初一数学角与角平分线练习题

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七年级数学下册角平分线的性质习题

5.3简单的轴对称图形（3）（角）（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PD=6，则点P 到边OB 的距离为( )A ．6B ．5C ．4D ．32．如图，40AOB ∠=︒，OM 平分AOB ∠，MA OA ⊥于点A ，MB OB ⊥于点B ，则MAB ∠的度数为（）A ．50︒B ．40︒C ．30︒D ．20︒3．如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C 、D ，则下列结论错误的是( )A ．PC=PDB ．∠CPD=∠DOPC ．∠CPO=∠DPOD ．OC=OD4．如图，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若5cm BC =，3cm BD =，则点D 到AB 的距离为（）A ．5cmB ．3cmC ．2cmD ．不能确定第1题图第2题图第3题图第4题图 5．如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为点A 、B ；下列结论中不一定成立的是( ) A ．PA=PB B ．PO 平分∠APB C ．OA=OB D ．AB 垂直平分OP6．如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D ，若2CD =，6AB =，则ABD △的面积是（）A ．12B ．6C ．24D ．47．如图所示，点P 在AOB ∠的角平分线上，C ，F 在OA 上，D ，E 在OB 上，且CD 过点P 且与OA 垂直，EF 过点P 与OB 垂直，则下列说法正确的是（）A ．PC PD =B ．PC PE = C ．PC PF =D ．PE PF =8．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直.若AD=8，则点P 到BC 的距离是( )A.8B.6C.4D.2第5题图第6题图第7题图第8题图M BAO9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，DE AB ⊥于点E ，则下列结论中，错误的是（）A ．BD DE BC +=B ．DE 平分ADB ∠C ．DA 平分EDC ∠D ．DE AC AD +> 10．如图所示，直线表示相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处第9题图第10题图二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．如图，点P 在∠AOB 的平分线上，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，若PE=3，则PF=______；12．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC=______；13．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 两点的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF ；其中正确的有______个；第11题图第12题图第13题图14．如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=50，DE=14，则△BCE 的面积等于； 15．如图，BD 是△ABC 的角平分线，△ABC 的面积为60，AB=15，BC=9，则△ABD 的面积是______；第14题图第15题ECBADl 2l 1l 3F EB AP OFE CBA DF E CBA DADB A EDC B三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤） 16．如图所示，M 、N 是一个总厂的两个分厂，现要在道路AB 、AC 的交叉区域内建一个仓库P ，使P 到两条道路的距离相等，且使PM PN =．请画出点P 的位置，并说明理由；17．如图，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于点M ，PN ⊥CD 于点N ；试说明：PM=PN ；18．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，点E 恰为AB 的中点，若1DE =，2BD =，求AC 的长；EC BADBCM ．N ．19．如图，AC BC ⊥，BM 平分ABC ∠且交AC 于点M ，N 是AB 的中点，且BN BC =；试说明：（1）MN 平分AMB ∠；（2）A CBM ∠=∠；20．如图，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB+BC=2BD ；试说明：∠BAP+∠BCP=180°；MNCBA5.3简单的轴对称图形（3）参考答案：1~10 ADBCD BBCBD 11．3；12．3；13．4；14．350；15．752； 16．作BAC ∠的平分线和MN 的垂直平分线，其交点即为所求点P ．图略． 17．∵ BD 为∠ABC 的平分线 ∴ ∠ABD=∠CBD又∵ BA=BC ，BD=BD ∴△ABD ≌△CBD(SAS) ∴∠ADB=∠CDB ∵点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ∴PM=PN ；18．∵BD 平分ABC ∠，DC BC ⊥，DE AB ⊥，∴1DC DE == ∵DE AB ⊥，点E 为AB 的中点， ∴2AD DB ==． ∴123AC AD DC =+=+=．19．（1）∵NB CB =，NBM CBM ∠=∠，MB MB =，∴NBM △≌CBM △，∴90MNB C ∠=∠=︒．又∵N 是AB 中点，∴MN 垂直平分AB ，∴AM MB =，∴MN 平分AMB ∠．（2）由（1）知AM MB =， ∴A ABM CBM ∠=∠=∠；20．(方法一) 过点P 作PE ⊥BA 于点E ，如解答图①，∵PD ⊥BC ，∠1=∠2 ∴PE=PD ∵∠BEP=∠BDP=90°，BP=BP ，∠1=∠2 ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD （AAS ） ∴ BE=BD∵AB+BC=2BD ，BC=CD+BD ，AB=BE -AE ∴AE=CD ∴PEA ≌△PDC(SAS) ∴∠PAE=∠PCD. ∵∠BAP+∠EAP=180° ∴∠BAP+∠BCP=180°.(方法二) 在BC 上截取BF ，使BF=BA ，连接PF ，如解答图 ②，∵AB+BC=2BD ∴BC -BD=BD -BF ∴CD=FD. 又∵∠PDC=∠PDF=90°，PD=PD ∴△PDC ≌△PDF(SAS) ∴∠PCD=∠PFD. 在△BAP 和△BFP 中，∵ ∴△BAP ≌△BFP(SAS)∴∠BAP=∠BFP ∵∠BFP+∠PFC=180° ∴∠BAP+∠PCB=180°解答图 ① 解答图 ② 解答图 ③ (方法三) 在BC 上取点E ，使DE=BD ，连接PE ，如解答图③ ，∵PD ⊥BD ∴∠BDP=∠EDP=90° 又∵PD=PD ∴△BDP ≌△EDP(SAS). ∴BP=EP ，∠2=∠PED又∵∠1=∠2 ∴∠PEC=∠1.∵AB+BC=2BD ，DE=BD ∴AB=CE.又∵BP=EP ∴△ABP ≌△CEP(SAS) ∴∠BAP=∠ECP. 又∵∠BCP+∠ECP=180° ∴∠BAP+∠BCP=180°。

初一数学三角形的高中线与角平分线试题

初一数学三角形的高中线与角平分线试题1.如图所示，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，若∠B=50°，∠C=70°，求∠DAC的度数.【答案】10°【解析】本题主要考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质.解：∵∠B=50°，∠C=70°，∴∠BAC=60°，又∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD=.又∵AE是△ABC的高∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=40°，∴∠DAC=∠BAE-∠BAD=10°2.如图，四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，且∠ABC=80º，∠BCD=70º，则∠AED= .【答案】75º【解析】本题考查的是角平分线的性质由∠ABC、∠BCD根据四边形的内角和即可求得∠BAD∠ADC的度数，再由AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，即可求得∠BAE∠ADE的度数，最后根据三角形的内角和即可求得结果。

∠ABC=80º，∠BCD=70º，∠BAD∠ADC∠ABC∠BCD，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠BAE∠ADE，∠AED∠BAE∠ADE3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】C【解析】本题考查的是三角形的高的概念作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到．一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形．故选C．4.如图，在∆ABC中，AM是中线，AD是角平分线，AH是高，则有下列结论：（1）BM＝＝ ;（2）∠CAD＝∠＝______________;（3）∠＝∠＝90°.【答案】（1）CM，BC；（2）∠BAD，∠BAC；（3）∠AHB，∠AHC【解析】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高（1）根据三角形的中线的定义知：中线平分该中线所在的线段；（2）根据三角形角平分线的定义知：角平分线平分该角；（3）根据三角形的高的定义知，高与垂足所在的直线垂直．（1）∵AM是△ABC的中线，；（2）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD∠BAD∠BAC；（3）∵AH是△ABC的高，∴AH⊥BC，∴∠AHB=∠AHC=90°；故答案是：（1）CM，BC；（2）∠BAD，∠BAC；（3）∠AHB，∠AHC。

七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题

七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且1CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是______．2．如图，点P 在AOB ∠内，因为PM OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别是M 、N ，PM PN =，所以OP 平分AOB ∠，理由是______．3．如图，ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，将ABC 分成三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．4．如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．5．如图，BE、CF都是ABC的角平分线，且110∠=︒，则ABDC∠=___________．二、单选题6．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOE≅FOE，你认为要添加的那个条件是（）A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE<，将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点D在BC边上，DE交7．如图，在ABC∆中，AB AC∠=∠，其中所有正确结论的AC于点F．下列结论：∠AFE DFC△△；∠DA平分BDE∠；∠CDF BAD序号是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠∠8．如图，三条公路两两相交，现计划在∠ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是∠ABC（）的交点．A．三条角平分线B．三条中线C ．三条高的交点D ．三条垂直平分线9．如图，Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，则CD 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题10．已知40AOB ∠=︒．(1)用直尺和圆规作出AOB ∠的平分线OD （不写作法，但保留作图痕迹，写出结论）；(2)已知AOB ∠与BOC ∠互为补角，画出符合条件的所有可能的图形，并求出COD ∠的度数．11．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，一段圆弧经过网格的格点A 、B 、C ．(1)请完成如下操作：∠以点O 为原点，竖直和水平方向所在的直线为坐标轴，小正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系； ∠用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置，不写作法，保留作图痕迹，并连接AD 、CD ．(2)请在（1）的基础上，解答下列问题：∠写出点的坐标：C ______、D ______；∠D 的半径为______（结果保留根号）；∠若扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积为______（结果保留π）；∠若点E 的坐标为()7,0，试判断直线EC 与D 的位置关系，并说明理由．12．如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．13．如图，∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A －C －B －A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)若点P 在AC 上，且满足P A ＝PB 时，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在∠BAC 的平分线上，求t 的值．14．如图，在∠ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD ＝CD ，DE ∠AB ，DF ∠AC ，垂足分别为E 、F ，求证：AB ＝AC参考答案：1．1【分析】过点C 作CE ∠OB 于点E ，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点C 作CE ∠OB 于点E ，∠点C 在∠AOB 的平分线上，CD ∠OA 于点D ，且CD ＝1，∠CE ＝CD ＝1，即CE 长度的最小值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果．【详解】解：∠PM∠OA ，PN∠OB ，PM=PN∠OP 平分∠AOB （在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．【点睛】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键．3．2：3：4【分析】过点O 分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．【详解】解：过点O 分别向BC 、BA 、AC 作垂线段交于D 、E 、F 三点．∠CO 、BO 、AO 分别平分、、ACB CBA BAC ∠∠∠∠OD OE OF == ∠12ABO SAB OE =，12△BCO S BC OD =，12△CAO S AC OF = ∠::::10:15:202:3:4ABO BCO CAO S S S AB BC AC ===故答案为：2：3：4【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．4．15【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，即点O 到BC 、AB 的距离相等，∠ OB 是ABC ∠的角平分线，∠ 30ABC ∠=︒， ∠1152ABO ABC ∠=∠=︒．故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．5．40°##40度【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：∠BE 、CF 都是∠ABC 的角平分线，∠∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ），＝180°−2（∠DBC ＋∠BCD ）∠∠BDC ＝180°−（∠DBC ＋∠BCD ），∠∠A ＝180°−2（180°−∠BDC ）∠∠BDC ＝90°＋12∠A ，∠∠A ＝2（110°−90°）＝40°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．6．D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∠OB 平分∠AOC∠∠AOB =∠BOC当∠DOE ∠∠FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在∠DOE 和∠FOE 中，DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∠∠DOE ∠∠FOE （AAS ）∠D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．7．D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∠将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，∠ADE ABC ≌，E C ∴∠=∠，AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC △△，故∠正确；ADE ABC ≌，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，ADE ABC ∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠，∴DA 平分BDE ∠，故∠正确；ADE ABC ≌，BAC DAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AFE DFC△△，CAE CDF∴∠=∠，CDF BAD∠=∠∴，故∠正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．A【分析】根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．【详解】解：∠探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，∠探照灯位置是∠ABC的三条角平分线上，故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．9．B【分析】过点D作DE∠AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用∠ABD 的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE∠AB于E，∠∠C＝90°，AD平分∠BAC，∠DE＝CD，∠S△ABD＝12AB•DE＝12×10•DE＝15，解得：DE＝3，∠CD＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．10．(1)见解析(2)图见解析，60°或120°【分析】（1 ）根据角平分线的定义作出图形即可；（2）分两种情形，分别画出图形求解即可．（1）解：如图，射线OD即为所求．（2）解：如图，∠BOC与∠AOB、∠BOC'与∠AOB都互为补角，∠∠AOB=40°，且OD平分∠AOB，∠∠BOC=140°，∠BOC'=140°，∠AOD=∠BOD=12∠AOB=20°，当射线OA在∠BOC的外侧时，∠COD=∠BOC+∠BOD=140°+20°=160°；当射线OA在∠BOC'内部时，∠C'OD=∠BOC'-∠BOD=140°-20°=120°．综上，∠COD的度数为60°或120°．【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，补角的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．(1)答案见详解(2)∠62（，）；20（，）；∠∠54π；∠相切，理由见详解【分析】（1）∠根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ．（2）∠利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；∠在Rt OAD 中，利用勾股定理即可求得半径长；∠理由直角三角形全等可证得∠ADC =90°，则可求得AC 的长度，AC 的长就是圆锥的底面圆的周长，在利用圆的周长公式即可求得答案；∠利用勾股定理逆定理证明DCE 为直角三角形即可证得DC CE ⊥，从而即可得出结论．（1）∠如图，建立平面直角坐标系；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ，如图所示：（2）∠根据平面直角坐标系可得C （6，2）；D （2，0）；故答案为：C （6，2）；D （2，0）；∠在Rt AOD △中，90AOD ∠=︒,4AO =，2OD =，AD =故答案为：∠由∠得AD =在Rt DCF △中，90DFC ∠=︒，4DF =，2CF =，DC ∴在Rt AOD △和Rt DFC 中，AD DC OA DF=⎧⎨=⎩， ()Rt AOD Rt DFC HL ≅，DAO CDF ∴∠=∠，90DAO ADO ∠+∠=︒，90CDF ADO ∴∠+∠=︒，18090ADC ADO CDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，AC ∴==，由2r π=，解得r =2254S r πππ∴===⎝⎭， ∴该圆锥的底面积为54π，故答案为：54π． ∠直线EC 与D 相切，由图可知，在Rt CEF 中，90CFE ∠=︒，1EF =，2CF =，22222125CE EF CF ∴=+=+=，又由∠得DC =2220DC ==，2220525DC CE +=+=，22525DE ==，222DC CE DE ∴+=，∴DCE 为直角三角形，90DCE ∠=︒，DC CE ∴⊥，∴直线EC 与D 相切．【点睛】本题考查了不共线的三点确定圆心的方法、直线与圆相切的判定、根据平面直角坐标系写出点的坐标、勾股定理和圆锥的侧面展开图的弧长即为圆锥的底面圆的周长，垂径定理，圆锥的计算，正确求出弧长是难点．12．见解析【分析】根据角平分线的性质得PD PE =，再用HL 证明OPD OPE ≌．【详解】证明：∠AOC BOC ∠=∠，∠OC 为AOB ∠的角平分线，又∠点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，∠PD PE =，90PDO PEO ∠=∠=︒，又∠PO PO =（公共边），∠()HL OPD OPE ≌．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键． 13．(1)254 (2)323【分析】（1）连接PB ，在Rt ∠ABC 中，根据勾股定理得AC =6，由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得222PC BC PB +=，进行计算即可得；（2）由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°得PC ＝PE ，根据HL 得Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP ，即可得AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得222PE BE PB +=，进行计算即可得．（1）解：如图所示，连接PB ，∠在Rt ∠ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠8AC =由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得：222PC BC PB +=222(8)6t t -+= 解得254t =，即此时t 的值为254．（2）解：由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，如图所示，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°，∠ PC ＝PE ，在Rt ∠ACP 与Rt ∠AEP 中，PC PE AP AP =⎧⎨=⎩∠Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP （HL ），∠AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得，222PE BE PB +=，222(8)2(14)t t -+=- 解得：323t =， ∠当点P 在∠BAC 的平分线上时，t 的值为323．【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握这些知识点．14．证明见解析【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt∠BDE≅Rt∠CDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结论．【详解】证明：∠AD是∠ABC的角平分线又∠DE∠AB于E，DF∠AC于F∠DE=DF，∠BED=∠CFD=90°又∠BD=CD∠Rt∠BED∠Rt∠CFD（HL）∠∠B=∠C∠AB=AC．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．。

七年级上角平分线练习题及答案

角平分线相关练习题如图，^AOB=6Q°, CD 丄04 于 D , CE1.OB 于 E,且 CD=CE> 则 ZDOC= ___________A3、如图，已知OE. OD 分别平分厶商和ZBOC,若厶OEW ,Z^OZ>=70% 求ZBOC 的度数.3. 如图9F 平分ZAOB,PC 丄O £PD 丄O 乩垂足分别是6D.下列结论中错误的是（4、如图 4,在△ABE 中 ZA=90° , 若AD=m, BCn,求△BDC 的面积.5、（2007浙江义乌课改）如图，点F 是£BAC 的平分线上一点，FE 丄理C 于点E.已知FE3 则点戸到川办的距离是（A. 3B. 4C. 5D. 6A. PC=PDC. ZCPO= ZDPO B. OC = OD D ・ OC=PC区（7 分）如图，ZAOB=ZCOD=903J OC平分ZAOB, ZB0D = 3ZD0E 试求ZCOE的度数.B了如图，已知ZAOB = 90% ZBOC=60°, OD是ZAOC的平分线，求ZBOD的度数•鼠如图，已知/DOE=70°, ZDOB=40\OD平分ZA OB 9OE 平分Z" OG 求Z4 OCA答案：1、/DOC=30 °解析：由角平分线定义：到角两边距离相等的点在角平分线上，得知，点C在角平分线上，即OC为/AOB 的角平分线，因为/ AOB=60 °，所以zDOC= ZEOC=30 °2、/BOC=5O °解析：由题知，/ AOE= ZBOE=? Z AOB=45。

，启OD= ZEOD-Z BOE=70。

-45 °25。

，启OC=2 ZBOD=50 °3、D解析：由角平分线定义和性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故A、B、C均正确。

4、S^BDC=? mn解析：通过D点向BC边作垂线段，交BC于点E,贝V DE为ABDC的高线，由于DA丄AB且DE丄BC, BD是角平分线，故得知线段AD=DE=m , S4BDC=? BCXDE=? mn5、A解析：由角平分线性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故P到AB的距离=PE=36、"OE=75 °解析：Z AOC= ZBOC= ZBOD=? X 90 ° =45 °，因为Z BOD=3 ZDOE，所以Z BOE=? ZBOD= ? X45 °=30 ° , ZCOE= ZBOC+ ZBOE=45 °+30 °757、/BOD=75 °解析：Z COD=Z AOD=?Z AOC=?(Z AOB-Z BOC)=?(90°-60°)=15°，ZBOD= ZBOC+ ZCOD=60 °+15 °758、/AOC=14O °解析：Z AOC= Z AOB+ Z BOC=2 Z BOD+2 Z BOE=2 Z BOD+2 (Z DOE-Z BOD)=2 Z DOE=2 X70 °=140 °。

角的平分线问题专项训练(30道)

角的平分线问题专项训练（30道）【题型1 单角平分线型】1．如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．2．如图，已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝17°，求∠AOC 的度数．∠EOC，若∠DOE＝3．如图，OB，OE是∠AOC内的两条射线，OD平分∠AOB，∠BOE=1255°，∠AOC＝140°，求∠EOC的度数．4．如图，O是直线AB上的一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，且∠BOC＝28°．（1）求∠DOE和∠BOF的度数；（2）求∠COE+∠DOE的度数．5．如图，点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；∠DOB，求∠AOC的度数．（2）如图2，若∠COE=136．如图，已知∠AOB﹣∠COD＝60°，OB是∠DOE的平分线．设∠AOC的度数为x，（1）用含x的式子表示∠BOD的度数；（2）若∠DOE+∠AOC＝97°16'，求∠AOC的度数．7．如图，点A、O、C在一直线上，OE是∠BOC的平分线，∠EOF＝90°，∠1比∠2大75°．（1）求∠2的度数．（2）求∠COF的度数．8．如图，∠AOB＝∠DOC＝90°，OE平分∠AOD，反向延长射线OE至F．（1）∠AOD和∠BOC；（填“互余”“相等”“互补”或“没有特殊关系”）（2）OF是∠BOC的平分线吗？为什么？（3）反向延长射线OA至G，∠COG与∠FOG的度数比为2：5，求∠AOD的度数．9．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON如图所示放置，且直角顶点在O处，在∠MON内部作射线OC，且OC恰好平分∠MOB．（1）若∠CON＝10°，求∠AOM的度数；（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数；（3）试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．10．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON 的度数；（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．【题型2 双角平分线（不交叉型）】11．如图，∠AOC：∠COD：∠DOB＝3：4：5，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON ＝96°，求∠AOB的度数．12．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若∠BOC＝70°，求∠COD和∠EOC的度数；（2）写出∠COD与∠EOC具有的数量关系并说明理由．13．如图，已知∠AOD＝156°，∠DON＝48°，射线OB，OM，ON在∠AOD内部，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．（1）求∠MON的度数；（2）若射线OC在∠AOD内部，∠NOC＝23°，求∠COM的度数．14．已知：OC，OD是∠AOB内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）若∠AOB＝120°，∠COD＝30°，如图∠，求∠EOF的度数；（2）若∠AOB＝α，∠COD＝β，如图∠，如图∠，请直接用含α、β的式子表示∠EOF的大小；图∠结论：；图∠结论：．15．已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．（1）如图1，OC是∠AOB外部的一条射线．∠若∠AOC＝32°，∠BOC＝126°，则∠DOE＝°；∠若∠BOC＝164°，求∠DOE的度数；（2）如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝n°，用n的代数式表示∠DOE的度数．16．如图，已知∠AOB内部有三条射线，若OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．（1）若∠AOB＝100°，求∠EOC的度数；（2）若∠AOB＝70°，如果将题中“平分”的条件改为∠EOA=14∠AOD，∠DOC=23∠DOB且∠DOE：∠DOC＝3：2，求∠EOC的度数．17．已知：OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．（1）如图1，若∠AOD＝156°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠BOD＝96°，则∠MON 的度数为．（2）如图2，若∠AOD＝m°，∠NOC＝23°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠COM 的度数（用m的式子表示）；（3）如图3，若∠AOD＝156°，∠BOC＝22°，∠AOB＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值．18．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG 对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．19．将一副三角尺OAB与OCD进行如下按摆放，其中两三角尺的一顶点重合于点O，∠AOB ＝60°，∠COD＝45°，OM平分∠AOD，ON平分∠COB．（1）当点D在OB边上时（如图1），求∠MON的度数；（2）当点D不在OB边上时（如图2或3），其中∠BOD＝a，求∠MON的度数．20．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝60°）（1）如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？（2）如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【题型3 双角平分线（交叉型）】21．如图，O为直线AB上的一点，且∠COD为直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC＝54°，求∠COE和∠DOF的度数．22．如图，OC在∠AOB外部，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．（1）若∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，求∠MON的度数．（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，其它条件不变，请直接写出∠MON的值（用含α，β式子表示）．23．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数．（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝°．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？请说明理由．24．如图，∠AOC＝5∠BOC，OD平分∠AOB，OE平分∠AOD，且∠COE＝70°．（1）求∠AOB的度数；（2）若∠BOD+∠BOF＝90°，求∠BOF的度数．25．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC在∠AOB的外部，且OF平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）当∠BOC＝60°时，求∠EOF的度数；（2）当∠BOE＝20°，求∠BOC的度数．26．已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE．（1）如图1，若OC平分∠AOD，且∠BOE＝3∠DOE，∠COE＝70°，求∠BOE的度数．（2）如图2，若∠BOD：∠COD＝3：2，过点O引射线OF平分∠COD，OE是∠BOC的平分线，且∠DOE＝12°，求∠EOF的度数．27．已知：如图∠所示，OC是∠AOB内部一条射线，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，则∠EOF的度数是．（2）若∠AOC＝α，∠BOC＝β，求∠EOF的度数，并根据计算结果直接写出∠EOF与∠AOB 之间的数量关系．（写出计算过程）（3）如图∠所示，射线OC在∠AOB的外部，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．试着探究∠EOF与∠AOB之间的数量关系．（写出详细推理过程）28．如图，已知O为直线AD上一点，OB是∠AOC内部的一条射线且满足∠AOB与∠AOC 互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线．（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；（2）∠AOB＝30°，试求∠MON的度数；（3）若∠MON＝α，请直接写出∠AOC的度数．（用含α的式子表示）29．如图，已知∠AOB＝58°，∠AOC在∠AOB外部，ON、OM分别平分∠AOC、∠BOC．（1）若∠AOC＝32°，则∠MON＝；（2）若∠AOC＝n°（0＜n＜90°），ON、OM依旧分别平分∠AOC、∠BOC，∠MON的大小是否改变？；（3）试说明（2）的结论的理由．30．已知∠AOD＝160°，OB为∠AOD内部的一条射线（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠MON的度数为；（2）如图2，∠BOC在∠AOD内部（∠AOC＞∠AOB），且∠BOC＝20°，OF平分∠AOC，OG平分∠BOD（射线OG在射线OC左侧），求∠FOG的度数；（3）在（2）的条件下，∠BOC绕点O运动过程中，若∠BOF＝8°，求∠GOC的度数．。

初一数学角与角平分线含答案

初一数学角与角平分线中考要求例题精讲一、角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：（1）角的组成部分为：两条边和一个顶点；（2）顶点是这两条边的交点；（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．∠AOB图1.1注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．∠A图1.2A注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2.1．∠1图2.11③用希腊字母来表示角，如图2.2．∠α图2.2α三、单位换算1度＝60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")四、角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''．角度之间的关系1周角=360︒1平角＝180︒1直角＝90︒1周角＝2平角1平角＝2直角角的分类：锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．五、两角的和、差、倍、分（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？六、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B、两点；（2）分别以A、B两点为圆心，以大于12AB长为半径画弧，画弧交于C点；（3）过C 点作射线OC 。

七年级数学上册角平分线几何综合题汇总

七年级数学上册角平分线几何综合题汇总角平分线是几何学中的一个重要概念，涉及到角的计算。

在研究过线段射线的基础上，学生需要掌握方法和技巧，加强分析解题的能力并规范书写。

题1：直线AB、CD是经同一点O的不同直线，OE是∠BOD的角平分线，OF是∠COE的角平分线，求∠COF的度数。

已知∠1=100°，解题过程如下：∵∠1=100°，所以∠BOD=180°-100°=80°。

因为OE是∠BOD的角平分线，所以∠DOE=1/2×∠BOD=40°。

同理，∠COE=180°-40°=140°，OF 是∠COE的角平分线，所以∠COF=1/2×∠COE=70°。

题2：已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°，求∠COD的度数。

解题过程如下：∵∠BOC=2∠AOC，∠AOC=40°，所以∠BOC=2×40°=80°。

因此，∠AOB=∠BOC+∠AOC=80°+40°=120°。

由于OD平分∠AOB，所以∠AOD=1/2×∠AOB=1/2×120°=60°。

最后，∠COD=∠AOD-∠AOC=60°-40°=20°。

题3：已知∠AOD=150°，∠AOB=40°，∠COD=70°，OM、ON分别是∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数。

解题过程如下：∵∠AOB=40°，∠COD=70°，所以∠AOM=1/2×∠AOB=1/2×40°=20°，∠DON=1/2×∠COD=1/2×70°=35°。

角平分线练习题

角平分线练习一、选择题1。

已知:如图1,B E,C F是△ABC的角平分线,B E，CF相交于D,若∠A=50°，则∠BDC=（）A。

70° B。

120° C.115° D。

130°2。

已知：如图2,△ABC中,AB = AC,BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（ )A。

10° B. 20°C。

30° D. 40°3.三角形中，到三边距离相等的点是（）A.三条高线交点B.三条中线交点C。

三条角平分线的交点 D。

三边的垂直平分线的交点4.已知P点在∠AOB的平分线上,∠AOB = 60°，OP = 10 cm,那么P点到边OA、OB的距离分别是（）A。

5cm 、cm B. 4cm、5cmC. 5cm、5cm D。

5cm、10cm5。

下列四个命题的逆命题是假命题的是（)A。

直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等C。

全等三角形的对应角相等 D.相等的两个角是对顶角6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC,OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于( ）cmA. 2、2、2 B。

3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题1。

命题:“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是 ,它是命题。

2.角平分线可以看作是的点的集合。

3。

已知：△ABC中,∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是cm。

4.命题“如果a = b，那么| a | = | b |"的命题是 ,它是命题。

三、简答题1。

已知:如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE,∠1=∠2，AD = AC求证:DC∥AE2。

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所以，射线OC 就是所求作的。

OCBA七、余角、补角（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.八、方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围0900≤≤α.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.九、钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度；分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。

秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

一、角的概念及表示【例1】角是由有的两条射线组成的图形，两条射线的是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线．【例2】下列语句正确的是（）①角的大小与边的长短无关。

②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个。

④两条射线组成的图形叫做角A ①、②B ①、③C ①、④D ②、③【例3】如图，角的顶点是，边是，用三种方法表示该角分别为．αBAO【巩固】在右图中，角的表示方法正确的是（）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠ABCDEO【巩固】如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?D CEBA【例4】下图中，以A 为顶点的角是_________。

有一边与射线FD 在同一条直线上的角有__________个。

HGFEDCB A【例5】判断（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（）用2倍的放大镜看30︒的角，这个角就变成了60︒．（）由两条射线组成的图形叫做角．（）延长一个角的两边．（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．二、角的分类【例6】下列语句正确的是（）A 、平角就是一条直线B 、周角就是一条射线C 、小于平角的角是钝角D 、一周角等于四个直角【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个【例8】如图，∠AOB 是平角，则图中小于平角的角共有（）A 、4个B 、7个C 、9个D 、10个【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）A 、10个B 、15个C 、20个D 、25个【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（）个，钝角至少有（）个．A 、4，3B 、3，2C 、6，3D 、4，2三、角度的换算及运算【例11】（1）32.43__________'''︒=︒（2）654312_____'''︒=︒【巩固】（1）51492421________''︒+︒=；（2）39412445__________''︒-︒=；（3）2313423_________'''︒⨯=；（4）12134________'︒÷=．【例12】（1）2020'4______︒⨯=。

（2）4437'3______︒÷=【巩固】（1）77423445______''︒+︒=；（2）108185623_______''︒-︒=；（3） 180(34542133)_______''︒-︒+︒=；（4）23295837______'''︒+︒=；（5）513932532______''''︒-︒=；（6） 135********______''︒⨯+︒÷= （7）57.32_________'''︒=︒；（8） 122342_______'''︒=︒【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（）个A ．4个B ．7个C ．11个D ．16个【例14】如右图，AOB 是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB ∠的度数．123ABC DO四、余角和补角【例15】如图，OE AB ⊥于O ，OF OD ⊥，OB 平分DOC ∠，则图中与AOF ∠互余的角有______个；互补的角有_________对；FEDCB AO【巩固】如图，O 是直线AB 上的一点，120AOD ∠=︒，90AOC ∠=︒，OE 平分BOD ∠，则图中彼此互补的角共有______对．ABC DEO【例16】如下图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠ACO【例17】一个角和它的余角的比是5:4，则这个角的补角是【例18】一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．【例19】如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60︒，求这个角的余角度数．【巩固】一个角a与50︒角之和的17等于65︒角的余角，求a．【巩固】已知α的余角是β的补角的13，并且32βα=，试求αβ+的度数．【例20】已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半。

五、角平分线【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．（填“正确”或“错误”）【例22】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（）A、35°B、55°C、70°D、110°【例23】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（）A、40°B、50°C、80°D、100°【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE 的平分线，则∠CBD=（）A、80°B、90°C、100°D、70°【例25】如图，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC 的度数为（）A 、68°B 、112°C 、121°D 、136°【例26】下列说法正确的是（）A 、两点之间直线最短B 、用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C 、将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D 、直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上六、方位角【例27】下面图形中，表示北偏东60︒的是（）60︒A 东西北南 60︒B 西北南 60︒C东西北南60︒D东西北南【巩固】下列说法不正确的是（）A ．OA 方向是北偏东30︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西25︒D ．OD 方向是东南方向O 东25︒75︒45︒30︒D CBA【例28】如图，平面内有两点A B ，（1）分别画出点A 处北偏东70︒的方向和点B 处北偏西40︒的方向．（2）点A 位于B 的什么方向（精确到1︒）BA【例29】如图，A 、B 、C 、D 是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点O 的位置）建立了位置指示图，直线CO DE 相交于O ，90COD ∠=︒，请按要求完成下列问题：①若在图上测得20mm OA =，54mm OB =，36BOC AOE ∠=∠=︒，则可知场馆B 的位置是北偏西36︒，据中心54mm ，可简记为（54mm ，北偏西36︒）．据此方法，场馆A 的位置可简记为（_________，________）． ②可求得BOA ∠=________；③在现有的图形中（不增加新的字母），AOD ∠与_____________是互补的角．东西北七、共定点角的相关计算【例30】如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．ABC D EO 图2F E B【巩固】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作DOE BOD ∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=︒，求EOF ∠．A BCDE FO【例31】如图所示，80AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内部的任意一条射线，若OD 平分BOC ∠，OE 平分AOC ∠，试求DOE ∠的度数．EDC BAO【例32】如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠GCB FCG =∠-∠10=︒，求GCB ∠的度数．GAB C D E 图2F【例33】已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．①若100AOC ∠=︒，40BOC ∠=︒，问：?EOF ∠= ②若AOB n ∠=︒，求EOF ∠的度数并说明理由．OC FE BA【例34】BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分AOC ∠、BOC ∠．（1）90AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（2）AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（3）90AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？C NB MAO【例35】已知：OA 、OB 、OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠.【巩固】已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，求AOC∠的度数.【例36】已知αβ，都是钝角，计算()16αβ+，正确的结果只可能是（）A ．26︒B ．40︒C ．72︒D ．90︒【巩固】α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23︒、24︒、25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．【例37】在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒，10AOD ∠=︒，求AOC ∠的度数.【例38】以AOB∠，BOC∠∠=，且AOC∠均小于180︒，AOC BOC∠的顶点O为端点引射线OC，使得:5:4若30∠的度数.AOB∠=︒，求AOC八、钟表角度问题【例39】从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（）A、30B、60°C、90°D、120°【例40】下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（）A、90°B、105°C、120°D、135°【例41】由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（）A、30°B、45°C、60°D、90°【例42】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60︒的角？分别是几点几分？【例43】钟表在12点钟时三针重合，经过x分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x的值是多少?课后作业1.一个角的补角和它的余角的3倍的和等于周角的1112，求这个角．2.下列图形中，表示南偏西60︒的是（）60︒A东西北南60︒B东西北南60︒C东西北南 60︒D东西北南3.下列说法中，正确的是（）A 、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线B 、两个锐角的和为钝角C 、相等的角互为余角D 、钝角的补角一定是锐角4.一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．5.已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于多少？6.如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠的小．NMAB C DOAD E图1F。