(四川版)2017中考数学专题总复习 专题六 与三角形有关的证明和计算试题

专题六 与三角形有关的证明和计算
(针对四川中考全等三角形和相似三角形)
1．(2016·襄阳)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.
(1)求证：AB ＝AC ；
(2)若AD ＝23，∠DAC ＝30°，求AC 的长．
解：(1)∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF ，∠DEB ＝∠DFC ＝
90°，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩
⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC (2)∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，AD ＝23，∠DAC ＝30°，
∴AC ＝2CD ，设CD ＝a ，则AC ＝2a ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴4a 2＝a 2＋(23)2，∵a ＞0，∴a ＝2，
∴AC ＝2a ＝4
2．(导学号 14952475)(2017·广元预测)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D ，E 分别是斜边AB 和直角边CB 上的点，把△ABC 沿着直线DE 折叠，顶点B 的对应点是B′.
(1)如图1，如果点B′和顶点A 重合，求CE 的长；
(2)如图2，如果点B′和落在AC 的中点上，求CE 的长．
解：(1)如图1，设CE ＝x ，则BE ＝8－x ；由题意得：AE ＝BE ＝8－x ，由勾股定理得：
x 2＋62＝(8－x )2，解得x ＝74，即CE 的长为74
(2)如图2，∵点B′落在AC 的中点，∴CB ′＝12AC ＝3.设CE ＝x ，类比(1)中的解法，可列出方程：x 2＋32＝(8－x )2，解得x ＝5516
.即CE 的长为5516
3．(导学号 14952476)情境观察
(1)将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D ，A (A′)，B 在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC 相等的线段是__AD (A′D )__，∠CAC ′＝__90__°.
问题探究
(2)如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E ，F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P ，Q .试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论．
解：(1)∵将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A ′C ′D ，∴与BC 相等的线段是 AD 或A′D ，∵∠C ′AD ＝∠C ，∠C ＋∠CAB ＝90°，∴∠C ′AD ＋∠CAB ＝90°∴∠CAC ′＝90° (2)EP ＝FQ ，理由如下：∵Rt △ABE 是等腰三角形，∴EA ＝BA ，∠PEA ＋∠PAE
＝90°，∠PAE ＋∠BAG ＝90°，∴∠PEA ＝∠BAG ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠EPA ＝∠AGB ，∠PEA ＝∠BAG ，EA ＝AB ，
∴△ABG ≌△EAP (AAS )，
∴AG ＝EP.同理AG ＝FQ.∴EP ＝FQ
4．(导学号 14952477)(2016·武汉)在△ABC 中，P 为边AB 上一点．
(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC 2＝AP·AB；
(2)若M 为CP 的中点，AC ＝2.
①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB ＝3，求BP 的长；
②如图3，若∠ABC＝45°，∠A ＝∠BMP＝60°，直接写出BP 的长．
解：(1)∵∠ACP ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ACP ∽△ABC ，∴AC AP ＝AB AC
，∴AC 2＝AP·AB (2)①取AP 的中点G ，连接MG ，设AG ＝x ，则PG ＝x ，BG ＝3－x ，∵M 是PC 的中点，∴MG ∥AC ，∴∠BGM ＝∠A ，∵∠ACP ＝∠P BM ，∴△APC ∽△GMB ，∴AP GM ＝AC GB ，即2x 1＝23－x ，∴x ＝3±52，∵AB ＝3，∴AP ＝3－5，∴PB ＝5；②过C 作CH⊥AB 于H ，延长AB 到E ，使BE ＝BP ，设
BP ＝x ，则BE ＝BP ＝x ，∵∠ABC ＝45°，∠A ＝60°，∴CH ＝3，HE ＝3＋x ，∴CE 2＝(3)
2＋(3＋x )2，∵BE ＝BP ，PM ＝CM ，∴BM ∥CE ，∴∠PMB ＝∠PCE ＝60°＝∠A ，∵∠E ＝∠E ，
∴△ECP ∽△EAC ，∴CE EP ＝AE CE
，∴CE 2＝EP·EA ，∴3＋3＋x 2＋23x ＝2x (x ＋3＋1)，∴x ＝7－1或x ＝－7－1(舍去)，∴BP ＝7－1
5．(导学号 14952478)(2016·徐州)已知：如图①，在▱ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1 cm /s ，当点P 与点C 重合时△PNM 停止平移，点Q 也停止运动．如图②，设运动时间为t(s )．解答下列问题：
(1)当t 为__4__s 时，点P 与点C 重合；
(2)设△QMC 的面积为y (cm 2)，求y 与t 之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 解：
(1)在如图①中，在Rt △ABC 中，因为∠BAC ＝90°，BC ＝5，AB ＝3，所以AC ＝BC 2－AB 2＝52－32＝4，∴t ＝4 s 时，点P 与点C 重合．故答案为4 (2)如图，作PD⊥BC 于点D ，
AE ⊥BC 于点E ，由S △ABC ＝12AB·AC ＝12BC ·AE ，所以AE ＝125
，在Rt △ACE 中，由勾股定理可得CE ＝165，因为PD⊥BC ，AE ⊥BC ，所以AE∥PD ，所以△CPD∽△CAE ，所以CP CA ＝CD CE ＝PD AE
，即4－t 4＝CD 165＝PD 125
，求得PD ＝12－3t 5，CD ＝16－4t 5
，因为PM∥BC ，所以M 到BC 的距离h ＝PD ＝12－3t 5，所以△QMC 的面积y ＝12CQ×h ＝12×t×12－3t 5＝－310t 2＋65
t (3)若PQ⊥MQ ，则∠MQP ＝∠PDQ ＝90°，因为MP∥BC ，所以∠MPQ ＝∠PQD ，所以
△MQP∽△PDQ ，所以PM PQ ＝PQ DQ ，所以PQ 2＝PM×DQ ，即PD 2＋DQ 2＝PM·DQ ，由CD ＝16－4t 5
，得DQ ＝CD －CQ ＝16－9t 5，故(12－3t 5)2＋(16－9t 5)2＝5×16－9t 5，整理得2t 2－3t ＝0解得t ＝32
或0(舍弃)．答：当t ＝32
s 时，PQ ⊥MQ
6．(导学号 14952479)(2017·乐山预测)对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，这种点的运动称为点的斜平移，如点P(2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，已知点A 的坐标为(1，0)．
(1)分别写出点A 经1次，2次斜平移后得到的点的坐标；
(2)如图，点M 是直线l 上的一点，点A 关于点M 的对称点为点B ，点B 关于直线l 的对称点为点C.
①若A ，B ，C 三点不在同一条直线上，判断△ABC 是否是直角三角形？请说明理由； ②若点B 是由点A 经n 次斜平移后得到，且点C 的坐标为(7，6)，求出点B 的坐标及n 的值．
解：(1)点A 经1次斜平移后得到的点的坐标为(2，2)，点A 经2次斜平移后得到的点的坐标为(3，4) (2)①连接CM ，如图1，由中心对称可知，AM ＝BM ，由轴对称可知：BM ＝CM ，∴AM ＝CM ＝BM ，∴∠MAC ＝∠ACM ，∠MBC ＝∠MCB ，∵∠MAC ＋∠ACM ＋∠MBC ＋∠MCB ＝180°，∴∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ACB 是直角三角形；②延长BC 交x 轴于点E ，过点C 作CF⊥AE 于点F ，如图2，∵A (1，0)，C (7，6)，∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，由①得∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为(13，0)，设直线
BE 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵点C ，E 在直线上，可得：⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋b ＝0，7k ＋b ＝6，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝13.∴y ＝－x ＋13，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴B (n ＋1，2n )，由2n ＝－n －1＋13，解得n ＝4，∴B (5，8)。