九年级数学角平分线的应用
斯库顿角平分线定理
斯库顿角平分线定理引言斯库顿角平分线定理是中学数学中重要的几何定理之一。
它描述了一个三角形中，从一个内角的顶点引出的角平分线与对立边所构成的线段相等。
本文将从定理的定义、证明及应用几个方面全面探讨斯库顿角平分线定理。
一、定义斯库顿角平分线定理的定义如下：定义：在三角形ABC中，设∠BAC的平分线交边BC于点D，则有BD/DC = AB/AC。
二、证明为了证明斯库顿角平分线定理，我们需要使用几何推理和角平分线的性质。
以下是证明的步骤：1.假设三角形ABC中∠BAC的平分线交边BC于点D。
2.连接AD，并延长AD与BC的交点记为E。
3.由角平分线的性质可知∠BAC = ∠BAD，∠ACB = ∠CAE。
4.因为∠BAC是三角形ABC的内角，所以∠BAC < 180度。
5.由于∠BAD是∠BAC的平分线，所以∠BAD < ∠BAC/2。
6.同理，可得∠CAE < ∠ACB/2。
7.因此，∠BAD + ∠CAE < (∠BAC/2) + (∠ACB/2)。
8.根据三角形内角和定理可知∠BAD + ∠CAE = 180度。
9.综上所述，得到180度< (∠BAC/2) + (∠ACB/2)。
10.又因为三角形内角和为180度，所以∠BAC + ∠ACB = 180度。
11.根据角度大小关系，可得到∠BAC/2 + ∠ACB/2 > (∠BAC/2) + (∠ACB/2)。
12.由于上述推理矛盾，假设不成立。
13.因此，BD/DC = AB/AC，得证斯库顿角平分线定理。
三、应用斯库顿角平分线定理在几何问题中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：场景一：三角形内角平分线长度的应用1.已知三角形ABC，其中∠BAC = 60度，AB = 6cm，AC = 8cm。
2.求三角形ABC中∠BAC的平分线的长度BD和DC。
3.根据斯库顿角平分线定理，可得BD/DC = AB/AC，即BD/DC = 6/8。
九年级数学垂直平分线与角平分线的应用
A
B
E
5：如图：在直角三角形ABC中，∠A=90度，DE是BC边上的 垂直平分线，如果CE恰好是∠ACB的平分线，求∠B的度数。
C
D
A
B
E
6：如图：三角形ABC中，AB=AC，∠A=120度，AB的垂直平 分交BC于D。求证：BD=1/2DC。
A
E
B
D
C
7：在三角形ABC中， ∠A=124度，DE是BC边上的垂直平分 线，若∠ ABD：∠DBC=3：2，求∠C的度数。
1：如下图，找出一点P，使AP=PB，CP=DP。
A C
B D
2：在图中直线MN上找一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等。
B
M
Байду номын сангаас
N
O A
3：如图，求作一点P，使PC=PB，并且使点P到射线OA， OB的距离相等。
B
D
C O
A
4：在三角形ABC中，DE垂直平分AB，AB=8cm，三角形 ACD的周长为10cm。求三角形ABC的周长。
B
E
A
C
D
； 广东11选5走势图 ；
快一个小时了他们还没到.作为一名老实巴交の纳税人,我有权利知道自己供养の是人民公仆还是吃饱等死の猪,连个入村路口都找了一个多小时,到时让媒体过来一起见识见识.”最后一句像从牙缝里蹦出来の,这种效率,足够让报警人死几百次了.原本有些忧心の卓律师听罢, 为之失笑,“行行行,你别冲动,我马上过去.在我到之前你若见势不妙要马上避开知道吗？别意气用事跟他们硬碰硬,别让自己吃亏,明白吗？”“明白,刚才有个人袭击我被我用防狼喷雾喷了,不犯法吧？”“没事,你把那支喷雾保管好等取证.记住,穷山恶水出刁民,你一个小 丫头千万要沉住气保护好自己.”他
初中数学-三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE 的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD 的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A ．可以直接得：∠=×96°=3°．点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC 的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目． 例４ (2003年山东省)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交与E 点，连接AE ，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE 是△ABC 的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB －∠ACB=90°－×90°=45°点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。
角平分线的性质及判定 角平分线的应用
12.3角平分线的性质及判定第3课时角平分线的应用一、教学目标知识与技能：理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度与价值观：学生通过观察，亲自动手实验获得数学的猜想，体验数学活动充满着探索性和创作性，培养学生克服困难的意志，激发学生的学习兴趣二、教学准备多媒体课件，教学三角板三、重点难点重点：角平分线的性质难点：角平分线的应用四、教学方法讲练结合五、教学过程（一）、复习旧知1、角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。
3、判定定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
（二）、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？（三）探究新知关于三角形三条角平分线的交点问题如图，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB 的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点吗？②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，DI、EI、FI 有什么关系？结论：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. （四）例题精析例1三角形内（外）角平分线夹角结论（1）如图①PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB（2）如图②PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB的外角（3）如图③PB平分∠ABC、PC平分∠ACB的外角结论：（1）∠P=90°+21∠A（2）∠P=90°-21∠A（3）∠P=21∠A应用：如图在△ABC中，PB平分∠ABC，PC平分∠ACB的外角，若∠BPC=30°，则∠BAC= °例2、在△ABC中，O是角平分线BE和CD的交点，∠A=60°，求证：OD=OE例3、在△ABC中，AD是角平分线，2∠C=∠B， AC-AB=BDDEOBADA课堂练习在正方形ABCD中，∠1=∠2 AE=BE+DF（六）、课堂小结本节课我们学习了什么内容？首先复习了角平分线的定义，性质定理和逆定理。
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理解三角形问题
角平分线定理是初中数学中的重要定理之一，它是解决三角形
内角平分线相关问题的重要工具。
在本文中，我们将探讨角平分线
定理的概念和应用。
首先，让我们来了解一下角平分线定理的定义。
在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点到对边上某一点，且使得这条线
段把这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是这个角的平分线。
角平分线定理指出，如果在一个三角形中，一条角的内角平分线与
对边相交，那么这条角的内角平分线将这个对边分成两个部分，且
这两个部分的比等于另外两条边的比。
接下来，让我们看一些角平分线定理的应用。
角平分线定理可
以用来解决一些与三角形内角平分线相关的问题，比如求解三角形
内角平分线的长度、判断三角形内角平分线的位置关系等。
通过角
平分线定理，我们可以推导出一些有趣的几何性质，例如角平分线
的交点是三角形内切圆的圆心，或者角平分线和三角形的外接圆有
一些特殊的位置关系等。
除了在数学中的应用，角平分线定理也有一些实际的应用。
在
建筑、工程和设计领域，我们经常需要利用角平分线定理来进行测量和设计，比如在绘制建筑图纸时，需要准确地确定角的平分线位置，以确保建筑结构的稳定性和美观性。
总之，角平分线定理是一个十分重要的数学定理，它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际应用中也具有重要的意义。
通过深入理解和应用角平分线定理，我们可以更好地理解和解决与三角形内角平分线相关的问题，同时也可以将其运用到实际生活和工作中。
初中数学角的平分线教案
初中数学角的平分线教案精选一、教学内容本节课选自初中数学教材第七章《几何图形初步》的第三节“角的平分线”。
详细内容包括：角的平分线的定义、性质及判定方法。
通过本节课的学习，让学生了解角的平分线的基本概念，掌握角的平分线的性质，并能运用这些性质解决实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能：理解角的平分线的定义，掌握角的平分线的性质，学会运用角的平分线判定角的相等关系。
2. 过程与方法：培养学生运用逻辑推理、几何图形分析解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流、勇于探索的精神。
三、教学难点与重点教学难点：角的平分线的性质及其应用。
教学重点：角的平分线的定义，角的平分线定理的理解和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、直尺、量角器、黑板、粉笔。
2. 学具：三角板、直尺、量角器、练习本、铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示实际生活中角的平分线的应用，如剪刀、折纸等，引出本节课的主题——角的平分线。
2. 新课导入：回顾角的定义和性质，引导学生思考如何将一个角平分成两个相等的角。
3. 基本概念：讲解角的平分线的定义，让学生明确角的平分线是角的两边距离相等的直线。
4. 性质探究：a. 让学生通过观察和思考，发现角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
b. 通过例题讲解，证明角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
5. 例题讲解：讲解如何利用角的平分线性质解决几何问题，如角的相等、线段的相等关系等。
6. 随堂练习：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 初中数学角的平分线2. 内容：a. 角的平分线的定义b. 角的平分线的性质c. 例题解析d. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目：b. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，AB=AC，求证：BD=CD。
c. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，AB=AC，求∠ADB的度数。
2. 答案：见附页。
平行四边形的角平分线
平行四边形的角平分线平行四边形是初中数学中常见的图形，在平行四边形中，角平分线也是一个十分重要的概念。
本文将从什么是角平分线、角平分线的性质以及角平分线的应用三个方面展开讨论。
一、什么是角平分线在平行四边形中，如果一条直线同时平分两个相邻角，则这条直线就被称为该平行四边形的角平分线。
如下图所示，直线DE即为平行四边形ABCD的角平分线。
二、角平分线的性质1. 角平分线将相邻两个角分成的两个小角相等。
如下图所示，直线DE将角BAD分成了两个小角BAD和DAC，这两个小角相等。
2. 角平分线与平行四边形两边交点所在的线段相等。
如下图所示，DE与平行四边形的两边AB和DC的交点分别为E和F，且EF=DE。
3. 角平分线将平行四边形分成的两个三角形面积相等。
如下图所示，平行四边形ABCD被角平分线DE分成了两个三角形ADE和BCE，这两个三角形的面积相等。
三、角平分线的应用1. 求角平分线长度。
假设在平行四边形ABCD中，角BAD和角ABC的度数分别为α和β，直线DE为角BAD的角平分线。
则根据角平分线的性质1，有α/2=β/2，即α=β。
又根据角平分线的性质2，有DE/AB=DE/CD，即DE=AB×CD/AB+CD。
因此，可以通过已知角度和平行四边形两边长度，求出角平分线的长度。
2. 求平行四边形的面积。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质3求出平行四边形的面积。
3. 求平行四边形两条对角线的交点坐标。
在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质2求出对角线的交点坐标。
在初中数学中，平行四边形和角平分线都是非常基础和重要的概念。
掌握了这些概念的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和运用平行四边形及其相关的数学知识。
初中数学 如何使用角平分线定理计算三角形的边长
初中数学如何使用角平分线定理计算三角形的边长
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他定理和公式。
下面是一个详细的步骤：
步骤1：确定三角形的内角平分线
-在三角形的某个角上，做一条平分线，将该角分成两个相等的角，同时将对立面的边分成两个比例相等的线段。
步骤2：根据角平分线定理计算边长比例
-根据角平分线定理，可以得到平分线所在边分成的两个线段的比例等于另外两个边的比例。
-假设平分线所在边为AB，对立面的边为C，而平分线将AB 分成AD 和DB 两个线段，那么有BD/DC = AB/AC。
步骤3：计算三角形的边长
-根据步骤2中得到的比例，可以列出一个方程式，利用已知的边长计算出未知的边长。
-例如，如果已知三角形的两个边长a 和b，以及角A 的平分线AD，那么可以利用BD/DC = AB/AC 这个比例来计算出第三边c 的长度。
需要注意的是，进行计算时需要准确测量和记录三角形的边长和角平分线的长度，以及正确应用公式和定理。
总结：
使用角平分线定理计算三角形的边长需要结合其他相关公式，步骤包括确定三角形的内角平分线、根据角平分线定理计算边长比例和应用公式计算边长。
这个方法可以帮助我们更好地理解和应用角平分线定理，并解决与三角形边长相关的问题。
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烟草专卖行政主管部门对应当向公安机关移送的涉嫌犯罪案件，应当立即指定2名或者2名以上行政执法人员组成专案组专门负责，核实情况后提出移送涉嫌犯罪案件的书面报告，报经本机关审批。A.专卖部门负责人B.专案组组长C.公安联络室负责人D.正职负责人或者主持工作的负责人 关于食物中毒的特点，不准确的是A.有共同的饮食史B.症状相似C.发病多呈暴发D.人与人之间不传染E.停止食用"有毒食物"后发病有一滞后期 男性，28岁，因误服甲胺磷20ml，昏迷3小时入院。立即给予彻底洗胃，同时用阿托品静脉注射，氯磷定静脉滴注，治疗10小时后神志清醒；若立即停用阿托品和氯磷定。当晚突发气促，心悸，出汗，流涎，双肺底有散在湿性啰音，心率70次/分，律齐，无杂音。出现这种情况应首先考虑A.低血糖 管哮喘C.急性左心衰D.ARDSE.甲胺磷中毒反跳 妇女保健重点范围是A.妇科恶性肿瘤的防治B.生殖道感染及性传播疾病的防治C.预产期保健及其疾病的防治D.妇女从青春期到更年期生殖器官与功能的保健及疾病的防治E.青春期、围生期、更年期保健 据《国务院关于加强环境保护重点工作的意见》，关于全面提高环境保护监督管理水平的主要要求，说法正确的是。A.执行流域、区域、行业限批和挂牌督办等督查制度B.对未完成环保目标任务或发生重特大突发环境事件负有责任的地方政府领导进行罚款和处罚，落实整改措施C.对钢铁行业实行二 氮氧化物排放总量控制D.对未经环境保护验收即擅自投产等违法行为，要依法追究管理部门、相关企业和人员的责任 主要药事管理职能是对医疗保险用药品种、给付标准、定点零售药店进行必要的行政管理的部门是A.药品监督管理部门B.发展与改革部门C.劳动与社会保障部门D.工商行政管理部门E.环境保护部门 投资者申购基金成功后，投资者自日起有权赎回该部分的基金份额。A．T+0B．T+IC．T+2D．T+3 压风自救系统的管路规格应按矿井需风量、供风距离、阻力损失等参数计算确定，但主管路直径不小于毫米，采掘工作面管路直径不小于（D）毫米。A.100B.80C.55D.50 组织游离移植后，最易成活的组织是A.脂肪组织B.筋膜组织C.软骨组织D.骨组织E.肌肉组织 男，2个月龄，咳嗽2天，加剧伴阵发性喘憋1天。查体：体温37.6℃，呼吸56次/分，无发绀，两肺闻广泛哮鸣音，心率150次/分，心音中等强度，律齐。血常规：白细胞6.3×109/L，L68%，N32%。胸片示两肺充气过度。主要的治疗是A.抗心力衰竭治疗B.大环内酯类抗生素C.第三代头孢菌素D.丙种 对症治疗 细胞因子生物学检测是A.特异性高B.定量C.定位D.测活性E.半定量 在学习《出师表》"侍中、侍郎郭攸之、费袆、董允等，此皆良实"时，教师讲授了"良""实"形容词活用为名词的用法后，请同学们回忆曾经学过的具有相同用法的语句。下面是学生们的回答，不正确的是。A.无丝竹之乱耳，无案牍之劳形B.温故而知新，可以为师矣C.将军被坚执锐，伐无道，诛暴秦 其如此，或置酒而招之 煤矿企业必须建立、健全各级领导哪些责任制？ 心肌梗死恢复期，有助于预测发生严重心律失常的检查是()A．心向量图B．24小时动态心电图C．超声显像检查D．心室晚电位E．放射性核素检查 男，30岁，饱餐后劳动时，突然腹部剧烈绞痛，阵发性加重，伴呕吐。6h未排气、排便。查体：体温37℃，脉率84次／分，左腹部膨隆，压痛明显，肠鸣音高亢，移动性浊音阴性。最可能的诊断为A.肠梗阻.B.肠道蛔虫病C.急性胰腺炎D.溃疡病穿孔 案例分析题]ExtremeProgramming(XP)isadisciplineofsofiwaredevelopmentwith(1)ofsimplicity,communication,feedbackandcuurage.Successfulsoftwaredevelopmentisateameffort-notjustthedevelopmentteam,butthelargerteamconsistingofcustomer,managementanddevelopers. XPisasimpleprocessthatbringsthesepeopletogetherandhelpsthemtosuccesstogether.XPisaimedprimarilyatobject-orientedprojectsusingteamsofadozenorfewerprogrammersinonelocation.TheprinciplesofXPapplytoany(2)projectthatneedstodeliverqualitysoftwarerapidlyandflexibly.AnXPprojectneedsa customertoprovideguidance.Customers,programmers,managers,areallworking(4)tobuildthesystemthat'sneeded,Customers-thosewhohavesoftwarethatneedstobedeveloped-willlearnsimple,effectivewayto(5)whattheyneed,tobesurethattheyaregettingwhattheyneed,andtosteertheprojecttosucce （3）处应选择A.part-timeB.casualC.seldomD.full-time 下列不属于井下环境保护方面的是。A.矿井通风工作B.个人劳动卫生保护C.定时、定点洒水D.井下清洁工作 石油库、加油站防雷接地电阻值不应大于欧姆。A、100B、50C、30D、10 下列选项中关于施工项目管理的特点说法错误的是。A.对象是施工项目B.主体是建设单位C.内容是按阶段变化的D.要求强化组织协调工作 刮痧时用力要均匀，应，以顾客承受力为度。A、由重到轻B、由大到小C、由轻到重D、由快到慢