1.1.3导数的几何意义

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
'
导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 即: k切线 f
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。
作业:
1 1.求函数y 在x 1处的导数。 x
2.求曲线y 3 x 2 4 x 2在点M （1，1）处的 切线方程。
１ １ 3. 求双曲线ｙ＝ 过点（２，）的切线方程． ｘ ２
'( x0 )
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim x 0 x (1 x ) 2 1 (1 1) 2 lim y = x +1 x 0 x 2 x ( x ) 2 lim 2. x 0 x 因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
1
y
Q
y
P
x j
M
求切线方程的步骤： O （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 )-1 ， 得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程， 即 y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
x
1
1 3 8 练习：已知曲线y = x 上一点P(2, )，求： 3 3 (1) 点P处的切线的斜率；（2）点P处的切线方程
h
l0
l1
l 2当t t1时,曲线ht 在t1 图1.1 3 处的切线l1的斜率h`t1 0.所以, 在t t1附近曲线下 降, 即函数ht 在t t1附近单调递减 . 3当t t2时,曲线ht 在t2处的切线l2的斜率h`t2 0. 所以, 在t t2附近曲线下降 , 即函数ht 在t t1附近也
cm g/ m l
1 .1 1 .0 0 .9 0 .8 0 .7 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1
0 0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7 0 .8
0 .9
1 .0
1 .1
t m in
图1.1 4
解 血管中某一时刻药物浓 度的瞬时变化率 , 就是 药物浓度 f t 在此时刻的导数 .从图象上看 ,它表示
药物浓度的瞬时变化率f ' t 0.4 0 0.7 1.4
t
0.2 0.4
0.6
0.8
小结:
求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
y f ( x x) f ( x) f ( x) y lim lim x 0 x x 0 x 在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f ( x )在点x0处的导数f ( x0 ) 等于函数f ( x )的导(函)数f ( x)在点x0处的 函数值.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解： (1) y x , y lim lim 3 x 0 x x 0 3 x 1 3 x 2 x 3 x ( x ) 2 ( x ) 3 lim 3 x 0 x 1 lim[3 x 2 3 xx ( x ) 2 ] x 2 . 3 x 0
1.1.3导数的几何意义
回 顾
定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim . x 0 x x 0 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作: f ( x x ) f ( x ) y 0 0 f ( x0 )或y | x x0 , 即：f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导 数的基本方法是:
y f ( x 0 x) f ( x0 ) (2)求平均变化率 ; x x y (3)取极限，得导数f ( x0 ) lim . x 0 x
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
例1：求函数y
x 在x 1处的导数。
1 1 lim x0 1 x 1 2
解法一：y 1 x 1
1 y 1 x 1 1 x 1 x x
什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到, 当x=x0时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变 化时, f’(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x) 的导函数.即:
y |x2 22 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
例 2 如图1.1 3, 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函数 h t 4.9 t 6.5 t 10 的 图象 . 根 据图象 , 请描 述、比较曲线ht 在t0 , t1 , t2附近的变化情况 .
y y=f(x) Q
Δy P O
β
Δx
M x
y 请问： 是割线PQ的什么? x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况 . y y=f(x) 割 线 Q
T
切线
P

x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时, 割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线 在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
例2：设f (x ) x ,求f '(x ),f '(1),f '(2)
2
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。
解：由导数的定义有 f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
曲线 f t 在此点处的切线的斜率 . 如图1.1 4,画出曲线上某点处的切 线, 利用网格 估计这条切线的斜率 , 可以得到此刻药物浓度 瞬 时变化率的近似值 . 作t 0.8处的切线,它的斜率约为 1.4, 所以
f 0.8 1.4.
'
下表给出了药物浓度瞬 时变化率的估计值 , 验证 一下, 这些值是否正确 .
练习
１ １ 3 求双曲线ｙ＝ 过点（２，）的切线方程． ｘ ２
1 1 f（2 x） f（2 ） 解 ： 因 为l i m l i m 2 x x x 0 x 0 x x 1 1 lim ， x 0 2 （2 x） 4 1 1 所以，这条双曲线过（ 点 2， ） 的 切 线 斜 率 为 . 2 4 1 1 1 故所求切线方程为 y ( x 2)， 即y x 1. 2 4 4
f ' (1)＝f ' ( x) x1 2 (1) 2 f ' (2) f ' ( x) x2 2 2 4
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δ x,y0+Δ y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.则 : MP x , MQ y, y tan . x
2
h
l0
l1
O
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
解 我们用曲线h x 在t0 , t1 , t2 处的切线, 刻画曲 线ht 在上述三个时刻附近的 变化情况 .
利用曲线在动点的切线 , 刻画曲线在动点附近 的变化情况.
1当t t0时,曲线ht 在
t0处的切线l0平行于x 轴. 所以, 在t t0附近曲线比 较平坦, 几乎没有升降 .
O
2
t0
t1
t2
t
单调递减. 从图 1.1 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线 l2的倾斜 程度, 这说明曲线ht 在t1附近比在t2附近下降得缓慢 .
例 3 如图 1.1 4, 它 表示人体血管中药 物浓度 c f t (单 位 : mg / ml ) 随时间 t 单位 : min 变化的 函数图象.根据图象, 估计 t 0.2,0.4,0.6. 0.8 min 时, 血管中药 物浓度的瞬时变化 率 精确到0.1 .