信安数学椭圆曲线
信息安全数学基础第7章 椭圆曲线基础-2
《信息安全数学基础》 第7章
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《信息安全数学基础》 第7章
椭圆曲线密码算法在1985年提出. 从1998年起, 一些国际标准化组织开始了对椭圆曲线密码的标准 化工作, 1998年IEEE-P1363工作组正式将椭圆曲线密 码写入了当时正在讨论制定的“公钥密码标准”的草 稿.
椭圆曲线密码算法在与RSA算法相同安全性的情 况下, 其密钥短较短, 160比特长的密钥相当于RSA算 法密钥长1024比特的安全性, 因而有利于容量受限的 存储设备如智能卡等在安全领域的使用.
《信息安全数学基础》 第7章
一般说来, 基于离散对数问题的密码算法, 都可 以改写为基于椭圆曲线离散对数问题的算法, 比如公 钥密码算法ElGamal, 密钥协商协议Diffie-Hellman算 法, 美国的数字签名算法ECDSA等. 基于椭圆曲线的公 钥密码算法还有中国的SM2, 俄罗斯的数字签名标准 GOST R 34.10-2001算法等. 下面仅介绍椭圆曲线上的 ElGamal密码算法.
《信息安全数学基础》 第7章
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椭圆曲线——精选推荐
椭圆曲线⼀、概述椭圆曲线加密算法依赖于椭圆曲线理论，后者理论涵盖的知识⽐较深⼴，⽽且涉及数论中⽐较深奥的问题。
经过数学家⼏百年的研究积累，已经有很多重要的成果，⼀些很棘⼿的数学难题依赖椭圆曲线理论得以解决（⽐如费马⼤定理）。
本⽂涉及的椭圆曲线知识只是抽取与密码学相关的很⼩的⼀个⾓落，涉及到很浅的理论的知识，同时也是⼀点⽐较肤浅的总结和认识，重点是利⽤椭圆曲线结合数学技巧阐述加密算法的过程和原理。
本⽂特意构造有⽐较多的实例⽅便理解其过程和原理。
⼆、椭圆曲线椭圆曲线⽅程来源于椭圆积分，后者来最初来源于计算椭圆周长的问题，有⼀段时间的历史了，在欧拉时期就开始研究。
椭圆周长没有精确的初等函数的公式表⽰，只有近似的公式表⽰，精确的椭圆周长可以⽤不定积分表⽰。
现在⼀般将形如如下形式的积分定义为椭圆积分：其中R是其两个参数的有理函数，P是⼀个⽆重根的3或4阶多项式，⽽c是⼀个常数。
椭圆曲线⽅程与P(t)表现形式⽐较相像。
数学上的椭圆曲线⼀般由如下形式给出：椭圆曲线都是关于X轴对称的曲线。
典型的椭圆曲线如：，其图像为：更多的椭圆曲线图像：限定Δ不为零有特殊的意义。
如果判别式Δ(E)等于零，由三次⽅程判别式判定理可知，⽅程x3+ax2+bx+c=0存在⼆重根或者三重根，曲线表现为"⾃相交"或者有“尖点”。
两个典型的例⼦是:在密码学中⽤到的椭圆曲线⽅程⼀般限定为：也即是这⾥的⼆次项系数为0。
三、椭圆曲线算术椭圆曲线上可以定义⼀些很有意思的特殊运算规则。
⼀般来说会定义两种运算：加法和数乘运算。
加法运算是点与点之间的运算；数乘运算基于加法运算，重复的加法运算就是数乘。
1、实数域的加法运算1.1、加法运算的⼏何解释已知椭圆曲线上两个不同的点P和Q，则这两个点之和R=P+Q可以通过如下操作得到：过P、Q两点做直线L，与椭圆曲线相交于第三点，该点关于X轴的对称点即是所求的R点。
椭圆曲线的这种加法运算有⽐较明确的⼏何含义。
椭圆曲线数字签名算法
椭圆曲线数字签名算法椭圆曲线数字签名算法（ECC）是一种用于网络安全的公钥密码学方案，它可以用于证明信息来源的合法性、确保信息不被篡改以及用于保护信息传输。
ECC也被广泛应用于不同的领域，比如：移动通信、安全认证服务、电子支付系统等。
ECSA安全协议使用ECC来构建密钥交换的过程，保证传输的信息不会被第三方所窃取。
一般来说，在ECC中，使用公共密钥算法（PKI）来验证双方的身份以及交换安全的公钥和信息摘要。
ECC的特点可以总结为：安全强度高、比特位短小、计算量小。
ECC的安全原理是使用一个椭圆曲线的模数对消息的摘要求解数值加密，以保证信息的安全性。
椭圆曲线模数加密是一种利用到椭圆曲线上下溢点特性，通过多次加密生成二次零根系统，来达到计算机安全的目的。
椭圆曲线加密算法需要使用双方交换的公钥和私钥，实现用户加密传输数据。
椭圆曲线数字签名算法的过程可以分为以下几步：首先，发送方会根据公钥生成公钥和私钥；其次，发送方会使用私钥生成数字签名；然后，接收方可以通过公钥来验证数字签名的有效性；最后，接收方收到消息及数字签名，并验证其有效性后，就可以放心接收消息。
ECC也代表着计算机安全领域的一个里程碑，它弥补了以往安全技术的不足，并且具有更高的安全性和更低的计算复杂度。
此外，ECC 的非对称性也使它特别适用于网络安全，双方可以通过交换公钥/私钥来保护数据的传输安全。
ECC不仅仅用于数字签名，还可以用于加密和解密，让信息更加安全。
ECC可以用于身份认证，用户只需要提供其公钥和私钥来确认其身份，从而避免了恶意攻击者伪造自己的身份。
另外，ECC也可以用于数据挖掘，即对数据进行分析，发现隐藏的有用信息，从而更好地改进用户体验。
ECC对于网络安全来说具有重要意义，它可以帮助我们加强信息的传输安全性，保证信息的准确性和不可否认性，避免恶意攻击，并加强个人信息的隐私性。
由于ECC的各种优势和显著特点，它已经被广泛应用到移动通信、安全认证服务、电子支付系统、数据挖掘等多个领域，为传输的数据安全提供了保障。
椭圆曲线在信息安全上的应用研究
前面我们说过，由明文加密成一个密文，其实是一个算法的过程，也就是事先确定一个函数，由这个函数将明文加密成密文。下面我们会通过一个典型的例子阐述信息安全与数学的内在联系。
例：设小明准备将明文 传送给小刚，则小刚要做的工作就是解密，既为： ，小明先利用这个算法将明文 加密成密文 ，然后将密文 传送给小刚，小刚拿到密文后，利用密钥讲密文转化为明文，其解密为：
性质二：零元的存在性（这里我们把无穷远点当做零元）： ， 为椭圆曲线 上的任意一点.
性质三：交换律： ， 为椭圆曲线 上任意两点
性质四：可逆元的存在性，在椭圆曲线 上任意一点 ，都可以在椭圆曲线上找到一点 ，使得： .
性质四很好理解，因为椭圆曲线 是关于 轴对称的，所以对于任意一点 ，只需过该点作 的垂线必与椭圆曲线相交于另一点 ，所以
2 有关信息安Hale Waihona Puke 的预备知识2.1密码的基本概念
若要使我们的信息处于安全状态，就必须给我们的信息进行加密，并且加密之后的信息要具有最基本的三个特征，即机密性、真实性和承诺的不可抵赖性。
信息加密的过程就是对信息进行伪装，使得非授权者不能有伪装后的结果还原出原来的信息。
伪装指的是在一个可变参数的控制下，对数据进行可逆的数学变换。
一般可由下图表示：
图2 密码通信系统的基本结构
由上图可知：一个密码体制由明文空间，密文空间、密钥空间、加密算法和脱密算法五个部分组成。
2.2 信息加密的方法
一、移位密码：将原来的文字符按照事先制定的规律进行移位。
例如：
明文：三天后发起总攻。
移位规则：
根据加密移位规则后，得到的密文为：起攻天总发三后。
3 椭圆曲线在信息安全上的应用
高考数学中的椭圆曲线
高考数学中的椭圆曲线在高考数学中，椭圆曲线是常见的一种几何形式，也是数学中经典而重要的一项研究内容。
我们在平面直角坐标系上画出一条椭圆曲线，即可利用其各种性质，解决不同的数学问题。
椭圆曲线的定义椭圆曲线是一个平面上的曲线，其方程形式为y²=x³+ax+b，其中a、b都是实数。
图像是一条对称的曲线，既可以延伸到无限远处，也可以被截断，形成一个封闭的椭圆。
椭圆曲线不仅在数学中有广泛的应用，也在密码学、通信等领域发挥着重要的作用。
椭圆曲线的运用椭圆曲线在数学中的应用非常广泛，例如在代数数论、几何学、数值计算、密码学、通信系统等各个领域中都有应用。
其中，在密码学中应用尤为广泛。
在密码学中，椭圆曲线被应用于密钥交换、数字签名、认证协议等方面。
由于椭圆曲线加密算法具有计算量小、安全性高、效率优越等优点，因此在现代密码学中得到了广泛地应用。
而且，椭圆曲线还有其他不同的应用场景，例如，它被用于图像处理、机器学习和编码理论等领域中。
椭圆曲线的性质椭圆曲线的研究主要涉及到其多个性质，包括极点、切线、切点、曲线斜率等。
下面，我们简单介绍几个椭圆曲线的性质。
1. 椭圆曲线具有对称性，可以沿着x轴、y轴和曲线直径进行对称。
2. 经过曲线中的任意一点，可以找到一条斜率是唯一的切线线。
3. 这条切线与曲线的交点叫做切点，而这个切点与曲线上其他的点，斜率也是相同的。
4. 在椭圆曲线上还存在着一种特殊的点，叫做极点。
每一条椭圆曲线都有两个极点，这两个极点是这条椭圆曲线的对称中心。
椭圆曲线的应用举例椭圆曲线的应用非常广泛，例如在密码学中，就有椭圆曲线Diffle-Hellman密钥交换算法，椭圆曲线数字签名算法等。
下面，我们以椭圆曲线Diffle-Hellman密钥交换算法为例，来介绍一下椭圆曲线的应用。
椭圆曲线Diffle-Hellman密钥交换算法，简称ECDH，是一种密钥交换协议，主要用于无线网络和移动通信系统等领域。
现代密码学08 - 椭圆曲线与IBC
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CA 与 TA 的区别
CA 公钥证书
ID
绑定
公钥
TA
ID 公钥
产生
私钥
• CA的任务 绑定ID和公钥 (ID不是公钥)
• TA的任务 由ID计算出私钥 (公钥就是ID，或从ID直接 推导而来)
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扩展阅读
IBS
基于身份的 签名方案
IBE
基于身份的 加密方案
• 窃听到aP, bP, cP
• 但无法计算出 e(P,P)abc
– 原理：BDH问题是计算上困难的
• 当然，为防止中间人攻击，需要加入认证功能，以保证接收到数据的 来源的可靠性。
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双线性映射技术 支持双线性映射的软件包
• PBC-library – 开发者：Ben Lynn – 注：需要另一个软件包GMP的 支持
• 于是，三人获得相同的密钥K
bP: 来自Bob cP: 来自Carol
29
双线性映射技术
应用举例 （不考）
• 安全性分析 – 攻击者能获得哪些信息？ • 获得系统参数P
• 双线性Diffie-Hellman问题 (BDH) 设 a, b, c∈Z*p 给定 P, aP, bP, cP∈G1 求 e(P,P)abc 是计算上不可行的
17
举例 • y2 = x3 + x mod 23
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椭圆曲线上的困难问题
• 椭圆曲线密码体制(ECC)建立在椭圆曲线上的困难问题之上 • 基于离散对数、Diffie-Hellman问题的密码方案均可用椭圆曲线实
现 – Diffie-Hellman密钥交换协议（椭圆曲线版） – ElGamal密码体制（椭圆曲线版）
椭圆曲线密码算法及其在信息安全中的应用
椭圆曲线密码算法及其在信息安全中的应用随着信息技术的发展，信息安全变得尤为重要。
而密码学是信息安全的基础，它研究的是如何让信息安全地传输。
椭圆曲线密码（Elliptic Curve Cryptography，ECC）是一种非常重要的密码算法，它的安全强度高、运算速度快，因此受到了广泛的关注和应用。
本文将介绍椭圆曲线密码算法的原理、特点和应用。
一、椭圆曲线密码的基本概念1. 椭圆曲线椭圆曲线是一个在平面上由一组满足特定条件的点构成的集合，这个集合会构成一个曲线。
在密码学中，我们通常会使用表示为y² = x³ + ax + b（其中a、b是常数）的椭圆曲线。
椭圆曲线的基本操作是点的加法、点的乘法和点的倍乘。
点的加法可以定义为一种在椭圆曲线上的几何运算，而点的乘法和点的倍乘则是将点进行反复加法的运算。
2. 椭圆曲线密码算法的原理椭圆曲线密码算法是一种基于椭圆曲线数学理论的密码算法。
其基本思想是利用曲线上的点作为加密密钥和解密密钥，通过运用多点基数倍算法来实现加密和解密，同时短密码可以提供与RSA算法相同的安全强度。
椭圆曲线密码算法相较其他现代密码算法来说，其密钥长度更短，在加密过程中的运算速度更快。
同时，椭圆曲线密码算法可以保证密钥交换的安全性和绝对保密性，应用于电子商务、移动通信、数字证书等领域。
二、椭圆曲线密码算法的特点1. 安全强度高椭圆曲线密码算法的安全强度比传统的对称加密算法和公钥加密算法要高，即需要更长的密钥才能破解，而使用同长度密钥的情况下，破解椭圆曲线密码算法所需的时间比其他密码算法长得多，同时由于椭圆曲线算法的数学基础更加复杂，因此更难被破解。
2. 运算速度快椭圆曲线密码算法的解密运算速度也比较快，大约只有RSA算法的1/10，这也是它受到广泛应用的原因之一。
因为随着网络带宽和数据通信量的不断增大，加密和解密的运算量也对算法的速度提出了更高的要求。
3. 密钥长度短椭圆曲线密码算法在同样的安全强度下，所需的密钥长度比RSA算法和DH算法要短，这也使得椭圆曲线密码算法可以减少密钥的存储空间和传输开销，同时也有助于减少算法运算的时间，提高其运算速度。
几何知识在信息技术安全领域有哪些应用
几何知识在信息技术安全领域有哪些应用在当今数字化时代，信息技术安全已成为至关重要的领域。
从保护个人隐私到维护国家安全，信息技术安全的重要性不言而喻。
而在这个领域中，几何知识正以一种出人意料却又极为有效的方式发挥着重要作用。
几何知识在密码学中有着广泛的应用。
密码学是信息技术安全的核心组成部分，它致力于保护信息的机密性、完整性和可用性。
其中，椭圆曲线密码体制就是基于椭圆曲线的几何特性构建的。
椭圆曲线是一种特定类型的数学曲线，具有一些独特的性质。
在椭圆曲线密码体制中，利用椭圆曲线上点的运算来实现加密和解密操作。
相比传统的加密方法，如基于大整数分解或离散对数问题的加密算法，椭圆曲线密码体制具有更高的安全性和更小的密钥尺寸，这意味着在相同的安全级别下，使用椭圆曲线密码体制可以大大减少计算量和存储空间。
几何图形的变换在数字水印技术中也扮演着关键角色。
数字水印是一种将标识信息嵌入到数字媒体（如图像、音频、视频等）中的技术，以实现版权保护、内容认证等目的。
通过对原始媒体进行几何变换，如旋转、缩放、平移等，然后在变换后的空间中嵌入水印信息，可以使水印更具鲁棒性，即能够抵抗常见的信号处理操作和恶意攻击。
例如，当图像被旋转或缩放时，基于几何变换的数字水印算法可以通过相应的逆变换来提取水印，从而确保水印的完整性和可检测性。
在网络安全领域，几何知识可以用于构建更有效的网络拓扑结构。
网络拓扑结构决定了网络中节点之间的连接方式，对网络的性能和安全性有着重要影响。
利用几何中的图论知识，可以设计出具有特定性质的网络拓扑，如最小化平均路径长度、提高网络的容错性和抗攻击性。
例如，在分布式网络中，可以基于几何位置信息来确定节点之间的连接关系，使得网络在遭受部分节点故障或恶意攻击时，仍然能够保持正常的通信和服务。
此外，几何知识在生物识别技术中的应用也值得关注。
生物识别技术，如指纹识别、面部识别和虹膜识别等，依靠个体独特的生理特征来进行身份认证。
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• 1985年Miller,Koblitz 独立提出
y2+axy+by=x3+cx2+dx+e • 曲线上的点连同无穷远点O的集合 • 运算定义：
– 若曲线三点在一条直线上,则其和为O – O用作加法的单位：O = -O; P+O = P – 一条竖直线交X轴两点P1、P2，则P1+P2+O=O，于是P1 =
y3=(x1-x3)-y1 (mod p)
其中，如果PQ，则 如果P=Q，则
= =
(y2-y1)/(x2-x1) (3x12+a)/(2y1)
椭圆曲线用于加密
• 找到一个难题： – 考虑等式Q=kP，其中Q、P属于Ep(a,b)，k<p – 已知k和P，计算Q，是容易的 – 已知Q和P，计算k，是困难的
– 针对所有的0<= x <p，可以求出有效的y，得到曲线 上的点(x,y)，其中x,y < p。记为Ep(a,b)
– Ep(a,b)中也包括O
• 加法公式:
– P+O=P
– 如果P=(x,y)，则P+(x,-y)=O，(x,-y)点是P的负点，记
为-P。而且(x,-y)也在Ep(a,b)中
– 如果P=(x1,y1)，Q=(x2,y2)，则 P+Q=(x3,y3)为 x3=2-x1-x2 (mod p)
1078
1200
12000010168 Nhomakorabea768 2108
150
3.81010
1024 31011
205
7.11018
1280 11014
234
1.61028
1536 31016
2048 31020
ECC和RSA性能比较
ECC密钥长度 m
160
RSA密钥长度 1024
MIPS-年 1012
320
5120
1036
600
21000
• 选择Ep(a,b)的元素G,使得G的阶n是一个大素数 – G的阶是指满足nG=O的最小n值
• 秘密选择整数r，计算P=rG，然后 – 公开(p,a,b,G,P)，P为公钥 – 保密r
• 加密M：先把消息M变换成为Ep(a,b)中一个点Pm – 然后，选择随机数k，计算密文Cm={kG,Pm+kP) – 如果k使得kG或者kP为O，则要重新选择k.
• 解密Cm: (Pm+kP)-r(kG)=Pm+krG-rkG=Pm • 加密信息有扩张
椭圆曲线密码的安全性
• 难点: 从P和kP获得k
• 对椭圆曲线研究的时间短
• 椭圆曲线要求密钥长度短,速度快
• 对比: ECC
RSA
*Pollard rho分析方法
Key size
512 MIPS-Yrs
3104
-P2 – 如果两个点Q和R的X轴不同，则画一连线，得到第三点
P1，则Q+R+P1=O，即Q+R=-P1 – 2倍，一个点Q的两倍是，找到它的切线与曲线的另一个
交点S，于是Q+Q=2Q=-S
椭圆曲线密码示意图
有限域上椭圆曲线
• 有限域上椭圆曲线
y2x3+ax+b mod p
p是奇素数,且4a3+27b20 mod p