最新高考数学附加题加分练习(九)数学归纳法
数学归纳法
1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)．
(1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；
(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数．
(1)解 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1.
令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .
∵b 1＝－5为奇数，
∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，
∴b n ＝Error!即a n ＝Error!
(2)证明 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.
下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．
当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；
设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，
则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，
∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1
＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，
其中，4m ＝44(t －1)－C ·44t －5＋…－(－1)r C ·44t －4－r ＋…－14(t －
1)r 4(t －1)C ·4，4
54(t －1)∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．
由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立．
2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a －na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3.122
n 12(1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；
(2)求证：当n ≥2时，a ≥4n n .
n
(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)．
①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，
则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a －ka k ＋1＝(k ＋2)2－k (k ＋2)＋1＝k ＋3122
k 121212＝(k ＋1)＋2，
即当n ＝k ＋1时，结论也成立．
由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)．
(2)证明 原不等式等价于n ≥4.(1＋2n )显然，当n ＝2时，等号成立．
当n >2时，n ＝C ＋C ＋C 2＋…＋C n >C ＋C ＋C 2(1＋2n )0n 1n 2n 2n (2n )n (2n )0n 1n 2n 2n (2n )＝5－>4.
2n 综上所述，当n ≥2时，a ≥4n n .
n 3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)若数列{a n }满足a 1∈(0,1)，a n ＋1＝ln(2－a n )＋a n ，n ∈N *，证明：0<a n <a n ＋1<1.
(1)解 ∵函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数，
∴f ′(x )＝＋a ≥0在区间(0,1)上恒成立，
－1
2－x ∴a ≥.
1
2－x
又g (x )＝在区间(0,1)上是增函数，
1
2－x ∴a ≥g (1)＝1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．
(2)证明 先用数学归纳法证明0<a n <1.
当n ＝1时，a 1∈(0,1)成立．
假设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <1成立．
当n ＝k ＋1时，由(1)知当a ＝1时，函数f (x )＝ln(2－x )＋x 在区间(0,1)上是增函数，
∴a k ＋1＝f (a k )＝ln(2－a k )＋a k ，
∴0<ln 2＝f (0)<f (a k )<f (1)＝1，
即0<a k ＋1<1成立，
∴当n ∈N *时，0<a n <1成立．
下证a n <a n ＋1.
∵0<a n <1，∴a n ＋1－a n ＝ln(2－a n )>ln 1＝0，
∴a n <a n ＋1.
综上0<a n <a n ＋1<1.
4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．
(1)求f (k )的解析式；
(2)记S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )，P n ＝n 2＋n －1(n ∈N *)，试比较S n 与P n 的大小．
解 (1)∵log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)，
∴Error!解得2k －1≤x ≤2k ，
∴f (k )＝2k －2k －1＋1＝2k －1＋1.
(2)∵S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )
＝1＋2＋22＋…＋2n －1＋n ＝2n ＋n －1，
∴S n－P n＝2n－n2.
当n＝1时，S1－P1＝2－1＝1>0；
当n＝2时，S2－P2＝4－4＝0；
当n＝3时，S3－P3＝8－9＝－1<0；
当n＝4时，S4－P4＝16－16＝0；
当n＝5时，S5－P5＝32－25＝7>0；
当n＝6时，S6－P6＝64－36＝28>0.
猜想：当n≥5时，S n－P n>0.
证明如下：
①当n＝5时，由上述可知S n－P n>0.
②假设当n＝k(k≥5，k∈N*)时，S k－P k＝2k－k2>0.
当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1＝2k＋1－(k＋1)2
＝2·2k－k2－2k－1＝2(2k－k2)＋k2－2k－1
＝2(S k－P k)＋k2－2k－1>k2－2k－1
＝k(k－2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0.
∴当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1>0成立．
由①②可知，当n≥5时，S n－P n>0成立，即S n>P n成立．
由上述分析可知，当n＝1或n≥5时，S n>P n；当n＝2或n＝4时，S n＝P ；当n＝3时，S n<P n.
n。
最新高考数学附加题加分练习(九)数学归纳法
数学归纳法1．已知数列{a n }满足：a 1＝2a －2，a n ＋1＝aa n －1＋1(n ∈N *)．(1)若a ＝－1，求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝3，试证明：对∀n ∈N *，a n 是4的倍数．(1)解 当a ＝－1时，a 1＝－4，a n ＋1＝(－1)a n －1＋1.令b n ＝a n －1，则b 1＝－5，b n ＋1＝(－1)b n .∵b 1＝－5为奇数，∴当n ≥2时，b n 也是奇数且只能为－1，∴b n ＝⎩⎨⎧ －5，n ＝1，－1，n ≥2，即a n ＝⎩⎨⎧ －4，n ＝1，0，n ≥2.(2)证明 当a ＝3时，a 1＝4，a n ＋1＝3a n －1＋1.下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当n ＝1时，a 1＝4＝4×1，命题成立；设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，则存在t ∈N *，使得a k ＝4t ，∴a k ＋1＝3a k －1＋1＝34t －1＋1＝27·(4－1)4(t －1)＋1＝27·(4m ＋1)＋1＝4(27m ＋7)，其中，4m ＝44(t －1)－C 14(t －1)·44t －5＋…－(－1)r C r 4(t －1)·44t －4－r ＋…－C 4t －54(t －1)·4，∴m ∈Z ，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由数学归纳法知，对∀n ∈N *，a n 是4的倍数成立．2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12a 2n －12na n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝3. (1)计算a 2，a 3，a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并给出证明；(2)求证：当n ≥2时，a n n ≥4n n .(1)解 a 2＝4，a 3＝5，a 4＝6，猜想：a n ＝n ＋2(n ∈N *)．①当n ＝1时，a 1＝3，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k ＋2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a 2k －12ka k ＋1＝12(k ＋2)2－12k (k ＋2)＋1＝k ＋3＝(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，得数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)．(2)证明 原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ≥4. 显然，当n ＝2时，等号成立．当n >2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n n ＝C 0n ＋C 1n 2n ＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋…＋C n n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n >C 0n ＋C 1n 2n ＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＝5－2n >4.综上所述，当n ≥2时，a n n ≥4n n .3．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)若数列{a n}满足a1∈(0,1)，a n＋1＝ln(2－a n)＋a n，n∈N*，证明：0<a n<a n ＋1<1.(1)解∵函数f(x)＝ln(2－x)＋ax在区间(0,1)上是增函数，∴f′(x)＝－12－x＋a≥0在区间(0,1)上恒成立，∴a≥12－x.又g(x)＝12－x在区间(0,1)上是增函数，∴a≥g(1)＝1，即实数a的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明先用数学归纳法证明0<a n<1.当n＝1时，a1∈(0,1)成立．假设当n＝k(k∈N*)时，0<a k<1成立．当n＝k＋1时，由(1)知当a＝1时，函数f(x)＝ln(2－x)＋x在区间(0,1)上是增函数，∴a k＋1＝f(a k)＝ln(2－a k)＋a k，∴0<ln 2＝f(0)<f(a k)<f(1)＝1，即0<a k＋1<1成立，∴当n∈N*时，0<a n<1成立．下证a n<a n＋1.∵0<a n<1，∴a n＋1－a n＝ln(2－a n)>ln 1＝0，∴a n <a n ＋1.综上0<a n <a n ＋1<1.4．设f (k )是满足不等式log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)的正整数x 的个数．(1)求f (k )的解析式；(2)记S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )，P n ＝n 2＋n －1(n ∈N *)，试比较S n 与P n的大小．解 (1)∵log 2x ＋log 2(3·2k －1－x )≥2k －1(k ∈N *)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，3·2k －1－x >0，x (3·2k －1－x )≥22k －1，解得2k －1≤x ≤2k ， ∴f (k )＝2k －2k －1＋1＝2k －1＋1.(2)∵S n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝1＋2＋22＋…＋2n －1＋n ＝2n ＋n －1， ∴S n －P n ＝2n －n 2.当n ＝1时，S 1－P 1＝2－1＝1>0； 当n ＝2时，S 2－P 2＝4－4＝0； 当n ＝3时，S 3－P 3＝8－9＝－1<0； 当n ＝4时，S 4－P 4＝16－16＝0； 当n ＝5时，S 5－P 5＝32－25＝7>0； 当n ＝6时，S 6－P 6＝64－36＝28>0.猜想：当n≥5时，S n－P n>0.证明如下：①当n＝5时，由上述可知S n－P n>0.②假设当n＝k(k≥5，k∈N*)时，S k－P k＝2k－k2>0.当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1＝2k＋1－(k＋1)2＝2·2k－k2－2k－1＝2(2k－k2)＋k2－2k－1＝2(S k－P k)＋k2－2k－1>k2－2k－1＝k(k－2)－1≥5×(5－2)－1＝14>0.∴当n＝k＋1时，S k＋1－P k＋1>0成立．由①②可知，当n≥5时，S n－P n>0成立，即S n>P n成立．由上述分析可知，当n＝1或n≥5时，S n>P n；当n＝2或n＝4时，S n ＝P n；当n＝3时，S n<P n.。
高考数学中的数学归纳法及应用
高考数学中的数学归纳法及应用在高考数学中，数学归纳法是一个重要的概念，它被广泛应用于各种数学问题的解决和证明，特别是那些与自然数和整数相关的问题。
在本文中，我们将主要讨论高考数学中的数学归纳法及其应用。
1. 数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种数学推理方法，通过一个已知的命题的真实性，证明其对于所有的自然数都成立。
数学归纳法的基本步骤包括以下三个部分：第一步，证明基本情况，即证明所要证明的命题在某个整数上成立。
这个整数一般是0或1，有时也可以是其他的整数。
第二步，证明归纳步骤，即证明如果命题在某个整数上成立，那么它在下一个整数上也会成立。
第三步，结论，即由前两步推出所要证明的命题对所有的自然数都成立。
2. 数学归纳法的应用数学归纳法在高考数学中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用：2.1. 计算等差数列的和等差数列的和问题，就可以用数学归纳法来推导出通用公式。
具体步骤如下：首先，我们用初中阶段所学的方法，求出等差数列前n项和的通式Sn。
S1 = a1 (n=1时，Sn=a1)S2 = a1 + a2 (n=2时，Sn=a1+a2)S3 = a1 + a2 + a3 (n=3时，Sn=a1+a2+a3)……Sn = a1 + a2 + …… + an我们通过数学归纳法来推导出通用公式：证明基本情况，当n=1 时，Sn=a1 成立。
证明归纳步骤：假设当n = k（k≥1）时，Sn = a1 + a2 + …… + ak 成立。
即证明当n=k+1 时，Sn=a1+a2+……+ak+ak+1 成立。
即结论：对于所有的自然数n，等差数列的前n项和为Sn = n[a1 + an] / 2。
2.2. 证明不等式数学归纳法也可以用于证明不等式的真实性。
如果某个命题的成立可以从另一个命题的成立推导出来，而这两个命题都可以用数学归纳法进行证明，那么我们可以通过这两个命题的联合证明，来证明原来的不等式。
例如，我们可以用数学归纳法证明n ≥ 3 时，2^n > n^2。
高考数学(人教a版,理科)题库：数学归纳法(含答案)
第3讲数学归纳法一、选择题1. 利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1，n∈N*)”时，在验证n＝1成立时，左边应该是( )A 1B 1＋aC 1＋a＋a2D 1＋a＋a2＋a3解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案 D3．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()．A.12k＋2B．－12k＋2C.12k＋1－12k＋2D.12k＋1＋12k＋2解析∵当n＝k时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k，当n＝k＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2.答案 C4．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误．答案 D5．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)解析 (1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．答案 D6．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()．A．a＝12，b＝c＝14B．a＝b＝c＝14C．a＝0，b＝c＝14D．不存在这样的a、b、c解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即⎩⎨⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，整理得⎩⎨⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14. 答案 A 二、填空题7．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2).答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)8. 用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)即可.答案k(k＋1)2(2k＋1)＋(k＋1)2(2k＋1)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)2(2k＋3)9．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴(n－1)n2＝60，∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案(5,7)10．在数列{a n}中，a1＝13且S n＝n(2n－1)a n，通过计算a2，a3，a4，猜想a n的表达式是________．解析当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝15a1＝115；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，即a3＝114(a1＋a2)＝135；当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，即a4＝127(a1＋a2＋a3)＝163.∴a1＝13＝11×3，a2＝115＝13×5，a3＝135＝15×7，a4＝17×9，故猜想a n＝1n－n＋.答案a n＝1n－n＋三、解答题11．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝S 4＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立； (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k 2， 则当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12， 故当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n ≥2，n ∈N *.不等式S 2n >1＋n2都成立．12．已知数列{a n }：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝r ，a n ＋3＝a n ＋2(n ∈N *)，与数列{b n }：b 1＝1，b 2＝0，b 3＝－1，b 4＝0，b n ＋4＝b n (n ∈N *)．记T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n a n .(1)若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝64，求r 的值； (2)求证：T 12n ＝－4n (n ∈N *)．(1)解 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝1＋2＋r ＋3＋4＋(r ＋2)＋5＋6＋(r ＋4)＋7＋8＋(r ＋6)＝48＋4r . ∵48＋4r ＝64，∴r ＝4.(2)证明 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .①当n ＝1时，T 12＝a 1－a 3＋a 5－a 7＋a 9－a 11＝－4，故等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即T 12k ＝－4k ，那么当n ＝k ＋1时，T 12(k ＋1)＝T 12k ＋a 12k ＋1－a 12k ＋3＋a 12k ＋5－a 12k ＋7＋a 12k ＋9－a 12k ＋11＝－4k ＋(8k ＋1)－(8k ＋r )＋(8k ＋4)－(8k ＋5)＋(8k ＋r ＋4)－(8k ＋8)＝－4k －4＝－4(k ＋1)，等式也成立．根据①和②可以断定：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .13．设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2n －2na n ＋2，n ＝1,2,3，…(1)求a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式(不需证明)；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，试求使得S n <2n 成立的最小正整数n ，并给出证明．解(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想a n＝2n＋1.(2)S n＝n(3＋2n＋1)2＝n2＋2n，使得Sn<2n成立的最小正整数n＝6.下证：n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n.①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)都有2n>n2＋2n成立．14．数列{x n}满足x1＝0，x n＋1＝－x2n＋x n＋c(n∈N*)．(1)证明：{x n}是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求c的取值范围，使{x n}是递增数列．(1)证明先证充分性，若c<0，由于x n＋1＝－x2n＋x n＋c≤x n＋c<x n，故{x n}是递减数列；再证必要性，若{x n}是递减数列，则由x2<x1可得c<0.(2)解①假设{x n}是递增数列．由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.由x1<x2<x3，得0<c<1.由x n<x n＋1＝－x2n＋x n＋c知，对任意n≥1都有x n<c，①注意到c－x n＋1＝x2n－x n－c＋c＝(1－c－x n)(c－x n)，②由①式和②式可得1－c－x n>0，即x n<1－c.由②式和x n≥0还可得，对任意n≥1都有c－x n＋1≤(1－c)(c－x n)．③反复运用③式，得c－x n≤(1－c)n－1(c－x1)<(1－c)n－1，x n<1－c和c－x n<(1－c)n－1两式相加，知2c－1<(1－c)n－1对任意n≥1成立．根据指数函数y＝(1－c)n的性质，得2c－1≤0，c≤14，故0<c≤14.②若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立． (i)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立． (ii)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即x n <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由①②知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.。
高考一轮复习练习： 数学归纳法
1．应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．证明：①当n ＝3时，三角形没有对角线，f (3)＝0，又f (3)＝12×3×(3－3)＝0，命题成立．②假设当n ＝k (k ≥3)时命题成立，即凸k 边形A 1A 2…A k 有f (k )＝12k (k －3)条对角线，再加一个顶点A k ＋1，构成凸k ＋1边形，则增加了k －2条对角线，又原来的边A 1A k 变成了对角线，故对角线增加了k －1条，即凸k ＋1边形有f (k ＋1)＝12k (k－3)＋k －1＝12(k 2－3k ＋2k －2)＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]条对角线，可知当n ＝k ＋1时，命题成立，综合①②可知命题对于n ≥3的自然数n 都成立．2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何正整数n ，等式a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋1)(n ＋2)都成立，并证明你的结论．解析：将n ＝1,2,3分别代入等式得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，a 1＋2a 2＝24，a 1＋2a 2＋3a 3＝60，解得a 1＝6，a 2＝9，a 3＝12，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝3，从而a n ＝3n ＋3.故存在一个等差数列a n ＝3n ＋3，使得当n ＝1,2,3时，等式成立．下面用数学归纳法证明结论成立．①当n ＝1时，结论显然成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即a1＋2a2＋3a3＋…＋ka k＝k(k＋1)(k＋2)．那么当n＝k＋1时，a1＋2a2＋3a3＋…＋ka k＋(k＋1)a k＋1＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)[3(k＋1)＋3]＝(k＋1)(k2＋2k＋3k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]．∴当n＝k＋1时，结论也成立．由①②知存在一个等差数列a n＝3n＋3，使得对任何正整数n，等式a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝n(n＋1)(n＋2)都成立．3．已知数列{a n}，a n≥0，a1＝0，a2n＋1＋a n＋1－1＝a2n.求证：当n∈N*时，a n<a n＋1.证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程x2＋x－1＝0的正根，所以a1<a2.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤a k<a k＋1，因为a2k＋1－a2k＝(a2k＋2＋a k＋2－1)－(a2k＋1＋a k＋1－1)＝(a k＋2－a k＋1)(a k＋2＋a k＋1＋1)>0，所以a k＋1<a k＋2，即当n＝k＋1时，a n<a n＋1也成立．根据(1)和(2)，可知a n<a n＋1对任意n∈N*都成立．4．已知a>0，b>0，n>1，n∈N*.用数学归纳法证明：a n＋b n2≥(a＋b2)n.证明：(1)当n＝2时，左边－右边＝a2＋b22－(a＋b2)2＝(a－b2)2≥0，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k >1)时，不等式成立，即a k ＋b k 2≥(a ＋b 2)k .因为a >0，b >0，k >1，k ∈N *，所以(a k ＋1＋b k ＋1)－(a k b ＋ab k )＝(a －b )·(a k －b k )≥0， 于是a k ＋1＋b k ＋1≥a k b ＋ab k .当n ＝k ＋1时，(a ＋b 2)k ＋1＝(a ＋b 2)k ·a ＋b 2≤a k ＋b k 2·a ＋b 2＝a k ＋1＋b k ＋1＋a k b ＋ab k 4≤a k ＋1＋b k ＋1＋a k ＋1＋b k ＋14＝a k ＋1＋b k ＋12， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(1)，(2)知，对于a >0，b >0，n >1， n ∈N *，不等式a n ＋b n 2≥(a ＋b 2)n 总成立．。
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题
高考数学技巧如何利用数学归纳法解决问题数学归纳法是一种常见且重要的数学技巧，在高考数学中经常被用于解决一些复杂的问题。
通过合理运用数学归纳法，可以简化问题的复杂性，从而更好地解决数学题。
本文将探讨高考数学中如何利用数学归纳法解决问题的技巧和方法，并通过一些例题进行说明。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
它的基本原理是：设n为一个正整数，如果能证明当n取某个值时命题成立，而且如果在命题成立的情况下可以推导得到n+1的情况也成立，那么就可以得出结论：当n为任意正整数时，命题都成立。
二、数学归纳法的步骤数学归纳法主要包括三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
1.基础步骤：首先需要证明当n取某个值时命题成立。
这个值通常是最小的正整数，可以是1或任意不为0的正整数。
2.归纳假设：假设当n取k（其中k为正整数）时命题成立，即假设命题P(k)为真。
3.归纳步骤：在已知P(k)为真的情况下，利用此假设证明P(k+1)为真。
通过推理和运算，将P(k+1)的真实性转化为某个已知条件的真实性，即从P(k)推导得到P(k+1)。
三、利用数学归纳法解决高考数学问题的技巧1.明确问题类型：在高考数学中利用数学归纳法解题，首先要明确问题的类型。
常见的问题类型包括数列、方程、不等式、集合等。
2.观察规律：利用数学归纳法解题的关键在于观察规律。
通过对问题的分析和计算，观察数列、方程等中数值、系数的变化规律，总结出规律的特点。
3.列出基础步骤：根据观察所得的规律，找到问题中的基础步骤。
基础步骤通常是证明当n取某个值时命题成立。
4.假设并证明：在观察到的规律的基础上，假设命题P(k)为真，并通过计算和推理证明该命题成立。
5.归纳得出结论：在已知P(k)为真的情况下，运用数学归纳法的归纳步骤，将P(k+1)的真实性转化为已知条件的真实性，进而得出结论。
四、数学归纳法解题的例子【例题】已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则证明：a_n=n^2。
高考数学专题复习题：数学归纳法
高考数学专题复习题：数学归纳法一、单项选择题（共6小题）1．利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<- （2n ≥，且*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（）A ．12k -项B ．2k 项C ．1k -项D ．k 项2．用数学归纳法证明：()()()1221121n n n ++++=++ ，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（）A ．1B ．13+C ．123++D ．1234+++3．用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++++= ()N,1n n ∈≥时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（）A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++4．用数学归纳法证明：11112321n n ++++<- ，()N,1n n ∈≥时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（）A ．2k B ．21k -C ．12k -D ．21k +5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真，则还需要再证（）A ．1n k =+时等式成立B ．2n k =+时等式成立C ．22n k =+时等式成立D ．()22n k =+时等式成立6．现有命题()()()11*1112345611442n n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+∈ ⎪⎝⎭N ，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A ．不能用数学归纳法判断此命题的真假B ．此命题一定为真命题C ．此命题加上条件9n >后才是真命题，否则为假命题D ．存在一个无限大的常数m ，当n m >时，此命题为假命题二、多项选择题（共2小题）7．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++8．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++三、填空题（共2小题）9．在运用数学归纳法证明()121*(1)(2)n n x x n +-+++∈N 能被233x x ++整除时，则当1n k =+时，除了n k =时必须有归纳假设的代数式121(1)(2)k k x x +-+++相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为________．10．用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++= （n 为正整数，且2n ）时，第一步取n =________验证．四、解答题（共2小题）11．用数学归纳法证明：()*11111231n n n n +++>∈+++N ．12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：①证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；②假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．举一个例子7321=⨯+，则7mod31=；再举一个例子3703=⨯+，则3mod 73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．从序号分别为0a ，1a ，2a ，3a ，…，na 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ．（1）求10mod3；（2）当1n ≥时，()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．。
数学归纳法 (新教材新高考)-高中数学精讲
专题7.6 数学归纳法1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2020·全国高三专题练习）已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k (k ≥2，k 为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ）A ．n=k+1时等式成立B ．n=k+2时等式成立C ．n=2k+2时等式成立D ．n=2(k+2)时等式成立3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋＋＋…＋＜n (n ∈N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是（ ）A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋14．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式时，可将其转化为证明（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“” 的过程中，练基础123(21)(1)(21)n n n +++++=++ n k =1n k =+22k +[]2(1)1k ++[(22)(23)]k k +++[][](1)12(1)1k k ++++111234+-1-1n 111 (24)2n n n ⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭1213121n -()*1114,21225n N n n n n ∈+++≤≥++ ()*11141,2122521n n n n n n N +++≤+∈≥+++ ()*14,2122521111n n n n n n N +++≤∈-≥+++ ()*114,21225211N n n n n n n +++≤∈+≥++ ()*11141,212252N n n n n n n+++≤∈-≥++ 1111...(,1)2321n n n N n *++++<∈>-由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（ ） A ．B ．C ．D ．6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列{a n }中，a 1=1,a n +1=1+a n1+a n (n ∈N ∗)用数学归纳法证明：a n <a n +1(n ∈N ∗).9.（2021·全国高三专题练习）数列满足.（1）计算，并猜想的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{a n}满足：，点在直线上．（1）求的值，并猜想数列{a n }的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．1．（2021·全国）已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（）A ．B ．C ．D ．2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列，满足，，则（） A ． B ．n k =1n k =+k 1k +2k 21k +()2511222n n N -*++++∈ 31k 1k +{}n a 11a =n n S 214(3)(2,)n n S a n n N *-=+∈≥{}n a n a ={}n a ()*2N n n S n a n =-∈123a a a 、、n a 11a =*1(,)()n n a a n N +∈21y x =+234,,a a a 练提升{}n a ()*1n n nna a n N a +=+∈10a >2n ≥1n a n <+211n n n n a a a a +++-<-n a n ≥1n a n ≥+{}n a ()101a a a =<<()()()*11ln 1n n n a a a n N ++=+∈110n n a a n+<<<110n n a a n+<<<C ．D ． 3．（2020·浙江省桐庐中学）数列满足，，则以下说法正确的个数（）①；②； ③对任意正数，都存在正整数使得成立； ④. A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足：，，前项和为（参考数据：，，则下列选项错误的是（ ）.A ．是单调递增数列，是单调递减数列B ．C ．D ．5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如的“积数”为2，的“积数”为6，的“积数”为，则数集的所有非空子集的“积数”的和为___________.6．（2021·浙江高三期末）已知数列满足，前项和为，若，且对任意的，均有，，则_______；______.7．（2020·江苏南通·高三其他）数列的前n 项和为，记，数列满足，，且数列的前n 项和为． 110n n a a n+<<<110x n a a n+<<<{}n a ()2*1n n n a a a n N +=-+∈110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10n n a a +<<22221231n a a a a a ++++< b m 12311111111mb a a a a ++++>---- 11n a n <+{}n a 10a =()()1ln 1n an n a e a n *+=+-∈Nn n S ln 20.693≈ln 3 1.099≈{}21n a -{}2n a 1ln 3n n a a ++≤2020670S <212n n a a -≤S {}2{}2,31111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭1!n *1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭{}n a 0n a >n n S 33a =*k N ∈211222k a k a -+=21222log 1k k a a +=+1a =20S ={}n a n R 11nn i S i==∑{}n b 11b a =()12n n n n R b S a n n-=+≥{}n b n T（1）请写出，，满足的关系式，并加以证明； （2）若数列通项公式为，证明：． 8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为．（1）求数列、的通项公式； （2）数列满足：，，证明 9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，，证明：，． 10.已知点P n (a n ,b n )满足a n +1=a n .b n +1，b n +1=b n1−4a 2n(n ∈N ∗)，且点P 1的坐标为(−1,1).（1）求过点P 1,P 2的直线的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于n ∈N ∗，点P n 都在（1）中的直线l 上.1．（2020·全国高考真题（理））设数列{a n }满足a 1=3，． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．2.（2017浙江）已知数列满足：，． 证明：当时 （Ⅰ）； （Ⅱ）； n R n S n T {}n a 112n n a -=22ln n T n <+{}n a 1q >23414a a a ++=31a +2a 4a {}n b {}n n a b ⋅n 2n n ⋅{}n a {}n b {}n c 13c =*1,n n n n b c c n N c +=+∈*12(2),2n n n c c c n N +++⋅⋅⋅+>∈{}n a n n S 1a n a n S 542a S =+*n N ∈{}n a 2nn na b S =*n N ∈()12314421n n b b b +++≤-- *n N ∈练真题134n n a a n +=-{}n x 11x =11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N n ∈*N 10n n x x +<<1122n n n n x x x x ++-≤（Ⅲ）． 3．(湖北省高考真题) 已知数列的各项均为正数，，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e 的大小；（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：． 4.（2021·全国高三专题练习）设数列{a n }满足a 1=3，． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．5.(江苏省高考真题)已知函数，设为的导数，．（Ⅰ）求的值；（2）证明：对任意的，等式成立．6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线与直线相交于，作交轴于，作交曲线于，……，以此类推.（1）写出点和的坐标； （2）猜想的坐标，并用数学归纳法加以证明.121122n n n x --≤≤{}n a 1(1()nn n b n a n n +=+∈N ()1e xf x x =+-1(1)n n+11b a 1212b ba a 123123b b b a a a 1212n n b b b a a a 112()nn n c a a a = {}n a {}n c n n S n T e n n T S <134n n a a n +=-0sin ()(0)x f x x x =>()n f x 1()n f x -n *∈N ()()122222f f πππ+n *∈N ()()1444n n nf f -πππ+=():10C xy x =>:l y x =1A 11A B l ⊥x 1B 12B A //l C 2A 123,,A A A 123,,B B B ()n A n N*∈。
2019年高考数学附加题专题训练数学归纳法
数学归纳法考纲要求：1、理解数学归纳法的原理，能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
例1、已知设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 证明：对任意正整数n，f(n)都是8的倍数．思路分析由数学归纳法证明整除问题的关键在于怎样将n＝k＋1的情形转化为n＝k的情形来利用归纳假设的条件．变式1、设an是满足下述条件的自然数的个数：各数位上的数字之和为n(n∈N*)，且每个数位上的数字只能是1或2.(1) 求a1，a2，a3，a4的值；(2) 求证：a5n－1(n∈N*)是5的倍数．规范解答(1) 当n＝1时，只有自然数1满足题设条件，所以a1＝1；当n＝2时，有11,2两个自然数满足题设条件，所以a2＝2；当n＝3时，有111,21,12三个自然数满足题设条件，所以a3＝3；当n＝4时，有1 111,112,121,211,22五个自然数满足题设条件，所以a4＝5.综上所述，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5.(4分)下面用数学归纳法证明a5n－1是5的倍数．①当n＝1时，a4＝5，所以a4是5的倍数，命题成立；②假设n＝k时，命题成立，即a5k－1是5的倍数．则a5k＋4＝a5k＋3＋a5k＋2＝2a5k＋2＋a5k＋1＝2(a5k＋1＋a5k)＋a5k＋1＝3a5k＋1＋2a5k＝3(a5k＋a5k－1)＋2a5k＝5a5k＋3a5k－1.因为5a5k是5的倍数，a5k－1是5的倍数，所以5a5k＋3a5k－1是5的倍数，即a5k＋4是5的倍数．所以n＝k＋1时，命题成立．由①②可知，a5n－1(n∈N*)是5的倍数．(10分)变式2、设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①对任意n∈N*，f(n)∈Z；②对任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．规范解答(1) 因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5f(1)＝10，则f(1)＝2.(1分)因为f(n)是单调增函数，所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5.因为f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝4.(3分)(2) 解法1 由(1)可猜想f(n)＝n＋1.证明：因为f(n)单调递增，所以f(n＋1)＞f(n)，又f(n)∈Z，所以f(n＋1)≥f(n)＋1.首先证明：f(n)≥n＋1.因为f(1)＝2，所以n＝1时，命题成立．假设n＝k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k＋1.则f (k ＋1)≥f (k )＋1≥k ＋2，即n ＝k ＋1时，命题也成立．综上，f (n )≥n ＋1.(5分)由已知可得f (2)f (n )＝f (2n )＋f (n ＋1)，而f (2)＝3，f (2n )≥2n ＋1，所以3f (n )≥f (n ＋1)＋2n ＋1，即f (n ＋1)≤3f (n )－2n －1.下面证明：f (n )＝n ＋1.解法2 由f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝4，f (4)＝5，猜想f (n )＝n ＋1.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1,2,3,4时，命题成立．②假设当n ≤k (k ≥4)时，命题成立，下面讨论n ＝k ＋1的情形．若k 为奇数，则k ＋1为偶数，且k ＋12≤k ，k ＋32≤k . 根据归纳假设知f ⎝⎛⎭⎫k ＋12＝k ＋12＋1＝k ＋32，f ⎝⎛⎭⎫k ＋32＝k ＋32＋1＝k ＋52. 因为f (2)f ⎝⎛⎭⎫k ＋12＝f (k ＋1)＋f ⎝⎛⎭⎫k ＋12＋2－1＝f (k ＋1)＋f ⎝⎛⎭⎫k ＋32，所以3·k ＋32＝f (k ＋1)＋k ＋52，即f (k ＋1)＝k ＋2.(4分)若k 为偶数，则k ＋2，k ＋4为偶数，且k ＋22≤k ，k ＋42≤k . 根据归纳假设知f ⎝⎛⎭⎫k ＋22＝k ＋22＋1＝k ＋42，f ⎝⎛⎭⎫k ＋42＝k ＋42＋1＝k ＋62. 因为f (2)f ⎝⎛⎭⎫k ＋22＝f (k ＋2)＋f ⎝⎛⎭⎫k ＋22＋2－1＝f (k ＋2)＋f ⎝⎛⎭⎫k ＋42，所以3·k ＋42＝f (k ＋2)＋k ＋62，即f (k ＋2)＝k ＋3.又k ＋1＝f (k )＜f (k ＋1)＜f (k ＋2)＝k ＋3.所以f (k ＋1)＝k ＋2.因此不论k 的奇偶性如何，总有f (k ＋1)＝k ＋2，即n ＝k ＋1时，命题也成立，于是对一切n ∈N *，f (n )＝n＋1.(10分)解法3 因为f(n)单调递增，所以f(n＋1)＞f(n)．又f(n)∈Z，所以f(n＋1)≥f(n)＋1.又f(1)＝2，所以f(n)≥n＋1.由已知可得f(2)f(n)＝f(2n)＋f(n＋1)．而f(2)＝3，f(2n)≥2n＋1.所以3f(n)≥f(n＋1)＋2n＋1，即f(n＋1)≤3 f(n)－2n－1.或者f(n＋1)－n－2≤3(f(n)－n－1)．所以有f(n＋1)－n－2≤3(f(n)－n－1)≤32(f(n－1)－n)≤33(f(n－2)－n＋1)…≤3n(f(1)－2)＝0.于是f(n＋1)≤n＋2.又f(n＋1)≥n＋2，所以f(n＋1)＝n＋2.又f(1)＝2，所以f(n)＝n＋1.(10分)变式3、数列{a n}的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有2＋1a n＋1<1a n＋1a n＋11n－1n＋1<2＋1a n成立，且a2＝4.(1) 求a1，a3的值；(2) 猜想数列{a n}的通项公式，并给出证明．(2) 由a1＝1，a2＝4，a3＝9，猜想：a n＝n2.(5分) 下面用数学归纳法证明．当n＝1,2,3时，由(1)知a n＝n2均成立．(6分)假设n＝k(k≥3)成立，则a k＝k2.由条件得2＋1a k＋1<k(k＋1)⎝⎛⎭⎫1k2＋1a k＋1<2＋1k2，所以k 3(k ＋1)k 2－k ＋1<a k ＋1<k (k 2＋k －1)k －1，(8分) 所以(k ＋1)2－k ＋1k 2－k ＋1<a k ＋1<(k ＋1)2＋1k －1.(9分)因为k ≥3,0<k ＋1k 2－k ＋1<1,0<1k －1<1，又a k ＋1∈N *，所以a k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时，a n ＝n 2也成立． 综上所述，对任意n ∈N *，a n ＝n 2.(10分) 变式4、各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明：（1）1n n x x +<；（2）111n x n -<<．（2）下面用数学归纳法证明：11n x n >-． ①当1n =时，由题设10x >可知结论成立； ②假设n k =时，11k x k >-， 当1n k =+时，由（1）得，()11111211121k k k x x k k k+>>==--++--． 由①②可得11n x n >-． （7分） 下面先证明1n x ≤．。
高考数学中的数学归纳法与数学归纳法证明
高考数学中的数学归纳法与数学归纳法证明数学归纳法是现代数学中一个重要的证明方法，也是高中数学中常见的方法之一。
在高考中，数学归纳法常常出现在数列、不等式等知识点中。
本文将重点探讨在高考数学中，如何应用数学归纳法及其证明方法。
一、数学归纳法的概念数学归纳法是一种证明命题的通用的方法，它是建立在自然数基础上的。
数学归纳法的基本思想是：先证明命题对于自然数 1的真实性，然后证明对于任意正整数 n，若命题对于正整数 n 成立，则命题对于正整数 n+1 成立。
根据这一思想，只要证明命题对于自然数 1 成立，且对于任意正整数 n 的情况也成立，即可得出命题在自然数范围内成立的结论。
二、应用数学归纳法的例题1、数列问题数列是高考中比较常见的数学知识点，其中数学归纳法的应用很多。
例如：证明：对于正整数 n，恒有1+2+3+……+n=n(n+1)/2。
解：首先证明当 n=1 时，命题成立，1=1(1+1)/2。
假设命题对于正整数 k 成立，即1+2+3+……+k=k(k+1)/2。
那么当 n=k+1 时，有：1+2+3+……+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=[(k+1)(k+2)]/2。
因此，当 n=k+1 时，命题也成立。
由此可知，命题对于任意正整数 n 成立。
2、不等式问题在不等式问题中，数学归纳法的应用也相当广泛。
例如：证明：对于正整数 n，有 2^n>n。
解：首先证明当 n=1 时，命题成立，2^1>1。
假设命题对于正整数 k 成立，即 2^k>k。
那么当 n=k+1 时，有：2^(k+1)=2*2^k>2k>k+1。
因此，当 n=k+1 时，命题也成立。
由此可知，命题对于任意正整数 n 成立。
三、数学归纳法证明的基本步骤数学归纳法的证明分为以下三步：1、证明基本情形。
即证明当 n=1 时，命题成立。
2、归纳假设。
假设命题对于某个正整数 k 成立，即证明在假设成立的前提下，命题对于正整数 k+1 成立。
高考数学总复习：数学归纳法(讲义+解题技巧+真题+详细解答)
1.证明：当 n 取第一个值 n0（如 n0=1 或 2 等）命题正确； 2.假设当 n=k(k∈N*，且 k≥n0)时命题成立，以此为前提，证明当 n=k+1 时命题也成立. 根据步骤 1，2 可以断定命题对于一切从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证 据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。 注意： （1）不要弄错起始 n0：n0 不一定恒为 1，也可能为其它自然数（即起点问题）． （2）项数要估算正确：特别是当寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时，项数的变化易出现错误 （即跨度问题）． （3）必须利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过
由归纳假设，凸
k
边形
A1A2A3…Ak
的对角线的条数为
1 2
k(k－3)；对角线
A1Ak
是一条；而顶点 Ak+1 与另外（k－2）个顶点 A2、A3、…、Ak－1 可画出（k－2）条对角线，
所以凸（k+1）边形的对角线的条数是： 1 k(k－3)+1+(k－2)= 1 (k+1)(k－2)= 1
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2.原理 数学归纳法首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有
效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法 想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你 可以：
① 证明第一张骨牌会倒。 ② 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 ③ 那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。
【解析】