乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题6

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题6
1、设x ∈R ,且0<|x －5|＋|x －3|<m , 则m 的取值范围是 。

2、在平面直角坐标系内，点A (a ＋2, b ＋2)与点B (b －4, a －6)关于直线4x ＋3y =11对称，那么a= ，b 。

3、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为______;
4、集合X 中的元素是正整数，且有性质：若X x X x ∈-∈12,则，这样的集合X 共有_____________个。

5、设圆C 的方程为222220x y x y +---=，直线l 的方程为(1)10m x my +--=
(m R ∈)，圆C 被直线l 截得的弦长等于 。

6、不等式2log 12
1+x ＞2
3的解集为__________________. 7、一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为 .
8、已知x 1, x 2是方程x 2－(k －2)x ＋(k 2＋3k ＋5)=0 (k ∈R )的两个实数根，那么x 12＋x 22的最大值为 。

9、数列｛a n ｝满足a 1=1，a n =
21a n －1＋1(n≥2)（1）若b n =a n －2，求证｛b n ｝为等比数列；（2）求｛a n ｝的通项公式．
10、若函数)2sin(sin 3sin )(2πωωω+
⋅+=x x x x f (0ω>)的最小正周期为π． （1）求ω的值；
（2）求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0π上的取值范围．
11、已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）（1）若06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式;（2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.
12、若正数c b a ,,满足
b a
c c a b c b a +-+=+求证4
117-≥+c a b
乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题6参考答案
1、|x －5|＋|x －3|＝|x －5|＋|3－x |，它的最大值为2，故m >2
2、点A (a ＋2, b ＋2)与点B (b －4, a －6)关于直线4x ＋3y =11对称，故点24(
,)22a b a b +-+-在直线4x ＋3y =11上，直线AB 的斜率等于34。

易得a =4, b =2 3、可把正四面体变为正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 2
2,于是球的半径为a 42，324
2a V π= 4、记{{1,11},{2,10},{3,9},{4,8},{5,7},{6}}Y =，故满足条件的集合为63126=-个
5、(1)10m x my +--=过定点（1，1），而（1，1）点在圆222220x y x y +---=的内部，圆的半径为2，圆的圆心为（1，1），所以弦长为4。

6、2log 121+x ＞23等价于log 22x -＞2
3，即x ∈7
2(0,1)(1,2)(4,)+∞ 7、用特值法当n =1时，打开柜门需要的次数为1，当n =2时，打开柜门需要的次数为
23，…；答案12n +；或已知每一位学生打开柜门的概率为n
1，所以打开柜门次数的平均数（即数学期望）为2
111211+=⨯++⨯+⨯n n n n n 8、x 1, x 2是方程x 2－(k －2)x ＋(k 2＋3k ＋5)=0 (k ∈R )的两个实数根，那么
1221222235
(2)4(35)0x x k x x k k k k k +=-⎧⎪=++⎨⎪∆=--++>⎩
，（x 12＋x 22）max =18 9、解析： (1)由a n =21a n －1＋1得a n －2=21 (a n －1－2)，即2
1221=---n n a a ，(n ≥2) ∴｛b n ｝为以－1为首项，公比为
2
1的等比数列 (2)b n =(－1)( 21)n.－1，即a n －2=－(21)n －1, ∴a n =2－(21)n －1 10、解：（Ⅰ
）1cos 2()222x f x x ωω-=
+11sin 2cos 2222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以
2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 11、解：设c bx ax x f ++=2)(则不等式x x f 2)(->即为.0)2(2>+++c x b ax
由其解集为（1，3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯=+=+-<313120a
c a b a 所以⎪⎩⎪⎨⎧=--=<a c a b a 3240 所以a x a ax x f 3)24()(2++-= (a<0)
(1) 06)(=+a x f 即为09)24(2=++-a x a ax 有两个相等的根
036)24(22=-+a a 5
1-=a 或 a=1（舍去） 12、证明：由条件，有c
b a b a
c c a b +++=+，令z a c y c b x b a =+=+=+,,； 则2
,2,2x z y c z y x b y z x a -+=-+=-+=，从而原条件可化为： ,1411++≥++≥-+++=+y
x z y z x z y x z x z y z y x 令,t z y x =+则 14+≥t t ，解得21712171-≤+≥t t 或，故41172122-≥-=-+=+t z z y x c a b。