卷积
卷积计算(图解法)
(1) n<0
x(m) m 0 4 h(n-m) m n-6 n0
y(n) = x(n) ∗ h(n) = 0
x(m) m
(2)在0≤n≤4区间上
0
4 h(n-m) m
n-6 0 n 4
∴ y(n) = ∑ x(m)h(n − m) = ∑1⋅ a
m=0 n m=0
n
n
n−m
=a
n
m=0
∑a
−m
1− a =a −1 1− a
n
−( n+1)
1− a =1− a
1+n
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
m 0 4 h(n-m) m n-6 0
1+n
∴ y(n) = ∑x(m)h(n − m)
m=0
4
= ∑1⋅ a
m=0 n
4
n−m
=a
n
m=0
∑a
n−4
4
−m
4 6 n
1− a a −a =a = −1 1− a 1− a
−(1+4)
x(m) m 0 4 h(n-m) m 0 n-6
7
(4)在6<n≤10区间上
∴ y(n) = =
m=n−6
∑x(m)h(n − m)
=a
n m=n−6 −( 4+1)
n
m=n−6
∑1⋅ a
n
n
n−m
∑a
=
4
−m
6
n
10
=a
a
−( n−6)
−a −1 1− a
a
n−4
−a 1− a
综合以上结果， 可归纳如下： 综合以上结果，y(n)可归纳如下： 可归纳如下
卷积的原理与应用
卷积的原理与应用1. 什么是卷积？卷积是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的数学运算。
它通过将一个函数与另一个函数进行叠加来产生一个新的函数。
在信号处理中，卷积可以用于信号的滤波、降噪、特征提取等。
2. 数学表示假设有两个函数f(x)和g(x)，它们的卷积运算表示为：(f ∗ g)(t) = ∫f(τ)g(t−τ)dτ这个公式表示了函数f与函数g的卷积运算结果在时刻t的取值。
卷积运算可以理解为将函数f的一个部分与函数g进行叠加，然后将结果求和。
通过改变函数f和函数g可以得到不同的卷积结果。
3. 卷积的应用卷积在信号处理和图像处理中有着广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用场景：•图像滤波：卷积可以用于图像的平滑和边缘检测。
通过选择合适的卷积核，可以对图像进行不同的滤波操作，例如平均滤波、高斯滤波和锐化等。
•语音识别：在语音信号处理中，卷积可以用于声纹识别、语音增强和语音合成等。
通过卷积运算可以提取语音信号的特征，从而实现语音识别的功能。
•深度学习：卷积神经网络是深度学习中广泛使用的一种模型。
卷积层是卷积神经网络的核心组成部分，它可以提取输入数据中的空间特征。
通过卷积运算，神经网络可以学习到图像、音频等数据的抽象特征，从而实现图像分类、目标检测等任务。
•医学影像处理：在医学影像处理中，卷积可以用于肿瘤检测、血管分割和图像配准等。
通过卷积运算可以提取医学影像中的关键特征，辅助医生进行诊断和治疗。
•时间序列分析：卷积可以用于时间序列数据的预测和分析。
通过卷积运算可以提取时间序列中的周期性和趋势等特征，帮助研究者理解时间序列数据的规律性。
4. 卷积的优势•局部感知能力：卷积操作可以在输入数据的局部区域提取特征，从而捕捉到局部细节，而忽略了整体信息。
这种局部感知能力使得卷积在图像和语音等领域具有很好的表现。
•参数共享：卷积层中的参数是可以共享的，这意味着不同的位置使用相同的卷积核，从而大大减少了需要训练的参数量。
卷积及其性质
f1()
f2(t
)d
iii) 若t 0, f1(t)0, f2(t)0,则
S(t) 0,
t
0
t
S(t) 0
f1() f2(t )d,
t
0
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2
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 及 分 的 求 取 方 法
（1） 函 数 计 算 法
例，已知
f1 (t )
1 [u (t 2
2 ) u (t 5)]
二，离散卷积和
1，定义
两个序列x1(n)，x2(n) 得卷积和定义为
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m0
精选PPT
13
§2.7 卷积及其性质
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
精选PPT
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
精选PPT
12
§2.7 卷积及其性质
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
精选PPT
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应
数字信号处理什么是卷积 卷积有什么用
什么是卷积卷积有什么用1.卷积的定义：在泛函分析中，卷积、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f 与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。
简单定义：卷积是分析数学中一种重要的运算。
设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。
卷积与傅里叶变换有着密切的关系。
利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。
卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。
如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。
另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表示卷积。
2.卷积在工程和数学上都有很多应用：统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
卷积的原理(一)
卷积的原理(一)
卷积的原理与应用
什么是卷积？
•卷积是一种重要的数学运算，广泛应用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
•卷积是将两个函数进行混合的一种数学运算，可以看作是两个函数之间的一种相似性度量。
卷积的基本原理
1. 离散卷积
•离散卷积是将两个离散信号进行混合的运算，可以用来处理离散信号的平滑、滤波和特征提取等问题。
•离散卷积的计算方法是将输入信号和滤波器进行逐个元素相乘，然后将结果相加得到输出信号。
2. 连续卷积
•连续卷积是将两个连续函数进行混合的运算，可以用来处理连续信号的平滑、滤波和特征提取等问题。
•连续卷积的计算方法是将输入函数和滤波器进行积分运算，然后将结果进行加权相加得到输出函数。
卷积的应用领域
1. 信号处理
•在信号处理中，卷积可以用来平滑信号、滤波噪声、提取信号特征等。
•例如，通过卷积可以将一段语音信号进行去噪处理，使得语音信号更加清晰。
2. 图像处理
•在图像处理中，卷积可以用来边缘检测、图像去噪、特征提取等。
•例如，通过卷积可以将一张图像进行边缘检测，突出图像中物体的边界。
3. 深度学习
•在深度学习中，卷积神经网络（CNN）是一种重要的模型，其中卷积层是其核心组成部分。
•通过卷积操作，CNN可以提取图像、语音等数据的局部特征，有效地进行图像分类、目标检测等任务。
总结
•卷积是一种重要的数学运算，广泛应用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
•离散卷积和连续卷积是卷积的两种基本形式。
•卷积在信号处理、图像处理和深度学习等领域具有广泛的应用价值。
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
卷积的作用
卷积的作用卷积是一种在数学和信号处理中广泛应用的操作，它在图像处理、音频处理、自然语言处理等领域发挥着重要的作用。
本文将介绍卷积的基本概念、作用和应用。
首先，我们来了解一下卷积的基本概念。
卷积是一种在两个函数之间进行操作的数学方法，通常用符号*表示。
在离散情况下，卷积可以表示为两个序列之间的乘积和。
在连续情况下，卷积可以表示为两个函数之间的积分。
卷积的基本公式如下所示：(f*g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ （连续情况）(f*g)(n) = Σf(k)g(n-k) （离散情况）在图像处理中，卷积可以应用于图像的滤波、边缘检测、模糊等操作。
通过卷积操作，我们可以将一个图像与一定的卷积核进行卷积运算，从而改变图像的特征。
例如，在进行边缘检测时，我们可以使用卷积核对图像进行卷积操作，从而突出图像中的边缘信息。
同样，在进行图像模糊时，我们可以使用不同的卷积核对图像进行卷积运算，从而实现不同程度的模糊效果。
在音频处理中，卷积可以应用于音频的滤波、声音增强等操作。
通过对音频信号与一定的卷积核进行卷积运算，我们可以改变音频信号的频域特性。
例如，在进行音频滤波时，我们可以使用不同的卷积核对音频信号进行卷积操作，从而实现不同频率范围的滤波效果。
同样，在进行音频增强时，我们可以使用不同的卷积核对音频信号进行卷积运算，从而增强特定频率范围的声音。
在自然语言处理中，卷积可以应用于文本的特征提取、情感分析等任务。
通过对文本进行卷积操作，我们可以提取文本的局部特征。
例如，在进行情感分析时，我们可以使用卷积操作对文本进行特征提取，从而识别文本中的情感倾向。
同样，在进行文本分类时，我们可以使用卷积操作对文本进行特征提取，从而实现文本的分类。
除了上述应用之外，卷积还被广泛应用于图像识别、语音识别、自动驾驶等领域。
在图像识别中，卷积神经网络（CNN）通过多层卷积操作实现对图像的特征提取和分类。
而在语音识别和自动驾驶中，卷积操作用于对音频和图像数据进行处理和分析，从而实现语音或图像的识别和控制。
各种卷积方式解析
卷积（Convolution）是信号处理和图像处理中常用的一种操作，用于处理信号、图像和数据。
下面是一些常见的卷积方式的解析：
1.线性卷积（Linear Convolution）：线性卷积是最基本的一种卷积方式。
它通过将两个函数（或信号）的每个值相乘，并将结果进行累加得到卷积结果。
线性卷积在时域上执行，通常使用离散时间卷积（Discrete Time Convolution）或连续时间卷积（Continuous Time Convolution）来计算。
2.离散卷积（Discrete Convolution）：离散卷积是一种用于离散信号处理的卷积方式。
与线性卷积类似，离散卷积是将两个离散信号序列的每个值相乘，并将结果进行累加得到卷积结果。
常见的应用包括数字滤波、信号降噪、图像处理和语音识别等。
3.快速卷积（Fast Convolution）：快速卷积是通过使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）算法来加速卷积计算的一种方法。
通过将卷积操作转换为频域上的乘法操作，使用FFT可以显著减少计算复杂度，尤其适用于长序列的卷积计算。
4.卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）：卷积神经网络是一类特殊的神经网络结构，广泛应用于图像和语音识别、计算机视觉和自然语言处理等领域。
CNN利用局部连接和权重共享的卷积操作来提取输入数据中的特征，通过卷积层、池化层和全连接层等组件搭建深层网络模型。
以上是一些常见的卷积方式的解析。
每种卷积方式都有其特定的应用场景和计算方法，具体使用哪种方式取决于所处理的数据类型和具体任务的要求。
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深圳大学实验报告
课程名称：信号与系统
实验项目名称：信号的卷积实验
学院：信息工程学院
专业：通信工程
指导教师：
报告人: 许绍丰学号：2011130131 班级：2班实验时间：2013年4月16日
实验报告提交时间：2013年4月28日
教务处制
1、掌握信号的卷积运算。
2、掌握系统的输入、单位冲激响应和输出间的卷积关系。
二、实验内容
1、测量信号的卷积运算并与理论计算值比较。
三、实验仪器
1、信号与系统实验箱一台（主板）。
2、系统时域与频域分析模块一块。
3、20MHz 示波器一台。
四、实验原理
考察下图RC 积分电路：由电路分析可知，电容两端的电压为：
e (t 图3-1 RC 电路⎰---+=t t RC c RC t
c d e e RC V e t V _0)(1
)(1_)0()(τττ 其中e (t )为系统的输入信号，V c (t)为系统的输出信号，V C (0-)为电容C 两端的起始电压，又称为系统的初始状态。
若V C (0-)=0，则上式为
⎰--=t t RC c d e e RC t V 0)(1
)(1)(τττ 显然，上图电路系统等价于如下LTI 系统，其中，x (t )= e (t )u(t)，y (t )= V c (t)，
11()t RC h t e RC
-=为系统的单位冲激响应。
其输入输出符合卷积运算：()()()y t x t h t =*。
1、把系统时域与频域分析模块插在主板上，用导线接通此模块“电源接入”和主板上的电源（看清标识，防止接错，）。
2、接通主板上的电源，同时按下本模块的电源开关S1，将“函数信号发生器”模块中的输出通过导线引入到“零输入零状态响应”的输入端。
（将“波形选择”拨到方波“频率调节”用于在频段内的频率调节，“占空比”用于脉冲宽度的调节，可改变以上的参数进行相关的操作）。
3、用示波器的两个探头，一个接函数信号发生器输出作同步，一个用于观察输出信号的波形，观察在输入信号的高电平时段对应的输出信号。
4、改变函数信号发生器的“频率调节”、“幅度调节”电位器，观察相应的输出信号。
5、将输入信号分别设置为正弦波和三角波，观察输出信号。
6、改变本实验的开关K1的位置，观察到的是不同系统下的输出信号，比较输入信号分别是方波、正弦波和三角波时两个系统的输出信号。
六、实验结果：
1绘制出所观察到的输入和输出波形。
原始输出波形:
分析:这是电容RC积分电路的实验效果.根据电容的充放电特性,电容充放电是一个缓慢的过程,所以,它所体现出来的曲线并不是百分百是一个规范的高低电平的脉冲,而是会有一个连续弯曲的变化过程.正如实验所示那样.
改变了函数信号发生器的“频率调节”“幅度调节”电位器观察到的输出信号:
分析:信号发生器的频率一旦改变,电容充放电的速度也随着改变,因此便出现了如上图所示的实验效果图.其中,更是出现了一些类似毛刺的东西.使得过滤器观察到的曲线很不规则.但是,这是正常的情况.
将输入信号分别设置为正弦波和三角波观察到的输出信号:
改变本实验的开关K1的位置，观察到得不同系统下的输出信号（输入信号分别为方波，正弦波，三角波）：
2、通过绘制出的波形，和理论计算的结果进行比较。
实验绘制出的波形，和理论计算的结果很接近.
七、实验测试点的说明
1、测试点分别为：
“输入”（孔和测试钩）：系统的输入端。
“输出”：系统的输出端。
“GND”：与实验箱的地相连。
2、调节点分别为：
“S1”：此模块的电源开关。
2、教师批改学生实验报告时间应在学生提交实验报告时间后10日内。