九年级数学下册24.6第1课时正多边形的概念及正多边与圆的关系习题课件(新版)沪科版
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正多边形和圆-ppt课件
“各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备，
缺一不可，否则多边形就不是正多边形.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念
知1－讲
(1)正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫作正
多边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形
的半径 .
心，OA 为半径作⊙ O，直径 FC ∥ AB， AO， BO
的延长线交⊙ O 于点 D， E.
求证：六边形 ABCDEF 为圆内接
正六边形 .
感悟新知
知1－练
思路导引：
感悟新知
知1－练
证明： ∵三角形 AOB 是正三角形，
∴∠ AOB= ∠ OAB= ∠ OBA=60°， OB=OA.
∴点 B 在⊙ O 上 .
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
(2)用量角器画∠ AOB = ∠ BOC=120°，其中 A， B，C
均为圆上的点；
(3)连接 AB， BC， CA，则△ ABC 为
所求作的正三角形 ，如图 24. 3－4所示.
感悟新知
作法二
(1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
知3－练
(2)作⊙ O 的任一直径 AB；
︵
︵
︵
︵
︵ ︵
∴BDE－CDE＝CDA－CDE，即BC＝AE.∴BC＝AE.
同理可证其余各边都相等，
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于
(－)· °
.
2. 正 n 边形的每个中心角都等于
沪科版九年级数学下2正多边形与圆(第1课时圆与正多边形)课件
∴ ∠PAB= ∠ PBA= ∠ QBC= ∠ QCB
P
A
T
∵ A B= B C
B Q
C
E
·O
R
D S
∴ AB=BC
△ ∴ PAB≌△QBC ∴ ∠P= ∠ Q,PQ=2PA
同理∴ ∠P= ∠ Q = ∠S =∠R=∠T, PQ==QS=SR=RT=TP=2PA
∵五边形PTRSQ的各边都与⊙O相切
∴ 五边形PTRSQ是⊙O的外切正五边形,
正多边形与圆的关系定理1
把一个圆分成n等份(n≥3),
* 顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
* 过等分点做圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是
这个圆的外切正n边形
例、求证：正五边形的对角线相等。
已知：ABCDE是正五边形。
求证：DB=CE
A
证明： 在△BCD和△CDE中 ∵BC=CD ∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等。
A
F
仔细考虑如何利用 画正六边形的方法 得到正十二边形
B
·O
E
C
D
把圆六等分，取其中一段弧平 分，以此平分点再把圆六等分 ，顺次连接各点
作出正六边形后，则可作正三角形， 正十二边形，正二十四边形……
用尺规作图法画正四边形
用圆规和直尺作两条互相垂 直的直径，就可以把圆4等分， 从而作出正方形．
A
D
O·
我国民间相传有正五边形的近似画法
A
画法口诀： 九五顶五九,八五两边分
画法口诀意义：
(以边长10的正五边形为例)
5.9
B
E
8F
8
正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系
∠ADE的度数是
（）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
A
B
E
O·
C
D
典例精析
例2：有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求 地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
F 抽象成
A
E
O
D
PC
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,
BC MB＝2
4 2
2，
内角
60 ° 90 ° 120 °
n
(n 2) 180
n
中心角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
正多边形的 外角=中心角
A
F
中心
B中心角 O半径R E 边心问距r题1
C
D
四 正多边形的有关计算
探究归纳
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
利用勾股定理,可得边心距
A
F
O
4m
E D
r
r 42 22 2 3.
B MC
亭子地基的面积
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
方法归纳
圆内接正多边形的辅助线
F
E
A B
O·
D
rR
MC
半径R
O
中心角一半 边心距r
C
M
边长一半
1.连半径，得中心角；
问题3 刚才把一个圆进行四等分，依次连接各等分点， 得到一个正四边形；你可以从哪方面证明？
① 直径所对圆周角等于90° ② 等弧所对圆周角相等
《正多边形与圆》PPT优质课件(第1课时)
边数是偶数的正多边形还是中心对称图形， 它的中心就是对 称中心。
正多边形的有关概念
1.正多边形的中心:外接圆的圆心.
2.正多边形的半径:外接圆的半径 3.正多边形的中心角: 每一条边所对的圆心角. 4.正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
E
D
. 半径R
F 中心角O
C
A B 边心距r
E
D
正多边形的内角:
. 内角 (n 2)180
半径R
n
正多边形的半径:外接圆的半径
F
O
中心角
边心距r
C
正多边形的中心角:
中心角 360
n
A
B
正多边形的面积：S n(1 ar) 1 Lr
2
2
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
实际问题转化成数学问题
1.正八边形的中心角是 度;它的外角是
度.
2.圆内接正方形的半径与边长的比值是________
3.正多边形的边心距与边长之比为 3 :2,则此多边形的边数
是
.
4.已知圆内接正方形的边长为2，则该圆的内接正六边形边长
为
．
5.圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为 ________；边心距为________．
1.正多边和圆的有关概念： 正多边形的中心，正多边形的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2.正多边形的半径、中心角、边长、 E
正多边的边心距之间的等量关系．
3.运用所学知识解决实际问题． F
..O
R
正多边形的有关概念
1.正多边形的中心:外接圆的圆心.
2.正多边形的半径:外接圆的半径 3.正多边形的中心角: 每一条边所对的圆心角. 4.正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
E
D
. 半径R
F 中心角O
C
A B 边心距r
E
D
正多边形的内角:
. 内角 (n 2)180
半径R
n
正多边形的半径:外接圆的半径
F
O
中心角
边心距r
C
正多边形的中心角:
中心角 360
n
A
B
正多边形的面积：S n(1 ar) 1 Lr
2
2
完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中)：
有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
实际问题转化成数学问题
1.正八边形的中心角是 度;它的外角是
度.
2.圆内接正方形的半径与边长的比值是________
3.正多边形的边心距与边长之比为 3 :2,则此多边形的边数
是
.
4.已知圆内接正方形的边长为2，则该圆的内接正六边形边长
为
．
5.圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为 ________；边心距为________．
1.正多边和圆的有关概念： 正多边形的中心，正多边形的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2.正多边形的半径、中心角、边长、 E
正多边的边心距之间的等量关系．
3.运用所学知识解决实际问题． F
..O
R
《正多边形和圆》PPT课件
B
O
O
B
CB
C
O C
A
F
E
B
E
O
D
C
D
每个正多边形的半径，分别将它们分割成什么 样的三角形？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等 腰三角形．
A
A
EO D
F
B
F
CB
E
D
A
G
F
A GF
H
PHBOHOGC
E
B
O
N M
E Q
CM D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角 三角形，这些直角三角形也是全等的．
F
O C
A GB
学以致用：有一个亭子,它的地基半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到 0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等 于360 60 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长
6
等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OBC2C=424, 2P，C= F
正多边形的中心角等于 360 。 正多边形的中心角与外角度数相等
３.正三角形的内切圆与外接圆的半径之比 1:2
４.已知正方形的内切圆半径r＝1，则这个正方形
的外接圆面积S= 2
.
５.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为1200，其
内切圆半径为 2 3 .
1.如图：圆内接正五边形ABCD中，对角线AC与BD相
正多边形的性质及对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
《正多边形和圆》圆PPT教学课件
E
课堂小结
正多边形的定义与对称性
正多边形
正多边形的有
关概念及性质
正多边形的
有关计算
①正多边形的内角和= (n 2) 180
②中心角=
360
n
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
n
.
（2）正n边形的每个中心角
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
60
①它的中心角等于
度 ；
F
=
② OC BC (填＞、＜或＝）；
A
③△OBC是 等边 三角形；
B
都等于
E
（3）正n边形的每个外角都
O
D
360°
等于
.
C
P
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的
6
倍.
1
周长 边心距
2
A
A
F
D
E
B
E
O
O
O
·
90°
72°
·
A
D
·
60°
C
B
C
D
B
C
3.你能尺规作出正方形、正八边形吗？
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即
得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂
线与⊙O相交，或作各中心角的角平分
线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，
照此方法依次可作正十六边形、正三十
二边形、正六十四边形……
D
A
O
·
心对称图形吗？
新知讲解
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称
图形吗？
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是
《正多边形与圆》PPT课件(湘教版)
为 60°，所以正六边形的边长与圆的
半径相等. 因此在半径为 r 的圆上依次
O
截取等于 r 的弦， 就可以将圆六等分.
已知 ⊙O 的半径为 r， 求作 ⊙O 的内接正六边形.
作法：（1）作⊙O 的任意直径 BE，分别 以 B，E 为圆心，以 r 为半径作弧，与⊙O
A
F
分别相交于点 A，C 和 F，D.
O
C
（2） 依次连接 AB，BC，CD，DA，则四边
形 ABCD 就是所求作的 ⊙O 的内接正方形.
B
在生产设计中，人们经常会遇到等分圆的问题. 例如 设计剪纸、齿轮、汽车轮毂等就是通过等分圆而得到的.
观察图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图
形？如果是轴对称图形，画出其对称轴； 如果是中心对称图形，
D
A
F
A O B
CB
E
O
C
D
2. 许多图案设计都和圆有关，观察下图，请利用等分圆 的方法设计一幅图案.【教材P86页】
1. 对于一个正多边形,下列四个命题中, 错误的是（ B ）
A. 正多边形是轴对称图形, 每条边的垂直平分线是它的对称轴 B. 正多边形是中心对称图形, 正多边形的中心是它的对称中心 C. 正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角 D. 正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
找出其对称中心.
A
A
D
E
FEAFra bibliotekDAD
B
CB
C
B
C
B
C
A
A
D
E
F
E
A
DA
D
B
CB
C
B
新编【沪科版】九年级数学下册《24.6.1 正多边形与圆的关系》课件
R2＝r2＋
1 a2 4
周长 面积
C＝na
1 S＝ 2 Cr
知2－讲
例4 已知：⊙O的半径R＝6 cm. (1)如图(1)，求⊙O的内接正三角形ABC的边心距、 边长、周长、面积； (2)如图(2)，求⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心 距、边长、周长、面积．
知2－讲
找准解题时所需要的基本图形，由中心到正多边形 导引： 一边的垂线段、半径、边的一半构成直角三角形(这
样很自然就产生了本题的辅助线)，根据关系式R2＝ 2 a 2 r ＋ (R为外接圆半径，r为边心距，a为边长)解 2 题．
基本特征，边数 n＞3的多边形必须同时满足，二者缺一
不可，否则多边形就不是正多边形．例如，菱形的各边 相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各边不
一定相等，所以它们都不是正多边形．
知1－讲
2. 圆内接正n边形： 把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多 边形就是圆内接正n边形，而这个圆是正 n 边形的外接 圆． 拓展：把圆分成n(n≥3)等份，经过各分点作圆的切线， 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
知1－讲
总 结
解答本题运用了定义法，即各选项中提到的多边形
是否具备各边和各角相等，这两个条件缺一不可．
知1－讲
例2 已知一个正多边形有一个内角是150°，那么它是 正几边形？ 由正多边形的一个内角的度数求其边数，可以用n 导引： 边形的内角和公式(n－2)· 180°＝150°n，求出n
的值；也可以先求每个外角的度数为30°，再求
边数．
知1－讲
方法一：∵n边形的内角和为(n－2)· 180°n＝12.
∴此多边形为正十二边形． 方法二：∵正多边形的每个内角相等，则每个外角也 相等，∴每个外角为180°－150°＝30°. 又∵多边形的外角和是360°，