高考数学热点难点专题06+导数的几何意义灵活应用(理)(教师版)

专题06 导数的几何意义灵活应用

【学习目标】

1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．

3．能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1

x ，y ＝x 的导数．

4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导． 【知识要点】

1．平均变化率及瞬时变化率

(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）

x 2－x 1.

(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是：

0lim x ∆→ Δy Δx

＝0

lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx

.

2．导数的概念

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝

lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx

.

(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )为f (x )的导函数(简称导数)，即f ′(x )＝ 0

lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx

.

3．导数的几何意义和物理意义

几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )上_____________________的斜率k ，即k ＝_______；切线方程为______________________．

物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f (t )，则f ′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的___________ 4．基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数

①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝⎛⎭⎫

1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式

①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________；

③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；

(3)⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数

(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．

(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1.变化率

例1. 【河南2019名校模拟】已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线

的斜率的

最小值为（ ） A ． B ． C ．

D ．

【答案】B 【解析】，而，易得，

在

上单调减少，在

上单调增加，

故

,故选B.

练习1．设()f x 在0x 可导，则

等于（ ）

A ．()04'f x

B ．()0'f x

C ．()02'f x

D ．()03'f x 【答案】A

【解析】由题得=

=4()0f x '，故选A.

练习2．设定义在上的函数的导函数

满足

，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】由，，故，

即，

故选：A ． 2.导数的定义

例2．【山西2019联考】设为可导函数，且，求的值（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】根据导数的定义得到=,即可得到答案.

【详解】根据极限的运算和导数的定义得到：=

故答案为：B.

【点睛】这个题目考查了导数的定义，，，凑出分子是y 的变化量，分

母是x 的变化量即可.

练习1．设函数()f x 在1x =处可导，则（ ）

A ．()1f '

B ．()1

12

f -' C ．()21f -' D ．()1f -' 【答案】B

【解析】∵函数()f x 在1x =处可导，

∴，

∴．选B ．

练习2．已知函数

在处可导，若，则

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】B

【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算. 3.求倾斜角

例3．【福建省莆田第六中学2019第一次模拟】将函数

的图象绕坐标原点逆时针方向

旋转角θ（(]

0,θα∈），得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4

π

【答案】D 【解析】函数

的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜

角小于等于90︒时，其图象都依然是一个函数图象，因为0x ≥是1

1

y x '=+是x 的减函数，且01y <'≤,当且仅当0x =时等号成立，故在函数的图象的切线中， 0x =处的切线倾斜角最大，

其值为

4π，由此可知4

max π

α=，故选D. 练习1．设点P 在曲线上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为（ ）

A ．2

B ．1

C ．

D ．

【答案】D

【解析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得

的最小值.