衡方程：∑=0Mx ，∑=0My ，∑=0Mz 3—3平衡力系的平衡方程3—3—1平衡力系平衡方程的一般形式平面任意力系：所有的作用线都位于同一平面的力系。
两投影一距式：∑=0Fx ，∑=0Fy ，∑=0)(F Mo3—3—2平衡力系平衡方程的其他形式 一投影二距式：∑=0Fx ，∑=0)(F MA ，∑=0)(F MB ；（条件:x 轴不垂直AB 的连线）。
三距式：∑=0)(F MA ，∑=0)(F MB ，∑=0)(F MZ ；（条件：A ，B ，C 三点不在同一条直线上）。
3—4平衡方程的应用3—5静定和超静定问题的概念静定问题：未知力的个数正好等于独立平衡方程的数目，由平衡方程可以解出全部的未知数。
超静定问题：仅由静力学平衡方程无法求得全部未知约束力。
超静定次数：未知量的个数为Nr与独立平衡方程的数目Ne之差。
i=Nr—Ne3—6简单的刚体系统平衡问题刚体系统：由两个或两个以上的刚体所组成的系统。
刚体系统平衡的特点：仅仅考察系统的整体或某个局部，不能确定全部未知力。
3—7结论与讨论3—7—1受力分析的重要性3—7—2求解刚体系统平衡问题需要注意的几个问题✧理解掌握“力系整体平衡，组成系统的每个局部必然平衡。
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
工程力学第三章
2.多个力偶的合成 =
=
如同右图
FR Fi
i 1
n 有 M R M1 M 2 M n M i
M R 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
合力偶矩矢的解析表达式：
M R M Rx i M Ry j M Rz k
例１： 已知：F , l , a,
求： x M
F ,My F ,Mz F
解：把力
F 分解如图
Mx
F F l a cos
My
F Fl cos
M z F F l sin
xC r sin 300 , yC r cos 300 , zC h
三、力偶的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零，力偶没有合 力，力偶不能用一个力来平衡，力偶只能由力偶来 平衡.力和力偶是静力学的两个基本要素。 2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩矢，不因矩心的改 变而改变。
力偶矩矢 M rBA F
3.只要保持力偶矩矢不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂 的长短，对刚体的作用效果不变.
力偶系
第三章 力偶系
§3-1 力对点之矩矢与力对轴之矩
§3-2 力偶
§3-3 力偶系的合成与平衡条件
§3-1 力对点之矩矢与力对轴之矩
一、平面中力对点之矩（力矩）
１.基本概念 矩心：O 力臂：ｈ 力矩作用面 ２.两个要素： （１）大小：力与力臂的乘积 （２）方向：转动方向
３.表示形式
M O F Fh M O F 2OAB
工程力学第三章
如图3-8（a），在同一平面内作用两个力偶（F1，F′1）和（F2， F′2），其力偶臂分别为d1、d2，两个力偶的矩分别为M1、M2。
M1=F1d1 M2=-F2d2 保持力偶不变的情况下同时改变力的大小和力偶臂的长短，使 两个力偶的力偶臂均为d，如图3-8（b）所示。 M1 M2 , F4 根据推论1和推论2可得： F3 d d
二、平面力对点的矩 如图3-1 所示，平面上一作用力F，在 同一平面内任取一点O，点O称为矩 心； 点O到力F的作用线的垂直距离h 称为力臂。
平面力对点的矩的定义为： 平面力对点的矩是一代数量，其绝 对值等于力的大小与力臂的乘积。 其正负号规定为： 力使物体绕矩心作逆时针转动时力矩为正， 反之为负。用MO(F)表示。 MO(F)=F· h 三、合力矩定理
解题说明：
求解平面力偶问题时，在已知一个力的方向时，可以利用力 偶的定义，确定另一个与已知力组成力偶的未知力的方向。
例3-2：圆弧杆AB与直角杆BCD在B处铰接，A、D处均为固 定铰链支座，如图3-11（a）所示。若已知r、M，并不计各 杆的自重，求A、D处的约束力。 解： （1）选取研究对象： 杆BCD为二力杆。分析 得，杆BCD受力如图3-11 （b）所示 再以杆AB为研究对象。 分析得，杆AB受力如图3-11（c）所示
M Mi
i 2
n
（3-3）
三、平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平衡的充要条件：平面力偶系中各力偶矩的代数 和为零。
M
i 1
n
i
0
（3-4）
上式为平面力偶系的平衡方程。
例3-1：如图3-9（a）、图3-9（b）所示，已知长为l的梁AB 上作用一矩为M的力偶，不计梁的自重。求支座A、B的约 束力。 解： （1）以梁AB为研究对象 分析得，梁AB受力如图 3-10所示
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节点 杆件 节点 杆件
节点
杆件
节点
杆件
桁架分类
平面桁架 平面结构，载荷作 用在结构平面内； 对称结构，载荷作 用在对称面内。 空间桁架 结构是空间的，载 荷是任意的； 结构是平面，载荷 与结构不共面。
桁架分类
便于布置双层结构，利 于标准化生产，但杆力分布 不够均匀 杆力分布不均匀，构 造布置困难，但斜面符合 屋顶排水需要
I
XA 0 M B 0 YA 3a P 2a P a 0
x
F
0
YA P
2、选截面 I-I ，取左半部研究
由 M A 0 Fy 0
A'
F
x
0
Pa h
S 4h YA a 0 Y A S5 sin P 0 S 6 S 5 cos S 4 X A 0
工程中由一些直杆通过焊接、铆接或螺栓连接而成 的几何形状不变结构------“桁架”。
桁 架 的 组 成
基 本 三 角 形
所有桁架的基本组成单位都是由三杆通过铰链连接而成的三角 形。在这个基本单位上再附加上或多或少的三角形即可构成简单或大 型的桁架结构。这样的结构具有坚固性——简单桁架
力学中常见的桁架简化计算模型
桁架的优点：轻，能充分发挥材料性能。
工程中的桁架结构
房屋建筑中的桁架
房屋建筑中的桁架
F P
房屋建筑中的屋架
桥梁桁架
桥梁桁架
大型起重机械的机身
高压输电线铁塔结构
桁架力学模型的抽象
F
P
桁 架 力 学 模 型 的 抽 象
1、桁架中各杆件——等直杆
2、杆件与杆件的连接处——节点
节点——光滑铰链约束 不同材料的杆件，采用不同的节点构造
桁架所受的载荷通常都是以一定的方式传到桁架的节点上
简化计算模型 桥梁桁架的计算简图
节点 杆件
桁 架 力 学 模 型 的 抽 象
1、桁架中各杆件——等直杆 2、杆件与杆件的连接处——节点(光滑铰链约束) 3、外载荷——作用在桁架的节点上
满足上述简化条件的结构---理想桁架 理想桁架基本假定：
1.各杆均为不计自重的直杆； 2.所有杆件只在端部连接，连接处 均假设为光滑铰链； 3.外力及支座反力均作用在节点上。 由上述假设可知: 桁架中的杆件只承受拉力或压力，不承受弯曲--二力杆 二力杆—组成桁架的基本构件。
C
① 两杆节点上无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。
S1 S 2 0
零 杆
FP B
零 杆
② 三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零杆 且S1 S 2
桁架中零力杆的判断 ① 两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。
S1 S 2 0
② 三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零杆 ③ 四杆节点无载荷、其中两两在 一条直线上，同一直线上两杆 内力等值、同性。 且S1 S 2
3 4 25 FAD 2.5kN; 4 3 Fix 0, FAB FAD 0 ; FAB 1.5kN; 5
[ D]
Fiy 0, F FAD
4
2 2
4m
0;
D 3m
3m
3m
E 3m
F
[A] FAB FAD
Fiy 0,
Fix 0,
FDA
4 4 FDB 0 ; 5 5
FDA
FDB
FDB 2.5kN;
FDE 3kN;
[D] FDE
3 3 FDB FDA FDE 0 ; 5 5
[B] F 0, F 4 F 4 0 ; iy BD BE
F A 4m D 3 3 3 FEB FBA [B] FBC FED [E] FBE FBD FE E 3 B C
代入 S1' S1 10KN 解得 : S 3 10 kN
S 4 10 kN
F
x
0
' S5 S 2 0
' 代入S 2 S 2后
解得 S 5 8.66 kN
S 2 8.66kN S1 10kN
[例] 已知：如图，h，a，P 。求：4，5，6杆的内力。
解：1、研究整体求支反力 I
4m D 3 3 3 1 E 3
解：用截面法，设法取不超过 三个未知力的部分分析。 MB=0， 6F+FDE·4=0
F
FDE= –3kN。
A
FAB
B
FDB
D
FDE
例：平面桁架如图示，已知：F，求：杆1的内力。 解：取整体研究
3 M C 0, 2aFAy aF 0; 2
a
F
m E 1 F C m a B a m FFE F1 FAY FAX m FAB FC
FAy
3 F; 4
D
a
经判断FDB= 0，BD杆为零杆； 取 m-m 截面左侧；
M C 0, 2aFAy aF1 0 ;
A` FAx FAy
3 F1 F; 2
0
C
例：悬臂式桁架如图所示。a=2 m，b=1.5 m，试求杆件 GH，HJ，HK的内力。
K b J b L a I a m F a C a G D A m
Fix 0, FCB FCE
Fiy 0, FCE
3 FCX 0; 5
FCX 0 ;
FCY 6kN;
FCB
[C]
FCX
4 FCY 0 ; 5
FCY FCE
可取[A][C]逐点求解所有内力与约束力,再整体方程校核。
1 F A B C
求：杆FDE的内力
5
5
FBE 2.5kN;
Fix 0, FBC FBA FBE 3 3 FBD 0; 5 5 4.5kN;
[E]
Fix 0, FEC
FBC
3 3 FEB FED 0; 5 5 FEC 7.5kN;
FEC
Fiy 0, FEB
[C]
4 4 FEC FE 0 ; 5 5 FE 8kN;
X B 0, N A YB 5 kN
②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。
Fx 0
Fy 0
S2 S1 cos 300 0
N A S1 sin 300 0
解得 S 2 8.66kN, S1 10kN(表示杆受压)
0 0 S cos 30 S ' cos 30 0 F 0 4 1 x 0 0 S S ' sin 30 S sin 30 0 F 0 3 1 4 y
S5 0
S 4
S6
Pa h
以上各例说明 ： 节点法：可用于计算全部杆的内力 截面法：可用于计算部分杆内力 先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力, 与所设方向相反。
例：平面桁架如图示，已知：F=2kN，求：各杆的内力与 支座约束反力。 F 解：用节点法，取不超过二个 A B C 未知力的[A]分析。
几何不可变 几何可变
在平面桁架结构中，不难建立关于节点数 和杆件数与保持坚固性之间的关系：
m2n-3
m － 杆件数 n － 节点数
m2n-3
m － 杆件数 n － 节点数
n=3, m=23-3=3
n=8, m=28-3=13
m=2n-3
§3-4
1. 2. 3. 4. 5.
特殊构架——桁架
桁架的定义； 工程中的桁架结构及其力学中的桁架模型； 理想桁架的基本假定； 桁架类型； 桁架静力分析方法。
桁 架 的 定 义
工程中由一些直杆通过焊接、铆接或 螺栓连接而成的几何形状不变的结构，称 为------“桁架”。
桁架是工程中常见的结构,特别是在一些大跨度 的建筑物或大尺寸的机械中常采用桁架结构。 桁架结构常用于大跨度的厂房、展览馆、体育 馆和桥梁等公共建筑中。
n
列平衡方程 a FGH FHK 0 2 2 a b
H
FEH
F 0, F y
解得
FGH
b a b
2 2
FHJ 0
FHK FGH FHJ
a 2 b2 5 FGH ( FHK FEH ) F a 6 b F FHJ FGH 2 a 2 b2
3、外载荷——作用在桁架的节点上
桁架所受的载荷通常都是以一定的方式传 到桁架的节点上的 。 具体说明如下：
桁架的节点(不同材料的杆件，采用不同的节点构造)
桁架的节点(不同材料的杆件，采用不同的节点构造)
杆件的连接处实际上更接近于固定端，但是由 于桁架的杆件都比较细长，端部对整根杆件转动的 限制作用较小，因此把节点简化为光滑铰链不会引 起太大误差。
2. 用截面n-n将杆EH，EG ， DF ， CF截断。 取右半桁架为研究对象，受力分析如图。 列平衡方程
M
FEH
F
( F ) 0,
F 2a FEH 2b 0
F 解得 [ 取节点H ]
A
FHK 2 F
FEH FEG
4 F 3
FDF D
F
F
x
0,
FEH
FCF C
S1 S 2
S3 S4
0 0 0
0
0 0
0
0 0 0 0
能否去掉 能否去掉 零杆？ 零杆？
能否去掉 能否去掉 零杆？ 零杆？
[例] 已知：如图 P = 10 kN，求各杆内力？ 解：①研究整体，求支座反力
F
x
节点
杆件
节点
杆件
桁架分类
平面桁架 平面结构，载荷作 用在结构平面内； 对称结构，载荷作 用在对称面内。 空间桁架 结构是空间的，载 荷是任意的； 结构是平面，载荷 与结构不共面。
桁架分类
便于布置双层结构，利 于标准化生产，但杆力分布 不够均匀 杆力分布不均匀，构 造布置困难，但斜面符合 屋顶排水需要
I
XA 0 M B 0 YA 3a P 2a P a 0
x
F
0
YA P
2、选截面 I-I ，取左半部研究
由 M A 0 Fy 0
A'
F
x
0
Pa h
S 4h YA a 0 Y A S5 sin P 0 S 6 S 5 cos S 4 X A 0
工程中由一些直杆通过焊接、铆接或螺栓连接而成 的几何形状不变结构------“桁架”。
桁 架 的 组 成
基 本 三 角 形
所有桁架的基本组成单位都是由三杆通过铰链连接而成的三角 形。在这个基本单位上再附加上或多或少的三角形即可构成简单或大 型的桁架结构。这样的结构具有坚固性——简单桁架
力学中常见的桁架简化计算模型
桁架的优点：轻，能充分发挥材料性能。
工程中的桁架结构
房屋建筑中的桁架
房屋建筑中的桁架
F P
房屋建筑中的屋架
桥梁桁架
桥梁桁架
大型起重机械的机身
高压输电线铁塔结构
桁架力学模型的抽象
F
P
桁 架 力 学 模 型 的 抽 象
1、桁架中各杆件——等直杆
2、杆件与杆件的连接处——节点
节点——光滑铰链约束 不同材料的杆件，采用不同的节点构造
桁架所受的载荷通常都是以一定的方式传到桁架的节点上
简化计算模型 桥梁桁架的计算简图
节点 杆件
桁 架 力 学 模 型 的 抽 象
1、桁架中各杆件——等直杆 2、杆件与杆件的连接处——节点(光滑铰链约束) 3、外载荷——作用在桁架的节点上
满足上述简化条件的结构---理想桁架 理想桁架基本假定：
1.各杆均为不计自重的直杆； 2.所有杆件只在端部连接，连接处 均假设为光滑铰链； 3.外力及支座反力均作用在节点上。 由上述假设可知: 桁架中的杆件只承受拉力或压力，不承受弯曲--二力杆 二力杆—组成桁架的基本构件。
C
① 两杆节点上无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。
S1 S 2 0
零 杆
FP B
零 杆
② 三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零杆 且S1 S 2
桁架中零力杆的判断 ① 两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。
S1 S 2 0
② 三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零杆 ③ 四杆节点无载荷、其中两两在 一条直线上，同一直线上两杆 内力等值、同性。 且S1 S 2
3 4 25 FAD 2.5kN; 4 3 Fix 0, FAB FAD 0 ; FAB 1.5kN; 5
[ D]
Fiy 0, F FAD
4
2 2
4m
0;
D 3m
3m
3m
E 3m
F
[A] FAB FAD
Fiy 0,
Fix 0,
FDA
4 4 FDB 0 ; 5 5
FDA
FDB
FDB 2.5kN;
FDE 3kN;
[D] FDE
3 3 FDB FDA FDE 0 ; 5 5
[B] F 0, F 4 F 4 0 ; iy BD BE
F A 4m D 3 3 3 FEB FBA [B] FBC FED [E] FBE FBD FE E 3 B C
代入 S1' S1 10KN 解得 : S 3 10 kN
S 4 10 kN
F
x
0
' S5 S 2 0
' 代入S 2 S 2后
解得 S 5 8.66 kN
S 2 8.66kN S1 10kN
[例] 已知：如图，h，a，P 。求：4，5，6杆的内力。
解：1、研究整体求支反力 I
4m D 3 3 3 1 E 3
解：用截面法，设法取不超过 三个未知力的部分分析。 MB=0， 6F+FDE·4=0
F
FDE= –3kN。
A
FAB
B
FDB
D
FDE
例：平面桁架如图示，已知：F，求：杆1的内力。 解：取整体研究
3 M C 0, 2aFAy aF 0; 2
a
F
m E 1 F C m a B a m FFE F1 FAY FAX m FAB FC
FAy
3 F; 4
D
a
经判断FDB= 0，BD杆为零杆； 取 m-m 截面左侧；
M C 0, 2aFAy aF1 0 ;
A` FAx FAy
3 F1 F; 2
0
C
例：悬臂式桁架如图所示。a=2 m，b=1.5 m，试求杆件 GH，HJ，HK的内力。
K b J b L a I a m F a C a G D A m
Fix 0, FCB FCE
Fiy 0, FCE
3 FCX 0; 5
FCX 0 ;
FCY 6kN;
FCB
[C]
FCX
4 FCY 0 ; 5
FCY FCE
可取[A][C]逐点求解所有内力与约束力,再整体方程校核。
1 F A B C
求：杆FDE的内力
5
5
FBE 2.5kN;
Fix 0, FBC FBA FBE 3 3 FBD 0; 5 5 4.5kN;
[E]
Fix 0, FEC
FBC
3 3 FEB FED 0; 5 5 FEC 7.5kN;
FEC
Fiy 0, FEB
[C]
4 4 FEC FE 0 ; 5 5 FE 8kN;
X B 0, N A YB 5 kN
②依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。
Fx 0
Fy 0
S2 S1 cos 300 0
N A S1 sin 300 0
解得 S 2 8.66kN, S1 10kN(表示杆受压)
0 0 S cos 30 S ' cos 30 0 F 0 4 1 x 0 0 S S ' sin 30 S sin 30 0 F 0 3 1 4 y
S5 0
S 4
S6
Pa h
以上各例说明 ： 节点法：可用于计算全部杆的内力 截面法：可用于计算部分杆内力 先把杆都设为拉力,计算结果为负时,说明是压力, 与所设方向相反。
例：平面桁架如图示，已知：F=2kN，求：各杆的内力与 支座约束反力。 F 解：用节点法，取不超过二个 A B C 未知力的[A]分析。
几何不可变 几何可变
在平面桁架结构中，不难建立关于节点数 和杆件数与保持坚固性之间的关系：
m2n-3
m － 杆件数 n － 节点数
m2n-3
m － 杆件数 n － 节点数
n=3, m=23-3=3
n=8, m=28-3=13
m=2n-3
§3-4
1. 2. 3. 4. 5.
特殊构架——桁架
桁架的定义； 工程中的桁架结构及其力学中的桁架模型； 理想桁架的基本假定； 桁架类型； 桁架静力分析方法。
桁 架 的 定 义
工程中由一些直杆通过焊接、铆接或 螺栓连接而成的几何形状不变的结构，称 为------“桁架”。
桁架是工程中常见的结构,特别是在一些大跨度 的建筑物或大尺寸的机械中常采用桁架结构。 桁架结构常用于大跨度的厂房、展览馆、体育 馆和桥梁等公共建筑中。
n
列平衡方程 a FGH FHK 0 2 2 a b
H
FEH
F 0, F y
解得
FGH
b a b
2 2
FHJ 0
FHK FGH FHJ
a 2 b2 5 FGH ( FHK FEH ) F a 6 b F FHJ FGH 2 a 2 b2
3、外载荷——作用在桁架的节点上
桁架所受的载荷通常都是以一定的方式传 到桁架的节点上的 。 具体说明如下：
桁架的节点(不同材料的杆件，采用不同的节点构造)
桁架的节点(不同材料的杆件，采用不同的节点构造)
杆件的连接处实际上更接近于固定端，但是由 于桁架的杆件都比较细长，端部对整根杆件转动的 限制作用较小，因此把节点简化为光滑铰链不会引 起太大误差。
2. 用截面n-n将杆EH，EG ， DF ， CF截断。 取右半桁架为研究对象，受力分析如图。 列平衡方程
M
FEH
F
( F ) 0,
F 2a FEH 2b 0
F 解得 [ 取节点H ]
A
FHK 2 F
FEH FEG
4 F 3
FDF D
F
F
x
0,
FEH
FCF C
S1 S 2
S3 S4
0 0 0
0
0 0
0
0 0 0 0
能否去掉 能否去掉 零杆？ 零杆？
能否去掉 能否去掉 零杆？ 零杆？
[例] 已知：如图 P = 10 kN，求各杆内力？ 解：①研究整体，求支座反力
F
x