上海市长宁、嘉定区2013届高三第二次模拟数学文科
上海市16区2013届高三数学 二模试题分类汇编3 三角函
上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编3：三角函数姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）若02,sin 3απαα≤≤>,则α的取值范围是 【 】（ ）A ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭2 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）设函数()|sin |cos 2,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦,则函数()f x 的最小值是（ ）A ．1-.B ．0.C ．12. D ．98. 3 ．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．71. B ．71-. C ．7 . D ．7-.4 ．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）已知4cos25θ=,且sin 0θ<,则tan θ的值为 （ ）A ．2425-B ．247±C ．247-D ．2475 ．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）若22παπ≤≤-,22πβπ≤≤-,Rm ∈,如果有0sin 3=++m αα,0sin 3=+--m ββ,则)cos(βα+值为 .A 1- .B 0 .C 21.D 16 ．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交,若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ,2M ,3M ,,则131M M 等于.A π6 .B π7 .C π12 .D π137 ．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）下列命题中正确的是（ ）A ．函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数B ．函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数C ．函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数D ．函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数 二、填空题8 ．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）已知(,0)2πα∈-,且4cos 5α=,则sin 2α=___________. 9 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ,若3π=A ,c b 2=,则C =________.10．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若53sin =θ且02sin <θ,则θtan =_________.11．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）方程0cos =x x 在区间[]6,3-上解的个数为______. 12．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若41cos ,7,2-==+=B c b a,则=b __________.13．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）设ABC ∆的三个内角A B C 、、所对的边长依次为a b c 、、,若ABC ∆的面积为S ,且22()S a b c =--,则sin 1cos AA=-______________14．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）在△ABC中,120A ∠=︒,5AB =,7BC =,则sin sin BC的值为_____. 15．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）函数x x f 2sin 2)(=的最小正周期是_____________ 16．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）(文)已知135sin ,53)cos(-==-ββα,且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈,则=αsin _____.17．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________. 三、解答题 18．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且3sin cos cos sin 2A C A C +=,若7,b =ABC ∆的面积334ABC S ∆=,求a c +的值.19．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）本大题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 已知函数)cos()(ϕω+=x A x f (0>A ,0>ω,02<<-ϕπ)的图像与y 轴的交点为)1,0(,它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx(1)求函数)(x f 的解析式; (2)若锐角θ满足31cos =θ,求)2(θf 的值.20．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分.如图,在半径为20cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD ,其中点第19题A 、B 在直径上,点C 、D 在圆周上.(1)请你在下列两个小题中选择一题作答．．．．．．即可: ①设BOC θ∠=,矩形ABCD 的面积为()S g θ=,求()g θ的表达式,并写出θ的范围.②设(cm)BC x =,矩形ABCD 的面积为()S f x =,求()f x 的表达式,并写出x 的范围.(2)怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大?并求最大面积.21．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 . 如图所示,扇形AOB ,圆心角AOB的大小等于3π,半径为2,在半径OA 上有一动点C ,过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P . (1)若C 是OA 的中点,求PC ;(2)设θ=∠COP ,求△POC 周长的最大值及此时θ的值.22．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）本题共有2个小CDO题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知复数1sin i z x λ=+,2(sin 3cos )i z x x =+-(,R x λ∈,i 为虚数单位). (1)若122i z z =,且x ∈(0,π),求x 与λ的值;(2)设复数12,z z 在复平面上对应的向量分别为12,OZ OZ u u u u r u u u u r ,若12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r,且()f x λ=,求()f x 的最小正周期和单调递减区间.23．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,向量)cos 2,sin 2(B B =,)cos ,cos 3(B B -=,且1=⋅.(1)求角B ;(2)若a ,b ,c 成等差数列,且2=b ,求ABC ∆的面积.24．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）位于A 处的雷达观测站,发现其北偏东45°,与A 相距2 海里的B 处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+()00450<<θ的C 处,135=AC .在离观测站A 的正南方某处E ,13132cos -=∠EAC(1)求θcos ; (2)求该船的行驶速度v (海里/小时);θ北CBAE25．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边a ,b ,c 成等比数列.(1)求证:03B π<≤;(2)求1sin 2sin cos By B B+=+的取值范围.上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编3：三角函数参考答案一、选择题 1. B; 2. B; 3. D ; 4. C5. D ;6. A ;7. C 二、填空题 8. 2425- 9.6π10. 43-11. 4; 12. 4; 13. 4;14. 35; 15. π;16. (文)6533 17. π 三、解答题18.解:由条件可知3sin()2A C +=, 即3sin B =, 13sin 3.24ABC S ac B ∆==Q 3.ac ∴= 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得22()22cos ,b a c ac ac B =+-- 于是,217()23(1).2a c =+-⋅+4a c ∴+= 19. [解](1)由题意可得2=Aπ22=T 即π4=T ,21=ω )21cos(2)(ϕ+=x x f ,1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ,得3πϕ-=函数)321cos(2)(π-=x x f(2)由于1cos 3θ=且θ为锐角,所以322sin =θ )2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=20. . (文) [解]①由BOC θ∠=,得20cos ,20sin OB BC θθ==,其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭理2分,文3分 所以()2800sin cos 400sin 2S g AB BC OB BC θθθθ==⋅=⋅== 即()400sin 2g θθ=,0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭文理4分 ②连接OC ,则2400OB x =-(020)x << 理2分,文3分 所以2()2400S f x AB BC x x ==⋅=-(020)x << 即2()2400f x x x =-(020)x <<. 文理4分 (2)①由()400sin 2S g θθ== 得当sin 21θ=即当4πθ=时,S 取最大值2400cm .理4分,文5分此时20sin102cm 4BC π==,当BC 取102cm 时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为2400cm .文理2分②22222()24002(400)(400)400f x x x x x x x =-=-≤+-=,当且仅当22400x x =-,即102x =时,S 取最大值2400cm .理4分,文5分 当BC 取102cm 时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为2400cm .文理2分21.本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 .解:(1)在△POC 中,32π=∠OCP ,1,2==OC OP由32cos2222πPC OC PC OC OP ⋅-+= 得032=-+PC PC ,解得2131+-=PC . (2)∵CP ∥OB ,∴θπ-=∠=∠3POB CPO ,在△POC 中,由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠,即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC . 记△POC 的周长为)(θC ,则2)3sin(34sin 342)(+-+=++=θπθθOC CP C=31sin 2sin 22333cos πθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴6πθ=时,)(θC 取得最大值为432+. 22.本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.解:(1)由122i z z =,可得2sin 2i 1(sin 3cos )i x x x λ+=++,又,x λ∈R ,∴2sin 1, 2sin 3cos ,x x x λ=⎧⎪⎨=+⎪⎩又(0,π)x ∈, 故π,61, x λ⎧=⎪⎨⎪=⎩或5π,61.2x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)12(sin ,),(sin 3,1)OZ x OZ x x λ==-u u u u r u u u u r, 由12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r,可得sin (sin 3)0x x x λ-=,又()f x λ=,故2()sin 3sin cos f x x x x =1cos23π12sin(2)262x x x -=+=-+ 故()f x 的最小正周期πT =,又由ππ3π2π22π(262k x k k +≤-≤+∈Z),可得π5πππ36k x k +≤≤+, 故()f x 的单调递减区间为π5π[π,π]36k k ++()Z k ∈23.解:(1)Θ1=⋅n m ,∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ,22cos 2sin 3=-B B ,1)62sin(=-πB ,又π<<B 0,∴611626πππ<-<-B ,∴262ππ=-B ,∴3π=B(2)Θ2=b ,c a b +=2,∴4=+c a .又B ac c a b cos 2222⋅-+=,∴3cos2422π⋅-+=ac c a ,即ac c a -+=224将4=+c a 代入得0442=+-a a ,得2=a ,从而2=c ,三角形为等边三角形∴3sin 21==∆B ac S24. (1)13133cos 1sin ,13132cos 2=∠-=∠∴-=∠EAC EAC EAC Θ EAC EAC EAC ∠⋅+∠⋅=⎪⎭⎫⎝⎛∠-=sin 43sin cos 43cos 43cos cos πππθ=262651313322)13132(22=⨯+-⨯-(2)利用余弦定理55,125cos 2222=∴=⋅⋅-+=BC AC AB AC AB BC θ该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为55海里,该船的行驶速度5153155==v (海里/小时) 25. (本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)解:(1)由已知,ac b =2,所以由余弦定理,得acacc a ac b c a B 22cos 22222-+=-+=由基本不等式ac c a 222≥+,得2122cos =-≥ac ac ac B所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,21cos B .因此,30π≤<B .(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=++=4sin 2cos sin cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12πB B B B B B B B B B y , 由(1),30π≤<B ,所以12744πππ≤+<B ,所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,224sin πB ,所以,BB By cos sin 2sin 1++=的取值范围是(]2,1。
数学_2013年上海市浦东新区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)
2013年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 已知复数z 满足z +i =1（其中i 为虚数单位），则|z|=________． 2. 已知集合A ={−2, 1, 2}，B ={√a +1，a}，且B ⊆A ，则实数a 的值是________．3. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．4. 函数f(x)=1+log 2x 与y =g(x)的图象关于直线y =x 对称，则g(3)=________．5. 把三阶行列式|2x03x401x −3−1|中第1行第3列元素的代数余子式记为f(x)，则关于x 的不等式f(x)<0的解集为________．6. 若双曲线的渐近线方程为y =±3x ，它的一个焦点是(√10，0)，则双曲线的方程是________．7. 若直线3x +4y +m =0与圆C ：(x −1)2+(y +2)2=1有公共点，则实数m 的取值范围是________．8. 记直线l n :nx +(n +1)y −1=0(n ∈N ∗)与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S n ，则limn →∞(S 1+S 2+S 3+⋯+S n )=________． 9. 在△ABC 中，a ，b ，c 是三个内角，A ，B ，C 所对的边，若a =2,b +c =7,cosB =−14，则b =________．10. 已知实数x ，y 满足约束条件{−2≤x +y ≤2−2≤x −y ≤2x 2+y 2≥1，则不等式所围成的区域面积为________．11. 方程xcosx =0在区间[−3, 6]上解的个数为________．12. 某人从分别标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张，并按如下约定记录抽取结果：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记录下来；如果出现一奇一偶，则记下它们的差的绝对值，则出现记录结果不大于3的概率为________．13. 如果M 是函数y =f(x)图象上的点，N 是函数y =g(x)图象上的点，且M ，N 两点之间的距离|MN|能取到最小值d ，那么将d 称为函数y =f(x)与y =g(x)之间的距离．按这个定义，函数f(x)=x 和g(x)=√−x 2+4x −3之间的距离是________． 14. 数列{a n }满足a n+1=4a n −2a n +1(n ∈N ∗)．①存在a 1可以生成的数列{a n }是常数数列； ②“数列{a n }中存在某一项a k =4965”是“数列{a n }为有穷数列”的充要条件；③若{a n }为单调递增数列，则a 1的取值范围是(−∞, −1)∪(1, 2)； ④只要a 1≠3k −2k+13k −2k，其中k ∈N ∗，则limn →∞a n一定存在；其中正确命题的序号为________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）；每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15. 设a ∈R ，则“a =1”是“直线l 1:ax +2y −1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 16. 已知|a →|=3，|b →|=2，(a →+2b →)⋅(a →−3b →)=−18，则a →与b →的夹角为( )A 30∘B 60∘C 120∘D 150∘17. 已知以4为周期的函数f(x)={m(1−|x|),x ∈(−1,1]−cos πx 2，x ∈(1,3]其中m >0，若方程f(x)=x3恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A (43，+∞) B [43，+∞) C (43，83) D [43，83]18. 从集合{1, 2, 3, 4, ..., 2013}中任取3个元素组成一个集合A ，记A 中所有元素之和被3除余数为i 的概率为P i (0≤i ≤2)，则P 0，P 1，P 2的大小关系为（ ） A P 0=P 1=P 2 B P 0>P 1=P 2 C P 0<P 1=P 2 D P 0>P 1>P 2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤．19.如图，已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长是2，体积是16，M ，N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点．（1）求异面直线MN 与A 1C 1所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）求过A 1，B ，C 1的平面与该正四棱柱所截得的多面体A 1C 1D 1−ABCD 的体积． 20. 已知向量m →=(1,1)，向量n →与向量m →的夹角为3π4，且m →⋅n →=−1． (1)求向量n →；(2)若向量n →与q →=(1,0)共线，向量p →=(2cos 2C2,cosA)，其中A 、C 为△ABC 的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，求|n →+p →|的取值范围．21. 设函数f(x)=(x −a)|x|+b（1）当a =2，b =3，画出函数f(x)的图象，并求出函数y =f(x)的零点； （2）设b =−2，且对任意x ∈(−∞, 1],f(x)<0恒成立，求实数a 的取值范围． 22. 已知直角△ABC 的三边长a ，b ，c ，满足a ≤b <c（1）在a ，b 之间插入2011个数，使这2013个数构成以a 为首项的等差数列{a n }，且它们的和为2013，求c 的最小值；（2）已知a ，b ，c 均为正整数，且a ，b ，c 成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列S 1，S 2，S 3，…S n ，且T n =−S 1+S 2−S 3+⋯+(−1)n S n ，求满足不等式T 2n >6⋅2n+1的所有n 的值；（3）已知a ，b ，c 成等比数列，若数列{X n }满足√5X n =(c a)n −(−ac)n (n ∈N +)，证明：数列{√X n }中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且X n 是正整数． 23. 解答下列问题： (1)设椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1与双曲线C 2:9x 2−9y 28=1有相同的焦点F 1，F 2，M 是椭圆C 1与双曲线C 2的公共点，且△MF 1F 2的周长为6，求椭圆C 1的方程；(2)我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．如图，已知“盾圆D”的方程为y 2={4x,(0≤x ≤3),−12(x −4),(3<x ≤4). 设“盾圆D”上的任意一点M 到F(1, 0)的距离为d 1，M 到直线l:x =3的距离为d 2，求证：d 1+d 2为定值；(3)由抛物线弧E 1:y 2=4x(0≤x ≤23)与第(1)小题椭圆弧E 2:x 2a2+y 2b 2=1(23≤x ≤a)所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F(1, 0)的直线与“盾圆E”交于A ，B 两点，|FA|=r 1，|FB|=r 2且∠AFx =α(0≤α≤π)，试用cosα表示r 1；并求r1r 2的取值范围．2013年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）答案1. √22. 13. 154. 45. (−1, 4)6. x 2−y 29=17. [0, 10] 8. 129. 410. 8−π 11. 4 12. 23 13. √2−1 14. ①④ 15. A16. B 17. C 18. B 19. 解：（1）由题意得16=22×B 1B ，∴ B 1B =4．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得AC =√22+22=2√2=A 1C 1． 同理可得BC 1=BA 1=√22+42=2√5．连接BC 1，∵ M ，N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点，∴ BC 1 // MN ， ∴ ∠A 1C 1B 或其补角是异面直线MN 与A 1C 1所成的角． 连接BA 1，在△A 1BC 1中，由余弦定理得cos∠A 1C 1B =√2)2√5)2√5)22×2√2×2√5=√1010． ∴ 异面直线MN 与A 1C 1所成的角为arccos√1010． （2）∵ V B−A 1B 1C 1=13×12×2×2×4=83；∴ V A 1C 1D 1−ABCD =V ABCD−A 1B 1C 1D 1−V B−A 1B 1C 1=16−83=403，∴ 多面体A 1C 1D 1−ABCD 的体积为403．20. 解：(1)设n →=(x,y)．由m →⋅n →=−1，得x +y =−1① 又向量n →与向量m →的夹角为3π4得−√22=√2⋅√x 2+y 2，即x 2+y 2=1②由①、②解得{x =−1y =0或{x =0y =−1，∴ n →=(−1,0)或n →=(0,−1)．…(2)结合(1)由向量n →与q →=(1,0)共线知n →=(−1,0)； 由A 、B 、C 依次成等差数列知B =π3，A +C =2π3，0<A <2π3．…∴ n →+p →=(−1+2cos 2C2,cosA)=(cosC,cosA)， ∴ |n →+p →|2=cos 2C +cos 2A =1+cos2A2+1+cos2C2=1+12[cos2A +cos(4π3−2A)]=1+12cos(2A +π3)．…∵ 0<A <2π3，π3<2A +π3<5π3，∴ −1≤cos(2A +π3)<12，∴ 12≤1+12cos(2A +π3)<54， ∴ |n →+p →|2∈[12,54)，∴ |n →+p →|∈[√22,√52)．… 21. 解：（1）当a =2，b =3时函数f(x)=(x −2)|x|+3的解析式可化为：f(x)={x2−2x+3x≥02x−x2+3x<0，故函数的图象如下图所示：当x≥0时，由f(x)=0，得x2−2x+3=0，此时无实根；当x<0时，由f(x)=0，得x2−2x−3=0，得x=−1，x=3（舍）．所以函数的零点为x=−1．（2）当b=−2时，由f(x)<0得，(x−a)|x|<2．当x=0时，a取任意实数，不等式恒成立；当0<x≤1时，a>x−2x ，令g(x)=x−2x，则g(x)在0<x≤1上单调递增，∴ a>g max(x)=g(1)=−1；当x<0时，a>x+2x ，令ℎ(x)=x+2x，则ℎ(x)在[−√2，0)上单调递减, (−∞,−√2]单调递增；∴ a>ℎmax(x)=ℎ(−√2)=−2√2．综合a>−1．22. （1）解：{a n}是等差数列，∴ 2013(a+b)2=2013，即a+b=2．所以c2=a2+b2=2(a2+b2)2≥(a+b)22=222=2，所以c的最小值为√2；（2）解：设a，b，c的公差为d(d∈Z)，则a2+(a+d)2=(a+2d)2∴ a=3d．设三角形的三边长为3d，4d，5d，面积S d=12×3d×4d=6d2(d∈Z)，则S n=6n2，T2n=−S1+S2−S3+...+S2n=6[−12+22−32+42−...+(2n)2]=6(1+2+3+4+...+2n)=12n2+6n．由T2n>6⋅2n+1得n2+12n>2n，当n≥5时，2n=1+n+n(n−1)2+⋯≥2+2n+(n2−n)>n2+12n，经检验当n=2，3，4时，n2+12n>2n，当n=1时，n2+12n<2n．综上所述，满足不等式T2n>6⋅2n+1的所有n的值为2、3、4．（3）证明：因为a，b，c成等比数列，∴ b2=ac．由于a ，b ，c 为直角三角形的三边长，知a 2+ac =c 2，∴ c a=1+√52，又√5X n =(c a )n −(−ac )n (n ∈N ∗)，得√5X n =(1+√52)n−(1−√52)n， 于是√5X n +√5X n+1=(1+√52)n−(1−√52)n+(1+√52)n+1−(1−√52)n+1=(1+√52)n+2−(1−√52)n+2=√5X n+2．∴ X n +X n+1=X n+2，则有(√X n )2+(√X n+1)2=(√X n+2)2．故数列{√X n }中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形． 因为 X 1=√55[(√5+12)1−(1−√52)1]=1， X 2=√55[(√5+12)2−(1−√52)2]=1，⇒X 3=X 1+X 2=2∈N ∗，由X n +X n+1=X n+2，同理可得X n ∈N ∗，X n+1∈N ∗⇒X n+2∈N ∗， 故对于任意的n ∈N ∗都有X n 是正整数．23. (1)解：由△MF 1F 2的周长为6，得2(a +c)=6，即a +c =3， 椭圆C 1与双曲线C 2:9x 2−9y 28=1有相同的焦点，所以c =1，所以a =2，b 2=a 2−c 2=3， 椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设“盾圆D”上的任意一点M 的坐标为(x, y)，d 2=|x −3|． 当M ∈C 1时，y 2=4x(0≤x ≤3)，d 1=√(x −1)2+y 2=|x +1|， 则d 1+d 2=|x +1|+|x −3|=(x +1)+(3−x)=4；当M ∈C 2时，y 2=−12(x −4)(3<x ≤4)，d 1=√(x −1)2+y 2=|7−x|， 则d 1+d 2=|7−x|+|x −3|=(7−x)+(x −3)=4； 所以d 1+d 2=4为定值.(3)解：显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A 在抛物线弧E 1或椭圆弧E 2上加以分类， 由“盾圆E”的对称性，不妨设A 在x 轴上方（或x 轴上）： 当x =23时，y =±2√63，此时r =53，cosα=−15；当−15≤cosα≤1时，A 在椭圆弧E 2上.由题设知A(1+r 1cosα, r 1sinα)代入x 24+y 23=1得，3(1+r1cosα)2+4(r1sinα)2−12=0，整理得(4−cos2α)r12+6r1cosα−9=0，解得r1=32+cosα或r1=3cosα−2（舍去）．当−1≤cosα≤−15时，A在抛物线弧E1上，由方程或定义均可得到r1=2+r1cosα，于是r1=21−cosα，综上，r1=21−cosα(−1≤cosα≤−15)或r1=32+cosα(−15≤cosα≤1)；相应地，B(1−r2cosα, −r2sinα).当−1≤cosα≤−15时，A在抛物线弧E1上，B在椭圆弧E2上，r1 r2=21−cosα⋅2−cosα3=23(1+11−cosα)∈[1, 119]；当15≤cosα≤1时，A在椭圆弧E2上，B在抛物线弧E1上，r1 r2=32+cosα⋅1+cosα2=32(1−12+cosα)∈[911, 1]；当−15≤cosα≤15时，A，B在椭圆弧E2上，r1 r2=32+cosα⋅2−cosα3=2−cosα2+cosα∈(911, 119).综上r1r2的取值范围是[911, 119]．。
上海市16区2013届高三数学 二模试题分类汇编2 函数及其应用 文
上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编2：函数及其应用姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题 1 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）某商场在节日期间举行促销活动,规定:(1)若所购商品标价不超过200元,则不给予优惠;(2)若所购商品标价超过200元但不超过500元,则超过200元的部分给予9折优惠; (3)若所购商品标价超过500元,其500元内(含500元)的部分按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予8折优惠.某人来该商场购买一件家用电器共节省330元,则该件家电在商场标价为 【 】 （ ） A ．1600元 B ．1800元 C ．2000元 D ．2200元 2 ．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）已知函数()1,00,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,设2()()F x x f x =⋅,则()F x 是（ ）A ．奇函数,在(,)-∞+∞上单调递减B ．奇函数,在(,)-∞+∞上单调递增C ．偶函数,在(),0-∞上递减,在()0,+∞上递增D ．偶函数,在(),0-∞上递增,在()0,+∞上递减3 ．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）已知以4为周期的函数(](]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,2cos 1,1|),|1()(x xx x m x f π其中0>m ,若方程3)(x x f =恰有5个实数解,则m 的取值范围为)(A 4(,)3+∞)(B 4[,)3+∞ )(C 48,33⎛⎫⎪⎝⎭)(D 48[,]33.4 ．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）某同学为了研究函数)10()1(11)(22≤≤-+++=x x x x f 的性质,构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ,点P 是边BC 上的一个动点,设x CP =,则PF AP x f +=)(.那么,可推知方程222)(=x f 解的个数是 （ ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.5 ．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）函数21()1(2)2f x x x =+<-的反函数是（ ）A ．3)y x ≤<B ．3)y x >C ．3)y x =≤<D ．3)y x =>6 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）(文)已知函数2()21,()1,x f x g x x =-=-构造函数()F x ,定义如下:当|()|(),()|()|,|()|(),()()f x g x F x f x f x g x F x g x ≥=<=-时当时,那么()F x （ ）A ．有最小值0,无最大值B ．有最小值1-,无最大值C ．有最大值1,无最小值D ．无最小值,也无最大值 二、填空题 7 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）已知函数⎩⎨⎧<≤≤=.0,,20,sin 2)(2x x x x x f π若3))((0=x f f ,则=0x ____. 8 ．（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠的反函数图像过点(2,1)-,则a =____________.9 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若函数1)(2++=ax x x f 是偶函数,则函数||)(x x f y =的最小值为_________. 10．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上,则函数)(x f 的反函数)(1x f-=______.11．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）函数)1(log 2-=x y 的定义域为_________.12．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）如果M 是函数)(x f y =图像上的点,N是函数)(x g y =图像上的点,且N M ,两点之间的距离MN 能取到最小值d ,那么将d 称为函数)(x f y =与)(x g y =之间的距离.按这个定义,函数x x f =)(和34)(2-+-=x x x g 之间的距离是__________.13．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称,则=)3(g _________.14．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）设()f x 是定义在R 上的函数,若 81)0(=f ,且对任意的x ∈R,满足(2)()3,(4)(2)93x x f x f x f x f x +-≤+-+≥⨯,则(8)f =____________.15．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）用二分法研究方程3310x x +-=的近似解0x x =,借助计算器经过若干次运算得下表:若精确到0.1,至少运算n 次,则0n x +的值为_________________.16．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）函数)(x f y =的定义域为[)(]1,00,1 -,其图像上任一点),(y x P 满足122=+y x .① 函数)(x f y =一定是偶函数;② 函数)(x f y =可能既不是偶函数,也不是奇函数; ③ 函数)(x f y =可以是奇函数;④ 函数)(x f y =如果是偶函数,则值域是[)1,0或(]0,1-; ⑤ 函数)(x f y =值域是()1,1-,则)(x f y =一定是奇函数.其中正确命题的序号是_____________(填上所有正确的序号). 17．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）已知函数)(x f y =和函数)1(log 2+=x y 的图像关于直线0=-y x 对称,则函数)(x f y =的解析式为_____________.18．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）若关于yx 、的二元一次方程组⎩⎨⎧=-+-=+-04)12(03y x m y mx 有唯一一组解,则实数m 的取值范围是_____.19．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）已知1()4f x x=-,若存在区间[,]a b ⊆(0,)+∞,使得{|(),[,]}y y f x x a b =∈=[,]ma mb ,则实数m 的取值范围是_________.20．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）设a 为常数,函数2()43f x x x =-+.若()f x 在[,)a +∞上是增函数,则a 的取值范围是_________. 21．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）函数()lg(42)f x x =-的定义域为_____.22．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合,如果对于定义域内的任意实数x ,函数值均为正,则实数a 的取值范围是________________. 23．（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减,则k 的取值范围是__________.24．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数,已知(0,1)x ∈,()()12log 1f x x =-,则函数()f x 在(1,2) 上的解析式是____________25．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）关于x 的方程022=++mx x ()R m ∈的一个根是ni +1()+∈Rn ,则=+n m _____26．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）若函数()8xf x =的图像经过点1()3a ，,则()21+-a f=_________27．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）已知直线y t =与函数()3x f x =及函数()43x g x =⋅的图像分别相交于A 、B 两点,则A 、B 两点之间的距离为________ 28．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）(文)函数x x x x f 4|4|)(22-+-=的单调递减区间是___________.三、解答题 29．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）本题满分16分,第1小题满分10分,第2小题满分6分设定义域为R 的函数xx a x f 42)(1+=+为偶函数,其中a 为实常数. (1)求a 的值,指出并证明该函数的其它基本性质;(2)请你选定一个区间D ,求该函数在区间D 上的反函数()x f 1-.30．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）本大题共有2小题,第1小题6分,第2小题8分. 已知0>a 且1≠a ,函数)1(log )(+=x x f a ,xx g a-=11log )(,记)()(2)(x g x f x F +=(1)求函数)(x F 的定义域D 及其零点;(2)若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内有解,求实数m 的取值范围. 、31．（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.设函数()()||f x x a x b =-+(1)当2,3a b ==,画出函数()f x 的图像,并求出函数()y f x =的零点; (2)设2b =-,且对任意(,1]x ∈-∞,()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围.32．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.已知函数1()||,4=--∈R f x x x a x . (1)当1a =时,指出()f x 的单调递减区间和奇偶性(不需说明理由); (2)当1a =时,求函数(2)xy f =的零点;(3)若对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围. 解:33．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分. 已知函数a x x f +=2)(.(1)若函数))((x f f y =的图像过原点,求)(x f 的解析式; (2)若12)()(++=bx x f x F 是偶函数,在定义域上ax x F ≥)(恒成立,求实数a 的取值范围;(3)当1=a 时,令)())(()(x f x f f x λϕ-=,问是否存在实数λ,使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数,在()0,1-上是增函数?如果存在,求出λ的值;如果不存在,请说明理由.34．（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.某医药研究所开发一种新药,在试验药效时发现:如果成人按规定剂量服用,那么服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间x (小时)之间满足211,(01)12,(1)41x x axx x y a x --⎧<<⎪⎪+=⎨⋅⎪≥⎪+⎩,其对应曲线(如图所示)过点116(,)25.(1)试求药量峰值(y 的最大值)与达峰时间(y 取最大值时对应的x 值);(2)如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效,那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间?(精确到0.01小时)35．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）(本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分10分)设函数)10()1()(≠>--=-a a ak a x f xx且是定义域为R 的奇函数.(1)求k 的值;(2)(文)若0)1(<f ,试说明函数)(x f 的单调性,并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的的取值范围.yx上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编2：函数及其应用参考答案 一、选择题 1. C. 2. B3. B ,(文)C ;4. C5. D6. (文)B 二、填空题7.34π与35π; 8. 129. 210. =-)(1x f 2x (0≥x ) 11. }1|{>x x 12. (文)12-; 13. 4;14. 86561388或. 15. 5.3; 16. ②③⑤ 17. 12-=xy ; 18. 31≠m ; 19. (0,4). 20. [2,)+∞; 21. (,2)-∞;22. 07≤<-a 或2=a ;23. )21,(∞-; 24. ()1log 21-=x y25. 1- 26.3227. 4log 3;28. (文)]2(，-∞ 三、解答题29.解:(1)由题意,对于任意的R ∈x ,都有x x a -+-+421xx a 421+=+,即,()()0141=+-x a 对R ∈x 恒成立,所以,.1=a 另解:对任意的R ∈x ,都有)()(x f x f =-成立,所以)1()1(f f =-,解得1=a .2211412412)()(1121x x x x x f x f +-+=-++()()()()212112414112222x x x x x x ++--=+ 设021<<x x ,则02212>-x x ,()()0414121>++x x ,所以,对任意的()0,,21∞-∈x x ,21x x <,01221<-+x x有0)()(21<-x f x f ,即)()(21x f x f <.故,)(x f 在()0,∞-上是单调递增函数. 又,对任意的()+∞∈,0,21x x ,21x x <,01221>-+x x有0)()(21>-x f x f ,即)()(21x f x f >.故,)(x f 在()+∞,0上是单调递减函数.对于任意的R ∈x ,1222412)(1≤+=+=-+xx x x x f , 故,当0=x 时,)(x f 取得最大值1.因为方程0412)(1=+=+x x x f 无解,故函数xx x f 412)(1+=+无零点. (2)选定()+∞=,0D ,xx y 4121+=+, ()02222=+⨯-⋅y y x xyy x2112-+=, ()xx x f 22111log -+=-,(]1,0∈x .30.解:(1))()(2)(x g x f x F +=xx aa -++=11log )1(log 2(0>a 且1≠a ) ⎩⎨⎧>->+0101x x ,解得11<<-x ,所以函数)(x F 的定义域为)1,1(- 令)(x F 0=,则011log )1(log 2=-++xx aa (*) 方程变为)1(log )1(log 2x x a a -=+x x -=+1)1(2,即032=+x x解得01=x ,32-=x ,经检验3-=x 是(*)的增根,所以方程(*)的解为0=x 即函数)(x F 的零点为0 (2)xx m aa -++=11log )1(log 2(10<≤x ) =)4141(log 112log 2--+-=-++x x x x x a a4141--+-=x x a m ,设]1,0(1∈=-t x 函数t t y 4+=在区间]1,0(上是减函数当1=t 时,此时1=x ,5min =y ,所以1≥ma①若1>a ,则0≥m ,方程有解 ②若10<<a ,则0≤m ,方程有解31.解:(1)22230()23x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-+<⎪⎩,画图正确当0x ≥时,由()0f x =,得2230x x -+=,此时无实根;当0x <时,由()0f x =,得2230x x --=,得1,3(x x =-=舍）.所以函数的零点为1x =-(2)当0x =时,a 取任意实数,不等式恒成立;当01x <≤时,2a x x >-,令2()g x x x=-,则()g x 在01x <≤上单调递增, ∴max ()(1)1a g x g >==-;当0x <时,2a x x >+,令2()h x x x=+, 则()h x在上单调递减,(,-∞单调递增;∴max ()(a h x h >==-综合 1a >-32. [解](文)(1)当1a =时,函数的单调递减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数(2)当1a =时,1()|1|4f x x x =--, 由(2)0x f =得12|21|04x x --= 即2211(2)204x x x ⎧≥⎪⎨--=⎪⎩或2211(2)204x x x ⎧<⎪⎨-+=⎪⎩解得12222x x x ===所以22log log (11x ==+-或1x =- (3)当0x =时,a 取任意实数,不等式()0f x <恒成立,故只需考虑(]0,1x ∈,此时原不等式变为1||4x a x -<即1144x a x x x-<<+ 故(]max min 11()(),0,144x a x x x x-<<+∈ 又函数1()4g x x x =-在(]0,1上单调递增,∴max 13()(1)44x g x -== 函数1()4h x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减,在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,∴min 11()()142x h x +==;所以314a <<,即实数a 的取值范围是3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭33.本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.解:(1)a a ax x x f f y +++==2242))(( 过原点,02=+a a10-==⇒a a 或 得2)(x x f =或1)(2-=x x f (2)12)(2+++=bx a x x F 是偶函数,0=∴b 即2)(2++=a x x F ,R x ∈ 又ax x F ≥)(恒成立即2)1(222+≤-⇒≥++x x a ax a x当1=x 时R a ∈⇒当1>x 时,213)1(122+-+-=-+≤x x x x a ,232+≤a 当1<x 时,213)1(122+-+-=-+≥x x x x a , 232+-≥a 综上: 232232+≤≤+-a(3))())(()(x f x f f x λϕ-=)2()2(24λλ-+-+=x x)(x ϕ∴是偶函数,要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数, 即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数.令2x t =,当()1,0∈x 时()1,0∈t ;()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ,由于()+∞∈,0x 时,2x t =是增函数记)2()2()()(2λλϕ-+-+==t t t H x ,故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性,当二次函数)2()2()(2λλ-+-+=t t t H 在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数,其对称轴方程为1=t 4122=⇒=--⇒λλ. 34.本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.解:(1)由曲线过点116(,)25,可得11621514a ⨯=+,故8a = 当01x <<时,288412x x y x x=<=+, 当1x ≥时,设12x t -=,可知1t ≥,112828844112x x t t y t t --⨯==≤=++(当且仅当1t =时,4y =) 综上可知max 4y =,且当y 取最大值时,对应的x 值为1所以药量峰值为4mg,达峰时间为1小时(2)当01x <<时,由2811x x =+,可得2810x x -+=,解得4x =又41,故4x =当1x ≥时,设12x t -=,则1t ≥, 由1182141x x --⨯=+,可得2811t t =+,解得4t =±又1t ≥,故4t =所以124x -=,可得2log (41x =+由图像知当1y ≥时,对应的x的取值范围是2[4(41]+,∵2log (41(4 3.85+-≈,所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间【另法提示:可直接解不等式1≥y ,得出x 的取值范围,然后求出有效时间】35.解:(1)由题意,对任意R ∈x ,)()(x f x f -=-,即x x x x a k a a k a---+-=--)1()1(, 即0)())(1(=+-+---x x x x a a a a k ,0))(2(=+--x x a a k ,因为x 为任意实数,所以2=k解法二:因为)(x f 是定义域为R 的奇函数,所以0)0(=f ,即0)1(1=--k ,2=k . 当2=k 时,x x aa x f --=)(,)()(x f a a x f x x -=-=--,)(x f 是奇函数. 所以k 的值为2(2)由(1)知x x aa x f --=)(,由0)1(<f ,得01<-a a ,解得10<<a . 当10<<a 时,x a y =是减函数,x ay --=也是减函数,所以x x a a x f --=)(是减函数.由0)4()(2<-++x f tx x f ,所以)4()(2x f tx x f --<+,因为)(x f 是奇函数,所以)4()(2-<+x f tx x f因为)(x f 是R 上的减函数,所以42->+x tx x 即04)1(2>+-+x t x 对任意R ∈x 成立,所以△016)1(2<--=t ,解得53<<-t所以,的取值范围是)5,3(-。
区高三二模数学(文)试题分类汇编：复数
上海市16区2013届高三二模数学(文）试题分类汇编13：复数一、填空题1 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）设i 为虚数单位,集合{}i i,,1,1--=A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+-=i 1i 1i),i)(1(1,i ,1i 410B ，则=B A ____。
【答案】{}i ,1-；2．(上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题)已知32i x =--(i 为虚数单位）是一元二次方程20xax b ++=（,a b 均为实数)的一个根，则a b +=__________。
【答案】193 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模)质量调研数学（文）试题）若i a z 21+=，i z +=12(i 表示虚数单位）,且21z z 为纯虚数，则实数=a ______。
【答案】2-4 ．（上海市浦东区2013年高考二模数学(文）试题 ）已知复数z 满足1=+i z （其中i 为虚数单位），则z =__________. 【答案】2;5 ．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题)若复数z 满足)2(z i z -=(i 是虚数单位），则=z _____________。
【答案】2;6 ．（上海市虹口区2013届高三（二模)数学（文）试卷）已知复数i i z +-=1)1(3，则=z _______.【答案】2；7 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）已知复数z 满足1i z -=3，则复数z 的实部与虚部之和为__________. 【答案】34。
2013年上海市长宁、嘉定区高三二模理科数学试卷及答案
2012学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________．2．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数=m _________．3．已知集合{}{}331,,0,1<<=-=xx B a A ，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是 ． 4．已知复数z 满足1iz -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为__________． 5．求值：1220132013201320132013124(2)C C C -+-+-= ___________．6．已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是____________．7．设1,0≠>a a ，行列式34210231D -=xa 中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像经过点()1,2，则a = ． 8．如图是一个算法框图，则输出的k 的值是 _______． 9．已知135sin ,53)cos(-==-ββα， 且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则______sin =α．10．设函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ，则将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为____________．11．抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B ，则事件B A 的概率=)(B A P ____________．12．设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则232221x x x ++=____________． 13.函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值和最小值分别为m M ,，则=+m M ______． 第8题14．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式21222ma nS a n n≥+对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为._______二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15. 已知),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA OB ⊥的充要条件是 （ ） A ．12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b ba a = D.1221b a b a = 16.关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥C ．若,//,//ααm l 则m l //D ．若l m l ⊥,//α，则α⊥m17. 过点(1,1)P 作直线l 与双曲线2212y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线l （ ） A ．存在一条，且方程为210x y --= B ．存在无数条 C ．存在两条，方程为()210x y ±+= D ．不存在 18.已知0>a 且1≠a ，函数)(log )(2b x x x f a ++=在区间),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，则函数b x x g a -=||log )(的图象是( )三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ． （1）求AD 与平面ABC 所成角的大小； （2）求点B 到平面ACD 的距离．AB CD20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列． （1）求证：03B π<≤；（2）求1sin 2sin cos By B B+=+的取值范围．21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x x 且是定义域为R 的奇函数． （1）求k 的值； （2）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a xg x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围；（3）对于（2）中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD 为等边三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）已知三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q ．在a ，b 之间和b ，c 之间共插入n 个数，使这3+n 个数构成等差数列．（1）若1=a ，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；（2）设c b a <<，4=n ，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，t 个位于b ，c 之间，试比较s 与t 的大小．2012学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试数学试卷（参考答案）一、填空题（每小题4分，共56分） 1．π 2。
【2013上海普陀二模】上海市普陀区2013届高三下学期二模数学(文)试题
普陀区2012学年第二学期高三文科数学质量调研考生注意：2013.41.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数)1(log 2-=x y 的定义域为 . 2. 若53sin =θ且02sin <θ，则θtan = . 3. 若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .4. 若i a z 21+=，i z +=12（i 表示虚数单位），且21z z 为纯虚数，则实数=a . 5. 若5522105)12(x a x a x a a x ++++=+ ，则=++-++25312420)()(a a a a a a .6. 若函数1)(2++=ax x x f 是偶函数，则函数||)(x x f y =的最小值为 . 7. 若双曲线C :22221x y a b-=的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 .8. 若某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，则至少选出2名男生的概率为 .9. 若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .10. 若三条直线03=++y ax ,02=++y x 和012=+-y x 相交于一点，则行列式11221131-a 的值为 .11. △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若3π=A ，c b 2=，则C = .12. 若圆C 的半径为3，单位向量e 所在的直线与圆相切于定点A ，点B 是圆上的动点，则e AB ⋅ 的最大值为13. 已知函数⎩⎨⎧<≥=0,10,2)(x x x f x ，若)2()1(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是 .14. 若,i j a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,853543211111 中第i 行、第j 列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为n ,,3,2,1 ，且1,11,,i j i j i j a a a +++=+（i 、1,,3,2,1-=n j ）,则=∞→2,3limn a n n .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 若集合},4|{2R y x y x A ∈==，1{|0}2xB x x-=≥+，则A B =………………（ ） A . [0,1]. B .(2,1]-. C . (2,)-+∞. D . [1,)+∞.16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ，则1S :2S =…………………………………………………………( )A . 1:1.B . 2：1.C . 3:2.D . 4:1.17. 若R a ∈，则“关于x 的方程012=++ax x 无实根”是“i a a z )1()12(-+-=（其中i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的…………………………（ ）A .充分非必要条件.B .必要非充分条件.C .充要条件.D .既非充分又非必要条件.18.如图，△ABC 是边长为1的正三角形，点P 在△ABC 所在的平面内，且++22||||PB PA a PC =2||（a 为常数）.下列结论中，正确的是……………………………………………（ ）A .当10<<a 时，满足条件的点P 有且只有一个.B .当1=a 时，满足条件的点P 有三个.C .当1>a 时，满足条件的点P 有无数个.D .当a 为任意正实数时，满足条件的点P 是有限个.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx（1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足31cos =θ，求)2(θf 的值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1B B 、DC 的中点. （1）求三棱锥1E FCC -的体积.（2）求异面直线1D F 与1A E 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.C第18题第19题B1C1D21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内有解，求实数m 的取值范围. 、22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，方向向量为),1(k =的直线l 经过椭圆191822=+y x 的右焦点F ，与椭圆相交于A 、B 两点（1）若点A 在x 轴的上方，且||||OF OA =，求直线l 的方程； （2）若1=k ，)0,6(P ，求△PAB 的面积；（3）当k （R k ∈且0≠k ）变化时，试求一点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.对于任意的*N n ∈，若数列}{n a 同时满足下列两个条件，则称数列}{n a 具有“性质m ”：①122++<+n n n a a a ； ②存在实数M ,使得M a n ≤成立. （1）数列}{n a 、}{n b 中，n a n =、6sin 2πn b n =（5,4,3,2,1=n ），判断}{n a 、}{n b 是否具有“性质m ”；（2）若各项为正数的等比数列}{n c 的前n 项和为n S ，且413=c ，473=S ，求证：数列}{n S 具有“性质m ”；（3）数列}{n d 的通项公式nn n n t d 21)23(+-⋅=（*N n ∈）.对于任意]100,3[∈n 且*N n ∈，数列}{n d 具有“性质m ”，求实数t 的取值范围.普陀区2012学年第二学期高三文科数学质量调研试题答案一.填空题1.}1|{>x x2.43- 3.=-)(1x f 2x （0≥x ）4. 2- 5.243- 6.2 7.152022=-y x 8.549.6 10.0 11. 6π12.3 13.121-<<-a 14.21 二.选择题三.解答题19.[解]（1）由题意可得2=A ……………………………………………………………1分π22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-= ………………………………5分函数)321cos(2)(π-=x x f …… …………………………………………6分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ…… ………………………8分 )2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=……………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………12分20.[解]（1）=-1FCC E V 1ECC F V -…………………………1分由题意得⊥FC 平面1ECC 且1=FC …………………………3分 222211=⨯⨯=∆ECC S …………………………5分 1ECC F V -322131311=⨯⨯=⨯⨯=∆FC S ECC =-1FCC E V 32…………………………6分 1A1B1C1DE（2）取AB 的中点为G ，连接G A 1,GE由于F D G A 11//,所以直线G A 1与E A 1所成的锐角或直角即为异面直线E A 1与F D 1所成的角……9分 在GE A 1∆中，51=G A ,2=GE ,51=E A由余弦定理得，54552255cos 1=⨯⨯-+=∠E GA 0>……12分 所以54arccos 1=∠E GA即异面直线E A 1与F D 1所成的角的大小为54arccos …………14分21. 解：（1）)()(2)(x g x f x F +=xx a a -++=11log )1(log 2（0>a 且1≠a ） ⎩⎨⎧>->+0101x x ，解得11<<-x ，所以函数)(x F 的定义域为)1,1(-……2分令)(x F 0=，则011log )1(log 2=-++xx aa …（*） ……3分 方程变为)1(log )1(log 2x x a a -=+x x -=+1)1(2，即032=+x x ……………………5分解得01=x ，32-=x ，经检验3-=x 是（*）的增根，所以方程（*）的解为0=x 即函数)(x F 的零点为0.……6分 （2）xx m aa -++=11log )1(log 2（10<≤x ） =)4141(log 112log 2--+-=-++xx x x x a a……8分 4141--+-=xx a m ，设]1,0(1∈=-t x ……9分 函数tt y 4+=在区间]1,0(上是减函数……………………11分 当1=t 时，此时1=x ，5min =y ，所以1≥ma ………………12分 ①若1>a ，则0≥m ，方程有解…………………………13分②若10<<a ，则0≤m ，方程有解.…………………………14分22.【解】（1）由题意182=a ，92=b 得3=c ，所以)0,3(F ………………………………1分||||=且点A 在x 轴的上方，得)3,0(A ………………………………2分 1-=k ，)1,1(-= ……………………………………3分直线l ：113--=-y x ，即直线l 的方程为03=-+y x …………………………4分 （2）设),(11y x A 、),(22y x B ，当1=k 时，直线l ：3-=x y …………5分将直线与椭圆方程联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+3191822x y y x ，……………………7分 消去x 得，0322=-+y y ，解得31-=y ，12=y ……………………9分4||21=-y y ，所以64321||||2121=⨯⨯=-⨯⨯=∆y y PF S PAB ……10分（3）假设存在这样的点)0,(0x C ，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0,由题意得，直线l ：)3(-=x k y （0≠k ）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(191822x k y y x ，消去y 得，0)1(1812)21(2222=-+-+k x k x k ……12分 0>∆恒成立，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+=+2221222121)1(182112k k x x k k x x ……13分 011x x y k AD -=，022x x y k BD -=……14分+-=+011x x y k k BD AD 022x x y -0))(())(3())(3()3()3(0201012021022011=----+--=--+--=x x x x x x x k x x x k x x x k x x x k所以06))(3(2021021=+++-kx x x x k x kx ……15分0621)3(1221)1(36020322=+++-+-kx k x k k k k解得60=x ，所以存在一点)0,6(，使得直线AC 和BC 的斜率之和为0.…16分 23.解：（1）在数列}{n a 中，取1=n ，则23122a a a ==+，不满足条件①，所以数列}{n a 不具有“m 性质”；……2分在数列}{n b 中，11=b ，32=b ，23=b ，34=b ，15=b ，则2312323b b b =<=+，3422432b b b =<=+，4532323b b b =<=+，所以满足条件①；26sin 2≤=πn b n （5,4,3,2,1=n ）满足条件②，所以数列}{n b 具有“性质m ”。
上海市16区高三数学 二模试题分类汇编10 排列、组合及二项式定理 文
上海市16区高三数学 二模试题分类汇编10 排列、组合及二项
式定理 文
上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理
一、选择题
1 ．（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）二项式61()x x -展开式中4x 的系数为
（ ） A ．15. B ．15-. C ．6. D ．6-. 【答案】D;
二、填空题
2 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有____种.
【答案】30;
3 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）()()34121x x +-展开式中6x 的系数为________.
【答案】-20
4．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若5
522105)12(x a x a x a a x ++++=+ ,则
=++-++25312420)()(a a a a a a _____.
【答案】243-
5 ．（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）在81⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x x 的二项展开式中,常数项是_________
【答案】70;
6 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）求值:12
20132013
201320132013124(2)C C C -+-+-=___________.
【答案】1-。
2013年上海市长宁、嘉定区高三二模理科数学试卷及答案
上海2012学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________．2．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数=m _________．3．已知集合{}{}331,,0,1<<=-=xx B a A ，若AB ≠∅，则实数a 的取值范围是 ． 4．已知复数z 满足1iz -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为__________． 5．求值：1220132013201320132013124(2)C C C -+-+-=___________．6．已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是____________．7．设1,0≠>a a ，行列式34210231D -=xa 中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像经过点()1,2，则a = ． 8．如图是一个算法框图，则输出的k 的值是 _______． 9．已知135sin ,53)cos(-==-ββα， 且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈，则______sin =α．10．设函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=]1,0[,1)0,1[,1)(2x x x x x f ，则将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的体积为____________．11．抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B ，则事件B A 的概率=)(B A P ____________．12．设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(1)1(|1|1)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则232221x x x ++=____________． 13.函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值和最小值分别为m M ,，则=+m M ______． 第8题14．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式21222ma nS a n n≥+对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为._______二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15. 已知),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA OB ⊥的充要条件是 （ ） A ．12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b ba a = D.1221b a b a = 16.关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥C ．若,//,//ααm l 则m l //D ．若l m l ⊥,//α，则α⊥m17. 过点(1,1)P 作直线l 与双曲线2212y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线l （ ） A ．存在一条，且方程为210x y --= B ．存在无数条 C ．存在两条，方程为()210x y ±+= D ．不存在 18.已知0>a 且1≠a ，函数)(log )(2b x x x f a ++=在区间),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，则函数b x x g a -=||log )(的图象是( )三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ． （1）求AD 与平面ABC 所成角的大小； （2）求点B 到平面ACD 的距离．ABCD20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列． （1）求证：03B π<≤；（2）求1sin 2sin cos By B B+=+的取值范围．21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x x 且是定义域为R 的奇函数． （1）求k 的值； （2）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a xg x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围；（3）对于（2）中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD 为等边三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）已知三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q ．在a ，b 之间和b ，c 之间共插入n 个数，使这3+n 个数构成等差数列．（1）若1=a ，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；（2）设c b a <<，4=n ，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，t 个位于b ，c 之间，试比较s 与t 的大小．2012学年长宁、嘉定区高三年级第二次模拟考试数学试卷（参考答案）一、填空题（每小题4分，共56分） 1．π 2。
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1 / 4 上海市长宁、嘉定区2013届高三第二次模拟 数学（文）
一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数)32sin()(xxf
的最小正周期是__________．
2．若关于x的不等式2230xxa的解集为(,1)m，则实数m_________．
3．（文）已知集合ZxxBaAx,931,,0,1，若ABI，则实数a的值
是 ． 4．已知复数满足＝3，则复数的实部与虚部之和为__________． 5．求值：1220132013201320132013124(2)CCCL___________．
6．已知向量||).,5(),2,2(bakba若不超过5，则k的取值范围是____________．
7．设1,0aa，行列式34210231D
xa
中第3
行第2列的代数余子式记作y，函数xfy的反函数图像经过点1,2，则a ．
8．（文）已知135sin,5
3)cos(，且
)0,2(),2,0(，则sin_____．
9．（文）如图是一个算法框图，则输出的k的值是____________． 10．（文）设函数21xy的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积__________．
11．（文）从4名男生和3名女生中任选3人参加会议，则选出3人中至少有名女生的概 率是__________． 12．（文）函数xxxxf4|4|)(22的单调递减区间是___________．
13.（文） 已知变量x，y满足约束条件
.01,033,032yyxyx
若目标函数yaxz仅在点
)0,3(处取到最大值，则实数a的取值范围_______________.
14．（文）设数列na是公差不为零的等差数列，6,231aa，若自然数,...,...,21knnn满
足......321knnn，且,......,,131knnaaaa是等比数列，则k
n
=_______________.
是 否 结束
开始
输出 文第9题 2 / 4
二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分） 15. 已知),(11baA，),(22baB是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OAOBuuuruuur的充要条
件是 （ ） A．12211abab B.02121bbaa C.2121bbaa D.1221baba
16.（文）关于直线，及平面α，β，下列命题中正确的是 （ ） A．若,,//ml则ml// B．若,//,ml则ml
C．若,//,//ml则ml// D．若lml,//，则m
17. 过点(1,1)P作直线与双曲线2212yx
交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的
直线 （ ） A．存在一条，且方程为210xy B．存在无数条
C．存在两条，方程为210xy D．不存在 18. （文）已知函数构造函数，定义如下：当，那么（ ） A．有最小值0，无最大值 B．有最小值1，无最大值 C．有最大值1，无最小值 D．无最小值，也无最大值
三．解答题（本大题满分74分，共5小题） 19. （文）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图，已知点P在圆柱1OO的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱1OO的表面积为24，2OA，120AOP． （1）求三棱锥1AAPB的体积；
（2）求异面直线1AB与OP所成角的大小．（结果用 反三角函数值表示）．
20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列． （1）求证：03B；
（2）求1sin2sincosByBB的取值范围．
1A1O1B
AOB
P 3 / 4
21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） 设函数)10()1()(aaakaxfxx且是定义域为R的奇函数． （1）求k的值； （2）（文）若0)1(f，试说明函数)(xf的单调性，并求使不等式
0)4()(2xftxxf恒成立的的取值范围．
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分） 如图，已知点)1,0(F，直线m：1y，P为平面上的
动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQuuuruuuruuuruuur．
（1）求动点P的轨迹C的方程； （2）（文）过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量
为)1,(ad的直线m与轨迹C交于不同两点A、B，问是否存在实数a使得FBFA？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由； （3）（文）在问题（2）中，设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为),0(0yD，求0
y
的取值范围．
23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分） （文）已知数列}{na的前n项和为nS，且对于任意*Nn，总有)1(2nnaS．
（1）求数列}{na的通项公式； （2）在na与1na之间插入n个数，使这2n个数组成等差数列，当公差d满足43d时，求n的值并求这个等差数列所有项的和T；
（3）记)(nfan，如果)log(2mnfncn（*Nn），问是否存在正实数m，
使得数列}{nc是单调递减数列？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 4 / 4
数学文（参考答案） 一、填空题（每小题4分，共56分） 1． 2。21 3。（文） 1 4。34 5。1 6.]6,2[ 7。4
8．（文）6533 9。（文）6 10。（文）4 11、（文）3531 12。（文）]2(， 13。 （文）
，
2
1
14．（文）13k 二、选择题（每小题5分，共20分） 15．B 16。B 17。D 18。（文）B
三、解答题 19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） （理）解：（1）因为AB平面BCD，所以CDAB，又CDBC，所以CD平面ABC， DAC就是AD与平面ABC所成的角． ………………2分
因为AB平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30，故30ADB， 由2BCAB，得4AD，22AC， ………………4分
所以22cosADACDAC， 所以AD与平面ABC所成角的大小为45． ………………6分
（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得32BD，22CD， 则3246131ABCDBCABSVBCDBCDA，………………8分 ddCDACdSVACDACDB346131．………………10分
由ACDBBCDAVV，得2d． 所以点B到平面ACD的距离为2．………………12分
（文）解：（1）由题意，解得. ………………2分 在△AOP中，，所以． 5 / 4
在△BOP中，，所以． ………………4分 所以． ………………6分 （2）取中点，连接，，则， 得或它的补角为异面直线 与所成的角. ………………8分 又，，得，， 由余弦定理得， ………………10分
所以异面直线 与所成角的大小为． ………………12分 20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）由已知，acb2，所以由余弦定理，
得acaccaacbcaB22cos22222 ………………2分
由基本不等式acca222，得2122cosacacacB．………………4分 所以1,21cosB．因此，30B．………………6分
（2）4sin2cossincossin)cos(sincossin2sin12BBBBBBBBBBy， ………………9分 由（1），30B，所以12744B，所以1,224sinB，
所以，BBBycossin2sin1的取值范围是2,1． ………………12分
21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） （理）解：（1）由题意，对任意Rx，)()(xfxf，
即xxxxakaaka)1()1(， ………………2分 即0)())(1(xxxxaaaak，0))(2(xxaak， 因为x为任意实数，所以2k． ………………4分 解法二：因为)(xf是定义域为R的奇函数，所以0)0(f，即0)1(1k，2k．