山西大学附属中学2019-2020学年高二下学期5月月考试题+数学(文)答案
山西省山西大学附属中学2019-2020学年高二数学下学期5月月考试题理【含答案】
线 C 交于点 Q ，在射线 OQ 上取一点 P ，使 OP OQ 2 .
（1）求点 P 的轨迹 C1 的极坐标方程；
（2）以极点 O 为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy ，若
直线 l : y 3x 与（1）中的曲线 C1 相交于点 E （异于点 O ），与曲线
(Ⅰ)若 x (0,2 ) ，求函数 f (x) 的极值；
(Ⅱ)若 x 0 ，记 xi 为 f (x) 的从小到大的第 i(i N *) 个极值点，证明：
1 x22
1 x32
1 x42
1 xn 2
1 (n 9
2, n N *) ．
【答案】
(2)∵ 为 的从小到大的第 （
）个极值点，
又令
， ，则
C． (2, )
D． (2, 0)
12. 已知定义在 R 上的可导函数 y f (x) 的导函数为 f (x) ，满足 f (x) f (x) ，且
y f (x 1) 为偶函数， f (2) 1，则不等式 f (x) ex 的解集为（ ）
A. (, 0)
B. (0, )
___C. (, e4 )
22．（本题
12
分）已知函数
f
x
ax2
x ex
a
,
a
R
．
（1）若 a 0 ，求函数 f x的单调递增区间；
（2）若 a 0 ， x1 x x2 2 ，证明：
f x f x1 f x2 f x1 .
x x1
x2 x1
山西大学附中 2019—2020 学年第二学期高二年级 5 月模块诊断数学试题答案 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每题的四个选项中只有一个选 项是正确的） 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】D 5.【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】C 10.【答案】A
山西大学附中2019—2020学年高一年级第二学期5月月考数学试题评分细则
山西大学附中2019～2020学年第二学期5月考试高一年级数学试题评分细则考查时间：90分钟 命题人：王亚力 审核人：高一数学组 一、选择题（3×12=36分）13.23π 14. 31115. 3 16. ②④ 三.解答题（4×12=48分） 17.（本题满分12分）已知(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，0βαπ<<<．(1) 若||-=a b ⊥a b ；(2) 设(0,1)=c ，若+=a b c ，求，的值．【解析】（1）-a b ＝(cos cos ,sin sin )αβαβ--，2||-a b ＝22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+-＝22(cos cos sin sin )2αβαβ-⋅+⋅=．所以，cos cos sin sin 0αβαβ⋅+⋅=，所以，． （2），①2＋②2得：1cos()2αβ-=-． 所以，αβ-＝，α＝＋β， 带入②得：sin (＋β)＋sin β＝cos β＋12sin β＝sin (＋β)＝1， αβb a ⊥⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβαπ32π32π32233π所以，＋β＝．所以，α＝，β＝．18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P ，Q 是以AB 为直径的上半圆弧上两点（点P 在Q 的右侧），点O 为半圆的圆心，已知2AB =，BOP θ∠=，POQ α∠=. （1）若点P 的横坐标为45，点Q 的纵坐标为12，求cos α的值； （2）若3πα=，设()fAQ BP θ=⋅，求函数()y f θ=的值域.【答案】（1）343-；（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）根据题意：3sin 5θ=，4cos 5θ=，()1sin 2αθ+=， ()sin sin αθθ+<，故,2παθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()3cos 2αθ+=-，故()()()343cos cos cos cos sin sin ααθθαθθαθθ-=+-=+++=. （2）1OP OQ PQ ===，故3πα=，故()cos ,sin P θθ，cos ,sin 33Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()10B ,，()1,0A -，故()cos 1,sin cos 1,sin 33AQ BP ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1cos 1cos 1sin sin sin 3362πππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5,666πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故11sin 0,622πθ⎛⎫⎡⎤+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 3π2π65π6π19.（本题满分12分）已知向量()1,1m =，向量n 与向量m 夹角为34π，且1m n ⋅=-． （1）求向量n ；（2）若向量n 与向量()1,0q =的夹角为2π，向量2cos ,2cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,,A B C为ABC ∆的内角，且2B A C =+．求n p +的取值范围.【答案】（1）()1,0n =-或()0,1n =-；（2）⎣⎭. （1）设(),n x y =，由1m n ⋅=-，可得1x y +=-，①n 与向量m 夹角为34π，有3cos 4m n m n π⋅=⋅⋅，1n ∴=，则221x y +=，②由①②解得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，即()1,0n =-或()0,1n =-；（2）由n 与q 垂直知，()0,1n =-，由2B A C =+ ，知22,,0333B AC A πππ=+=<<， 若()0,1n =-，则 2cos ,2cos 1(cos ,cos )2C p p A A C ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭ 2221cos 21cos 2||cos cos 22A C n A C ϕ++∴+=+=+ 1411cos 2cos 21cos 22323A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦250,23333A A ππππ<<<+<，11cos 232A π⎛⎫∴-≤+< ⎪⎝⎭，1151cos 22234A ⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭π， 215,24n p ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭2,22n p ⎡∴+∈⎢⎣⎭. 20.（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，若先把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）设函数2()()2cos 1()x ag x x a R ϕ=-+∈，试判断()x ϕ在(0,2)π内的零点个数.【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()cos g x x =；（2）见解析. 【详解】（1）因为()f x 的周期为2，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，又因为()f x 的图象的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以5()6k k Z πϕπ+=∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ， 所以()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以1()sin 2cos 266g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=++=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（2）由（1）可知，2()cos 2cos 1x a x x ϕ=-+，设cos x t =，因为(0,2)x π∈，所以[1,1)t ∈-，则()2()21x h t at t ϕ==-+，设2()21h t t at =-++，[1,1)t ∈-，则(0)10h =>， ①当1a <-或1a >时，()h t 在(1,1)-内有唯一零点， 这时，函数()x ϕ在(0,2)π内有两个零点.②当11a -<<时，()h t 在(1,1)-内有两个不等零点， 这时，函数()x ϕ在(0,2)π内有四个零点.③当1a =-时，2()21h t t t =--+，由()0h t =，得12t =或1t =-， 这时，函数()x ϕ在(0,2)π内有三个零点.④当1a =时，2()21h t t t =-++，由()0h t =，得12t =-或1t =（舍）， 这时，函数()x ϕ在(0,2)π内有两个零点.综上可得，当1a <-或1a ≥时，()x ϕ在(0,2)π内有两个零点； 当1a =-时，()x ϕ在(0,2)π内有三个零点； 当11a -<<时，()x ϕ在(0,2)π内有四个零点.。
山西省山大附中高二下学期5月月考试题数学.pdf
=2这样的点C有多少个？请分别表示出来
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__________．
3．在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别是：A（2，1），B（6，5），将线段AB平移后，点A的新坐标
为（6，3），求点B的新坐标．
☆ 归纳反思 ☆
把平面直角坐标系中的一个图形，按下面的要求平移，那么图形上任一点的坐标
（xy）是如何变化的?
①向左或向右移动aa>0）个单位
（2）点的横坐标每减少1个单位，那么这个点将向___移动1个单位；
（3）点的纵坐标每增加1个单位，那么这个点将向___移动1个单位；
（4）点的纵坐标每减少1个单位，那么这个点将向___移动1个单位；
（5）已知点P（-3，5），如果把它向上平移6个单位，再向左平移4个单位，得到点Q，则Q点的坐标是
；
（4）将点A（-1，-2）向下平移1个单位长度得到A4点的坐标为
．
2在坐标系中，点P先向左平移4个单位，再向上平移2个单位后的坐标为（1，0），则P点的坐标是_________
3．已知三角形ABC，A（3，2）、B（1，1）、C（1，2），现将三角形ABC平移，使点A到点（1，2）的位置上，则
二、导读：预习课本，以下题目：
表示平移过程的符号是什么？
2．总结：坐标系中，点的左右平移，只改变它的___坐标；点的上下平移，只改变
它的___坐标．
☆ 合作探究 ☆
1思考一下坐标系中点的平移与坐标变化之间的关系，试填空：
（1）点的横坐标每增加1个单位，那么这个点将向___移动1个单位；
②向上或向下移动bb>0）个单位
③向左或向右移动 aa>0）个单位，再向上或向下移动bb>0）个单位
山西省山西大学附属中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学(理)试题
，且在 B．1
上的最大值为
，则实数 的值为( )
C．
D．2
8. 用数学归纳法证明不等式“
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项
，又减少了一项
D．增加了一项
，又减少了一项
（
）”过程中，由
到
时，不等式的左边（ ）
9. 若函数 A．
山西省山西大学附属中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题
山西省山西大学附属中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题
一、单选题
1. 若复数 的实部与虚部相等，则实数 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 定义 ，
，
，
的运算分别对应下图中的（1）、（2）、（3）、（4），那么下图中的（A）（B）所对应的运算结果可
能是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
有两个不同的极值点 ， ，且对不等式
恒成立，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题
17. 已知a，b，c都是实数，求证：
.
18. 在极坐标系中，已知曲线
，过极点 作射线与曲线 交于点 ，在射线 上取一点 ，使
.
（1）求点 的轨迹 的极坐标方程； （2）以极点 为直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系
两点，且
），在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
，求
．
21. 已知函数 (Ⅰ)若
，求函数
. 的极值；
(Ⅱ)若
，记 为 的从小到大的第 （
山西省山西大学附属中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题
2019-2020学年山西省太原市第五中学高二下学期5月月考试题 数学(文) 解析版
太原五中阶段性考试高二数学（文）2020.05一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 设复数z 满足( 1+i )z =2i ，则| z |=( )A. 12B. √22C. √2D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的运算，复数模的运算，属于基础题． 由复数运算，则|z|=√2．【解答】解：因为z =2i 1+i=2i (1−i )(1+i )(1−i )=i (1−i )=1+i ，所以|z|=√2．2. 在平面直角坐标系中，直线3x −2y −2=0经过伸缩变换{x′=13xy′=2y后的直线方程为( )A. x −4y −2=0B. x −y −2=0C. 9x −4y −2=0D. 9x −y −2=0 【答案】D【解析】【分析】本题考查了伸缩变换，理解其变形方法是解决问题的关键．把伸缩变换的式子变为用x ′，y ′表示x ，y ，再代入原方程即可求出． 【解答】 解：由{x′=13xy′=2y得代入直线3x −2y −2=0得9x′−2×y′2−2=0，即9x ′−y ′−2=0.则直线3x −2y −2=0经过伸缩变换{x′=13xy′=2y后的直线方程为9x −y −2=0，故选D .3. 给出下列结论：(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；(2)在回归分析中，可用指数系数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好；(其中R 2=1i i 2∑i=1n(y −y)2)(3)在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；(4)在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．以上结论中，正确的有( )个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C【解析】解：对于(1)，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；正确，对于(2)，在回归分析中，可用指数系数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好；(其中R 2=1i i 2∑i=1n(y −y)2)正确；对于(3)，在回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；所以错误；对于(4)，在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．正确． 故选C ．4. 利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K 2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是( )A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】B【解析】【分析】本题考查了独立性检验，即两个变量之间的关系的可信程度与临界值表的应用问题，是基础题．根据所给的观测值，把观测值同表格所给的临界值进行比较，看观测值大于哪一个临界值，得到说明两个变量有关系的可信程度． 【解答】解：计算K 2≈7.245>6.635，对照表中数据得出有0.010的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的， 即有1−0.010=99%的把握说明两个变量之间有关系， 故选B ．5. 已知定义在复数集C 上的函数f(x)满足f(x)={1+x, x ∈R(1−i)x, x ∉R ，则f(f(1+i))=( ) A. 2 B. 0 C. 3 D. 2−2i【答案】C【解析】解：根据题意，f(f(1+i))=f((1−i)(1+i))=f(2)=3， 故选C ．6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a的值为4，则输出的m的值为()A. 19B. 35C. 67D. 131【答案】C【解析】【分析】本题考查程序框图，，属于基础题．模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：起始：m=5，i=1，m=7;第一次循环：i=2，m=11；第二次循环：i=3，m=19；第三次循环：i=4，m=35；第四次循环：i=5，m=67；此时跳出循环，输出m的值为67．故选C．7.已知f(x)=|x−1|+|x+2|，若关于x的不等式f(x)>a2−2a对于任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是()A. (−1,3)B. (1,1)C. (1,3)D. (−3,1)【答案】A【解析】【分析】本题考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立问题，属于基础题．利用绝对值不等式的性质得f(x)的最小值，从而将关于x的不等式f(x)>a2−2a对于任意的x∈R恒成立转化为a2−2a<3，解出即可．【解答】解：由f(x)=|x−1|+|x+2|≥|(x−1)−(x+2)|=3，得f(x)的最小值为3，又关于x的不等式f(x)>a2−2a对于任意的x∈R恒成立，所以a2−2a<3，解得−1<a<3，所以实数a的取值范围是(−1,3)，故选A ．8. 极坐标系中，以(9,π3)为圆心，9为半径的圆的极坐标方程为( )A. ρ=18cos(π3−θ) B. ρ=−18cos(π3−θ) C. ρ=18sin(π3−θ)D. ρ=9cos(π3−θ)【答案】A【解析】解：将原极坐标点(9,π3)， 化成直角坐标(92,9√32)∴圆的直角坐标方程为：(x −92)2+(y −9√32)2=81，即x 2+y 2−9x −9√3y =0∴圆的极坐标方程是ρ=18cos(π3−θ)．故选：A ．可利用解三角形和转化为直角坐标来作，先将原极坐标的点化成直角坐标，求出圆的方程，再利用互化公式将直角坐标方程化成极坐标方程即得．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得．9. 已知a,b,c ∈(0,1)，且ab +bc +ac =1，则11−a +11−b +11−c 的最小值为( )A. 3−√32B. 9−√32C. 6−√32D. 9+3√32【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式与柯西不等式求最值．首先利用基本不等式确定a +b +c 的范围，再用柯西不等式求解． 【解答】解：∵a ，b ，c ∈(0,1)，且ab +bc +ac =1， ∴(a +b +c)2≥3(ab +ac +bc)=3， ∴a +b +c ≥√3，∵(11−a +11−b +11−c)(1−a +1−b +1−c) ≥(1+1+1)2，∴11−a +11−b +11−c ≥93−(a +b +c )≥3−√3=9+3√32，当且仅当a =b =c =√33时等号成立，故选D ．10. 斐波那契数列是数学史上一个著名数列，它是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖时发现的，若数列{a n }满足a 1=1,a 2=1,a n+2=a n+1+a n ，则称数列{a n }为斐波那契数列，该数列有很多奇妙的性质，如根据a n =a n+2−a n+1可得：a 1+a 2+a 3+⋯+a n =(a 3−a 2)+(a 4−a 3)+⋯+(a n+2−a n+1)=a n+2−1，类似的，可得：a 12+a 22+a 32+⋯+a 1002=( )A. a 200B. a 100a 101C. a 1022−1D. a 201−1【答案】B【解析】解：根据题意，数列{a n }满足a n =a n+2−a n+1，即a n+1=a n+2−a n ，两边同乘以a n+1，可得a n+12=a n+2a n+1−a n+1a n ，则a 12+a 22+⋯a 1002=a 12+(a 2a 3−a 2a 1)+(a 3a 4−a 2a 3)+⋯…+(a 100a 101−a 99a 100)=1−a 2a 1+a 100a 101=1−1+a 100a 101=a 100a 101； 故选：B ．根据题意，分析可得a n+1=a n+2−a n ，进而变形可得a n+12=a n+2a n+1−a n+1a n ，据此可得a 12+a 22+⋯a 1002=a 12+(a 2a 3−a 2a 1)+(a 3a 4−a 2a 3)+⋯…+(a 100a 101−a 99a 100)，计算可得答案．本题考查数列的递推公式与数列的求和，关键是对数列的递推公式的变形．二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11. i 为虚数单位，复数(1−2i )2的虚部为 ． 【答案】−4【解析】【分析】本题考查复数的概念及复数的四则运算，属基础题． 把所给式子进行化简即可得到答案． 【解答】解：(1−2i )2=1−4i +4i 2=−3−4i ， 所以虚部为−4， 故答案为−4．12. 若关于x 的不等式|x|+|x −t|≤2有解，则实数t 的取值范围为______． 【答案】[−2,2]【解析】【分析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查运算求解能力，转化思想，是基础题．根据不等式|x|+|x −t|≤2有解，得2≥(|x|+|x −t|)min =|x −x +t|，求解即可． 【解答】解：关于x 的不等式|x|+|x −t|≤2有解，即2≥(|x|+|x −t|)min =|x −x +t|，当x(x −t)≤0时取最小值， 解得：−2≤t ≤2， 故答案为：[−2,2]．13. 点A(x,y)是曲线{x =2+cos θ,y =1+3sin θ(θ为参数)上的任意一点，则2x −y 的最大值为__________． 【答案】√13+3 【解析】【分析】本题主要考查三角函数的最值问题以及辅助角公式的应用，考查学生分析问题转化问题的能力，属于基础题．代入换元，利用三角函数的辅助角公式化简求出最大值． 【解答】解：由题2x −y =3+2cos θ−3sin θ=3+√13cos (θ+φ)， 故当cos (θ+φ)=1时，2x −y 的最大值为√13+3， 故答案为√13+3．14. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a 为非零整数)甲、乙、丙、丁四位同学给出下列四个结论：甲：−1是f(x)的零点；乙：1是f(x)的极值点；丙：3是f(x)的极值；丁：点(2,8)在曲线y =f(x)上．这四个结论中有且只有一个是错误的，则非零整数a 的值为______． 【答案】5【解析】解：①当甲错误时，则乙、丙、丁正确，由1是f(x)的极值点，3是f(x)的极值，则可设f(x)=a(x −1)2+3，由点(2,8)在曲线y =f(x)上， 得a +3=8，则a =5，满足题意，②当乙错误时，则甲、丙、丁正确，由−1是f(x)的零点，点(2,8)在曲线y =f(x)上， 得：{a −b +c =04a +2b +c =0，由3是f(x)的极值得：4ac−b 24a=3，联立解得a 无解， 即②不成立，③当丙错误时，则甲、乙、丁正确，由−1是f(x)的零点，点(2,8)在曲线y =f(x)上， 得：{a −b +c =04a +2b +c =0，由1是f(x)的极值点，则−b2a =1， 联立解得：a =−83∉Z ，即③不成立，④当丁错误时，则甲、乙、丙正确，则有：{a −b +c =02a +b =04ac−b 24a=3，解得：a =−34∉Z ， 即④不成立，综合①②③④得：非零整数a的值为5，故答案为：5．利用二次函数的极值、对称轴、零点进行简单的合情推理，逐一检验即可得解．本题考查了二次函数的极值、对称轴、零点及进行简单的合情推理，属中档题．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.某省确定从2021年开始，高考采用“3+1+2”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一门；“2”则是从生物、化学、地理、政治中选择两门，共计六门考试科目．某高中从高一年级2000名学生(其中女生900人)中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行调查．(1)已知抽取的n名学生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人数；(2)学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在(1)的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目).下表是根据调查结果得到的2×2列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5％的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．【答案】解：(1)因为n2000=1101100，所以n=200，女生人数为200−110=90．观测值k=200×(60×60−50×30)2110×90×90×110≈8.999>7.879，所以有99.5％的把握认为选择科目与性别有关．(3)从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名，这6名学生中有4名男生，记为a，b，c，d；2名女生记为A，B．抽取2人所有的情况为(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,A)、(a,B)、(b,c)、(b,d)、(b,A)、(b,B)、(c,d)、(c,A)、(c,B)、(d,A)、(d,B)、(A,B)，共15种，选取的2人中至少有1名女生情况的有(a,A)、(a,B)、(b,A)、(b,B)、(c,A)、(c,B)、(d,A)、(d,B)、(A,B)，共9种， 故所求概率为P =915=35．【解析】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是一般题．(1)由题意列方程求出n 的值，再计算女生人数；(2)填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(3)利用分层抽样原理求出抽取的人数，再用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．16. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是是参数).以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是．(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到曲线C 2距离的最小值． 【答案】解：(1)由曲线，可得两式两边平方相加可得(x√3)2+y 2=1，则曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1；由曲线，得，即，所以曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0； (2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点， 椭圆上的点到直线x +y −8=0的距离：，所以当时，即的最小值为3√2，此时此时此时点P 的直角坐标为(32,12)．【解析】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属中档题．(1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x =ρcosθ、y =ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设P(√3cosα,sinα)，则P 到直线的距离为d ，运用点到直线的距离公式和两角和的正弦公式以及正弦函数的值域即可得到最小值．17. 已知函数f (x )=|x +a |−|x −b |(a >0,b >0)．(1)当a =1,b =2时，解关于x 的不等式f (x )>2； (2)若函数f (x )的最大值是3，求1a +2b 的最小值． 【答案】(1)∵当a =1,b =2时，f (x )={−3,x ≤−12x −1,−1<x <23,x ≥2,∴f (x )>2的解集为{x|x >32}；(2)∵a >0,b >0，f (x )=|x +a |−|x −b |≤|(x +a )−(x −b )|=|a +b |=a +b ， ∴a +b =3，∴1a +2b =13(1a +2b )(a +b )=13(3+ba +2ab) ≥13(3+2√2)， 当且仅当ba =2a b ，即a =3√2−3,b =6−3√2时，等号成立.故1a +2b 的最小值为1+23√2．【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解问题． (1)零点分段讨论法解不等式． (2)均值不等式求最值．18. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2−35ty =−2+45t(t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcosθ=tanθ． (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A,B 两点，点P 的极坐标为(2√2,−π4)，求1 | PA|+1|PB|的值． 【答案】解：(1)C 1的参数方程为{x =2−35t y =−2+45t(t 为参数)，消参，得到10−5x 3=5y+104，曲线C 1的普通方程为4x +3y −2=0， 曲线C 2的极坐标方程为ρcosθ=tanθ， 即ρcosθ=sinθcosθ，即ρcosθ=ρsinθρcosθ， 曲线C 2的直角坐标方程为y =x 2;(2)∵C 1的参数方程为{x =2−35ty =−2+45t(t 为参数)，∴代入y =x 2得9t 2−80t +150=0，∵点P 的极坐标为(2√2,−π4)，化为直角坐标为(2,−2)，所以曲线C 1过点P ． ∵设t 1,t 2是A ，B 对应的参数， ∴t 1+t 2=809,t 1·t 2=503>0，∴1+1=|PA|+|PB|=|t 1+t 2|12=8. 【解析】本题考查了参数方程，极坐标方程及应用．(1)由直线参数方程通过消参得到普通方程，由曲线的极坐标方程通过转化得到直角坐标方程；(2)由直线参数方程和y =x 2联立，结合韦达定理，得到结果．19. 现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核：10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试：100分制)，用相关的特征量x 表示，数据如下表：(Ⅰ)求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；(Ⅱ)利用(I)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1)；(Ⅲ)现要从医护专业知识考核分数95分以下的医护人员中选派2人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训，求这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率．附：回归方程y ∧ =b ∧ x +a ∧ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ∧ =i −x)(y i −y)∑i=1n(x −x)2a ̂=y −b̂x ； 【答案】解：(Ⅰ)由题得，x =98+88+96+91+90+92+967=93，y=9.9+8.6+9.5+9.0+9.1+9.2+9.87=9.3，∑i=17(x i−x)(y i−y)=(98−93)×(9.9−9.3)+(88−93)×(8.6−9.3)+(96−93)×(9.5−9.3)+(91−93)×(9.0−9.3)+(90−93)×(9.1−9.3)+(92−93)×(9.2−9.3)+(96−93)×(9.8−9.3)=9.9，∑i=17(x i−x)2=(98−93)2+(88−93)2+(96−93)2+(91−93)2+(90−93)2+(92−93)2+(96−93)2=82，所以b̂=i−x)(y i−y)∑i=17(x−x)2=9.982≈0.12，â=9.3−0.12×93=−1.86，所以线性回归方程为ŷ=0.12x−1.86；(Ⅱ)由于b̂=0.12>0，所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高．当x=95时，ŷ=0.12×95−1.86≈9.5；(Ⅲ)由于95分以下的分数有88，90，91，92，共4个，则从中任选两个的所有情况有(88,90)，(88,91)，(88,92)，(90,91)，(90,92)，(91,92)，共6种，则这两人中至少有一人分数在90分以下的情况有(88,90)，(88,91)，(88,92)，共3种，故选派的这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率P=36=12．【解析】本题考查线性回归方程的求解及简单应用，同时考查基本事件和古典概型，属于基础题．(Ⅰ)求出相应量，代入公式求解即可；(Ⅱ)由b̂=0.12>0，所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高，将x=95代入方程即可求解；(Ⅲ)利用古典概型求解即可．11。
山西省山西大学附属中学2019-2020高一下学期5月模块诊断数学试题(wd无答案)
山西省山西大学附属中学2019-2020高一下学期5月模块诊断数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数(★★) 2. （）A．B．C．D．(★★) 3. 已知，且，则＝（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知向量，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为A．B．C．D．1(★★★) 7. 已知，则的值为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若，则（）A．B．C．D．(★★★★) 9. 已知，则角所在的区间可能是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 如图，扇形中，，是中点，是弧上的动点，是线段上的动点，则的最小值为A．B．C．D．(★★★★) 11. 已知函数（且），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数 a的取值范围是（）.A．B．C．D．(★★★★) 12. 已知，其中，若函数在区间内有零点，则实数的取值可能是（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 13. 己知非零向量，满足，则，的夹角为______．(★★★) 14. 在中，，，. 若，，且，则的值为______________.(★★★) 15. 已知函数，点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，若，则_____(★★★★) 16. 己知函数，有以下结论：① 的图象关于直线轴对称② 在区间上单调递减③ 的一个对称中心是④ 的最大值为则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.三、解答题(★★★) 17. 已知，.（1）若，求证：；（2）设，若，求，的值.(★★★) 18. 如图，在平面直角坐标系中，点，是以为直径的上半圆弧上两点（点在的右侧），点为半圆的圆心，已知，，.（1）若点的横坐标为，点的纵坐标为，求的值；（2）若，设，求函数的值域.(★★★) 19. 已知向量，向量与向量夹角为，且.（1）求向量；（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为的内角，且.求的取值范围.(★★★★) 20. 已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，若先把函数的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.（1）求函数与的解析式；（2）设函数，试判断在内的零点个数.。
山西大学附属中学高二下学期5月模块诊断 理数答案
山西大学附中2018～2019学年高二第二学期5月（总第四次）模块诊断数学试题（理科）答案考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） DCAAB BDACA BB1023 (1,)+∞三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.解：（1）由题意得： ，解之得 或 且 ，所以 。
（2）复数 对应的点的坐标为 ， 直线 的下方的点的坐标 应满足 ， 即： ， 解之得 ，所以 的取值范围为 。
18. 解：（1）每个球都有4种方法，故有：种 34256=种不同的放法（2）将4个不同的球放入4个不同的盒子，若没个盒子不空，则共有 =24种不同的放法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有：2344144C A =种不同的放法．19．解：（1）2128,7.n n =∴=展开式中二项式系数最大的项为第6,7项()()565221261213677735103,35103T C x x x T C x x x ====.（2）()201620162016120152015201520162016201620163028228282...2822282C C K =+=++++=+转化为20162被7除的余数，()6722016672287171k ==+=+，即余数为1.20．（本小题12分） 解：（1）当时，，解得当时，，当时，，.（2）猜想得下面用数学归纳法证明： ①时，满足.②假设时，结论成立，即，则时，将代入化简得 ，故时 结论成立 .综合①②可知，．21．（本小题12分）解：（1）当1m =-时，()2xf x e x =-，∴()221xf x e'=-，则()01f '=.又()01f =，∴曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+. （2）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且()2)0(2xf x e m m '=+≤．①当0m =时，()20xf x e=>恒成立，满足条件；②当0m <时，由()0f x '>，得1ln 22m x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在1ln ,22m ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；同理函数()f x 在1,ln 22m ⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减． 因此()f x 在1ln 22m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭处取得最小值ln 122m m ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. ∴ln 1022m m ⎡⎤⎛⎫--> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得20e m -<<. 综上所述，当(]2,0m e ∈-时，不等式()0f x >在定义域(,)-∞+∞内恒成立． 22．（本小题12分） 解：（1）①当1＞1-m ，即m ＞0时，（-∞，1-m ）和（1，+∞）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调减；（1-m ，1）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调增②当1=1-m ，即m =0时，（-∞，+∞）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调减③当1＜1-m ，即m ＜0时，（-∞，1）和（1-m ，+∞）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调减；（1，1-m ）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调增（2）对任意的x 1，x 2∈[1，1-m ]，4f （x 1）+x 2＜5可转化为 ＜， 设g （x ）=-x +，则问题等价于x 1，x 2∈[1，1-m ]，f （x ）max ＜g （x ）min 由（1）知，当m ∈（-1，0）时，f （x ）在[1，1-m ]上单调递增，，g （x ）在[1，1-m ]上单调递减，，即证＜，化简得4（2-m ）＜e 1-m [5-（1-m ）] 令1-m =t ，t ∈（1，2）设h （t ）=e t （5-t ）-4（t +1），t ∈（1，2），h′（t）=e t（4-t）-4＞2e t-4＞0，故h（t）在（1，2）上单调递增．∴h（t）＞h（1）=4e-8＞0，即4（2-m）＜e1-m[5-（1-m）]故＜，得证．。
高二下学期数学5月月考试题(解析版)
所以第二步由 到 时，
不等式左端的变化是增加了 两项，同时减少了 项.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了数学归纳法及其应用，其中解答中分别写出当 和 时的左端项，通过观察、推理是解答的关键，属于基础题.
9.若函数 与函数 的图象存在公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
在直角坐标系中，直线 （ 为参数， ），在以 为极点， 轴正半轴为极轴 极坐标系中，曲线 ．
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点 ，若直线 与曲线 交于 两点，且 ，求 ．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件将极坐标化为直角坐标求解；（Ⅱ）借助题设条件运用向量和直线参数方程的几何意义求解．
【解析】
试题分析：
试题解析：(Ⅰ)设 ，则
又
∴ 为所求C1的极坐标方程．
(Ⅱ)C2的极坐标方程为 ,
把 代入C2得 ，
把 代入C1得
考点：参数方程，极坐标
19.设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，
（1）求 ， 的值；
（2）求 单调区间.
【答案】（Ⅰ） ， ；（2） 的单调递增区间为 .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据题意求出 ，根据 求a,b的值即可；
A. （3，8）B. （4，7）C. （4，8）D. （5，7）
【答案】D
【解析】
试题分析：根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律，然后找出第60对数的两个数的和的值以及是这个和值的第几组，然后写出即可．
解：（1，1），两数的和为2，共1个，
（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，
（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，
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2t 2 （t 为参数）,
y
2t 2
知直线 l 是过点 P（-2，0），且倾斜角为 的直线，把直线的参数方程代入曲线 C 得，
4
t2 2t 4 0 ．...............................3 分
由韦达定理可得： t1+t2 = 2 ， t1 t2 =-4 .....................................4 分 因为 t1 t2 0 ，所以 PM - PN = t1 t2 t1 t2 2 ..............................6 分
三、解答题（共 70 分）
15. 5 16. [17 , 9 ] 42
17．（满分 10 分）
（1）根据指数幂的运算性质化简可得
25 9
8 27
1
3
(
e)0
1 4
1 2
1
=
5 3
2 3
3
3
1
22
1 2
.............................3 分
= 5 2 1 2 2 .............................5 分 33
当 a 2 时， f x x 2 在 (0, ) 上单调递增，满足，故 a 2 . ..............4 分
x
（2） log2 x 1 a2 f 1 0 ，即 log2 x 1 1 a ，.............5 分
画出函数图像，如图所示：
...................................8 分
因为关于 x 的不等式 x2 2a 3 x 1 0 有实数解，......................1 分
Q
真：
(2a3)24源自0，解得a
5 2
或
0
a
1 2
.
因为 P Q 为真且 P Q 为假，所以 P ， Q 一真一假.
山西大学附中 2019—2020 学年第二学期高二年级 5 月模块诊断数学答案
考查时间：120 分钟 满分： 150 分 考查内容：极坐标参数方程，不等式，集合和函数
一、选择题（5×12=60 分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
B
C
D
B
D
C
B
A
B
A
二、填空题（5×4=20 分）
13. 2
14. (2,)
（1）由 2cos2 3 2sin2 12 ，将 x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得到 x2 +3 y2 =12,...........2 分
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 +3 y2 =12， P 的极坐标为 2, ，化为直角坐标为（-2，0）
x 2 由直线 l 的参数方程为：
分
2
18．（满分 12 分） 根据题意，集合 A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，若 A∩B=B，则 B 是 A 的子集，....3 分 且 B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，为方程 x2+2（a+1）x+a2﹣1=0 的解集， 分 4 种情况讨论： ①B=∅ ，△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0，即 a＜﹣1 时，方程无解，满足题意
0 1 a 1 ，故 a 0,1 .
................................9 分
log2
m
1
log2
n
1
，故
m
1 n
1
1，即
1 m
1 n
1.
21．（满分 12 分）
...................12 分
（1）因为函数 f x loga x 在 0, 上为减函数，所以 P 真： 0 a 1.
（2）根据对数的运算性质化简可得
lg 8 lg125 lg 2 lg 5 lg 10 lg 0.1
lg 8125 lg 25
1 lg10 lg101 .............................3 分 2
1
31
1
4
............................5
（2）由曲线 C 的方程为 x2 y2 1 ， 12 4
不妨设曲线 C 上的动点 Q 2 3cos，2sin ，..............................7 分 则以 P 为顶点的内接矩形周长 l 4 2 3cos 2sin ，...............................9 分
........................5 分
②B={0}，即 x2+2（a+1）x+a2﹣1=0 有两个相等的实根 0， 则有 a+1=0 且 a2﹣1=0，解可得 a=﹣1，...............................7 分 ③B={﹣4}，即 x2+2（a+1）x+a2﹣1=0 有两个相等的实根﹣4， 则有 a+1=4 且 a2﹣1=16，此时无解，......................................................9 分 ④B={0、﹣4}，即 x2+2（a+1）x+a2﹣1=0 有两个的实根 0 或﹣4， 则有 a+1=2 且 a2﹣1=0，解可得 a=1，..........................................................11 分 综合可得：a=1 或 a≤﹣1．.................................................12 分 19．（满分 12 分）
20．（满分 12 分）
（1） f x x a a2 2
x
，
f
x
x
a x
a2
2
f
x
，故
a2
2
0，
a 2 . ........................2 分
当 a 2 时， f x x 2 在 (0, ) 上先减后增，排除；
x
.......................3 分
16sin
3
0＜
＜ 2
.............................10
分
又由 sin（θ ）≤1，则 l ≤16；...................................11 分 3
因此该内接矩形周长的最大值为 16．...................................12 分