【配套K12】[学习]2018高中数学 每日一题之快乐暑假 第15天 函数的概念(含解析)新人教A版
[配套K12]2017-2018学年高中英语 每日一题(第3周)play a part (in)(含
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play a part (in)重要程度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆Have you realized the part computers have ___________ in the daily life?A. madeB. givenC. causedD. played【参考答案】D【拓展延伸】1. play a part (in) 在……中扮演一个角色；参与；在……中起作用2. play the role of 扮演……的角色play an important role / part in...在……中起重要作用play the leading role / part主演；起带头作用3. take part in 参加for the most part多半；在很大程度上for one’s part就某人而言，对某人来说1. Colors play an important ___________ in the way you look.A. partB. formC. effectD. pride2. Mr. Huang will ___________ in the movement.A. play a leading partB. take partsC. play leading partD. take a part3. __________ part that women ___________ in society is great.A. The; playsB. A; takesC. A; playsD. The; takes4. (2014·福建)By focusing on saving oil, water, paper, food, and clothig, we ____________________cutting down on waste.通过节省油、水、纸张、食物和服装，我们在减少浪费方面发挥着作用。
[配套K12]2017-2018学年高中英语 每日一题(第04周)so...that...(含解析)
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so…that…重要程度：★★☆☆☆难易程度：★★★★☆The weather was __________ cold that I didn’t like to leave my room.A. reallyB. suchC. tooD. so【参考答案】D【拓展延伸】so...that...＂如此……以至于……＂，其主要形式有：1. so+形容词/副词+that...☛He spoke so quickly that I could n’t follow him.他说得如此快以至于我跟不上他。
2. so+形容词+a(n) +可数名词单数+that...☛She is so lovely a girl that everyone loves her. 她是如此可爱的女孩以至于大家都喜欢她。
3. so+many/few +名词复数+that...☛There are so many tasks that I feel tired. 任务那么多，我感觉很累。
4. so+much/little(少的)+ 不可数名词+that...☛We had so little time that we couldn’t finish the work on schedule. 我们的时间那么少，以至于我们不能按时完成那项工作。
【易混辨析】so... that.../ such... that.../ so that1. so... that...句型中的so是副词，常常用来修饰形容词或副词；2. such... that...句型中，such为形容词，修饰名词，名词前可以有形容词或副词修饰；3. so that 既可以引导目的状语从句，又可以引导结果状语从句。
引导目的状语从句时可译为＂为了＂，引导结果状语从句时可译为＂以便＂。
1. Pollution is __________bad __________many rivers are full of chemicals and kill sea creatures.A. so; thatB. such; thatC. too; and thatD. quite; which2. Despite their___________ of interest, Fleming kept trying to develop the chemical__________ it would be safe and effective.A. lacking; in order toB. lack; so thatC. lack; so as toD. lacking; so that3. ____________that all mountain roads were closed.A. So became the dangerous weatherB. So dangerous did the weather becomeC. So dangerous became the weatherD. Dangerous the weather became so3. B 【解析】so…that…结构中，当so后有形容词或副词且位于句首时，应使用部分倒装形式。
安徽省六安市舒城中学高二数学暑假作业 第十五天 理
第十五天 古典概型【课标导航】1.理解基本事件及古典概型的概念；2.会用古典概型解决简单概率问题。
一、选择题1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是 （ ）A. 1999B. 11000C. 9991000D.122．某人一次掷出两枚骰子,点数和为5的概率是（ ）A.361B. 181C. 91D.413．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ）A. A 与C 互斥B. 任何两个均互斥C. B 与C 互斥D. 任何两个均不互斥4.先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的面的点数分别为x,y ，则使 1log 2=y x 的概率为（ ） A ．61 B ．365C ．121 D ．215．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为（ ）A ．116 B ．216 C ．316 D ．146．出下列命题，其中正确命题的个数有（ ）①有一大批产品，已知次品率为0010，从中任取100件，必有10件次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37； ③某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的； ④若()()()1P A B P A P B =+=U ,则,A B 是对立事件。
A ．0B ． 1C ． 2D ．37．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的。
已知这个家庭有一个是女孩，则此时另一个小孩是男孩得概率为甲乙1 2 3 41 2 34( ) A ．23B ．12C ．34D ．138．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为1P 32=,乙的命中率为2P 21=，在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”.则该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为 ( )A ．61B ． 31C ． 12D ．127 二、填空题9.在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为_________10.将一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为1 cm 3的小正方体，从中任取一块，则这一块恰有两面涂有蓝色的概率是____________11. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________. 12. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。
高二数学 Happy暑假,我的作业君理 试题
创作；朱本晓 2022年元月元日第1章 1.1-1.2 变化率与导数、导数的计算〔1〕导数的概念：当x ∆趋近于零时，xx f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。
可用符号“→〞记作：当0→∆x 时，xx f x x f ∆-∆+)()(00c→或者记作c xx f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，〔2〕导函数的定义：假如)(x f 在开区间),(b a 内每一点x 都是可导的，那么称)(x f 在区间),(b a 可导。
这样，对开区间),(b a 内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '。
于是，在区间),(b a 内，)(x f '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(x f y =的导函数。
记为)(x f '或者y '〔或者x y '〕。
2.导数的四那么运算法那么： 〔I 〕几种常见函数的导数：〔1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（(3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)xx 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 〔II 〕导数的四那么运算法那么：假设f(x)、g(x)均为可导函数，那么 (1) [f(x)＋g(x)]′=)()(x g x f '+'；(2)[f(x)－g(x)]′＝)()(x g x f '-'；(3) [cf(x)]′＝)(x f v '(c 为常数)；(4) [f(x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)；(5) )()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 〔III 〕复合函数的导数：设函数)(x u ψ=在点x 处有导数)(x u x ψ'=',函数)(u f y =在点x 的对应点u 处有导数)(u f y u '=',那么复合函数f y =)]([x ψ在点x 处有导数,且x u x u y y '⋅'='.1．假设直线与曲线相切，那么它们只有一个交点吗？创作；朱本晓 2022年元月元日2．曲线C 在点P 处的切线与过点P 的切线有何差异？ 练一练1. 曲线34x x y -=在点)3,1(--处的切线方程是〔 〕A. 47+=x yB. 27+=x yC. 4-=x yD. 2-=x y2. 假设函数c bx ax x f ++=24)(满足)1(f '＝2，那么)1(-'f 等于 〔 〕A ．－1B ．－2C ．2D ．03．假设点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，那么点P 到直线y ＝x －2的最小间隔为〔 〕A ．1 B. 2 C.22D. 3 4. (五校联盟2021届高三下学期3月联考数学理)设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点(,())t f t 处切线的斜率为k ，那么函数()k g t =的部分图像为〔 〕5．( 2021——2021学年度上学期五校协作体高三期末考试理9)假设曲线212y x e =与曲线ln y a x =在它们的公一共点(),P s t 处具有公一共切线，那么实数a =〔 〕 .A 2- .B 12.C 1 .D 26. ( 2021年高三诊断考试理10)在直角坐标系xoy 中，设P 是曲线C ：)0(1>=x xy 上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ,B 两点，那么以下结论正确的选项是创作；朱本晓 2022年元月元日〔 〕A ．OAB ∆的面积为定值2 B ．OAB ∆的面积有最小值为3C ．OAB ∆的面积有最大值为4D ．OAB ∆的面积的取值范围是[3,4]7.实数,,,a b c d 满足1112=--=-d cb e a a 其中e 是自然对数的底数,22()()a c b d -+-的最小值为〔 〕A ．4B ．8C ．12D ．18 8．假设2)1(2)(x f x x f +'=，那么=')0(f _________.9. (中学2021届高三3月期初考试数学试题10)在平面直角坐标系xOy 中，假设曲线()sin 3cos f x x a x =+(a 为常数)在点(,())33f ππ处的切线与直线0132=++y x 垂直，那么a 的值是 ．10. 曲线2)(3-+=x x x f 在0P 处的切线平行于直线14-=x y ，那么0P 点 ．乐一乐数学的起源-----结绳记数和土地丈量大约在300万年前，处于原始社会的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小。
(精品人教版)2020高中数学 每日一题之快乐暑假 第15天 函数的概念(含解析)新人教A版
第15天函数的概念
高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆
典例在线
下列集合A到集合B的对应不是函数的有：
①中的数的平方；
②中的数的求平方根；
③中的数取倒数；
④正实数中的数取绝对值．
A．①②③④B．①③④
C．①②D．②③④
【参考答案】D
【解题必备】
一般地，设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作．
判断从集合A到集合B的对应是否为函数，首先，观察两个数集是否非空；其次，验证在对应关系下，集合A 中数x的任意性和集合B中数y的唯一性（即①不能没有数y对应数x；②不能有多于一个的数y对应数x）．
学霸推荐
1．变量y是变量x的函数，则
A．变量x，y之间具有依赖关系
B．变量x是变量y的函数
C．当x每取一个值时，变量y可以有两个值与之对应
D．当y每取一个值时，变量x有唯一的值与之对应
2．下列各图表示两个变量x、y的对应关系，则下列判断正确的是
A．都表示映射，都表示y是x的函数B．仅③表示y是x的函数C．仅④表示y是x的函数D．都不能表示y是x的函数
1．【答案】A
2．【答案】C
【解析】根据函数的定义可知，仅④表示y是x的函数．故选C．。
2018年高考数学课标二卷里第15题
2018年高考数学课标二卷里第15题
2018年高考数学课标二卷第15题这道题让很多考生望而却步，但是细心者应该发现它其实没有那么难！本文将详细地介绍第15题的基本概念、解题思路以及答题步骤。
一、题目内容
本题的题干是：已知圆|x+y|=2a，其中a为正常数。
俩点P(2a，-2a)点关于原点对称，求此时圆的方程。
二、基本概念
1. 半径：半径是一个固定值，可以在圆心处确定。
2. 对称：对称指两个物体所具有的及体状形状、长度、宽度最终形成的两个完全相同的图形。
三、解题思路
1. 根据题干，圆心坐标和半径都已给出，可以确定圆的方程。
2. 同时，已知两个点需要关于原点对称，则可以使用“关于原点的一次函数的单调性”的性质，将两个点的坐标翻转过来，得出新的圆方程。
四、答题步骤
1. 确定圆心和半径
根据给定的圆式|x+y|=2a，可以得出圆心为（0，0），半径为2a
2. 确定点P
根据题目，可以确定点P的坐标为（2a，-2a）
3. 求新圆方程
根据题意，我们将点P反向翻转即P’（-2a，2a）。
新的圆方程可以表示为：（ x+2a）^2 +（y-2a）^2 = 4a^2
4. 结果
最终答案为圆的标准方程：(x-2a)^2 + (y+2a)^2 = 4a^2。
高中数学暑假初高衔接讲义 函数的单调性
练习主题函数的单调性知识点一：函数的单调性在5.1节开头的第三个问题中，气温θ是关于时间t的函数，记为θ=f(t).观察这个气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的，在哪些时段内是逐渐下降的.怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征?由图可知，从4时到14时这一时间段内，图象呈上升趋势，气温逐渐升高.也就是说，对于这段图象上的任意两点P（t1，θ1），Q（t2，θ2），当t1＜t2时，都有θ1＜θ2；类似地，对于区间（14，24）内任意两个值t1，t2，当t1＜t2时，都有θ1＞θ2.一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么称y=f(x)在区间I上是增函数，I称为y=f(x)的增区间.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么称y=f(x)在区间I上是减函数，I称为y=f(x)的减区间.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y=f(x)在区间Ⅰ上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.例1、画出下列函数图像，并写出单调区间.（1）y=-x 2+2； （2）y=x1；对应练习：1、（多选）如图是函数y=f(x)的图象，则函数f(x)在下列区间单调递增的是（ ）A.[2，5]B.[-6，-4]C.[-1，2]D.[-1 ，2] ∪[5，8] 2、已知函数f(x)=-x 2，则（ ）A. f(x)是减函数B. f(x)在（-∞，-1）上是减函数C. f(x)是增函数D. f(x)在（-∞，-1）上是增函数 3、函数f(x)=1-x 2-x （ ） A.在（-1，+∞）内单调递增 B.在（-1，+∞）内单调递减 C.在（1，+∞）内单调递增 D.在（1，+∞）内单调递减 4、函数s=x 3x 2 的单调递减区间为（ ）A.（-∞，23] B.[23-，+∞） C.[0，+∞） D.（-∞ ，-3] 5、画出函数f （x ）=∣x+1∣的图像，并根据图像写出函数f （x ）的单调区间.例2、证明：函数f(x)=x1--1在区间（-∞，0）上是增函数.对应练习：1、证明：函数f （x ）=-2x+1是减函数.2、根据函数单调性的定义，证明函数f （x ）=-x 3+1在R 上是减函数.3、函数f （x ）=2x3-在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数.巩固练习：1、下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（ ）A.y=∣x+1∣B.y=3-xC.y=x1 D.y=-x 2+4 2、已知函数f(x)的定义域为(a ，b)，且对其内任意实数x 1，x 2，均有(x 1-x 2)·[f(x 1)-f(x 2)]＜0，则f(x)在(a ，b)上是（ ）A.增函数B.减函数C.既不是增函数也不是减函数D.常数函数 3、已知m ＜-2，点(m-1，y 1)，(m ，y 2)，(m+1，y 3)都在二次函数y=x 2-2x 的图象上，则（ ）A.y 1＜y 2＜y 3B.y 3＜y 2＜y 1C.y 1＜y 3＜y 2D.y 2＜y 1＜y 34、如图所示的是定义在区间，[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，则下列关于函数f(x)的说法错误的是（ ）A.函数在区间[-5，-3]上单调递增B.函数在区间[1，4]上单调递增C.函数在区间[-3，1]∪[4，5]上单调递减D.函数在区间[-5，5]上没有单调性5、用几何画板画出函数f(x)=x 3-3x+1的图象如下，则函数f(x)的增区间是（ ）A.(-1，1)B.(-∞，-1)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)和(1，+∞)D.(-∞，-1)或(1，+∞) 6、函数f(x)=的增区间为（ ）A.(-∞，0)，[0，+∞)B.(-∞，0)C.[0，+∞)D.(-∞，+∞) 7、已知函数f(x)=4x 2-kx-8在(-∞，5]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（ ）A.(-24，40)B.[-24，40]C.(-∞，-24]D.[40，+∞)8、若函数y=f(x)在R 上为增函数，且f(2m)＞f(-m+9)，则实数m 的取值范围是（ ）A.(-∞，-3)B.(0，+∞)C.(3，+∞)D.(-∞，-3)∪(3，+∞) 9、已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(x 2-2x)＜f(3)的实数x 的取值范围是（ ）A.[-1，3]B.(-∞，-1)∪(3，+∞)C.(-3，3)D.(-∞，-3)∪(1，+∞) 10、函数f （x ）=∣x-2∣x 的单调递减区间是 . 11、已知函数f （x ）=，则f （x ）的单调递减区间是 .12、若函数f （x ）=1ax 在区间[-1，1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 .13、已知函数f （x ）=，则不等式f （x 2+x+3）＞f （3x 2-3）的x 的解集是________．14、根据定义证明函数f （x ）=x+x9在区间[3，+∞）上单调递增.函数的最大（小）值例1、求下列函数的最小值：（1）y=x 2-2x ； （2）y=x1，x ∈[1，3]对应练习：1、函数f(x)在[-2，+∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值、最小值分别为（ ）A. 3，0B. 3，1C. 3，无最小值D. 3，-2 2、已知二次函数f(x)=2x 2-4x ，则f(x)在[-1，23]上的最大值为 .求函数的最值 1、利用单调性求最值例2、函数y=2x+1-x 的最小值为 .【教材115页】第7题、已知函数f(x)=x+x1，x ∈（0，+∞）. （1）求证：f(x)在区间（0，1]上是减函数，在区间[1，+∞）是增函数； （2）试求函数f(x)的最大值或最小值.例3、已知函数f(x)=1x 23-x 12-x 42 ，x ∈[0，1]，求函数f(x)的单调区间和值域；对应练习：1、设函数f(x)=2-x x2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M 、m ，则M 2m =（ ）A.32 B.83 C.23 D.382、（多选）当x ≥1时，下列函数的最小值为4的有（ ）A.y=4x+x 1B.y=1-x 25x 4-x 42+C.y=1x 5x 22++D.y=5x x 1-3、已知函数f(x)=xax x ++22，x ∈[1，+∞），（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值； （2）若对任意x ∈[1，+∞），f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．二次函数的最值问题 1、定轴定区间例4、已知函数f(x)=3x 2-12x+5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值.（1）R ； （2）[0，3]； （3）[-1，1]2、动轴定区间例5、求函数f(x)=x 2-2ax-1，x ∈[0，2]的最大值和最小值.3、定轴动区间例6、已知函数f(x)=x 2-2x+2，x ∈[t ，t+1]，t ∈R 的最小值为g(t)，试写出g(t)的函数表达式.4、动轴动区间例7、设a 是正数，ax+y=2（x ≥0，y ≥0），记h （x ，y ）=y+3x 2x 21-的最大值为M （a ），求M （a ）的表达式.对应练习：1、已知函数f(x)=x 2+2ax+2，求f(x)在[-5，5]上的最大值与最小值．2、已知函数f(x)=x 2-2x+3，当x ∈[t ，t+1]时，求f(x)的最大值与最小值．3、已知函数f(x)=ax 2+2（a-1）x-3（a ≠0）在区间[23-，2]上的最大值是1，求实数a 的值．巩固练习：1、函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间（-∞，1]上有最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜1B ．a ≤1C ．a ＞1D ． a ≥12、若函数：y=ax+1在区间[1，3]上的最大值是4，则实数a 的值为（ ）A.-1B.1C.3D.1或3 3、二次函数y=ax 2+4x+a 的最大值是3，则a=（ ）A.-1B.1C.-2D.1-4、函数y=3x+1-x 的值域是_______．5、函数f （x ）=，的最小值为 ，最大值为 .6、已知函数y=x 2-2x+3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是_______． 7、已知函数f （x ）=1-x 1x 2+，在区间[-8，4）上的最大值为______． 8、已知f(x)=1-x x2≥a 在区间[3，5]上恒成立，则实数a 的最大值是_______． 9、设函数f(x ）=16x 2+-x 在x ∈[-3，0]上的最大值a ，最小值为b ，则a+b=________．10、设f(x)=x 2-2ax+a 2，x ∈[0，2]，当a=-1时，f(x)的最小值是 ；若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为 .11、已知函数f(x)=ax 2+(a-3)x+1.若f(x)在区间[-1，+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是 ；若函数f(x)在[1，2]上的最小值为2，则实数a 的值为 . 12、已知函数f(x)=x 2-ax+4.（1）当a=5时，解关于x 的不等式f （x ）＞0； （2）设函数g （x ）=xx f ）（（1≤x ≤5），若g （x ）的最小值为2，求g （x ）的最大值.。
高三数学暑假天天练(15)教师版
2023高三暑假数学天天练（15）2022.7.20第15节导数的概念及运算1.(多选)下列求导运算正确的是()＝1＋1x2B.(log 2x )′＝1x ln 2C.(5x )′＝5x log 5xD.(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x 答案BD解析A ＝1－1x2，C 中，(5x )′＝5x ln 5，其余都正确.2.曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是()A.2 B.－2C.12D.－12答案D解析y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12.3.若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(1)x ＋3，则()A.f (0)<f (4)B.f (0)＝f (4)C.f (0)>f (4)D.以上都不对答案B解析函数f (x )的导数f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，故f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以f (0)＝f (4)＝3.4.函数f (x )＝e x －2x 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为()A.2x ＋y ＋e －4＝0B.2x ＋y －e ＋4＝0C.2x －y ＋e －4＝0D.2x －y －e ＋4＝0答案C解析f ′(x )＝x e x －e x ＋2x 2，所以f ′(1)＝2，所以函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，切点为(1，e －2)，则切线方程为y －(e －2)＝2(x －1)，即2x －y ＋e －4＝0.5.已知直线y ＝ax 是曲线y ＝ln x 的切线，则实数a ＝()A.12B.12eC.1eD.1e 2答案C解析设切点坐标为(x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 的导函数为y ′＝1x 知切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝x x 0＋ln x 0－1.＝1x 0，x 0－1＝0，解得a ＝1e .6.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是()A.f ′(3)＞f ′(2)B.f ′(3)＜f ′(2)C.f (3)－f (2)＞f ′(3)D.f (3)－f (2)＜f ′(2)答案BCD解析f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率.由图知f ′(2)＞f ′(3)＞0，故A 错误，B 正确.设A (2，f (2))，B (3，f (3))，则f (3)－f (2)＝f （3）－f （2）3－2＝k AB ，由图知f ′(3)＜k AB ＜f ′(2)，即f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)，故C ，D 正确.7.已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 满足0lim x ∆→f （1）－f （1－2Δx ）3Δx ＝2，则曲线y ＝f (x )切线斜率为________.答案3解析易知f ′(x )＝2ax ＋1x，由0lim x ∆→f （1）－f （1－2Δx ）3Δx ＝2，可得230lim x ∆→f （1）－f （1－2Δx ）2Δx＝2，即23f ′(1)＝2，所以f ′(1)＝3，可得3＝2a ＋1，解得a ＝1，故f ′(x )＝2x ＋1x ，故f 2×12＋2＝3.8.已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________.答案2解析f ′(x )＝－（ax －1）′（ax －1）2＋e x cos x －e x sin x ＝－a （ax －1）2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.9.已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x 2.若直线l 与曲线f (x )，g (x )都相切，则直线l 的斜率为________.答案－4解析∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x2，设曲线f (x )与l 1k ＝－1x 21，故切线方程为y －1x 1＝－1x 21(x －x 1)，即y＝－1x 21x ＋2x 1.与g (x )＝x 2联立，得x 2＋1x 21x －2x 1＝0.∵直线l 与曲线g (x )相切，－0，解得x1＝－12，故斜率k＝－1x21＝－4.10.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).(1)0）＝b＝0，（0）＝－a（a＋2）＝－3，解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－1 2 .所以a的取值范围为∞－1 2，＋11.设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.(1)解方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3，当x＝2时，y＝12.又∵f′(x)＝a＋b x2，a－b2＝1 2，＋b 4＝74，＝1，＝3，∴f(x)＝x－3 x .(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y 0x －x 0).令x ＝0，得y ＝－6x 0，∴切线与直线x ＝0令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，∴切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).∴曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.12.已知P 是曲线y ＝－sin x (x ∈[0，π])上的动点，点Q 在直线x －2y －6＝0上运动，则当|PQ |取最小值时，点P 的横坐标为()A.π4B.π2C.2π3D.5π6答案C解析如图所示，若使得|PQ |取得最小值，则曲线y ＝－sin x (x ∈[0，π])在点P 处的切线与直线x －2y －6＝0平行，对函数y ＝－sin x 求导得y ′＝－cos x ，令y ′＝12，可得cos x ＝－12.∵0≤x ≤π，解得x ＝2π3.13.(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )＝|e x －1|，x 1<0，x 2>0，函数f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))和点B (x 2，f (x 2))处的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则|AM ||BN |的取值范围是________.答案(0，1)解析由题意，f (x )＝|e x －1|－e x ，x <0，x －1，x ≥0，则f ′(x )e x ，x <0，x ，x >0，所以点A (x 1，1－e x 1)和点B (x 2，e x 2－1)，k AM ＝－e x 1，k BN ＝e x 2，所以－e x 1·e x 2＝－1，所以e x 1＋x 2＝1，所以x 1＋x 2＝0，所以AM 的方程为y －1＋e x 1＝－e x 1(x －x 1)，M (0，e x 1x 1－e x 1＋1)，所以|AM |＝x 21＋（e x 1x 1）2＝1＋e 2x 1·|x 1|，同理|BN |＝1＋e 2x 2·|x 2|，所以|AM ||BN |＝1＋e 2x 1·|x 1|1＋e 2x 2·|x 2|＝1＋e 2x 11＋e 2x 2＝1＋e 2x 11＋e－2x1＝e x 1∈(0，1).14.(2021·全国乙卷)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标.解(1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a ).①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2.所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )∞.(2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1).因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0).由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x .＝（1＋a ）x ，＝x 3－x 2＋ax ＋1＝1，＝1＋a＝－1，＝－1－a .所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a).。
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第15天函数的概念
高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆
典例在线
下列集合A到集合B的对应不是函数的有：
①中的数的平方；
②中的数的求平方根；
③中的数取倒数；
④正实数中的数取绝对值．
A．①②③④B．①③④
C．①②D．②③④
【参考答案】D
【解题必备】
一般地，设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作．
判断从集合A到集合B的对应是否为函数，首先，观察两个数集是否非空；其次，验证在对应关系下，集合A中数x的任意性和集合B中数y的唯一性（即①不能没有数y对应数x；②不能有多于一个的数y对应数x）．
学霸推荐
1．变量y是变量x的函数，则
A．变量x，y之间具有依赖关系
B．变量x是变量y的函数
C．当x每取一个值时，变量y可以有两个值与之对应
D．当y每取一个值时，变量x有唯一的值与之对应
2．下列各图表示两个变量x、y的对应关系，则下列判断正确的是
A．都表示映射，都表示y是x的函数B．仅③表示y是x的函数C．仅④表示y是x的函数D．都不能表示y是x的函数
1．【答案】A
2．【答案】C
【解析】根据函数的定义可知，仅④表示y是x的函数．故选C．。