完整版容斥原理习题加答案

1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（

）

【答案】B

【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B

得A H B=25,所以答案为B。

2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25%是白色的, 75%是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）

A 、15

B

、

25

C 、35

D40

【答案】C

【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式

为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=35

3. 某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推

其他部分数字：

根据每个区域含义应用公式得到：

总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数

=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15

=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15

根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只

选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.

4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。 其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )

A.22 人

B.28 人

C.30 人

D.36 人

【答案】A

【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推

其他部分数字：

根据各区域含义及应用公式得到：

总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数

100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜 欢的

人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。52= x+12+4+Y = 14+12+4+Y 得到Y = 22人。

不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人？( )

5. 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25 人;语文得90分以上的有21 人;两科中至少有一科在90 分以上的有38 人。问两科都在90 分以上的有多少人?

解：设A={ 数学成绩90 分以上的学生}

B={ 语文成绩90 分以上的学生}

那么，集合A U B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，

I A I =25， I B I =21， I A U B I =38

现要求两科均在90分以上的学生人数，即求I A QB I,由容斥原理得

I A PB I = I A I + I B I - I A U B I =25+21-38=8

点评：解决本题首先要根据题意，设出集合 A , B,并且会表示 A U B , A PB，再利用

容斥原理求解。

6. 某班同学中有39人打篮球, 37人跑步, 25人既打篮球又跑步,问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?

解：设A={ 打篮球的同学};B={ 跑步的同学}

则A P B={ 既打篮球又跑步的同学}

A U B={ 参加打篮球或跑步的同学}

应用容斥原理I A U B I = I A I + I B I - I A PB I =39+37-25=51（人）

7. 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组,参加数学小组的有23人, 参加语文小组的有27人, 参加外语小组的有18人;同时参加数学、语文两个小组的有4人, 同时参加数学、外语小组的有7人,同时参加语文、外语小组的有 5 人;三个小组都参加的

有 2 人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?

解1 :设A={数学小组的同学}, B={语文小组的同学} , C={外语小组的同学}, A P B={数学、语文小组的同学}, A P C={参加数学、外语小组的同学} , B P C={参加语文、外语小组

的同学}, A P B P C={ 三个小组都参加的同学}

由题意知：l A I =23, I B I =27,1 C I =18

I A PB I =4, I A AC I =7 ,I B AC I =5, I A A B AC I =2

根据容斥原理二得：

I A U B U C I = I A I + I B I + I C I - I A AB I - I A A C|- I B A C|+|A A B AC I

=23+27+18-（4+5+7）+2

=54（人）

山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法

解2 :利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。

设A、B、C分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不

相交的区域，区域四（即A A B A C）表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区

域W表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2（人）。区域W表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5（人）。区域V表示仅参加语文、外语小组的同

学的集合，其人数为5-2=3（人）。区域I表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为

23-2-2-5=14（人）。同理可把区域H、川所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为；

14+20+8+2+5+3+2=54（人）

点评：解法2简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。