动态规划PPt
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算法分析与设计PPT教学课件 Algorithms Chapter 8 动态规划
计算二项式系数
二项式系数(Binomial Coefficient )
是n元素集合中k个元素组合的数量(0≤k ≤n)，记作 C(n.k)或者Cnk，来源于二项式公式：
(a+b)n=Cn0an+…+Cnian-ibi+…+Cnnbn
Cn0=Cnn=1
递推关系式：
当n>k>0时，Cnk=Cn-1k-1+Cn-1k
10
标准动态规划的基本框架 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 对fn+1(xn+1)初始化; {边界条件} for k:=n downto 1 do for 每一个xk∈Xk do for 每一个uk∈Uk(xk) do begin fk(xk):=一个极值; xk+1:=Tk(xk,uk); t:=φ(fk+1(xk+1),vk(xk,uk)); {∞或－∞} {状态转移方程} {基本方程(9)式}
15
多段图
multistage graph problem
s
v2 v3
vk-1
t
Forward approach Backward approach
证最佳原理成立
多段图(multistage graph problem)
V1 9 V2 V3 1 V4 6 5 3 5 4 V5
2
2
7 3
s 1
2
3
算法分析与设计
动态规划
Dynamic programming
动态规划的定义
动态规划(Dynamic programming)是一种算法设计技术， 是用来解决一种多段决策过程最优的通用方法。 多段决策过程最优
信息学奥赛NOI动态规划入门(C++)培训讲学63页PPT
信息学奥赛NOI动态规划入门(C++)培 训讲学
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
END
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
动态规划
12 13 14 12
阶段Ⅰ 本阶段始 点（状态）
B1 A
本阶段各终点（决策）
B2 B3 B4 2+12=14
到E的 最短距 离
14
本阶段最优 终点（最优 决策）
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17
k=1, f1(A,E)=14
动态规划解法：标号法
12 B1 13
4 3 2 1 6 4 7 2 4 8 3 75 1
7 2 7
阶段Ⅲ 8 6
B2
3 2 4
D1
阶段Ⅳ 10
A
B3
8 3 75
C2
1
5 6 6
E
D2
C3
1
B4
阶段Ⅱ 本阶段始 点（状态） B1 B2 本阶段各终点（决策） C1 C2 C3 6+11=17 12 2+11=13 13 C2 C3 到E的最短 距离 本阶段最优终 点（最优决策）
2+12=14 1+11=12 4+12=16 7+11=18
3+11=14 14 1+11=12 12
C3 C3
k=2, f2(B1)=min｛r2(B1,x2)+f3(s3)｝= f2(B2)=min｛r2(B2,x2)+f3(s3)｝= f2(B3)=min｛r2(B3,x2)+f3(s3)｝= f2(B4)=min｛r2(B4,x2)+f3(s3)｝=
D1
8+10=18 7+10=17 1+10=11
D2
6+6=12 5+6=11 6+6=12
第10章 动态规划
②某些情况下，用动态规划处理不仅能定性描 述分析，且可利用计算机给出求其数值解的 方法。
管理运筹学
7
缺点
①没有统一的处理方法，求解时要根据问题的 性质，结合多种数学技巧。因此实践经验及 创造性思维将起重要的引导作用；
②“维数障碍”，当变量个数太多时，由于计 算机内存和速度的限制导致问题无法解决。 有些问题由于涉及的函数没有理想的性质使 问题只能用动态规划描述，而不能用动态规 划方法求解。
盈利 工厂 设备台数
0 1 2
3 4 5
甲厂
0 3 7 9 12 13
乙厂
0 5 10 11 11 11
管理运筹学
29
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表10-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1
阶段4
本阶段始点 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
（状态）
E
D1
10
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
本阶段最优终点 （最优决策)
E E
管理运筹学
27
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点
和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路
管理运筹学
7
缺点
①没有统一的处理方法，求解时要根据问题的 性质，结合多种数学技巧。因此实践经验及 创造性思维将起重要的引导作用；
②“维数障碍”，当变量个数太多时，由于计 算机内存和速度的限制导致问题无法解决。 有些问题由于涉及的函数没有理想的性质使 问题只能用动态规划描述，而不能用动态规 划方法求解。
盈利 工厂 设备台数
0 1 2
3 4 5
甲厂
0 3 7 9 12 13
乙厂
0 5 10 11 11 11
管理运筹学
29
第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4 。对始点和终 点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：
表10-4
本阶段始 点(状态)
A
阶段1 本阶段各终点（决策）
B1
B2
B3
B4
4+12=16 3+13=16 3+14=17 2+12=14
到E的最 本阶段最优终 短距离 点(最优决策)
第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；
表10-1
阶段4
本阶段始点 本阶段各终点（决策） 到E的最短距离
（状态）
E
D1
10
10
D2
6
6
分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。
本阶段最优终点 （最优决策)
E E
管理运筹学
27
第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点
和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2 的最短路
【推选】状态压缩类型动态规划PPT实用
• 例如：s=1010101，i=5 (S & 1 << i): 1010101 & 0100000 = 0 – S | 1 << i: 1010101 | 0100000 = 1110101 – S & ~(1 << i): 1010101 & 1011111 = 1010101
放置操作
• 对于每一行有w个位置，所以每一行都有0～2w-1种状态。 • 对于当前行的状态s，它是由前一行的状态s’转化过来的，
• 可以看出这题与动归４的“广场铺砖问题” 必须盖满，地板砖数量足够多，不能存在同时被多个板砖覆盖的部分。
Answer=∑f[n/2][j][s]。
完全类似。只不过这里多了一种砖而已。 S(L1,i) & S’(L2,i+2)
一般采用一个二进制数表示状态，有时也用三进制或四进制数等。 你需要计算用这些砖铺满地板共有多少种不同的方案。
• 对于上下两行：要能用某种类型的砖铺，必须该 砖所覆盖的区域为空。
#define bin(i) (1 << i)
/*1左移i位*/
#define emp(a,i) (!(a & bin(i))) /*判断a的i位是否位0*/
a= a | bin(i) | bin(i + 1); b=b a =a | bin(i) | bin(i + 1); b= b | bin(i) a =a | bin(i) | bin(i + 1); b= b | bin(i+1) a= a | bin(i) ; b= b | bin(i) a= a | bin(i) ;b= b | bin(i) | bin(i - 1) a= a | bin(i) ; b= b | bin(i) | bin(i + 1)
放置操作
• 对于每一行有w个位置，所以每一行都有0～2w-1种状态。 • 对于当前行的状态s，它是由前一行的状态s’转化过来的，
• 可以看出这题与动归４的“广场铺砖问题” 必须盖满，地板砖数量足够多，不能存在同时被多个板砖覆盖的部分。
Answer=∑f[n/2][j][s]。
完全类似。只不过这里多了一种砖而已。 S(L1,i) & S’(L2,i+2)
一般采用一个二进制数表示状态，有时也用三进制或四进制数等。 你需要计算用这些砖铺满地板共有多少种不同的方案。
• 对于上下两行：要能用某种类型的砖铺，必须该 砖所覆盖的区域为空。
#define bin(i) (1 << i)
/*1左移i位*/
#define emp(a,i) (!(a & bin(i))) /*判断a的i位是否位0*/
a= a | bin(i) | bin(i + 1); b=b a =a | bin(i) | bin(i + 1); b= b | bin(i) a =a | bin(i) | bin(i + 1); b= b | bin(i+1) a= a | bin(i) ; b= b | bin(i) a= a | bin(i) ;b= b | bin(i) | bin(i - 1) a= a | bin(i) ; b= b | bin(i) | bin(i + 1)
动态规划
… P(A)为P[3][3]，
11
分阶段递推求解过程 P[0][0] = 0;
对于阶段1: P[0][1] = P[0][0]+h[0][0] = 0+3 = 3; P[1][0] = P[0][0]+v[0][0] = 0+2 = 3; 对于阶段2
P[1][1] = min{ P[0][1]+v[0][1],P[1][0]+h[1][0]} = min{3+1, 2+2} = 4 P[0][2] = P[0][1]+h[1][0] = 3+2 = 5 P[2][0] = P[1][0]+v[1][0] = 2+4 = 6
23
递归算法
• Function Max(I,J : integer) : longint; {从当前位置开始的可得的最优值} • Var s1,s2 : Longint; {记录从左右斜线向下走的可达的最优值} • Begin • If (I>n) Or (J>I) Then Max:=0 {当前位置不存在，最优值为0} • Else • Begin • S1:=Max(I+1,j)+triangle[I,j]; {沿左斜线向下走} • S2:=Max(I+1,j+1)+triangle[I,j]; {沿右斜线向下走} • If s1>s2 then Max:=s1 Else max:=s2; {选取最优走法} • End; 24 • End;
让我们来换一个思路思考本题，因为本题是要求总和除以 ４余数最小的一条路径，我们先撇开最小余数不去管它，而 是将本题改为从点1到点４的所有路径中，求出每条路上权值 和除以４的不同余数的状态。 我们设一个数组can[I,j]表示从点1至点Ｉ可不可以求 出一条路径是该路径的权值总和除以４的余数为Ｊ，那么又 可以得出一个方程：
11
分阶段递推求解过程 P[0][0] = 0;
对于阶段1: P[0][1] = P[0][0]+h[0][0] = 0+3 = 3; P[1][0] = P[0][0]+v[0][0] = 0+2 = 3; 对于阶段2
P[1][1] = min{ P[0][1]+v[0][1],P[1][0]+h[1][0]} = min{3+1, 2+2} = 4 P[0][2] = P[0][1]+h[1][0] = 3+2 = 5 P[2][0] = P[1][0]+v[1][0] = 2+4 = 6
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递归算法
• Function Max(I,J : integer) : longint; {从当前位置开始的可得的最优值} • Var s1,s2 : Longint; {记录从左右斜线向下走的可达的最优值} • Begin • If (I>n) Or (J>I) Then Max:=0 {当前位置不存在，最优值为0} • Else • Begin • S1:=Max(I+1,j)+triangle[I,j]; {沿左斜线向下走} • S2:=Max(I+1,j+1)+triangle[I,j]; {沿右斜线向下走} • If s1>s2 then Max:=s1 Else max:=s2; {选取最优走法} • End; 24 • End;
让我们来换一个思路思考本题，因为本题是要求总和除以 ４余数最小的一条路径，我们先撇开最小余数不去管它，而 是将本题改为从点1到点４的所有路径中，求出每条路上权值 和除以４的不同余数的状态。 我们设一个数组can[I,j]表示从点1至点Ｉ可不可以求 出一条路径是该路径的权值总和除以４的余数为Ｊ，那么又 可以得出一个方程：
动态规划(sim)
动态规划
动态规划
动态规划(Dynamic Programming)是运筹学的另一个重要 分支，是解决多阶段决策过程最优化的一种数量化方法。 实际生产、经营活动中，有一类活动的过程，可以划分 为若干个相互联系的阶段，在它的每一个阶段都需作出决策， 并且一个阶段的决策确定后，常影响下一阶段的决策甚至整 个决策问题的效果。现在，我们就是要找出每一个阶段的决 策，从而使整个决策过程达到最好的活动效果。由各个阶段 构成的决策序列称为策略。
B1 3 A 6 4 5 B3 A 1 B 2 3 C3 C 图4－1 4 B2 6 7 7 2 5 C2 3 C1 5 4 D1 3
步步走近路？
E
4
6 5 3
D2 D
E
4
动态规划
把从A到E的路线自然地分为4个阶段：从A→B为第l阶 段，从B→C为第2阶段，从C→D为第3阶段，从D→E为第4阶 段，每个阶段都有几条可供选择的路线，例如从A→B有3条 路线：A→B1，A→B2或A→B3，等。总共有14条路线可供选 择，这显然是一个多阶段决策问题。
动态规划的基本方程
由上面的计算过程可以看出：在求解的各个阶段， 我们利用了k阶段与k+1阶段的递推关系：
f k ( s k ) min d k ( s k , u k ( s k )) f k 1 (u k ( s k )) k 3,2,1 uk Dk ( sk ) f 4 (s4 ) d 4 (s4 , E)
d 2 ( B3 , C2 ) f 3 (C2 ) 5 5 f 2 ( B3 ) min min 10 3 9 d 2 ( B3 , C3 ) f 3 (C3 ) x2(B3)=C2
B1 3 A 6 4 B2 7 7
动态规划
动态规划(Dynamic Programming)是运筹学的另一个重要 分支，是解决多阶段决策过程最优化的一种数量化方法。 实际生产、经营活动中，有一类活动的过程，可以划分 为若干个相互联系的阶段，在它的每一个阶段都需作出决策， 并且一个阶段的决策确定后，常影响下一阶段的决策甚至整 个决策问题的效果。现在，我们就是要找出每一个阶段的决 策，从而使整个决策过程达到最好的活动效果。由各个阶段 构成的决策序列称为策略。
B1 3 A 6 4 5 B3 A 1 B 2 3 C3 C 图4－1 4 B2 6 7 7 2 5 C2 3 C1 5 4 D1 3
步步走近路？
E
4
6 5 3
D2 D
E
4
动态规划
把从A到E的路线自然地分为4个阶段：从A→B为第l阶 段，从B→C为第2阶段，从C→D为第3阶段，从D→E为第4阶 段，每个阶段都有几条可供选择的路线，例如从A→B有3条 路线：A→B1，A→B2或A→B3，等。总共有14条路线可供选 择，这显然是一个多阶段决策问题。
动态规划的基本方程
由上面的计算过程可以看出：在求解的各个阶段， 我们利用了k阶段与k+1阶段的递推关系：
f k ( s k ) min d k ( s k , u k ( s k )) f k 1 (u k ( s k )) k 3,2,1 uk Dk ( sk ) f 4 (s4 ) d 4 (s4 , E)
d 2 ( B3 , C2 ) f 3 (C2 ) 5 5 f 2 ( B3 ) min min 10 3 9 d 2 ( B3 , C3 ) f 3 (C3 ) x2(B3)=C2
B1 3 A 6 4 B2 7 7
运筹学课件(动态规划)
（二）、动态规划的基本思想 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要做到 这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶 段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函 数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题， 然后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优， 在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题 的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最 优解，就是整个问题的最优解。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。
f 2 ( 40)
g2 ( y) y 0 ,10 ,, 40
max
f1 ( 40 y )
90
最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g2 ( y) y 0 ,10 , 20 , 30
max
f1 (30 y )
70
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
f 2 ( 20) ma 0 ,10 , 20
50
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f 2 (10) maxg 2 ( y ) f1 (10 y )
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3
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动态规划的基本概念及思想
•
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求 解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初 美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原(principle of optimality)，1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这 是该领域的第一本著作。
以上步骤称为分解。将所给问题按时间或空间特征分解成相互关联的阶段，并确定 出计算局部最优解的递推关系，这是利用动态规划法解决问题的关键和难点所在
用动态规划求解TSP问题
求解对于每个阶段通过自底向上的方法求得局部最优解 d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)}=min{6+7, 5+3}=8(6→8) d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)}=min{8+7, 6+3}=9(5→8) d(4, 9)=min{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)}=min{5+7, 6+3}=9(4→8) d(3, 9)=min{c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)}=min{4+9, 7+8}=13(3→5) d(2, 9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)}=min{6+9, 7+9, 8+8}=15(2→4) d(1, 9)=min{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)}=min{9+9, 8+9}=17(1→5) d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}=min{4+17, 2+15, 3+13}=16(0→3) 得到最短路径为0→3→5→8→9，长度为16
用动态规划求解TSP问题 1
4 9
8 6
7
4
8
6
5
0
2 3
2 845 66 Nhomakorabea7
8
5
7
9
3
3
(1)确定问题的决策对象 (2)对决策过程划分阶 (3)对各阶段确定状态变量。
7
6
1 2 3 0 4 2 3
用动态规划求解TSP问题
(4)根据状态变量确定费用函数
4 0 2 4 5 6 1 9 8 2 6 7 8 3 4 7 3
,
动态规划模型的建立
5.状态转移方程 在确定性过程中，一旦某阶段的状态和决策为已知，下阶段的状态偏完全可 以确定。用状态转移方程 表示这种演变规律，写作：
6.阶段指标函 对于k阶段的状态x(k)，当执行了决策 时，除带来系统状态的 转移之外，还产生第k阶段的局部利益，它是总效益的一部分，称为阶 段指标函数 7.过程指标函数 用来衡量策略或者是子策略执行效果的数量指标称为过程指标函数它 定义在所有k后部子过程上，常用用 表示，即
用动态规划求解TSP问题
动态规划求解思想
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能 会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。 动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子 问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不 同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独 立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问 题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需 要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我 们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被 用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思 路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
动态规划的基本概念及思想
• 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将 过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决 策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策 的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后 的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也 就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示： 这种把一个问 题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段 决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。
动态规划模型的建立
2 ：状态 • 状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。 它应能描述过程的特征并且具有无后效性。描述状态的变量称为状态变量 ，状态 变量的取值集合称为状态集合，用S表示。变量允许取值的范围称为允许状态集合 (set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一 个向量。用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。n 个阶段的决策过程有n+1个状态 变量
无后效性： 将各阶段按照一定的次 序排列好之后，对于某个给定的阶段 状态，它以前各阶段的状态无法直接 影响它未来的决策，而只能通过当前 的这个状态。换句话说，每个状态都 是过去历史的一个完整总结。这就是 无后向性，又称为无后效性。
动态规划模型的建立
3：决策 • 当一个阶段的状态确定后，可以做出各种选择从而演变到下一阶段的某个状态， 这种选择手段称为决策。用表示第k阶段处于阶段x(k)的决策变量，它是x(k)的 函数，用 表示x(k)的允许决策集合决策变量简称决策。 4.策略 决策组成的系列称为策略（policy）。由初始 状态x1开始的全过程的策略记作 由第k阶段的状态x(k)开始到终止状态的后部子 过程的策略
4 0 2 3
9 1 8 6 7 2 8 4 7 3
6 8 5 6 6 6 5
4
5
7 7 9
8 3
用动态规划求解TSP问题
d(4, 9)=min{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)} d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)} d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)} 这一阶段的决策依赖于d(7, 9)和d(8, 9)的计算，而d(7, 9)和d(8, 9)可以直接获得（括 号中给出了决策产生的状态转移）： d(7, 9)=c79＝7(7→9) d(8, 9)=c89＝3(8→9)
动态规划模型的建立
•
•
一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：
1： 阶段 阶段（stage）是对整个过程的自然划分。通常根据时间顺序或是空间特征 来划分阶段，对于与时间，空间无关的优化问题，可以根据其自然特征，人为 的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。阶 段变量一般用k=1.2….n.表示。
动态规划模型的建立
8.最优指标函数 过程指标函数 采取了最优子策略
效益，表示为：示，采取了最优子策略 的最优值称为最优指标函数 ，记为f(x(k).它表 之后，后部子过程所获得的总
用动态规划法解决问题步骤
(1)确定问题的决策对象。
(2)对决策过程划分阶段。 (3)对各阶段确定状态变量。 (4)根据状态变量确定费用函数和目标函数。 (5)建立各阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程。
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用动态规划求解TSP问题
对多段图的边(u, v)，用cuv表示边上的权值，将从源点s到终点t的最短路径记 为d(s, t)，则从源点0到终点9的最短路径d(0, 9)由下式确定： 2.最优化原理（最优子结构性质） 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略 具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而 言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略 总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。 d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}（最优指标函数） 这是最后一个阶段的决策，它依赖于d(1, 9)、d(2, 9)和d(3, 9)的计算结果，而 d(1, 9)=min{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)} d(2, 9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)} d(3, 9)=min{c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)} 这一阶段的决策又依赖于d(4, 9)、d(5, 9)和d(6, 9)的计算结果：
动态规划的基本概念及思想
• 多阶段决策问题中，各 个阶段采取的决策，一般来 说是与时间有关的，决策依 赖于当前状态，又随即引起 状态的转移，一个决策序列 就是在变化的状态中产生出 来的，故有“动态”的含义， 称这种解决多阶段决策最优 化问题的方法为动态规划方 法。
动态规划的基本概念及思想 •
动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方 法，而不是一种特殊算法。 不具有一个标准的数学表达式和 明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优 化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不 相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的 解题方法，而不存在一种万能的动态规划，可以解决各类最优 化问题。必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立 模型
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动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求 解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初 美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原(principle of optimality)，1957年出版了他的名著Dynamic Programming，这 是该领域的第一本著作。
以上步骤称为分解。将所给问题按时间或空间特征分解成相互关联的阶段，并确定 出计算局部最优解的递推关系，这是利用动态规划法解决问题的关键和难点所在
用动态规划求解TSP问题
求解对于每个阶段通过自底向上的方法求得局部最优解 d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)}=min{6+7, 5+3}=8(6→8) d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)}=min{8+7, 6+3}=9(5→8) d(4, 9)=min{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)}=min{5+7, 6+3}=9(4→8) d(3, 9)=min{c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)}=min{4+9, 7+8}=13(3→5) d(2, 9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)}=min{6+9, 7+9, 8+8}=15(2→4) d(1, 9)=min{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)}=min{9+9, 8+9}=17(1→5) d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}=min{4+17, 2+15, 3+13}=16(0→3) 得到最短路径为0→3→5→8→9，长度为16
用动态规划求解TSP问题 1
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(1)确定问题的决策对象 (2)对决策过程划分阶 (3)对各阶段确定状态变量。
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用动态规划求解TSP问题
(4)根据状态变量确定费用函数
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动态规划模型的建立
5.状态转移方程 在确定性过程中，一旦某阶段的状态和决策为已知，下阶段的状态偏完全可 以确定。用状态转移方程 表示这种演变规律，写作：
6.阶段指标函 对于k阶段的状态x(k)，当执行了决策 时，除带来系统状态的 转移之外，还产生第k阶段的局部利益，它是总效益的一部分，称为阶 段指标函数 7.过程指标函数 用来衡量策略或者是子策略执行效果的数量指标称为过程指标函数它 定义在所有k后部子过程上，常用用 表示，即
用动态规划求解TSP问题
动态规划求解思想
动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能 会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。 动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子 问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不 同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独 立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问 题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需 要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我 们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被 用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思 路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。
动态规划的基本概念及思想
• 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将 过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决 策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策 的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后 的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也 就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示： 这种把一个问 题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段 决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题。
动态规划模型的建立
2 ：状态 • 状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。 它应能描述过程的特征并且具有无后效性。描述状态的变量称为状态变量 ，状态 变量的取值集合称为状态集合，用S表示。变量允许取值的范围称为允许状态集合 (set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一 个向量。用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。n 个阶段的决策过程有n+1个状态 变量
无后效性： 将各阶段按照一定的次 序排列好之后，对于某个给定的阶段 状态，它以前各阶段的状态无法直接 影响它未来的决策，而只能通过当前 的这个状态。换句话说，每个状态都 是过去历史的一个完整总结。这就是 无后向性，又称为无后效性。
动态规划模型的建立
3：决策 • 当一个阶段的状态确定后，可以做出各种选择从而演变到下一阶段的某个状态， 这种选择手段称为决策。用表示第k阶段处于阶段x(k)的决策变量，它是x(k)的 函数，用 表示x(k)的允许决策集合决策变量简称决策。 4.策略 决策组成的系列称为策略（policy）。由初始 状态x1开始的全过程的策略记作 由第k阶段的状态x(k)开始到终止状态的后部子 过程的策略
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用动态规划求解TSP问题
d(4, 9)=min{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)} d(5, 9)=min{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)} d(6, 9)=min{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)} 这一阶段的决策依赖于d(7, 9)和d(8, 9)的计算，而d(7, 9)和d(8, 9)可以直接获得（括 号中给出了决策产生的状态转移）： d(7, 9)=c79＝7(7→9) d(8, 9)=c89＝3(8→9)
动态规划模型的建立
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一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：
1： 阶段 阶段（stage）是对整个过程的自然划分。通常根据时间顺序或是空间特征 来划分阶段，对于与时间，空间无关的优化问题，可以根据其自然特征，人为 的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。阶 段变量一般用k=1.2….n.表示。
动态规划模型的建立
8.最优指标函数 过程指标函数 采取了最优子策略
效益，表示为：示，采取了最优子策略 的最优值称为最优指标函数 ，记为f(x(k).它表 之后，后部子过程所获得的总
用动态规划法解决问题步骤
(1)确定问题的决策对象。
(2)对决策过程划分阶段。 (3)对各阶段确定状态变量。 (4)根据状态变量确定费用函数和目标函数。 (5)建立各阶段状态变量的转移过程，确定状态转移方程。
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用动态规划求解TSP问题
对多段图的边(u, v)，用cuv表示边上的权值，将从源点s到终点t的最短路径记 为d(s, t)，则从源点0到终点9的最短路径d(0, 9)由下式确定： 2.最优化原理（最优子结构性质） 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略 具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而 言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略 总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。 d(0, 9)=min{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}（最优指标函数） 这是最后一个阶段的决策，它依赖于d(1, 9)、d(2, 9)和d(3, 9)的计算结果，而 d(1, 9)=min{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)} d(2, 9)=min{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9), c26+d(6, 9)} d(3, 9)=min{c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)} 这一阶段的决策又依赖于d(4, 9)、d(5, 9)和d(6, 9)的计算结果：
动态规划的基本概念及思想
• 多阶段决策问题中，各 个阶段采取的决策，一般来 说是与时间有关的，决策依 赖于当前状态，又随即引起 状态的转移，一个决策序列 就是在变化的状态中产生出 来的，故有“动态”的含义， 称这种解决多阶段决策最优 化问题的方法为动态规划方 法。
动态规划的基本概念及思想 •
动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方 法，而不是一种特殊算法。 不具有一个标准的数学表达式和 明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优 化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不 相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的 解题方法，而不存在一种万能的动态规划，可以解决各类最优 化问题。必须具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立 模型