初一数学下册三角形的角平分线和中线
北师版数学七年级下册《4.1 认识三角形》第3课时 三角形的中线、角平分线课件(新版22页)
的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，
则 AB＝__7__cm.
A
提示：将△ABD 与△ADC 的周长
之差转化为边长之差.
B
D
C
例2 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的
中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =___1_2__cm2.
解析：因为 CE 是△ACD 的中线，
D
B
E
C
5. 在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC－AC = 5 cm，
△DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长.
解：因为 CD 是△ABC 的中线，
A
所以 BD＝AD.
D
因为△DBC 的周长为
BC＋BD＋CD＝25 cm，
B
C
所以 BD + CD＝25－BC.
所以△ADC 的周长为 AD＋CD＋AC ＝BD＋CD＋AC
北师版数学七下课件
第四章 三角形
4.1 认识三角形
第3课时 三角形的中线、角平分线
导入新课
情境导入 这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要
平分，该怎么办呢？本节课让我们一起来解决这个 问题吧！
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点
A
与它对边中点的线段，叫做这
个三角形的中线. 如图，若 BE
= EC，则 AE 是 △ABC 的 BC B
A
B
所以∠BAC = 180°－∠B－∠C = 180°－45°－60° = 75°.
所以∠BAE = 37.5°.
因为∠B +∠BAE +∠AEB = 180°， 所以∠AEB = 180°－45°－37.5° = 97.5°.
初中数学《三角形的高、中线和角平分线及三角形的稳定性》知识全解
《三角形的高、中线和角平分线，三角形的稳定性》知识全解 课标要求掌握三角形的高、角平分线、中线的概念，会做三角形的三线，知道三角形的三线的表示方法，理解三角形的稳定性。
知识结构（1）三角形的主要线段的定义：①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． ③三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．（2）三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如上图根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AD 是∆ABC 的角平分线；②AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD =∠DAC =21∠BAC ． 三角形的中线表示法：如上图根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE =EC =21BC ． 三角线的高的表示法：如下图，据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM 是∆ABC 的高；②AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③如果AM是∆ABC中BC边上高，那么AM⊥BC，垂足是E；④如果AM是∆ABC中BC边上的高，那么∠AMB=∠AMC=90︒．（3）三角形的稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．内容解析本节课主要有：动手画三角形的高，在了解三角形的高的基础上学习三角形的中线、角平分线，归纳三角形的三条重要线段的概念，掌握其画法．这是以后学习各种特殊三角形的基础，也是研究其他图形的基础知识．从生活中体验三角形的稳定性．重点难点本节课的重点是：三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线．难点是钝角三角形的高的画法．教法导引引导学生动手画图，从作图中总结发现概念，从而使学生掌握三角形的高、中线与角平分线的画法．联系生活实际，了解三角形的稳定性在生产、生活中的实际应用．学法建议经过动手画图，积极参与交流，增强学生克服困难和战胜困难的自信心．通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，联系稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．。
三角形的角平分线、中线和高课件冀教版七年级数学下册
E
B
D
C
五、当堂检测
3.如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°,
∠C=60°,求∠DAE和∠BOA的度数．
Aபைடு நூலகம்
解：∵∠CAB=50°，∠C=60°，
∴∠ABC=180°-50°-60°=70°， 又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∠DAC=180°-90°-∠C=30°， F
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
1
1
又∵S△ABD= 2 BD×AE ， S△ACD= 2 CD×AE
∴S△ABD=S△ACD
E
三角形的中线将三角形分成 面积相等的两部分.
四、合作探究
探究二 运用三角形的角平分线和高计算角度
问题提出：如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平
分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.
∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°， ∴∠CAE= ∠BAC=41°,
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=50°-41°= 9°.
四、合作探究
练一练
3.如图，在△ABC中，∠ABC=62°，BD是角平分线，CE是高，BD与CE交于点O，
求∠BOC的大小. A
解： ∵ CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝90°, ∵BD是△ABC的角平分线，且∠ABC=62°，
E
O
D
∴∠ABD=∠OBC= ∠ABC=31°，
B
C
∴∠BOC=∠BEC+∠ABD=121°.
五、当堂检测
1.在ΔABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,则ΔADC的
初中数学知识归纳三角形的中线角平分线高线
初中数学知识归纳三角形的中线角平分线高线初中数学知识归纳：三角形的中线、角平分线、高线三角形是初中数学学习中最基础的几何图形之一，它具有丰富的性质和特点。
本文将归纳总结三角形的中线、角平分线和高线的相关性质，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、三角形的中线中线是连接三角形的两个顶点和中点的线段。
三角形的中线有以下特点：1. 任意三角形的三条中线交于一点，这一点称为三角形的重心。
重心所在的位置离三角形的三个顶点距离相等，且重心将中线分成2:1的比例。
2. 三角形的重心到顶点的距离是中线对应中点到顶点距离的2倍，也就是说，如果连接重心和顶点，那么重心到顶点的距离是连接中点和顶点的线段的2倍。
3. 在等边三角形中，三条中线重合，即三条中线交于一点，同时这个点也是三角形的重心。
二、三角形的角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
三角形的角平分线有以下特点：1. 三角形的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心。
内心所在的位置距离三角形的三条边的距离相等，且内心到三边的距离之和等于三角形的周长。
2. 在等腰三角形中，三条角平分线重合，即三条角平分线交于一点，同时这个点也是三角形的内心。
3. 角平分线和对边、邻边有如下关系：角平分线等分对边和邻边上的对应角；对边和邻边上的线段与角平分线比例相等。
三、三角形的高线高线是从一个顶点出发，与对边垂直相交的线段。
三角形的高线有以下特点：1. 任意三角形都有三条高线，它们分别从三个顶点出发，并与对边垂直相交。
2. 等腰三角形的高线同时也是角平分线和中线。
3. 在直角三角形中，高线就是斜边上的中线。
总结：三角形的中线、角平分线和高线都有各自的特点和性质。
通过了解和掌握这些性质，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的问题。
在实际应用中，这些概念和性质也有着广泛的应用，例如在建筑、制图、几何证明等方面都可以看到它们的身影。
通过本文的归纳和总结，我们希望读者能够对三角形的中线、角平分线和高线有更全面的了解，并在实际问题中能够运用到这些知识，提高数学解题的能力。
2024北师大版数学七年级下册4.1.3《认识三角形—三角形的中线和角平分线》教案
2024北师大版数学七年级下册4.1.3《认识三角形—三角形的中线和角平分线》教案一. 教材分析《认识三角形—三角形的中线和角平分线》这一节内容，主要让学生掌握三角形的性质，理解三角形的中线和角平分线的概念，以及它们之间的关系。
为学生后续学习三角形的其他性质和判定定理打下基础。
二. 学情分析学生在六年级时已经学习了图形的性质，对图形的认识有了初步的基础。
但他们对三角形的中线和角平分线的理解可能还停留在直观层面，需要通过实例和几何画图工具，让学生在直观感知的基础上，进一步理解三角形的中线和角平分线的性质。
三. 教学目标1.了解三角形的中线和角平分线的概念。
2.掌握三角形的中线和角平分线的性质。
3.能够运用中线和角平分线解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：三角形的中线和角平分线的概念及性质。
2.难点：三角形的中线和角平分线在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法，让学生在解决问题的过程中，掌握三角形的中线和角平分线的性质。
同时，利用几何画图工具，让学生直观地感知中线和角平分线的性质。
六. 教学准备1.教学课件。
2.几何画图工具。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的三角形，引导学生关注三角形的中线和角平分线。
提问：你们知道这些三角形的中线和角平分线吗？它们有什么作用？2.呈现（10分钟）介绍三角形的中线和角平分线的定义。
通过几何画图工具，展示三角形的中线和角平分线，让学生直观地感知它们的性质。
3.操练（10分钟）让学生利用几何画图工具，自己画出一个任意的三角形，并标出其中线和角平分线。
然后，相互交流并解释其中线和角平分线的性质。
4.巩固（10分钟）出示一些有关三角形中线和角平分线的练习题，让学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行点评，纠正学生在解答过程中可能出现的错误。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：三角形的中线和角平分线在实际问题中的应用。
出示一些实际问题，让学生运用中线和角平分线进行解答。
4.1认识三角形(3)三角形的中线、角平分线++课件+2023-2024学年北师大版数学七年级下册
巩固提能
1.如图,AD是△ABC的角平分线,则( A )
A.∠1= ∠BAC
B.∠1= ∠ABC
C.∠1=∠BAC
D.∠1=∠ABC
2.如图,AE是△ABC的中线,点D是BE上一点.若BD=5,CD=9,则
CE的长为( C )
A.5
B.6
C.7
D.8
3. 如 图 ,AD 是 △ABC 的 中 线 ,AB=5,AC=3,△ABD 的 周 长 和
B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC
D.AD=EC,DC=BE
2.如图,在△ABC中,∠B=67°,∠C=33°,AD是△ABC的角平分
40°
线,则∠CAD的度数为__________.
3.如图,已知△ABC的周长为21cm,AB=6cm,BC边上中线AD=
7cm
5cm,△ABD的周长为15cm,则AC的长为_________.
所以∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-65°=115°.
(2)在其他条件不变的情况下,若∠A=n°,则∠BOC的度数为多少
(用含n的式子表示)?
解:因为∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,
所以∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB).
在 △OBC 中 , ∠ BOC=180°-( ∠ OBC+ ∠ OCB)=180°- (∠
=
×45°=22.5°.
因为DE∥BC,所以∠EDC=∠BCD=22.5°.
因为∠B+∠BDC+∠BCD=180°,
所以∠BDC=180°-70°-22.5°=87.5°.
七年级数学三角形的角平分线和中线
D
C
例如：任意画一个三角形△BAC，用刻度 尺画出BC的中点在D，连结AD（如图）
在三角形中，连结一个顶点与它的对边 中点的线段，叫做这个三角形的中线。 例如：D为BC边上的中点，则AD 就是△ABC中BC边上的中线。
A
∵AD就是△ABC中BC边上的中线。
∴BD＝CD
B D C
（1）三角形的中线是一条线段； （2）三角形的中线的一端平分这条边。
A
B E F = （1）BE___EC 1 = ―∠BAC （2）∠CAF___ 2 = ∠C+∠FAB （3）∠AFB___ （4）∠AEC___ ＞ ∠B
C
如图，AD是△BAC的角平分线。已知 ∠B＝48°，∠C＝63°，求下列各角的度数： （1）∠BAD；（2）∠ADB 解：（1）∵AD是△BAC的角平分线
A
画∠ＢＡＣ的平分线 交对边ＢＣ于Ｄ
B
D
C
∠BAD 和∠CAD 有什么关系？ ∠BAD =∠CAD
在三角形中，一个内角的角平分线与 它的对边相交，这个角的顶点与交点 之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图，∠BAC的平分线交BC 于点D，线段AD就是 ΔABC的一条角平分线。 B A
D
C
例如：∠BAC的平分线交BC于点D 线段AD就是△BAC的一条角平分线 A
2cm。你能求出AB的长吗？
A
A
B
D
C
B
D
C
AB > AC
AB < AC
例题： △ABC中,∠ABC=80°∠ACB=40°,BO、 CO平分∠ABC、∠ACB，求∠BOC的度 数.
A O B C
1. 什么是三角形的角平分线？
中线与角平分线的关系
中线与角平分线的关系
中线是一边中点和对应顶点的连线。
角平分线是将一角平分并与对边相交的线段。
只有为等腰三角形时或者等边三角形时，两者顶角平分线才与对边中线重合。
三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。
由定义可知，三角形的中线是一条线段。
三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
“中心”与“重心”很容易弄混淆，“中心”只存在于正三角形，也就是等边三角形当中。
在等边三角形中，其内心，外心，重心，垂心都在一个点上，于是称之为中心。
内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。
外心：三角形三条边的中垂线的交点叫作三角形的外心，即外接圆圆心。
重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。
垂心：三角形三条垂线的交点叫作三角形的垂心。
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A O
同理：∴∠OCB=
1 ∴∠OBC= ∠ABC=40° 2 1
2
∠ACB=20°
B
C
∴∠BOC= 180°－ ∠OBC － ∠OCB
=180° － 40°－20° =120°
A
B
D
C
任意画一个三角形，用刻度尺 画BC的中点D，连接AD。
三角形的中线的定义：
怎样才能得到一个角的平分线?
角平分线
用量角器或折纸的办法
从一个角的顶点引出的一条射线，把这 个角分成两个相等的角。这条射线叫做这个 角的平分线。 B
如图，记作
∠AOC=∠BOC=
1 2
C
∠AOB.
O
A
你能用同样的方法画出或折出任意一个三 角形的一个内角的平分线吗?
任意剪一张三角形纸片ABC，把内角∠ BAC对折
在三角形中，连接一个顶点与它对边 中点的
线段,叫做这个三角形的中线.
如图，D为BC的中点，线段AD就ΔABC的BC边上的中线。 A
∵AD是△ ABC的 中线
1 ∴BD = CD = BC 2
B
D
C
特点：（1）三角形的中线是一条线段； 一个三角形有几条中线 ?有什么特点？
（2( ）三角形的中线的一端平分这条边。 三条)
A
“＞”、“＜”或“=”号填空： = （1）BE___EC
1 =― （2）∠CAF___ 2 ∠BAC B E F C
= ∠C+∠FAB （3）∠AFB___
（4）∠AEC___ ＞ ∠B
1、如图，在Δ ABC中，∠ACB=90°， CE是Δ ABC的角平分线，已知 ∠CEB=110°，求∠A和∠B的度数。
一次，使AB与AC重合，得到一条折痕AD。把三角形
纸片展开、铺平。AD一定平分∠ BAC吗？
A
B
D
C
用量角器画∠ＢＡＣ的平
分线交对边ＢＣ于Ｄ
A
C D ∠BAD 和∠CAD 有什么关系？
B
∠BAD =∠CAD
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
C
A
E
B
2、如图，在△ABC中,BE是边AC上的中线.
已知AB=4cm,AC=3cm, BE=5cm,
求△ABE的周长.
A
E
B C
3、已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把△ABC分成
两个小三角形，这两个小三角形的周长的差是
2cm。你能求出AB的长吗？
A
A
B
D
C
B
D
C
AB > AC
AB < AC
(三条)
请画出这个三角形的另外两FAEC
条角平分线,你发现了什么？
B
D
三角形的三条角平分线交于一点．
称之为三角形的内心．
例１、如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知
∠B=4５ , ∠ C=60 ,求下列角的大小. (1) ∠BAE (2) ∠AEB
解：（１）∵ＡE是△ABC的角平分线
0 0
∵ ∠BAC+∠B+∠C=1800 （三角形的内角和定理） ∴∠BAC=1800-∠B-∠C=1800-450-600=750 ∴∠AEB=37.50
如图∠BAC的平分线交BC于点D,线段AD就是
△ABC的一条角平分线.
A
1 ∠BAD =∠CAD = 2∠BAC B C D （1）三角形的角平分线是一条线段； 思考: 三角形的角平分线与角的平分线有什么不同？
∵ AD是 △ ABC的 角平分线
（2）三角形的角平分线仍具有角平分线的基本性质。
一个三角形有几条角平分线？
1 ∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC 2
C E A B
（2）∵∠AEB=∠CAE+∠C （三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和） ∠CAE=∠BAE ∴∠AEB=37.50+600=97.50
试一试：
△ABC中,∠ABC=80°∠ACB=40°,BO、CO分 别平分∠ＡBＣ、∠ＡCＢ，求∠BOC的度数.
请画出这个三角形的另外两条中线， 你发现了什么？
F
A
E
B
D
C
三角形的三条中线交于一点． 称之为三角形的重心．
1、AD是Δ ABC的角平分线（如图），
那么∠BAC= BC=
2
∠BAD；
2、AE是Δ ABC的中线（如图），那么
2
BE。
A
A
B
D
C
B
E
C
3、如图，AF是Δ ABC的角平分线，
AE是BC边上的中线，选择
1. 什么是三角形的角平分线？
2. 什么是三角形的中线？
3. 它们都有什么性质？