高三数学一轮复习课时作业5：两直线的位置关系

第2讲两直线的位置关系
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是() A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析由题意知，直线l的斜率是－3
2
，因此直线l的方程为y－2＝－3
2(x＋1)，
即3x＋2y－1＝0.
答案A
2．(2014·济南模拟)已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝() A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
解析若a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相
交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有a－1
1
＝2
a
≠1
3
，解得
a＝－1或2.
答案D
3．两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为()
A．4 B.2 1313
C.5
2613 D.7 2010
解析把3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，则两平行线间的距离d＝
|1－（－6）|
62＋22＝7
2010.
答案 D
4．(2015·金华调研)当0<k <1
2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k <12，所以k
k －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限．
答案 B
5．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( ) A ．(0，4)
B ．(0，2)
C ．(－2，4)
D ．(4，－2)
解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2经过定点(0，2)． 答案 B 二、填空题
6．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________．
解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0， 解得a ＝3
5. 答案 35
7．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.
∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
答案－9
8．(2015·秦皇岛检测)已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．
解析显然直线l斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y－4＝k(x －3)，即kx－y＋4－3k＝0，
由已知，得|－2k－2＋4－3k|
1＋k2
＝
|4k＋2＋4－3k|
1＋k2
，
∴k＝2或k＝－2
3.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
答案2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
三、解答题
9．已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：
(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．
解(1)由已知1×3≠m(m－2)，
即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3.
故当m≠－1且m≠3时，l1与l2相交．
(2)当1·(m－2)＋m·3＝0，即m＝1
2时，l1⊥l2.
(3)当1×3＝m(m－2)且1×2m≠6×(m－2)或m×2m≠3×6，即m＝－1时，
l1∥l2.
(4)当1×3＝m(m－2)且1×2m＝6×(m－2)，
即m＝3时，l1与l2重合．
10．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．解依题意知：k AC＝－2，A(5，1)，
∴l AC为2x＋y－11＝0，
联立l AC ，l CM 得⎩⎨⎧2x ＋y －11＝0，
2x －y －5＝0，∴C (4，3)．
设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 0＋52，y 0＋12，
代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0， ∴⎩⎨⎧2x 0－y 0－1＝0，
x 0－2y 0－5＝0，
∴B (－1，－3)， ∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝6
5(x －4)， 即6x －5y －9＝0.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11．(2014·泉州一模)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是
( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．23
解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.
欲求m 2＋n 2的最小值可先求
（m －0）2＋（n －0）2的最小值，而
（m －0）2＋（n －0）2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.
所以m 2＋n 2的最小值为4.
答案 C
12.如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是
( ) A ．210
B ．6
C ．3 3
D ．25
解析 易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4，2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2，0)，则光线所经过的路程即A 1(4，2)与A 2(－2，0)两点间的距离．于是|A 1A 2|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝
210. 答案 A
13．(2014·四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________． 解析 易知A (0，0)，B (1，3)且两直线互相垂直， 即△APB 为直角三角形，
∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝102＝5.
答案 5
14．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是75
10. (1)求a 的值；
(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；
②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的1
2；
③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．
解 (1)直线l 2：2x －y －1
2＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋（－1）
2＝75
10， 所以⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪
⎪⎪⎪a ＋12＝72，
又a ＞0，解得a ＝3.
(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
c ＋125
，即c ＝132或11
6，
所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋11
6＝0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有
|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|
2
， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；
由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋13
2＝0和x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x 0
＝－3，y 0＝1
2；(舍去) 联立方程2x 0－y 0＋11
6＝0和x 0－2y 0＋4＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝37
18.
所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件.。