高中数学人教A版第二章 平面向量章末复习课
高中数学 第二章 平面向量复习课(一)
高中数学 第二章 平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律： b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)2. 平面向量数量积的运算律:)1(a b b a ⋅=⋅ )()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(3. 向量运算及平行与垂直的判定:).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=- 2121y y x x b a +=⋅ .0//1221=-⇔y x y x .02121=+⇔⊥y y x x4. 两点间的距离:221221)()(||y y x x AB -+-=5. 夹角公式:222221212121cos y x y x y y x x +⋅++==θ6. 求模：=22y x +=221221)()(y y x x -+-=（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题， P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
高中数学第二章平面向量章末归纳整合课件a必修4a高一必修4数学课件
∴31x＝ －1x＝－53y， y，
解得 x＝12，y＝65.
∴O→R＝16a＋12b.∴λ＝61，μ＝12.
12/13/2021
【点评】考查向量的加法运算，共线向量定理，平面向量 基本定理，用两种方式表示O→R是求解本题的关键．
12/13/2021
已知两点 A(1,0)，B(1， 3)，O 为坐标原点，
【解析】∵B→R和B→P共线，∴存在实数 x 使B→R＝xB→P. 同样，存在实数 y 使A→R＝yA→Q. O→R＝O→B＋B→R＝O→B＋xB→P＝b＋x13a－b＝3xa＋(1－x)b，
12/13/2021
O→R＝O→A＋A→R＝O→A＋yA→Q＝a＋y35b－a＝(1－y)a＋35yb， ∴3xa＋(1－x)b＝(1－y)a＋35yb. ∵a，b 不共线，
A．a⊥b
B．|a|＝|b|
C．a∥b
D．|a|＞|b|
【答案】A
【解析】∵非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2
＝(a－b)2，解得a·b＝0.∴a⊥b.故选A．
12/13/2021
2．(2018 年新课标Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，
E 为 AD 的中点，则E→B＝( )
(1)用 a，b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
12/13/2021
【思路点拨】(1)利用向量的三角形法则和数乘运算来表示 O→C，D→C.
(2)先用 a，b 将C→E，C→D表示出来，再利用C→E和C→D共线列 出方程，最后求 λ 的值．
12/13/2021
12/13/2021
向量作为一种工具，在解决平面几何、解析几何以及许 多物理问题中，都显示了其操作简单、运算方便、形象直观的 优越性，从近三年的高考试题来看，考查的热点在两个方面： 一是对向量的基本概念、基本运算的考查，二是突出考查向量 的工具作用，即运用向量知识解决平面几何、立体几何、三 角、代数中的综合问题．
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
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|A| B(x 1x 2)2(y1y2)2
5. 夹角公式:
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一、知识要点：
4. 两点间的距离:
|A| B(x 1x 2)2(y1y2)2
5. 夹角公式:
cosab x1x2y1y2
ab x12y12 x22y22
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第二章复习(一)
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一、知识要点：
1. 实数与向量的积的运算律：
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一、知识要点：
1. 实(((321数)))(与((a向a)b量)a)的(积aa)的a运ba算律：
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二、重要结论：
1. AB 中 ,C若 O AO BOC 0, 则 O为 AB 的 C重 . 心 2. AB中 C, 若OAOBOBOC OAOC,则O为AB的 C 垂.心
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二、重要结论：
2
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三、典型例题：
例1.已 O 知 为AB内 C 一,点 AOB15o,0 BOC90o, 设OA a, OBb,OCc, 且a2, b1, c3, 用a与b表 示 c.
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四、基础练习：
3. AB中 C, 若OAOBOC0, 且OAOBOC1, 则ABC 为等边三.角形
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第二章 平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律： b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)2. 平面向量数量积的运算律:)1(a b b a ⋅=⋅)()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(3. 向量运算及平行与垂直的判定:).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+),(2121y y x x b a --=-2121y y x x b a +=⋅.0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a4. 两点间的距离:221221)()(||y y x x AB -+-=5. 夹角公式:222221212121cos y x y x y y x x +⋅++==θ6. 求模：=22y x +=221221)()(y y x x -+-=（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题， P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
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答案：135°
12/10/2021
第二十一页，共二十六页。
向量的长度(模)与距离的问题
已知平面向量 a，b 的夹角为π6，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC
中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|等于
()
A．2
12/10/2021
第二十三页，共二十六页。
(2019·河南八市重点高中质检)已知平面向量
a，b 的夹角为23π，且 a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( )Fra bibliotekA. 3
B．2 3
C．3
D．4
解析：选 D.因为 a·(a－b)＝8， 所以 a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8， 所以 4＋2|b|×12＝8，解得|b|＝4.
第十四页，共二十六页。
1．已知向量 a，b 的夹角为34π，|a|＝ 2，|b|＝2，则 a·(a－2b)＝ ________．
解析：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2×
2×2×－
22＝6.
答案：6
12/10/2021
第十五页，共二十六页。
2．设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，|A→D|＝4，若点 M， N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M等于________． 解析：A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋34A→D， N→M＝C→M－C→N＝－14A→D＋13A→B， 所以A→M·N→M＝14(4A→B＋3A→D)·112(4A→B－3A→D)＝418(16A→B2－9A→D2) ＝418(16×62－9×42)＝9. 答案：9
高中数学 第二章 平面向量复习课(一)教案 新人教A版必修4
第二章 平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律： b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)2. 平面向量数量积的运算律:)1(a b b a ⋅=⋅ )()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(3. 向量运算及平行与垂直的判定:).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=- 2121y y x x b a +=⋅ .0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a4. 两点间的距离:221221)()(||y y x x AB -+-=5. 夹角公式: 222221212121cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅=θ6. 求模：a a a ⋅= 22y x a += 221221)()(y y x x a -+-=（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题， P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
高中数学人教A版第二章平面向量章末复习课导学案新必修_
(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数 m 的值.
解 (1)若点 A，B，C 能构成三角形，则这三点不共线，
→
→
∵OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，
→ OC＝(5－m，－(3＋m))，
→
→
∴AB＝(3，1)，BC＝(－m－1，－m)，
→→ ∵AB与BC不平行，
1 ∴－3m≠－m－1，解得 m≠ ，
4k
1
1
∴当 k＝1 时，f(k)min＝f(1)＝4×(1＋1)＝2，
a·b 1
此时 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值 cos θ＝
＝，
|a||b| 2
3
∴θ＝60°.
反思与感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：
(1)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， a∥b⇔x1y2－x2y1＝0， a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夹角和模的问题
→→ AM·NM等于( )
A.20
B.15
C.9
D.6
答案 C
解析 ▱ABCD 的图象如图所示，由题设知，
→ → → → 3→ → 1→ 1→
AM＝AB＋BM＝AB＋ AD，NM＝ AB－ AD，
4
34
( ) ( ) → → → 3→ 1→ 1→
∴AM·NM＝ AB＋ AD · AB－ AD 4 34
1
(2)向量共线定理
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa.
3.向量的平行与垂直
a，b 为非零向量，
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b
有唯一实数λ使得b＝λa(a≠0)
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章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．有关向量的注意点(1)零向量的方向是任意的．(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量．(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量．2．向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b )c ≠a (b·c ).专题一 有关向量共线问题有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λ b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[例1] 已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，若k a ＋2b 与2a －4b 平行，求实数k 的值．解：法一：向量k a ＋2b 与2a －4b 平行，则存在唯一实数λ，使k a ＋2b ＝λ(2a －4b )．因为k a ＋2b ＝4(1，2)＋2(－3，2)＝ (k －6，2k ＋4)．2a －4b ＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)， 所以(k －6，2k ＋4)＝λ(14，－4)．所以⎩⎪⎨⎪⎧k －6＝14λ，2k ＋4＝－4λ，解得⎩⎨⎧λ＝－12，k ＝－1.即实数k 的值为－1.法二：因为k a ＋2b ＝k (1，2)＋2(－3，2)＝ (k －6，2k ＋4)，2a －4b ＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)， ka ＋2b 与2a －4b 平行， 所以(k －6)(－4)－(2k ＋4)×14＝0. 解得k ＝－1. 归纳升华1．向量与非零向量a 共线⇔存在唯一实数 λ使b ＝λa . 2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[变式训练] 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k . 解：(1)因为a ＝mb ＋nc ， 所以(3，2)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )． 所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)．所以2(3＋4k )＋5(2＋k )＝0，即k ＝－1613. 专题二 有关向量的夹角、垂直问题非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)的夹角为θ，则 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， cos θ＝a·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 21. [例2] 已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，求向量a ＋b 与a －b 的夹角θ的余弦值．解：由已知|a |＝3，|b |＝2，|a ＋b |＝13，所以(a ＋b )2＝13. 所以a 2＋2a·b ＋b 2＝13，则(3)2＋2a·b ＋22＝13，得2a·b ＝6. (a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝(3)2－6＋22＝1，所以|a －b |＝1.所以cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝a 2－b 213×1＝（3）2－2213＝－1313. 归纳升华1．本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线构成的向量的夹角，通过模的平方，沟通了向量的模与向量内积之间联系；2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的. [变式训练] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π (2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________．(1)解析：由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又因为|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，所以83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.所以cos θ＝22.又因为0≤θ ≤π，所以θ＝π4.(2)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ＋2(x ＋1)＝0，所以x ＝－23.答案：A (2)－23专题三 有关向量的模的问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a |2＝a 2＝a·a ； (2)|a ±b |2＝a 2±2a·b ＋b 2； (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2；(4)应用三角形或平行四边形法则．[例3] 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1(2)设向量a ＝(0，－1)，向量b ＝(cos x ，sin x )，则|a ＋b |的取值范围为________．解析：法一：因为BC →2＝16，所以|BC →|＝4. 又|AB →－AC →|＝|CB →|＝4，所以|AB →＋AC →|＝4，因为M 为BC 的中点，所以BM →＝－CM →. 所以AM →＝AB →＋BM →＝AC →＋CM →，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，所以|AM →|＝12|AB →＋AC →|＝12×4＝2.法二：如图所示，四边形ABDC 是平行四边形，又|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|，所以四边形ABDC 是矩形， 所以|AM →|＝12|BC →|，又BC →2＝16， 所以|BC →|＝4， 所以|AM →|＝2.(2)a ＝(0，－1)，b ＝(cos x ，sin x )， 所以a ＋b ＝(cos x ，sin x －1)．所以|a ＋b |＝cos2x ＋（sin x －1）2＝2－2sin x ＝ 2（1－sin x ）因为－1≤sin x ≤1，所以0≤|a ＋b |≤2. 答案：(1)C (2)[0，2] 归纳升华解答该类题目有以下几个关键点：1．根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，观察图形以便直观地得出一些结论．2．利用三角形法则、平行四边形法则求有关的向量，并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关系，相反向量的和为0等．3．数形结合法的运用可使解题简捷．[变式训练] 已知向量a 和b 的模都是2，其夹角为60°，又知OP →＝a ＋2b ，OQ →＝－2a ＋b ，则|PQ →|＝________．解析：PQ →＝OQ →－OP →＝－3a －b ，|PQ →|2＝PQ →·PQ →＝(－3a －b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2. 因为|a |＝|b |＝2，a·b ＝|a ||b |cos 60°＝2， 所以|PQ →|2＝9a 2＋6a·b ＋b 2＝9×4＋6×2＋4＝52. 所以|PQ →|＝213. 答案：213专题四 数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合的思想．引入向量的坐标表示，使向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来．运用数形结合的思想解决了三点共线，两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．[例4] 已知向量a 与b 不共线，且|a |＝|b |≠0，则下列结论正确的是( )A ．向量a ＋b 与a －b 垂直B ．向量a －b 与a 垂直C ．向量a ＋b 与a 垂直D ．向量a ＋b 与a －b 共线解析：如图所示，作OA →＝a ，OC →＝b ，以OA 和OC 为邻边作▱OABC .由于|a |＝|b |≠0，则四边形OABC 是菱形，所以必有AC ⊥OB .又因为a ＋b ＝OB →，a －b ＝CA →，所以(a ＋b )⊥(a －b )． 答案：A 归纳升华通过本题可以得出：模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直．以上可以作为结论记住．[变式训练] 已知向量OB →＝(2，0)，向量OC →＝(2，2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 解析：如图，向量CA →的终点A 在以点C (2，2)为圆心、半径为2的圆上，OA 1，OA 2是圆的两条切线，切点分别为A 1，A 2.在Rt △OCA 1中，|OC →|＝22， |CA 1→|＝2， 所以∠COA 1＝π6.所以∠COA 2＝∠COA 1＝π6.因为∠COB ＝π4，所以∠A 1OB ＝π4－π6＝π12，∠A 2OB ＝π4＋π6＝5π12，所以向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12.答案：D。