导数的几何意义PPT优秀课件2

0
瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.
x x ) f( x )是函数f(x)在以x 与x +Δ x y f( 0 0 0 0 x x
பைடு நூலகம்
为端点的区间[x0,x0+Δ x](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．
y y=f(x) Q
Δy P O
β
Δx
M x
y 请问：是割线 P Q 的什么 ? x
斜率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况 . y
y=f(x) Q
割线 T 切线
P

x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
2 |x y 2 4 . 2
-2 -1
1 3 x 3
P
x 2
即点P处的切线的斜率等于4.
O -1 -2
1
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
y fx ( x ) fx ( ) l f ( x ) y i m l i m x 0 x 0 x x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数 y f( x ) 在点 x 处的导数 f ( x ) 0 0 等于函数 f( x ) 的导 ( 函 ) 数 f ( x ) 在点 x 处的 0 函数值 .
如何求函数y=f(x)的导数?
( 1 ) 求函数的增量 y f ( x x ) f ( x ) ;
( 2 ) 求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f( x x ) f( x ) ; x x
y ( 3 ) 求极限，得导函数 y f ( x ) l i m . x 0 x
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δ x,y0+Δ y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.则 : MP x, MQ y, y tan . x
1
y
M
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
1 3 8 y x上一点 P ( 2 , ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求 : (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 (x x) x 1 3 y 3 解： (1 )y x ,y lim lim3 x 0 0 y 3 x x x y 2 2 3 4 1 3x x3x( x) ( x) lim 3 0 3x x 2 1 2 2 2 lim [3x 3x x( x) ] x . 1 0 3x
( 1 ) 求函数的增量 y f ( xx ) f ( x ) ; 0 0
( x ) fx () y fx 0 0 ( 2 ) 求平均变化率 ; x x y ( 3 ) 取极限，得导数 f ( x ) l i m. 0 x 0 x
新课标人教版课件系列
《数学》
选修1-1
3.1.2《导数的几何意义》
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δ x)- f(x0).如果当Δ x0 时,Δ y/Δ x的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化 | ( x ) 或 y ,: 率)记作 f 即 0 x x fx ( x ) fx () y 0 0 f () x l i m l i m . 0 x 0 x 0 x x
( xfx ) () y fx 0 0 k fx ()l i m l i m 即: 切 0 线 x 0 x 0 x x
'
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在 x=x0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x0 x ) f ( x0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
看一个例子:
思考一下，导数可以用下式表示吗？ f( x )f( x ) 0 f ( x )l i m 0 x x 0 x x 0
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x) 在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导.
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:

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导数的几何意义课件

6
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切
线方程.
y |x1
lim [(1
x0
x)2
1] (12 x
1)

lim
x0
2x x2 x

2
y 2 2(x 1)
2x y 0
例2.在函数 h(t) 4.9t 2 6.5t 10 的
回顾
(2)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f
( x0
)

lim
x0
y x
.
你能借助函数 f (x)的图象说说平均变化率
f x0 x f (x0 )表示什么吗？请在函数
x 图象中画出来．
平均变化率表示的是割线 PPn 的斜率
t0 附近比较平坦，几乎没有升降．
h / (t1 ), h / (t2 ) 0
曲线在
t1 ,
t3 ,
t2
t4
处切线 l1 ,
l3 ,
l2
l4
的斜率小于0 大于
h/ (t3 ), h/ (t4 ) 0
在 t1 , t2 附近，曲线下降，函数在 t1 , t2
t3, t4
附近单调递减
上升
t3, t4
圆的切线
割线斜率
在 x 0的过程中，割线PPn的的变化情况你能描述一下吗？请在函数图象中画出来．
曲线的切线定义
当点 Pn (x0 x , f (x0 x)) 沿着曲线 f (x) 逼近点 P(x0 , f (x0 )) 时，即x 0，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置上

《313导数的几何意义》2精品PPT课件

解得 x0＝1 或 x0＝－12. 故所求的切线方程为 y－1＝3(x－1)或 y＋18＝34(x＋12)，即 3x－y－2＝0 或 3x－4y＋1＝0.
• [方法规律总结] 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线的步骤：
• (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)； • (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0
＝f ′(x0)(x－x0)．
• 3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．
＝f ′(x0)(x－x0)； • 2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的
步骤：
• (1)设切点为Q(x0，y0)； • (2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)； • (3)利用Q在曲线上和f ′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及
f ′(x0)． • (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0
• 难点：对导数几何意义的理解.
• 导数的几何意义新知导学
1．曲线的切线：过曲线 y＝f(x)上一点 P 作曲线的割线 PQ，当 Q 点沿着曲线无限趋近于 P 时，若割线 PQ 趋近于某一确定的直线 PT，则这一确定的直线 PT 称为曲线 y＝f(x)在点 P 的 ____切__线____．
fxn－fx0 设 P(x0，y0)，Q(xn，yn)，则割线 PQ 的斜率 kn＝___x_n－__x_0___.
2．导数的几何意义函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，就是曲线 y＝f(x)在 x＝x0
处的__切__线__的__斜__率___，即 k＝f′(x0)＝_Δl_ixm→ _0__f_x_0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0_. 3．函数的导数对于函数 y＝f(x)，当 x＝x0 时，f′(x0)是一个确定的数．当

1.1.3导数的几何意义课件共35张PPT

(3)设切点为(a，b)，则 y′|x＝a＝a2＝1， ∴a＝±1，当 a＝1 时，b＝53，切点为1，53，当 a＝－1 时，b＝1，切点为(－1,1)， ∴切线方程为 3x－3y＋2＝0 或 x－y＋2＝0. ………………………………………………………………………………12 分
[反思提升] (1)求“在某点处”的切线：该点必在曲线上且是切点，而求“过某点”的切线该点不一定在曲线上，且该点不一定是切点． (2)求“过某点”的切线方程的步骤 ①设“过某点”的切线 l 与曲线相切的切点坐标为(x0，y0)． ②用“在点(x0，y0)处”的切线求法，写出切线 l 的方程． ③利用切线“过某点”，其坐标满足切线方程，求出 x0 与 y0. ④将(x0，y0)代入②中的切线 l 化简即求出“过某点”的切线方程． (3)求“过某点”的曲线的切线方程中，该点在曲线上时，所求点的切线中一定包括“在该点”处曲线的切线.
∴曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 y＝－x＋2. 曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋ΔΔxx2－12＝liΔmx→0 2Δx＋ΔxΔx2＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2， ∴曲线 y＝x2 在点(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝ 2x－1. 两条切线方程 y＝－x＋2 和 y＝2x－1 与 x 轴所围成的图形如图所示， ∴S＝12×1×2－12＝34，即三角形的面积为34.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．

02教学课件_6.1.2 第2课时导数的几何意义

解析因为 f′(1)＝Δlixm→0a1＋ΔxΔ2x－a×12 ＝Δlixm→02aΔx＋ΔxaΔx2＝Δlixm→0(2a＋aΔx)＝2a，
所以2a＝2，所以a＝1.
反思感悟
求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标. (2)利用导数或斜率公式求出斜率. (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标. (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.
③解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.
跟踪训练2 求过点(－1，0)且与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.
解设切点为(x0，x20＋x0＋1)，则切线的斜率为 k＝Δlixm→0x0＋Δx2＋x0＋ΔΔxx＋1－x20＋x0＋1＝2x0＋1.
又 k＝x20＋x0－x0＋－11－ 0＝x20＋x0＋x0＋1 1， ∴2x0＋1＝x20＋x0＋x0＋1 1，解得x0＝0或x0＝－2. 当x0＝0时，切线斜率k＝1，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x －y＋1＝0.
B.16
√C.8
D.2
解析 k＝f′(2)＝Δlixm→022＋ΔxΔ2x－2×22＝8.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则f′(xA)与f′(xB) 的大小关系是
A.f′(xA)>f′(xB) C.f′(xA)＝f′(xB)
反思
感悟
求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1 曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(2，5)处的切线与y轴交点的纵坐标是－3 .
解析 ∵f′(2)＝Δlixm→0ΔΔxf＝Δlixm→02＋Δx2＋Δx1－22－1＝Δlixm→0(4＋Δx)＝4，

5.1.2导数的概念及其几何意义(第二课时)课件(人教版)

切线的斜率k
切线的倾斜角
f′(x0)＞0 f′(x0)＜0
f′(x0)＝0
上升降落
平坦
k＞0
锐角
k＜0
钝角
零角(切线与x k＝0
轴平行)
说明：切线斜率的绝对值的大小反应了曲线在相应点附近上升
或降落的快慢.
3.若f′(x)是在区间(a，b)上的增函数，则f(x)的图象是向下凸的，如例题(1)中图A.若f′(x)在(a，b)上是减函数，则f(x)的图象是向上凸的，如例题(1)中图B.若f′(x)是在区间(a，b)上的常函数，则f(x)图象是一条线段，如例题
∴ΔΔyx＝4x0＋2Δx. ∴f′(x0)＝ lim (4x0＋2Δx)＝4x0，
Δx→0
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°， ∴斜率为 tan 45°＝1.
即 f′(x0)＝4x0＝1 得 x0＝14，该点为14，89.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4，
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
数，算到一个新的函数，而不是具体的数。
联系：函数f (x)在x x0处的导数f (x0)就是其导函数f (x) 在x x0处的函数值。
所以在求某一点的导数，就不用一个一个算了，可以直接计算出函数的导函数，然后借助导函数研究每一个点的导数
提示：导函数也简称导数，所以
如果题目让你计算函数的导数，一般就是计算它的导函数。
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝ f′(x0)(x－x0)．

课件3：5.1.2　导数的概念及其几何意义

2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是切线 P0T 的斜率 k0， lim fx0＋Δx－fx0
即 k0＝__Δ_x_→_0______Δ_x________＝f′(x0)．
知识点二导函数的概念
1．定义：当 x 变化时，y＝ f′(x) 就是 x 的函数，我们
[规律方法] 求切点坐标可以按以下步骤进行 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[跟踪训练] 直线 l：y＝x＋a(a≠0)和曲线 C：y＝x3－x2＋1 相切，则 a 的值为___________，切点坐标为____________．解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，因为 y′＝Δlxi→m0x＋Δx3－x＋ΔxΔ2x＋1－x3－x2＋1＝3x2－2x，则 y′|x＝x0＝3x20－2x0＝1，解得 x0＝1 或 x0＝－13，当 x0＝1 时，y0＝x30－x02＋1＝1，又(x0，y0)在直线 y＝x＋a 上，
答案：B
4．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝12x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝________. 解析：由导数的几何意义得 f′(1)＝12，由点 M 在切线上得 f(1)＝12×1＋2＝52，所以 f(1)＋f′(1)＝3. 答案：3
5．曲线 y＝x2－3x 的一条切线的斜率为 1，则切点坐标为________．解析：设切点坐标为(x0，y0)， y′＝Δlxi→m0x0＋Δx2－3xΔ0＋x Δx－x20＋3x0 ＝Δlxi→m02x0Δx－3ΔΔxx＋Δx2＝2x0－3＝1，故 x0＝2， y0＝x20－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．

导数的几何意义ppt课件

∴y0＝4，∴点 P 的坐标为(2,4)，
∴切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.
问题导入
知识探究
巩固练习
课堂小结
布置作业
1．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系，因此要善于综合应用所学知识解题．
2．与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．
问题导入
知识探究
巩固练习
课堂小结
布置作业
求切线的解题步骤
1．已知切点（x0,f（x0））
①求斜率，求出曲线在点（x0,f（x0））处的切线斜率 f′(x0)
②写方程，y- f（x0）=f′(x0)（x-x0），化为一般式。
2．经过（x1,y1），切点未知
①设切点（x0,f（x0）） ②求斜率，k= f′(x0) ③写出含参 x0 的切线方程，得到 y- f（x0）=f′(x0)（x-x0） ④将已知点代入得 y1- f（x0）=f′(x0)（x1-x0）解出切点坐标 ⑤将切点坐标代入 y- f（x0）=f′(x0)（x-x0），并化为一般式
课堂小结
布置作业
(2)由3y＝x－x3y，－2＝0，可得(x－1)2(x＋2)＝0，解得 x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为 P(1,1)或 P(－2，－8)．
说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的点(－2，－8).
问题导入
知识探究
【易错题解析】
巩固练习
课堂小结
布置作业
已知曲线 y＝2x2－7，求曲线过点 P(3,9)的切线方程．
设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k＝4x0，

5.2导数的几何意义课件(36张)

函数值.
2.从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯
一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函
数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
f(x+x)-f(x)
f'(x)=y'= lim
x
Δ→0
所以直线l1的斜率k1=y'|x=1=3,可得直线l1的方程为y=3x-3.
设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点B(b,b2+b-2),
则l2的方程为y-(b2+b-2)=(2b+1)(x-b).
因为 l1⊥l2,所以直线 l2 的斜率
所以直线 l2 的方程为
1
k2=2b+1=- ,解得
3
1 22
在点
5
1,- 3
A.1
π
B. 4
5π
C. 4
π
D.- 4
解析:∵y'= lim
Δ→0
1
(x+x)3 -2
3
处切线的倾斜角为(
1
3
- x 3 -2
x
∴切线的斜率 k=y'|x=1=1.

∴切线的倾斜角为 .故选
4
答案:B
B.
=x2,
)
3.抛物线y=2x2在点P(1,2)处的切线l的斜率为
.
解析:由题意可得,y'=4x,故所求斜率为y'|x=1=4.
答案:4
1
4.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y= 2 x+2,则

导数的几何意义课件

x0
x
＝lim［(x)2＋3x x＋3x2］＝3x2. x0
令3x2＝3，得x＝±1，
所以点P的坐标为(1,1)或(－1，－1).
答案:(1,1)或(－1，－1)
2.(1)设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，
因为 y＝lim (x＋x)3－(x＋x)2＋1－(x3－x2＋1)＝3x2－2x，
x0
3
lim
x0
1 3
(
x
0
x)3 x
1 3
x
3 0
x 0 2，
所以切线方程为
y
1 3
x
3 0
x
2 0
(x
x0 )，
又因为切线过点A(1,0),所以
0
1 3
x
3 0
x
2 0
(1
x0 ),
化简得
2 3
x
3 0
x0解2 得0,x0=0或
x0
3 2
.
①当x0=0时，所求的切线方程为：y=0;
②当x0
时3 ，
【解题探究】1.曲线上一点切线的斜率与该点的导数有什么关系? 2.切点的坐标满足切线方程吗？是否也满足曲线的方程？探究提示： 1.曲线上一点切线的斜率就是该点的导数. 2.切点的坐标既满足切线方程，同时也满足曲线的方程.
【解析】1.因为y＝x3，所以 y＝lim (x＋x)3－x3
x0
x
＝lim (x)3＋3x (x)2＋3x2 x
3 27
将切点坐标 (－1，2代3入) 直线y＝x＋a，
3 27
得 a＝ 23＋1故＝32， a＝32 .
27 3 27
27
(2)由(1)知切点坐标是 (－1，23).