平面向量复习二导学案
高中数学 第二章 平面向量及运算法则复习导学案 新人教版必修4
【课前预习】阅读教材P74-P113完成下面填空1、向量：（1）概念：既有 又有 的量叫做向量 （2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a（3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a（4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量.（5）相等向量： 的向量叫相等向量；（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量2、向量运算的两个法则：加法法则：（1）平行四边形法则，要点是：统一起点；（2）三角形法则，要点是：首尾相接；减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。
3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=04、向量的线性运算满足：（1）()a λμ=（2）(λμ+)a =（3）()a b λ+=5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1.给出下列命题：①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量；③若a =b, b=c,则a=c ；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若|a |=|b |,则a =b 。
⑥若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线其中正确命题的个数是（ ）D B A A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( ) A.B. C. D.3、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ）A ．+=AB BC CA B ．+=AB AC BCC ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ）A.AB BC CA ++B.OA OC BO CO +++C.AB AC BD CD -+-D.NQ QP MN MP ++-强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实 5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( )A. 0AD =B. 00AB AD ==或C. ABCD 是矩形D. ABCD 是正方形 6、如图所示，OADB 是以向量OA =a ，OB =b 为边的平行四边形，又BM=31BC ，CN=31CD ．试用，表示OM ，ON ，．7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量O A D B C M N（1）如果=1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．变式: 已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB ．求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．强调（笔记）：【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1． 下面的几个命题：共线与则b a ==；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；③若,a b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >；④由于0方向不定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量,,a b +≤+≤其中正确命题的序号是：（ ）A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2．设D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AB →＝－12 a －b ②BE →＝a ＋12 b ③CF →＝－12 a ＋12b ④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.43.设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为（） A ．1 B ．-1 C ．1± D ．0互助小组长签名：。
高中数学 第二章《平面向量》导学案 新人教A版必修4
第二章《平面向量》导学案（复习课）【学习目标】1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）.4.了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）.6.向量的坐标概念和坐标表示法.7.向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）.8.数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2，注意区别“实数与向量的乘法、向量与向量的乘法”.【导入新课】向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支中有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直.新授课阶段例1 已知(3,0),(,5)a b k ==r r ，若a 与b 的夹角为43π，则k 的值为_______.解析：例2 对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+ ｜b ｜. 证明：例3 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c ，i ，j . 解：例4 下面5个命题：①|a ·b |=|a |·|b |②(a ·b )2=a 2·b2③a ⊥(b －c )，则a ·c =b ·c ④a ·b =0，则|a +b |=|a －b |⑤a ·b =0，则a =0或b =0，其中真命题是（ ）A ．①②⑤ B.③④ C.①③ D.②④⑤ 解析：例 5 已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r，（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值． 解：例6 已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值. 解：课堂小结本章主要内容就是向量的概念、向量的线性运算、向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤.作业 见同步练习 拓展提升 一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31--+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①=；②||||=；③||||+=-； ④222||||4||,AC BD AB +=u u u ru u u ru u u r其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=-5．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+D ．||||||+=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（ ）A ．（1，5）或（5，－5）B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为 （ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ） A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．已知||22p =u r ，||3q =r ，,p q u r r 的夹角为4π，如图，若52AB p q =+u u u r u r r ，3AC p q =-u u u r u r r ，D 为BC 的中点，则||AD uuu r为（ ）．A ．215B ．215C ．7D ．18二、填空题12．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 13．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .14．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= . 15．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 .三、解答题16．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥.17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.参考答案 例1解析：如图1，设a OA =，43π=∠AOC ，直线l 的方程为5=y ，设l 与OC 的交点为B ，则OB 即为b ， 显然()5,5-=b ，5-=∴k . 例2证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且 ｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜a ｜+｜b ｜；(2)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a .b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞|b |，则|a +b |=|a |-|b |.同理可证另一种情况也成立.例3解：建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是=－3, =， =-3.所以-3=33+，即=3－33.例4解析：根据向量的运算可得到，只有①③对，故选择答案 C 例 5解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，∵(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r， ∴(3,1)AB =u u u r ，(1,)BC m m =---u u u r，而AB u u u r 与BC uuur 不平行，xy ABOCab图1即31m m -≠--，得12m ≠， ∴实数12m ≠时满足条件． （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥u u u r u u u r，而(3,1)AB =u u u r ，(2,1)AC m m =--u u u r，∴3(2)(1)0m m -+-=，解得74m =． 例6解：(1,)(2,3)(1,3),BC AC AB k k =-=-=--u u u ru u u ru u u rQ0(1,)(1,3)0C RT AC BC AC BC k k ∠∠⇒⊥⇒⋅=⇒⋅--=u u u r u u u r u u u r u u u rQ 为2313130.k k k ±⇒-+-=⇒=拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 ABCBCDACABA11．提示：A 11()(6)22AD AC AB p q =+=-u u u r u u u r u u u r ur r ，∴222211||||(6)361222AD AD p q p p q q ==-=-+u u u r u u u r u r r u r u r r r g2211536(22)12223cos 3242π=⨯-⨯⨯⨯+=． 二、填空题：12． 120° 13． 矩形 14、 1± 15． 2- 三、解答题： 16．证：()()22b a b a b a b a -=+⇒+=+⇒-=+Θ2222220.a ab b a ab b ab ⇒++=-+⇒=r r r r r r r r r r,a b r rQ 又为非零向量,.a b ∴⊥r r17．()121212234,BD CD CB e e e e e e =-=--+=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u rQ若A ，B ，D 三点共线，则与共线，,AB BD λ∴=u u u r u u u r设即121224.e ke e e λλ+=-u r u u r u r u u r 由于12e e u r u u r 与不共线,可得： 11222,4.e e ke e λλ==-u r u ru u r u u r故2,8.k λ==-。
导学案2：2.1.2 向量的加法
必修四第二章平面向量2．1. 2向量的加法使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评．“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评．“巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题．“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣．学习重点：向量加法的定义及几何意义。
学习难点：向量加法的定义及几何意义学习过程一．自学目标向量的有关概念⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法与减法⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足 律和 律．二.合作探讨如何理解向量加法的定义及几何意义巩固练习1．设O 为原点，(3,1),(1,2),,,OA OB OC OB BC OA ==-⊥试求满足OD OA OC +=的OD 的坐标．2．设1e 和2e 是两个单位向量，夹角是60°，试求向量122a e e =+和1232b e e =-+的夹角．3．已知|| 5.6,|| 4.2,AC BC AC ==与AB 的夹角为40°，求AC AB -与CB 的夹角||BC AC -（长度保留四位有效数字，角度精确到′）．个人收获与问题知识：方法：我的问题：答案：巩固练习1.(11,6)OD 坐标为2.θ＝120°．3. ||BC AC =6.453。
苏教版高中数学《平面向量》word复习导学案
课题:平面向量复习班级： 姓名： 学号： 第 学习小组【学习目标】通过本章的复习，对知识进行一次梳理，突出知识间的内在联系，提高综合运用向量知识解决问题的能力。
【课前预习】1、已知向量a =(5,10)，b =(3,4)--，则（1）2a +b = ，a －2b = ，|a |= ，a ·b = ，cos θ= 。
（2）c =(5,0)，且c =pa +qb ，则p = ，q = 。
（3）（－2a +b ）⊥（a +k b ），则k = ；（－2a +b ）∥（a +k b ），则k = 。
（4）与a 的垂直的单位向量 ；与a 的平行的模为2的向量2、AB CD =，(3,1)A ，(2,2)B -，(1,4)C -，则D 的坐标为 ；若O 为坐标原点，PO CB =，则P 的坐标为 。
【课堂研讨】例1、已知向量a =(3，－1)，b = (21，23)。
（1）求证：a ⊥b ；（2）是否存在不为0的实数k 和t ，使x =a +(t 2－3)b ，y = －k a +t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 与t 的关系，如果不存在，请说明理由。
例2、已知a ，b ，c 两两所成的角相等，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，求a +b +c 的长度及它与三个已知向量的夹角。
课题:平面向量复习 检测案班级： 姓名： 学号： 第 学习小组【课堂检测】1、已知OAB ∆的两个顶点为原点O 和(5,2)A ，且090A ∠=，AB AO =，则AB 的坐标为 ；点B 的坐标为 ；2、a =2p －3q ，b =4p －2q ，c =3p +q ，用a ，b 表示c 。
3、四边形ABCD 为菱形，且(,1),(3,5),(7,3),(,1)A a B C D b -，求实数,a b 的值。
【课后巩固】1、向量1e ，2e 互相垂直，|1e |=1，|2e |=2，a =1e +22e ，b =－1e +k 2e ，若a ⊥b ，则k =__________。
高中数学必修4 第二章平面向量最优完整版导学案
(2)有向线段包含三个要素： 、 、
3．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．
(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c…表示向量，书写时用→a ，→b ，→c …
表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，
平行四边形法则:
①适用于两个不共线向量求和，且两向量要共起点；
②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.
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三、应用举例 例 1 如图 5，已知向量 a、b，求作向量 a+b
作法 1（三角形法则）：
b a
图5
作法 2（平行四边形法则）：
探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a + b |
ab
结论：一般地：
| a b || a | | b |
四、练习巩固： 教材 84 页 1、2 题
| b |-| a |.
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2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：
（1）当向量 a 与 b 不共线时，| a + b |
| a |+| b |；
（2）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、 a 、 b
（填同向或反向），且| a + b |
| a |+| b |；当 a 与 b 反向时，若| a |>| b | ，则 a + b 的方 向与 a 相同，且| a + b |
2022年高考数学(文科)二轮复习 名师导学案：专题二 第3讲 平面向量 Word版含答案
第3讲 平面对量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面对量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式消灭.真 题 感 悟1.(2021·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥bD.|a |>|b |解析 由|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，故a ⊥b . 答案 A2.(2021·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，由于a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 73.(2021·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD → ＝2DC → ，AE → ＝λAC → －AB → (λ∈R )，且AD → ·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 AB → ·AC → ＝3×2×cos 60°＝3，AD → ＝13AB → ＋23AC → ，则AD → ·AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB → ＋23AC → ·(λAC → －AB → )＝λ－23AB → ·AC → －13AB → 2＋2λ3AC → 2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 答案3114.(2021·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.考 点 整 合1.平面对量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面对量基本定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面对量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的三共性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|A B → |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面对量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP → ＝λ1OA → ＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP → 与向量OA → ，OB → 的关系是OP → ＝12(OA → ＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA → ＋GB → ＋GC → ＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一 平面对量的有关运算【例1】 (1)(2022·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. (2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ， BE ＝23BC .若DE → ＝λ1AB → ＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 (1)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ， 所以a ·b ＝m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. (2)DE → ＝DB → ＋BE → ＝12AB → ＋23BC → ＝12AB → ＋23(AC → －AB → )＝－16AB → ＋23AC → ， ∵DE → ＝λ 1AB → ＋λ2AC → ， ∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案 (1)－2 (2)12探究提高 对于平面对量的线性运算，首先要选择一组基底，同时留意共线向量定理的机敏运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.【训练1】 (2021·衡阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC → ＝λAM → ＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.2B.83C.65D.85解析 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB → ，AD →作为基底，∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋12AD → ， BN → ＝BC → ＋CN → ＝AD → －12AB →， 因此AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB → ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC → ＝AB → ＋AD →， 因此⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案 D热点二 平面对量的数量积 命题角度1 平面对量数量积的运算【例2－1】 (1)(2021·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA → ·OB → ，I 2＝OB → ·OC → ，I 3＝OC → ·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE → ·CB → 的值为________；DE → ·DC →的最大值为________.解析 (1)如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，依据题意，I 1－I 2＝OA → ·OB → －OB → ·OC → ＝OB → ·(OA → －OC → )＝OB → ·CA →＝|OB → ||CA →|·cos∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ， 又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA → ||OB → |<|OC → ||OD →|， 而cos∠AOB ＝cos∠COD <0，∴OA → ·OB → >OC → ·OD →，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.(2)法一 如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)， 设E (t ，0)，t ∈[0，1]， 则DE → ＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)， 所以DE → ·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.由于DC → ＝(1，0)，所以DE → ·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE → ·DC →的最大值为1. 法二 如图，无论E 点在哪个位置，DE → 在CB → 方向上的投影都是CB ＝1，所以DE → ·CB → ＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE → 在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE → ·DC → )max ＝|DC →|·1＝1.答案 (1)C (2)1 1探究提高 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量.其次留意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形. 命题角度2 平面对量数量积的性质【例2－2】 (1)(2022·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A.4 B.－4 C.94D.－94(2)(2021·哈尔滨模拟)平面对量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，a ＋b 在a 上的投影为5，则|a －2b |的模为( ) A.2 B.4 C.8D.16解析 (1)∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.(2)|a ＋b |cos 〈a ＋b ，a 〉＝|a ＋b |·（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a |＝16＋a ·b4＝5；∴a ·b ＝4.又(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－16＋16＝16. ∴|a －2b |＝4. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要留意θ∈[0，π].2.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝ |a ＋b |.3.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝（a ±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.【训练2】 (1)(2021·福建卷)已知AB → ⊥AC → ，|AB → |＝1t ，|AC → |＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP → ＝AB→|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB → ·PC → 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21(2)(2021·郴州二模)已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________.解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC → ＝(0，t )，则AP → ＝AB→ |AB → |＋4AC→|AC →| ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0＋4t(0，t )＝(1，4). ∴点P (1，4)，则PB → ·PC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，故PB → ·PC →的最大值为13. (2)设单位向量a ，b 的夹角为θ， 则|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos θ. ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，∴2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝－3cos θ＝－332，∴cos θ＝32，∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.答案 (1)A (2)π6热点三 平面对量与三角的交汇综合【例3】 (2021·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA → ·BC →的值.解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∵f (x )的最小正周期为π，∴T ＝2π2|ω|＝π.∵ω＞0，∴ω＝1.(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . ∵f (B )＝－2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，解得B ＝2π3(B ∈(0，π)).∵BC ＝3，∴a ＝3，∵sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a ，∴b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin2π3，解得sin A ＝12. ∵0＜A ＜π3，∴A ＝π6.∴C ＝π6，∴c ＝a ＝ 3.∴BA → ·BC → ＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32. 探究提高 1.破解平面对量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、帮助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式消灭的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的学问将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关学问进行求解. 【训练3】 (2021·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB → ·AC →＝－6，S △ABC＝3，求A 和a .解 由于AB → ·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6，又由于S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6， 因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π4.又由于b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29， 所以a ＝29.1.平面对量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要留意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不行求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.依据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 相互垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面对量解决问题时要特殊留意两个向量夹角可能是0或π的状况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、选择题1.(2022·全国Ⅲ卷)已知向量BA → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 |BA → |＝1，|BC → |＝1，cos∠ABC ＝BA → ·BC→|BA → |·|BC → |＝32.∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.答案 A2.(2021·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0，因而是充分条件，反之m ·n <0，不能推出m ，n 方向相反，则不是必要条件.答案 A3.(2021·汉中模拟)已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A.9 B.3 C.109D.310解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9. 则|b |＝（－3）2＋92＝310. 答案 D4.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF → ＝2FO → ，则FD → ·FE →等于( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析 ∵BF → ＝2FO → ，圆O 的半径为1，∴|FO → |＝13，∴FD → ·FE → ＝(FO → ＋OD → )· (FO → ＋OE → )＝FO → 2＋FO → ·(OE → ＋OD → )＋OD → ·OE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89. 答案 B5.(2021·安徽江淮十校联考)已知平面对量a ，b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为( ) A.2 B.4 C.6D.8解析 令OA → ＝a ，OB → ＝b ，则b －a ＝AB → －OA → ＝AB →，如图.∵b 与b －a 的夹角为30°， ∴∠OBA ＝30°. ∵|a |＝|OA →|＝3，∴由正弦定理得|OA → |sin∠OBA ＝|OB → |sin ∠OAB ，|b |＝|OB →|＝6·sin∠OAB ≤6.答案 C 二、填空题6.(2021·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 解析 由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2. 答案 27.(2021·德州模拟)已知平面对量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则 |a ＋2b |＝________.解析 ∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1， ∴a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1，又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12， 所以|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案 2 38.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM → ＝AB → ＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.解析 设AB 的中点为D ，由5AM → ＝AB → ＋3AC → ，得3AM → －3AC → ＝2AD → －2AM → ，即3CM → ＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线， 且MD → ＝35CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5， 则△ABM 与△ABC 的面积比值为35.答案 35三、解答题9.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值. 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.10.(2021·贵阳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x, 3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求三角形ABC 面积的最大值.解 (1)∵a ＝(－sin x ，cos x )，b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )，f (x )取最大值是32.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A ＝π3.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2＝12＋bc ≥2bc ，∴bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立).∴S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.∴当三角形ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3. 11.已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ).(1)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，由于x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.(2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.由于向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.。
向量的复习(导学案)
向量的复习教学目标：通过复习整理向量的有关知识，使其形成一个系统，培养学生的归纳整合能力。
教学重点：整理向量的知识，使其形成一个系统。
教学难点：将向量的几何意义与坐标运算统一。
教学过程一．学生整理知识点，教师引导学生形成系统教师给每个学生发一张白纸，要求学生在白纸上写下自己知道的有关向量的知识点，教师巡视，寻找知识点比较全面的投影到黑板上，教师引导学生补全知识点，理清知识点之间的关系，形成系统，系统图大致如下。
二．学生利用知识点完成练习：学生解答，教师巡视，找出学生错误的解答1. 若)3,2(),2,1(-=-=ba，则=+ba，=-ba，=-ba2.2. =-ACAB，=++EAACCE.3. 若线段AB的中点为C，则=AB AC，=BC AB.4. 已知)2,3(-=a，),6(yb=，ba//则y= .三．知识点综合应用：在平行四边形ABCD中，若AC与BD相交于点M，概念运算数乘向量向量的数量积零向量、单位向量向量的定义相等向量、相反向量、共线向量向量的模两向量共线的条件向量长度公式向量的加、减法三角形法则平行四边形法则平面向量（1）若,a AB =,b AD =试用a ，b 表示AC ，BD ，MA ，MD .（2）若点A （—2，2），B （—1，0），C （0，3）,求D 的坐标（3）求BAD ∠的度数.。
导学案025平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算考纲要求1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析1.平面向量的线性运算是考查重点．2.共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点．3.题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.教学过程基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫向量；向量的大小叫做向量的(2)零向量：长度等于的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于的向量．(4)平行向量：方向或的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且相同的向量．(6)相反向量：长度相等且相反的向量．法则(或几何意义)平行四边形法则(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向；当λ＜0时，λa与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λ b. 4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得双基自测1．下列给出的命题正确的是 ( )A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量有且仅有一个C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D．相等的向量必是共线向量2．如右图所示，向量a－b等于 ( )A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e23．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是( )A．AD＝BC B．AD＝2BCC．AD=-BC D．AD=-2BC4．化简：AB＋DA＋CD＝________.5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.典例分析考点一、平面向量的基本概念[例1] 给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为 ( )A．1 B．2C．3 D．4变式1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是 ( )A．0 B．1C．2 D．3涉及平面向量有关概念的命题的真假判断，准确把握概念是关键；掌握向量与数的区别，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法.考点二、平面向量的线性运算[例2] (2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝ ( )A．0 B．BE C．AD D．CF变式1本例条件不变，求AC＋AF.变式2．(2012·杭州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC 外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝ ( )A．8 B．4C．2 D．11.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算考点三、共线向量[例3] (2012·南昌模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 ( )A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向变式3．(2012·南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若BF＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．1.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ使b＝λ a.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．易错矫正忽略0的特殊性导致的错误[考题范例](2012·临沂模拟)下列命题正确的是 ( )A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；B．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0；C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线[失误展板]错解一：a 、b 共线，必然是有且只有一个实数λ，使b ＝λa ，故选A. 错解二：首尾相连，始终如一．在△ABC 中，AB 、BC 、CA 围成 了一个封闭图形，故AB ＋BC ＋CA ＝0，故选B.错解三：当a 与b 同向时，式子中第一个等号不成立；当a 与b 反向时，式子中第二个等号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，故选C.错因：错解一，忽视了a≠0这一条件．错解二，忽视了0与0的区别，AB ＋BC ＋CA ＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当a ＝0或b ＝0时，两个等号同时成立．[正确解答]∵向量a 与b 不共线，∴a ，b ，a ＋b 与a －b 均不为零向量． 若a ＋b 与a －b 平行，则存在实数λ，使a ＋b ＝λ(a －b)， 即(λ－1)a ＝(1＋λ)b ， ∴⎩⎨⎧λ－1＝01＋λ＝0，λ无解，故假设不成立，即a ＋b 与a －b 不平行，故选D.一条规律 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．本节检测1．(2012·潍坊模拟)在四边形ABCD 中，A B＝D C ，且|A B|＝|B C |，那么四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，B C ＋BA ＝2BP ，则( )A ．PA ＋PB＝0 B ．P C ＋PA＝0C ．PB＋P C＝0D ．PA ＋PB＋P C＝03．(2012·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋C O＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．(2012·银川模拟)在△ABC 中，D 为AB边上一点，若AD＝2D B，CD ＝13C A＋λCB，则λ的值为( )A ．1B.13C.23 D ．－235．已知向量p ＝a |a|＋b |b|，其中a 、b 均为非零向量，则|p|的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[0,1] C ．(0,2]D ．[0,2]6．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2O C＝0，则|A B||B C |＝________. 7．设向量e 1，e 2不共线，A B＝3(e 1＋e 2)，CB ＝e 2－e 1，CD＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A 、B 、C 共线；②A 、B 、D 共线；③B 、C 、D 共线；④A 、C 、D 共线，其中所有正确结论的序号为________．自我反思。
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我的课堂我做主, 我的命运我把握
2011—2012学年度第一学期高二年级 _数学_学科导学
课题：平面向量复习二
主编：陈会媛审核：李晓霞审批：_______ 使用时间：_______
【学习目标】（1实数与向量的积（2平面向量的数量积（3平面向量坐标表示和运算（4平面向量的综合应用
【自主学习】（所用时间：）】一知识梳理：
在合作中提升学习的兴趣在探索中追求知识的真谛
【课内探究】（所用时间：30分钟）
【规律
总结】
二、基础题目：
1．已知点A （3，4-）与点B （1-，2），点P 在直线AB 上，并且PB PA 2=，则P 点的坐标是
2．已知(21)(13)=-=，
，，a b ，则23-+a b 等于（ ） Ａ．(111)--， Ｂ．(111)-， Ｃ．(1
11)-， Ｄ．(111)
，
3．已知i 、j 分别为x 轴、y 轴方向上的单位向量，若28=-a +b i j ，816--a b =i +j 那么a b 等于（ ）
Ａ．63 Ｂ．63- Ｃ．33 Ｄ．33-
4．已知a ·b =12，且|b |=5，则向量a 在向量b 方向上的射影为 ．
5．已知点A （2，-4）、点B （-2，y ），若5AB =，则y = ．
6．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为
（ ）
A ．)5,1312(
B ．)135,1312(--
C ．)135,1312(
或)135,1312(-- D ．)13
5
,1312(±±
7．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .
8．已知向量），（ααsin 2cos 2=CA ，OC =（2，2），则向量|OA |的取值范围是（ ） A ．[1，3] B ．[1，23] C ．[2，3] D ．（2，23）
你说我讲，快乐课堂；你争我抢，放飞梦想
班级 编号：sx2-01
【随堂检测】（所用时间：5分钟）
9，已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于 （ ） A ．0120 B 060 C 030 D 90o
10，已知两向量),1,1(,),31,,31(--=-+=b a 求a 与b 所成角的大小
11．已知(2)(35)x b ==-，，，a ，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是
12。
已知向量a 、b 满足a
=b =1，b a 23-=3，则 b a +3 =
13．已知向量a = (2,1)， b a ∙ = 10，||b a += 52，则︱b ︱=（ ） A ．5 B ．10 C ．5 D ．25
14，已知向量.1,4
3),1,1(-=⋅=n m m n m 且的夹角为
与向量向量π
（1）求向量n ； （2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x b a ==向量，其中R x ∈，
若0=⋅a n ，试求||b n +的取值范围.
【学后
反思】。