一元二次方程章末复习含答案
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程 专题复习练习题
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题专题一、一元二次方程的解法1、用直接开平方法解方程：（1）x2﹣＝0；（2）2x2+3＝﹣2x2+4；（3）（2x﹣1）2﹣121＝0；（4）（2x+3）2 =（x﹣1）2．2、用配方法解方程：（1）x2﹣4x＝7；（2）2x2﹣4x-1＝0.（3）（4x﹣1）（3﹣x）＝5x+1．3、用因式分解法解方程：（1）2x2﹣5x=0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6；（3）4x2+1=-4x；（4）（x﹣1）（x+3）＝12．4、用公式法解方程：（1）x2x﹣14=0；（2）3x2＝4x+2．5、当x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？专题二、一元二次方程的应用：增长率及利润问题1、某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．2、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3、某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？4、阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，单价每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？5、适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．6、某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y ＝kx+b的图象上，如图．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？专题三、一元二次方程的应用：面积问题1、如图，有一块宽为16 m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40 m2，试求该矩形荒地的长．2、如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米.3、在某校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．4、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？5、如图①，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图②的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．图①图②6、如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？专题1参考答案1.解：（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝，x2＝﹣．（3）x1＝6，x2＝﹣5．（4）x1=﹣4，x2=﹣2．解：（1）x1＝x2＝2．（2）x1＝1+，x2＝1﹣．（3）x1＝x2＝1．3．解：（1）x1＝0，x2＝52．（2）x1＝2，x2＝5．（3）x1＝x2＝-．（4）x1＝3，x2＝﹣5．4．解：（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝，x2＝．5．解：根据题意，得3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，整理，得x2+6x﹣7＝0，则（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1．∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．专题2答案：1．解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有（1+x）2＝（1+44%）×（1+21%），解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（舍去）．答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%．2．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．3．解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．4．解：当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，依题意，得：（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，整理，得：x2﹣550x+75000＝0，解得：x1＝250，x2＝300（舍去）．答：售价应定为250元．5．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得10x2﹣7x+2＝0， ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．6．解：（1）依题意有，解得．故y与x的函数关系式是y＝﹣10x+80．（2）设该设备的销售单价为x万元/台，依题意有（x﹣2）（﹣10x+80）＝80，整理方程，得x2﹣10x+24＝0．解得x1＝4，x2＝6．∵此设备的销售单价不高于5万元，∴x2＝6（舍去），∴x＝4．答：该设备的销售单价是4万元．专题3答案：1．解：设B地块的边长为x m，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26 m．答：矩形荒地的长为26 m．2．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得2x2﹣13x+11＝0，解得x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m．3．解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米4．解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．5．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得×（20﹣2x）＝150，化简，得：x2﹣30x+125＝0，解得x1＝5，x2＝25．当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150 cm2，则纸盒的高为5 cm．6．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8 cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，依题意，得（6﹣x）×2x＝8，化简，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8 cm2．（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2y cm，依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．答：经过秒后，P，Q两点间的距离是cm．。
华师大版九年级上第22章一元二次方程单元复习题有答案解析
华师大版九年级上册第２２章一元二次方程单元复习题姓名：；成绩：；一、选择题（４分×１０＝４０分）1、（随州）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x-6）2=—4+36 Ｂ、（x-6）2=4+36C．(x-3)2=—4+9Ｄ、(x-3)2=4+92、（安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A． 14 B． 12 C． 12或14 D．以上都不对3、（扬州）已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定4、（随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，约为20万人次，约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.85、（兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．(x+1)(x+2)=18 B．x2﹣3x+16=0 C．(x－1)(x－2)=18 D．x2+3x+16=0 6、（烟台）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（）A． 2或﹣1 B． 0或1 C． 2D．﹣17、（达州）方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（）A． m＞B． m≤且m≠2C． m≥3D． m≤3且m≠28、（安顺）若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一9、（株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=110、（贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣511、（广州）定义运算：a★b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b★b﹣a★a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关12、（南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（４分×６＝２４分）13、（荆州）将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为．14、（抚顺）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为．15. （南通）设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）=．16. （内蒙古）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为m．17. （如皋市校级二模）已知n是关于x的一元二次方程x2+m2x﹣2m=0（m为实数）的一个实数根，则n的最大值是．18. （安徽模拟）对于实数a、b定义：a*b=a+b，a#b=ab，如：2*（﹣1）=2+（﹣1）=1，2#（﹣1）=2×（﹣1）=﹣2．以下结论：①[2+（﹣5）]#（﹣2）=6；②（a*b）#c=c（a*b）；③a*（b#a）=（a*b）#a；④若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）=1，则x=．正确的是（填序号即可）三、解答题（８分+６分＝１４分）１９、（１）（山西）解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．（２）解方程：m2﹣6m﹣9991=0；20、解方程：（x2﹣5）2﹣3（x2﹣5）﹣4=0；四、解答题（１０分×４＝４０分）21、（朝阳）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．２２、（梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1x2，求k的值．２３、（重庆校级模拟）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则=4， =14， =194；（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．２４、（鄂州）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．五、解答题（１２分×２＝２４分）２４、（荆州）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．２５、（韶关模拟）如图，点A（2，2）在双曲线y1=（x＞0）上，点C在双曲线y2=﹣（x＜0）上，分别过A、C向x轴作垂线，垂足分别为F、E，以A、C为顶点作正方形ABCD，且使点B在x轴上，点D在y轴的正半轴上．（1）求k的值；（2）求证：△BCE≌△ABF；（3）求直线BD的解析式．华师大版九年级上册第２２章一元二次方程单元复习题的解析一、选择题1、（随州）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x-6）2=—4+36 Ｂ、（x-6）2=4+36C．(x-3)2=—4+9Ｄ、(x-3)2=4+9考点：解一元二次方程-配方法．分析：根据配方法，可得方程的解．解答：解：x2﹣6x﹣4=0，移项，得x2﹣6x=4，配方，得（x﹣3）2=4+9．故选：D．点评：本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．2、（安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A． 14 B． 12 C． 12或14 D．以上都不对考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．分析：易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得三角形周长即可．解答：解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．点评：本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时一定要先判断是否能构成三角形．3、（扬州）已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定【分析】将M与N代入N﹣M中，利用完全平方公式变形后，根据完全平方式恒大于等于0得到差为正数，即可判断出大小．【解答】解：∵M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），∴，∴N＞M，即M＜N．故选A【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4、（随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，约为20万人次，约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．20（1+2x）=28.8 B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2=28.8 D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“约为20万人次，约为28.8万人次”，可得出方程．【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，故选C．【点评】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．5、（兰州）公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．(x+1)(x+2)=18 B．x2﹣3x+16=0 C．(x－1)(x－2)=18 D．x2+3x+16=0 【分析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有=18，故选C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．6、（烟台）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（）A． 2或﹣1 B． 0或1 C． 2 D．﹣1考点：解一元二次方程-因式分解法；零指数幂．分析：首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．解答：解：∵x2﹣x﹣1=（x+1）0，∴x2﹣x﹣1=1，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=2，x2=﹣1，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选：C．点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及零指数幂的性质，注意x+1≠0是解题关键．7、（达州）方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（）A． m＞B． m≤且m≠2C． m≥3D． m≤3且m≠2考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到，然后解不等式组即可．解答：解：根据题意得，解得m≤且m≠2．故选B．8、（安顺）若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（）象限．A．四B．三C．二D．一考点：根的判别式；一次函数图象与系数的关系．分析：根据判别式的意义得到△=（﹣2）2+4m＜0，解得m＜﹣1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=（m+1）x+m﹣1图象经过的象限．解答：解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，∴△＜0，∴△=4﹣4（﹣m）=4+4m＜0，∴m＜﹣1，∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，∴一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第一象限，故选D．9、（株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1考点：根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．分析：利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．解答：解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选D．10、（贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b，且a2﹣ab+b2=18，则+的值是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将a2﹣ab+b2=18变形成（a+b）2﹣3ab=18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p=﹣3符合题意，再将+变形成﹣2，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，∴a+b=3，ab=p，∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，∴p=﹣3．当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，∴p=﹣3符合题意．+===﹣2=﹣2=﹣5．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p=﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．11、（广州）定义运算：a★b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b★b﹣a★a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，ab=m，根据新运算，找出b★b﹣a★a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，∴a+b=1，ab=m．∴b★b﹣a★a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．故选A．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab=m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．12、（南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用举例反证的方法解决，据此即可得解．解答：解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1x2=2n＞0，y1y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，4m2﹣8n=m2﹣2n≥0，4n2﹣8m=n2﹣2m≥0，m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；③∵y1+y2=﹣2n，y1y2=2m，∴2m﹣2n=y1+y2+y1y2，∵y1与y2都是负整数，不妨令y1=﹣3，y2=﹣5，则：2m﹣2n=﹣8+15=7，不在﹣1与1之间，③错误，其中正确的结论的个数是2，故选C．点评：本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，还考查了举例反证法，有一定的难度，注意总结．二、填空题１３、（荆州）将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为（x+2）2+1．【分析】直接利用完全平方公式将原式进行配方得出答案．【解答】解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1．故答案为：（x+2）2+1．【点评】此题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．14. （抚顺）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a的取值范围为a ≤且a≠1．【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，则a﹣1≠0，即a≠1，且△≥0，即△=（﹣1）2﹣4（a﹣1）=5﹣4a≥0，然后解两个不等式得到a的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1=0有实数根，∴a﹣1≠0即a≠1，且△≥0，即有△=（﹣1）2﹣4（a﹣1）=5﹣4a≥0，解得a≤，∴a的取值范围是a≤且a≠1．故答案为：a≤且a≠1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．15. （南通）设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）= 3．【分析】由题意可知x22﹣3x2=1，代入原式得到x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，∴x12﹣3x1﹣1=0，x22﹣3x2﹣1=0，x1+x2=3，∴x22﹣3x2=1，∴x1+x2（x22﹣3x2）=x1+x2=3，故答案为3．【点评】本题考查根与系数关系、一元二次方程根的定义，解题的关键是灵活运用根与系数的关系定理，属于中考常考题型．16. （内蒙古）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为2m．【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为480米2，列出一元二次方程．【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（30﹣3x）（24﹣2x）=480，解得x1=20（舍去），x2=2．即：人行通道的宽度是2m．故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为480米2得出等式是解题关键．17. （如皋市校级二模）已知n是关于x的一元二次方程x2+m2x﹣2m=0（m为实数）的一个实数根，则n的最大值是1．【分析】由n是方程的根可得nm2﹣2m+n2=0且△=（﹣2）2﹣4nn2≥0，继而可得n的取值范围，即可知n的最大值．【解答】解：∵n是方程x2+m2x﹣2m=0（m为实数）的一个实数根，∴nm2﹣2m+n2=0，且△=（﹣2）2﹣4nn2≥0，即4﹣4n3≥0，∴n3≤1，则n≤1，∴n的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查一元二次方程的解与根的判别式，根据题意得出关于n的不等式是解题的关键．18. （安徽模拟）对于实数a、b定义：a*b=a+b，a#b=ab，如：2*（﹣1）=2+（﹣1）=1，2#（﹣1）=2×（﹣1）=﹣2．以下结论：①[2+（﹣5）]#（﹣2）=6；②（a*b）#c=c（a*b）；③a*（b#a）=（a*b）#a；④若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）=1，则x=．正确的是①②④（填序号即可）【分析】先读懂题意，根据题意求出每个式子的左边和右边，再判断是否正确即可．【解答】解：∵[2+（﹣5）]#（﹣2）=（﹣3）#（﹣2）=6，∴①正确；∵（a*b）#c=（a+b）#c=（a+b）c=ac+bc，c（a*b）=c（a+b）=ac+bc，∴②正确；∵a*（b#a）=a*ab=a+ab，（a*b）#a=（a+b）#a=（a+b）a=a2+ab，∴③错误；∵（1*x）#（1#x）=1，∴（1+x）#（x）=1，（1+x）x=1，x2+x﹣1=0，解得：x2=，x2=，∵x＞0，∴x=，∴④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了整式的混合运算，解一元二次方程，有理数的混合运算的应用，能正确根据运算法则和新运算进行化简和计算是解此题的关键．三、解答题１９、（１）（山西）解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，解得：x1=3，x2=9．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．（２）解方程：m2﹣6m﹣9991=0；【分析】①先进行配方，然后直接开平方求出方程的解；【解答】解：①∵m2﹣6m﹣9991=0，∴m2﹣6m+9﹣9﹣9991=0，∴（m﹣3）2=10000，∴m﹣3=±100，∴m1=103，m2=﹣97；２０、解方程：（x2﹣5）2﹣3（x2﹣5）﹣4=0；【分析】把x2﹣5看成一个整体，利用因式分解法解方程即可；【解答】解：∵（x2﹣5）2﹣3（x2﹣5）﹣4=0，∴（x2﹣5）2﹣3（x2﹣5）+﹣﹣4=0，∴（x2﹣5﹣）2=，∴x2﹣=±，∴x2=，∴x2=或x2=，x=±2或x=±3，∴x1=2，x2=﹣2，x3=3，x4=﹣3；四、解答题２１、（朝阳）为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．【分析】设每个粽子的定价为x元，由于每天的利润为800元，根据利润=（定价﹣进价）×销售量，列出方程求解即可．【解答】解：设每个粽子的定价为x元时，每天的利润为800元．根据题意，得（x﹣3）（500﹣10×）=800，解得x1=7，x2=5．∵售价不能超过进价的200%，∴x≤3×200%．即x≤6．∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．２２、（梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1x2，求k的值．【分析】（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2+1，根据x1+x2=﹣x1x2得出﹣（2k+1）=﹣（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=﹣x1x2，∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．２３、（重庆校级模拟）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则=4， =14， =194；（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．【分析】（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决．（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可．【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1=0，∴x+=4，∴（x+）2=16，∴x2+2+=16，∴x2+=14，∴（x2+）2=196，∴x4++2=196，∴x4+=194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2=0，∴x+=，x2+=，∴=（x+）（x2﹣1+）=×（﹣1）=．【点评】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解决问题的关键是灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方），属于中考常考题型．２４、（鄂州）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k ≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；（2）由韦达定理得x1+x2=﹣，x1x2=，代入到+x1+x2=2中，可求得k 的值．【解答】解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；当k≠1时，方程是一元二次方程，∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2=4k2﹣8k+8=4（k﹣1）2+4＞0，∴无论k为何实数，方程总有实数根，综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．（2）由根与系数关系可知，x1+x2=﹣，x1x2=，若S=2，则+x1+x2=2，即+x1+x2=2，将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，解得：k=1（舍）或k=2，∴S的值能为2，此时k=2．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．五、解答题２５、（荆州）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．（1）求k的取值范围；（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，再根据方程有两个整数根得△＞0，得出m＞0或m＜﹣，符合题意，分别把m=1和﹣1代入方程后解出即可．（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．【解答】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，∴x≥0且x≠1，又∵x=≥0，且≠1，∴解得k≥﹣1且k≠1，又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，∴k≠2，综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，则m＞0或m＜﹣；∵x1、x2是整数，k、m都是整数，∵x1+x2=3，x1x2==1﹣，∴1﹣为整数，∴m=1或﹣1，由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，x1=0，x2=3；（3）|m|≤2成立，理由是：由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，∵k是负整数，∴k=﹣1，（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==n，x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，x12+x22═x1x2+k2，（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，（﹣m）2﹣3×n=（﹣1）2，m2﹣4n=1，n=①，△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，把①代入②得：9m2﹣48×≥0，m2≤4，则|m|≤2，∴|m|≤2成立．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．２５、（韶关模拟）如图，点A（2，2）在双曲线y1=（x＞0）上，点C在双曲线y2=﹣（x＜0）上，分别过A、C向x轴作垂线，垂足分别为F、E，以A、C为顶点作正方形ABCD，且使点B在x轴上，点D在y轴的正半轴上．（1）求k的值；（2）求证：△BCE≌△ABF；（3）求直线BD的解析式．【解答】（1）解：把点A（2，2）代入y1=，得：2=，∴k=4；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB，∠ABC=90°，BD=AC，∴∠EBC+∠ABF=90°，∵CE⊥x轴，AF⊥x轴，∴∠CEB=∠BFA=90°，∴∠BCE+∠EBC=90°，∴∠BCE=∠ABF，在△BCE和△ABF中，，∴△BCE≌△ABF（AAS）；（3）解：连接AC，作AG⊥CE于G，如图所示：则∠AGC=90°，AG=EF，GE=AF=2，由（2）得：△BCE≌△ABF，∴BE=AF=2，CE=BF，设OB=x，则OE=x+2，CE=BF=x+2，∴OE=CE，∴点C的坐标为：（﹣x﹣2，x+2），代入双曲线y2=﹣（x＜0）得：﹣（x+2）2=﹣9，解得：x=1，或x=﹣5（不合题意，舍去），∴OB=1，BF=3，CE=OE=3，∴EF=2+3=5，CG=1=OB，B（﹣1，0），AG=5，在Rt△BOD和Rt△CGA中，，∴Rt△BOD≌Rt△CGA（HL），∴OD=AG=5，∴D（0，5），设直线BD的解析式为：y=kx+b，把B（﹣1，0），D（0，5）代入得：，。
初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程单元复习-章节测试习题(6)
章节测试题1.【题文】已知关于x的一元二次方程（a+c）x2-2bx+（a-c）＝0，其中a、b、c 分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】见解答．【分析】（1）把x＝1代入方程得a+c-2b+a-c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；（2）根据判别式的意义得△＝（-2b）2-4（a+c）（a-c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2-x＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）把x＝1代入方程得a+c-2b+a-c＝0，则a＝b，∴△ABC为等腰三角形；（2）根据题意得△＝（-2b）2-4（a+c）（a-c）＝0，即b2+c2＝a2，∴△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2-x＝0，解得x1＝0，x2＝1．2.【答题】将一元二次方程化为一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A. 3，-6B. 3，6C. 3，1D.【答案】A【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解化成一元二次方程一般形式是，则它的二次项系数是3，一次项系数是-6．选A．3.【答题】方程（x+1）2＝0的根是（）A. x1＝x2＝1B. x1＝x2＝-1C. x1＝-1，x2＝1D. 无实根【答案】B【分析】根据平方根的意义，利用直接开平方法即可进行求解．【解答】（x+1）2＝0，∴x+1=0，∴x1＝x2＝-1，选B.4.【答题】解一元二次方程x2＋4x-1＝0，配方正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】∵x2+4x-1=0，∴x2+4x+4=5，∴（x+2）2=5，选C．5.【答题】关于x的方程x2-3x+k＝0的一个根是2，则常数k的值为（）A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入得4-6+k=0，然后解关于k的方程即可．【解答】把x=2代入得，4-6+k=0，解得k=2．故答案为：B.6.【答题】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）．A. B. C. D.【答案】A【分析】∵方程有两个相等的实数根，∴根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得（-a-c）2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解答】∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根∴△=b2−4ac=0，又a+b+c=0，即b=−a−c，代入b2−4ac=0得（−a−c）2−4ac=0，即（a+c）2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=（a−c）2=0，∴a=c选A7.【答题】若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值（）A. 0B. 1或2C. 1D. 2【答案】D【分析】把x=0代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠0．【解答】解：根据题意，将x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，解得：m=1或m=2，又m-1≠0，即m≠1，∴m=2，选D.8.【答题】若关于x的一元二次方程（a＋1）x2＋x＋a2-1＝0的一个解是x＝0，则a的值为（）A. 1B. -1C. ±1D. 0【答案】A【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值，且（a＋1）x2＋x＋a2-1＝0为一元二次方程，即．【解答】把x=0代入方程得到：a2-1＝0解得：a=±1．（a＋1）x2＋x＋a2-1＝0为一元二次方程即．综上所述a=1．选A．9.【答题】将一元二次方程用配方法化成的形式为（）A. B.C. D.【答案】A【分析】先移项得，x2-2x=3，然后在方程的左右两边同时加上1，即可化成（x+h）2=k的形式．【解答】移项，得x2-2x=3，配方，得x2-2x+1=3+1，即（x-1）2=4．选A.10.【答题】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（）A. 2根小分支B. 3根小分支C. 4根小分支D. 5根小分支【答案】B【分析】先设每个支干长出x个分支，则每个分支又长出x个小分支，x个分支共长出x2个小分支；再根据主干有1个，分支有x个，小分支有x2个，列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的x的值即可．【解答】设每个支干长出x个分支，根据题意得1+x+x•x=13，整理得x2+x-12=0，解得x1=3，x2=-4（不符合题意舍去），即每个支干长出3个分支．故应选B．11.【答题】关于x的方程（m+n）x2+-（m-n）x=0（m+n≠0）的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】二次项系数与一次项系数的和为，差为2列方程组求出m、n的值，然后可求出常数项．【解答】由题意得，解之得，∴．选A．12.【答题】若代数式的值是，则的值为（）A. 7或-1B. 1或-5C. -1或-5D. 不能确定【答案】A【分析】首先把方程化为一般形式x2-6x+5-12=0，即x2-6x-7=0，用因式分解法求解．【解答】∴解得：选A.13.【答题】如果关于x的一元二次方程（m-3）x2+3x+m2-9＝0有一个解是0，那么m的值是（）A. -3B. 3C. ±3D. 0或-3【答案】A【分析】把X=0代入方程（m-3）x+3x+m-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程对二次项系数为0【解答】把x=0代入方程（m-3）x+3x +m-9=0中得：m-9=0解得m=-3或3当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，选A14.【答题】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是______．【答案】m≠1【分析】将原方程化为一般式，根据一元二次方程中，二次项系数不能为零求解即可．【解答】原方程可化为：，∵方程是关于的一元二次方程，∴，即，故答案为：．15.【答题】已知是一元二次方程的一根，则该方程的另一个根为______．【答案】-2【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，∴求方程的另一解根据根与系数的关系进行计算即可．【解答】设方程的另一根为x1，由根与系数的关系可得：1×x1=-2，∴x1=-2．故答案为：-2．16.【答题】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2-b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为______．【答案】3或-7【分析】本题考查了新定义、一元二次方程的解法．【解答】据题意得，∵（x+2）*5=（x+2）2-52∴x2+4x-21=0，∴（x-3）（x+7）=0，∴x=3或x=-7．17.【答题】若方程的两根，则的值为______．【答案】5【分析】根据根与系数的关系求出，代入即可求解．【解答】∵是方程的两根∴=-=4，==1∴===4+1=5，故答案为：5．18.【题文】已知关于的方程．（1）为何值时，此方程是一元一次方程？（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．【答案】（1）时，此方程是一元一次方程；（2）．一元二次方程的二次项系数、一次项系数，常数项．；【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得=0，且m+1≠0，解得m的值；（2）根据一元二次方程的定义可得≠0，可得m的取值范围，然后写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．【解答】解：（1）=0，且m+1≠0，解得m=1，答：当m=1时，此方程是一元一次方程；（2）≠0，解得m≠±1，答：当m≠±1时，此方程是一元二次方程，其二次项系数为，一次项系数为-（m+1），常数项为m．19.【题文】选择适当方法解下列方程：（1）（用配方法）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），；（2），；（3），；（4），．【分析】本题考查了一元二次方程的解法．【解答】解：，移项得：，配方得：，即，∴，∴，；，移项，得，，或，，；，∵，，，∴，∴，∴，；．，，或，，．20.【题文】已知：已知关于的方程（1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根．【答案】（1）见解答；（2），方程的另一个根是．【分析】（1）由方程的各系数结合根的判别式可得出△＞0，由此即可得出结论（2）将x=1代入原方程，得出关于m的一元一次方程，解方程求出m的值，将其代入原方程得出关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系得出方程的另一个解．【解答】解：（1）证明：∵在关于x的方程中，，∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x=1代入方程中得出：1+m+m-2=0 解得：，∴原方程为：∴∵∴∴，方程的另一个根是．。
新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式章末复习课件新人教A版必修第一册
本课结束
答案
五、含变量的不等式恒成立问题 [典例 10] 对于满足 0≤p≤4 的一切实数，不等式 x2＋px＞4x＋p－3 恒成立，试求 x 的取值范围．
解 原不等式可化为 x2＋px－4x－p＋3＞0， 令 y＝x2＋px－4x－p＋3 ＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)． 由题设得4x2－x－4x1＋＋3x＞2－04px＝＋03＞，0p＝4， 解得 x＞3 或 x＜－1. 故 x 的取值范围是 x<－1 或 x>3.
解 ∵x>0，y>0，x2 与y22的和为定值，
∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
2x2·1＋2 y2≤
2
x2＋1＋2 y2 ·2
＝
2
x2＋y22＋12 ·2
＝
342，当且仅当 x2＝1＋2 y2，即 x＝ 23，y＝ 22时取等号，即 x 1＋y2的最大值为3 Nhomakorabea4
2 .
答案
[典例 4] 已知 x，y，z 为正数，且满足 xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋ z)的最小值．
2．利用基本不等式证明不等式 (1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证 同时成立． (2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质 就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻 辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”． (3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形 式．
解
2·
3a＋1≤
2＋3a＋1 2
＝3a＋ 2 3，
2· 3b＋1≤3b＋ 2 3，
2· 3c＋1
≤3c＋2 3.
以 上 三 式 相 加 ， 并 利 用 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ， 得 2 ( 3a＋1 ＋ 3b＋1 ＋
【一元二次方程】全章复习(原创精品)适合章末、期中、期末、中考复习用
《一元二次方程 》 复习课时间： 学生：一、【自主自查】1．关于x 的方程221(1)50a a a xx --++-=是一元二次方程，则a =__________.2．方程20x x -=的解是______________；方程2(3)5(3)x x x -=-的解是______________。
3．如果1x =-是方程210x mx +-=的一个根，那么m 的值为______________。
4．填上适当的数，使等式成立：+-x x 52＝x (－ 2)． 5．当x = 时，代数式23x x -比代数式221x x --的值大2 ．6．若22340a ab b --=（0≠b ）,则ab=_________。
7．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 。
8．解下列方程：（1）23(21)12x += （2）223(2)4x x -=-9．先用配方法说明：不论x 取何值，代数式257x x -+的值总大于0。
再求出当x 取何值时，代数式257x x -+的值最小？最小是多少？10．某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？二、【自主梳理】（知识、方法、易错）——思维导图三、【试题练析】（课堂完成）1．若t 是一元二次方程20(0)++=≠ax bx c a 的根，则判别式Δ24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的大小关系是 。
2．已知关于x 的一元二次方程210x kx +-=。
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设的方程有两根分别为12,x x ，且满足1212x x x x +=⋅ 求k 的值。
3．将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。
一元二次方程章节复习B(学生版)
15．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，如果商场平均每天要盈利l 200元，那么每件衬衫应降价多少元？
16.某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程．原计划每天拆迁1 250 ，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%．从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1 440 ．求：
二、综合提高训练
1.当 为何值时，方程 是关于 的一元二次方程？
C. ； D. .
【借题发挥】
1.下列方程中那些是一元二次方程？那些不是一元二次方程？
① ② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ，（ 为已知数）；⑦ .
【例2】当 为何值时，关于 的方程 是一元二次方程？
【借题发挥】
1.当 为何值时，关于 的方程 是一元二次方程？
题型二：一元二次方程的解法
【例3】选择适当的方法解下列一元二次方程：
A．根的情况无法确定；B．没有实数根；
C．有两个不相等的实数根；D．有两个相等的实数根．
16.因式分解 ,下列结论中错误的是( )
A. ；B． ；
C. ；D． ．
简答题：
17.解方程： ．
18.解方程： .
19.用配方法解方程： .
20.用适当的方法解方程： .
解答证明题：
21．当m为何值时，关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数.
学科教师辅导讲义
年级：科目：数学课时数：
课题
一元二次方程整章复习B
教学目的
1.理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的四种解法；
2.熟练掌握一元二次方程根的判别式及性质应用.
高中数学二次函数与一元二次方程、不等式 章末复习
章末复习一、不等式性质的应用1．不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解．2．掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例1 下列结论正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a 2>b 2，则a >bC ．若a >b ，c <0，则a ＋c <b ＋cD ．若a <b ，则a <b 答案 D解析 选项A 中，当c ＝0时不符，所以A 项错；选项B 中，当a ＝－2，b ＝－1时，符合a 2>b 2，不满足a >b ，B 项错； 选项C 中，a ＋c >b ＋c ，所以C 项错；选项D 中，因为0≤a <b ，由不等式的可乘方性，(a )2<(b )2，即a <b .故选D. 反思感悟 利用特殊值进行排除更直接，有利于提高解题速度． 跟踪训练1 设a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋1a ≥2B ．a 2＋b 2≥2abC ．a ＋b ＋1a ＋b ≥2D.1a ＋1b ≥2＋2a ＋b答案 D解析 可采用排除法或特殊值法．(特殊值法)令a ＝b ＝1， 则1a ＋1b ＝2,2＋2a ＋b＝3，故D 不正确．二、解不等式1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例2 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0(a ∈R )． 解 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.当a <0时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当a ＝0时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当0<a <1时，a 2<a ，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1}； 当a >1时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；综上所述，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}．反思感悟 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．跟踪训练2 若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， (1)求a 的值；(2)求不等式1－axx ＋1>a ＋5的解集．解 (1)依题意，可得ax 2＋5x －2＝0的两个实数根为12和2，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧12×2＝－2a，12＋2＝－5a ，解得a ＝－2.(2)将a ＝－2代入不等式，得1＋2x x ＋1>3，即1＋2xx ＋1－3>0， 整理得－(x ＋2)x ＋1>0，即(x ＋1)(x ＋2)<0，解得－2<x <－1，则不等式的解集为{x |－2<x <－1}．三、基本不等式的应用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例3 (1)已知2a ＋b ＝1，a >0，b >0，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 2B ．3－2 2C ．3＋2 2D ．3＋ 2答案 C解析 1a ＋1b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2ab＝3＋2 2. 当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋1b的最小值是3＋2 2. (2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 2答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c ) ＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc≥4＋22b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2b c＝6＋42，当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2bc ，即a ＝c ＝1－22，b ＝2－12时，等号成立． 反思感悟 (1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系．(2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值．特别注意“1”的代换．跟踪训练3 已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y ，即yx＝ba时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， 所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 四、不等式在实际问题中的应用不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．例4 某厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是50⎝⎛⎭⎫5x －3x ＋1元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，求x 的取值范围；(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解 (1)根据题意， 有100⎝⎛⎭⎫5x －3x ＋1≥1 500， 即5x 2－14x －3≥0，得x ≥3或x ≤－15，又1≤x ≤10，所以3≤x ≤10.(2)设生产480千克该产品获得的利润为u 元， 则u ＝24 000⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2，1≤x ≤10， 记y ＝－3x 2＋1x ＋5(1≤x ≤10)，则y ＝－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋112＋5(1≤x ≤10)， 当x ＝6时，y 取得最大值6112，此时u ＝24 000×6112＝122 000，故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元．反思感悟 认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一．跟踪训练4 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x >1)，写出公园ABCD 所占面积S 与x 的关系式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解 (1)设休闲区的宽B 1C 1为a 米，则长A 1B 1为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x .则S ＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．1．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >－1}答案 B解析 方法一 由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根．由一元二次方程根与系数的关系，知⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，－1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋bx ＋a <0的解集即为2x 2＋x －1<0的解集，是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12. 方法二 由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根． 分别把x ＝－1,2代入方程ax 2＋bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12. 2．设a >0，b >0，则以下不等式中不恒成立的是( ) A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 B ．a 3＋b 3>2ab 2 C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b答案 B解析 当a ＝b 时，a 3＋b 3＝2ab 2， 故a 3＋b 3>2ab 2不恒成立，故选B.3．若不等式x 2＋ax ＋1≥0在0<x ≤2上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3答案 B解析 ∵x 2＋ax ＋1≥0在0<x ≤2上恒成立， ∴ax ≥－x 2－1在0<x ≤2上恒成立．∴a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ，0<x ≤2， ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取“＝”， ∴a ≥－2，故选B.4．已知y ＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.答案 36解析 y ＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a (x >0，a >0)， 当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，此时y min ＝4a .又由已知x ＝3时，y min ＝4a .∴a2＝3，即a ＝36. 5．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为{x |x 1<x <x 2}，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是________． 答案433解析 由题意，可知x 1，x 2是方程x 2－4ax ＋3a 2＝0的两个根，则x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，所以x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ≥433，当且仅当a ＝36时，等号成立．。
李楠：一元二次方程全章复习
1.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0 有两个 不相等的实数根，则K的取值范围是 ； 2.判断关于的一元二次方程x2-mx+m-2=0的 根的情况是 ； 3.若方程2x2+3x-1=0的两个根分别为x1，x2， 则（1+x1）（1+x2）的值是 ； 4.设关于x的方程x2-2x+m=0的两根为x1，x2，
一元二次方程 （复习课）
温故知新1 ☞一元二次方程的定义 只含有一个未知数,未知数的最高次 数是2的整式方程,叫做一元二次方程。
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 思考
一元二次方程ax²+bx +c =0 （1）若x=1是它的一个根，则a+b+c= ____； 若x=m是它的一个根，则_______； （2）若a-b+c=0，则方程必有一根为_____。
课堂小结及小组评价
谈谈本节课你有哪些收获？ 还有那些困惑？
由课代表宣布本节课表现优 秀的小组及个人。。。
课堂小结及小组评价
②当b2-4ac＜0时，方程无实根
b c x1+x2= x1.x2= a a
一提二套三分组，阵法熟练不马虎；
因式分解法
3项十字相乘法，4项以上要分组。
温故知新3
☞ 列一元二次方程解应用题
题型：几何图形面积、体积问题、增长率（含负增 长）问题、经济类问题、数字问题及其它
步骤:
审、设、列、解、检、答． 注意:在列一元二次方程解应用题时，由于 所得的根有两个，所以要检验这两个根是 否符合实际问题的要求．
若2x1-x2=1，则方程两实根是__，m= __ ． 5.已知方程x2+3x-2011=0的两个根分别为a，b, 则a2+2a-b的值是______ ；
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1
一元二次方程章末复习
1 分点突破
知识点1 一元二次方程的有关概念
1．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值等于(C)
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．若方程(a－2)xa2－2＋3x＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为
－2．
知识点2 一元二次方程的解法
3．方程2x2＋8＝0的根为(D)
A．2 B．－2
C．±2 D．没有实数根
4．对于方程x2＝p：
(1)当p>0时，方程有两个不相等的实数根，x1＝－p，x2＝p；
(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝0；
(3)当p<0时，方程无实数根．
5．解下列一元二次方程：
(1)(2x＋3)2－81＝0；
解：(2x＋3)2＝81.
x1＝3，x2＝－6.
(2)x2－6x－2＝0；
2
解：(x－3)2＝11.
x1＝3＋11，x2＝3－11.
(3)x2＋22x－6＝0；
解：∵a＝1，b＝22，c＝－6，
Δ＝b
2－4ac＝(22)2
－4×1×(－6)＝32，
∴x＝－22±322＝－22±422＝－2±22，
∴x1＝2，x2＝－32.
(4)5x(3x＋2)＝6x＋4.
解：(3x＋2)(5x－2)＝0.
x1＝－23，x2＝25.
知识点3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
6．(宜宾中考)一元二次方程4x2－2x＋14＝0的根的情况是(B)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
7．(安顺中考)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，
3
则m的值可以是(D)
A．0 B．－1 C．2
D．－3
8．(怀化中考)设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x21＋x22的值
是(C)
A．19 B．25 C．31
D．30
知识点4 用一元二次方程解决实际问题
9．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发
一条信息，共发信息1 980条，则可列方程(B)
A.12x(x－1)＝1 980
B．x(x－1)＝1 980
C.12x(x＋1)＝1 980
D．x(x＋1)＝1 980
10．(宜宾中考)经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降
到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是
50(1－x)2＝32．
11．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成
一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌
50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长．
4
解：设AB为x m，则BC为(50－2x)m.根据题意，得
x(50－2x)＝300.
解得x1＝10，x2＝15.
答：AB的长为10 m或15 m.
以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充使之完整．
解：不完整．当求出方程的解后，应检验解是否符合题意．即
当x＝10时，AD＝BC＝50－2x＝30>25，不合题意，舍去；
当x＝15时，AD＝BC＝50－2x＝20<25.
答：AB的长15 m.
02 山西中考题型演练
12．(山西农业大学附中月考)关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1
＝0的一个根是0，则a的值为(B)
A．1 B．－1 C．1或－1
D.12
13．(孝义期中)若关于x的方程4kx2－12x－9＝0有实根，则实数k的
取值范围在数轴上表示正确的是(A)
A. B.
C. D.
14．(吕梁期中)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－13x＋
5
36＝0的根，则三角形的周长为13．
15．解方程：
(1)x2＋4x－1＝0；
解：a＝1，b＝4，c＝－1，
Δ＝b
2－4ac＝42
－4×(－1)＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴x＝－b±b2－4ac2a＝－4±202×2＝－2±52，
即x1＝－2＋52，x2＝－2－52.
(2)x(x－2)＋x－2＝0.
解：因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0.
∴x－2＝0或x＋1＝0.
∴x1＝2，x2＝－1.
16．(大同期中)已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
解：(1)将x＝1代入x2＋ax＋a－2＝0中，
得1＋a＋a－2＝0.
解得a＝12.
(2)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4.
6
∵(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋4＞0.
∴不论a取何实数，方程都有两个不相等的实数根．
17．(山西中考)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46 000米2，
施工队在绿化了22 000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，
结果提前4天完成了该项绿化工程．
(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?
(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其
中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之
间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多
少米？
解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成x米2，
根据题意，得46 000－22 000x－46 000－22 0001.5x＝4.
解得x＝2 000，
经检验，x＝2 000是原方程的解．
答：该绿化项目原计划每天完成2 000米2.
(2)设人行通道的宽度为x米，根据题意，得
(20－3x)(8－2x)＝56.
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解得x＝2或x＝263(不合题意，舍去)．
答：人行通道的宽为2米．
03 数学文化、核心素养专练
18．(山西中考)我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分
解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝
0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数
学思想是(A)
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
19．阅读材料，回答下列问题：
材料 阿尔·花拉子密(约780～约850)，著名数学家、天文学家、地理
学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．
材料图
他用以下方法求得一元二次方程x2＋2x－35＝0的解：
将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，
宽为1，拼合在一起的面积是x2＋2×x×1＋1×1，而由x2＋2x－35＝
0变形得x2＋2x＋1＝35＋1(如图所示)，即右边边长为x＋1的正方形
面积为36.
所以(x＋1)2＝36，则x＝5.
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(1)上述求解过程中所用的方法是(C)
A．直接开平方法 B．公式法
C．配方法 D．因式分解法
(2)所用的数学思想方法是(B)
A．分类讨论思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．公理化思想
(3)运用上述方法构造出符合方程x2＋8x－9＝0的一个正根的正方形．
解：如图．