高考数学附加题归类复习

高考数学附加题归类复习

一、附加题的两点共识

1．数学附加题的40分与I卷的160分对理科同学同等重要．

2．数学附加题得很高的分数不容易，但要得到基本分还是不困难的．原因：

（1）考试说明要求附加题部分易、中、难题的占分比例控制在5:4:1左右，即中低档题占总分的90％左右．（2）考试时间仅有30分钟，因此运算量与思维量都会控制．

（3）准确定位，合理取舍．

二、各模块归类分析及应对策略

1．附加题的知识内容比较多，根据江苏高考说明，考查选修系列2中的内容，主要有：曲线方程与抛物线，空间向量与立体几何，复合函数的导数，数学归纳法，排列组合与二项式定理，离散型随机变量的分布列、期望与方差，以及选修4系列中的《4-1几何证明选讲》，《4-2矩阵与变换》，《4-4坐标系与参数方程》，《4-5不等式选讲》．

2．二轮专题和课时建议：

专题内容说明（核心）

第1课时矩阵与变换矩阵的运算；矩阵与变换；逆

矩阵；特征值与特征向量．

采取专题与

考试、讲评

相结合的方

法，最终形

成完整的知

识结构，突

出重点专

题，控制难

度，提高解

题速度和运

算的准确性[来

源学科网][来源学#科#网]

第2课时参数方程与坐标系[来源学科网][来源学*

科*网Z*X*X*K]极坐标与直角坐标互化、参数方程与普通方程的互化；圆、椭圆的参数方程应用．[来源学科网Z.X.X.K]

第3课时排列组合两个计数原理、排列组合

第4~5课时概率及概率分布互斥事件、独立事件、独立重

复试验，概率分布及期望、方

差

第6课时二项式定理二项式展开，系数与二项式系

数

第7课时空间向量与立体几何空间向量的坐标运算，三种角

的计算

第8课时圆锥曲线与方程轨迹方程；抛物线的标准方程

及几何性质；直线与抛物线第9课时数学归纳法数学归纳法原理及简单应用

3．四年高考考查内容

2008年2009年2010年2011年

矩阵与变换曲线与变换逆矩阵

矩阵与矩阵、矩阵

与列向量的乘法

矩阵与矩阵、矩阵

与列向量的乘法

坐标系与参数方程椭圆的参数方程

的应用

参数方程化普通

方程

极坐标方程化直角

坐标方程

参数方程化普通

方程

考点一：二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法．

例1（南京市2008－2009学年度第一学期期末调研）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0，0)，B (－

1，2)，C (0，3)．求△ABC 在矩阵????

??

0 －11 0作用下变换所得到的图形的面积．

变化1：（2010年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，0)，B (－2，0)，C(－2，1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝??

????k 00 1，N ＝????

??0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面

积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．

变化2：（2011年江苏高考）已知矩阵A ＝??????1 12 1，向量β＝????

??12，求向量α，使得A 2α＝β．

考点二：二阶矩阵与平面变换 例2在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵

A ＝????

??2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．

变化1：（南京市2009－2010学年度第一学期期末调研测）求直线2x ＋y －1＝0在矩阵????

??1 2 0 2作用下变换得到的直

线的方程．

说明：直线变换为直线，直接用两点变换相对简单．

变化2：（南京市2010届第三次模拟）如果曲线x 2＋4xy ＋3y 2＝1在矩阵????

?

?1 a b 1的作用下变换得到曲线x 2－y 2＝1，

求a ＋b 的值．

变化3：已知△ABC ，A (－1，0)，B (3，0)，C (2，1)，对它先作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．

（1）分别求两次变换所对应的矩阵M 1，M 2；

（2）求点C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．

说明：可以依次计算两次变换下的对应点，也可以利用矩阵乘法将连续两次变换等效为一次变换，应注意该变换

对应的矩阵应该是第二次变换对应的矩阵左乘第一次变换对应的矩阵，在本题中即M 2 M 1，矩阵乘法是不满足交换律的． 考点三： 逆矩阵

例3（2009年江苏高考）求矩阵A ＝????

??3 22 1的逆矩阵．

．

说明：方法一，根据A A －

1＝E ，利用待定系数法求解；方法二：直接利用公式计算．

应对策略：待定系数法，运算量比较大，直接利用公式计算简便，但公式不能出错，另外为了防止缺少解题过程之嫌，最好将公式书写一遍．

变化1：已知 ??

????1 01 2 B ＝????

??－4 34 －1 ，求二阶矩阵B ．

变化2：已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点A (1，2)变成了点A ′(7，10)，点B (2，0)变成了点B ′(2，4)，求矩阵M 的逆矩阵M －

1．

说明：可以先求矩阵M ，再求M －1，也可以直接利用逆变换直接求M －

1．

变化3：（2011年3月苏、锡、常、镇四市教学情况调查）已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵． 说明： (M 2M 1)－

1＝M 1－

1 M 2－

1．

考点4：特征值与特征向量

例4已知矩阵A ＝????

?? 1 2－1 4，向量α＝??????74．

（1）求A 的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2； （2）计算A 5α的值．

应对策略：一、记忆特征多项式，和这类问题的求解步骤；二、理解特征值与特征向量理论．

理论： ??????a b c d ??????x y ＝λ??????x y ，即???(λ－a)x －by ＝0，－cx ＋(λ－b)y ＝0．方程组有不全为0的解，即????

??λ－a b －c λ－d ＝0．

变化1：（盐城市2011届第二次模拟）已知矩阵M ＝????

??1 22 x 的一个特征值为3，求其另一个特征值．

变化2：（南通市2011届第二次模拟）已知二阶矩阵A ＝??????a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝??

??

?? 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝??????

32．求矩阵A ．

教材中的几种常见变换矩阵一般不要求记忆，但如果能识别一下矩阵，可以简化一些运算，上述选题中有不少这样的问题．

以下内容最好能记忆：

1．旋转变换矩阵错误!．记忆三部分特征：第一列平方和是1，且类似单位圆的参数方程；主对角线上两数相等，副对角线上两数互为相反数．

2．二阶矩阵M ＝????

??a b c d 的逆矩阵为M －

1

＝?????

???d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc

a ad －bc ＝1|M|?????? d －

b －

c a ．其中??????

d －b －c a 是矩阵M 主对角线上两数交换，副对角线上两数变为相反数得到． 3．矩阵??????a b c d 特征多项式f (λ)＝错误!．

（二）坐标系与参数方程 考点1：极坐标化为与直角坐标

例1（2010年高考题）在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．

例2（盐城市2011届第二次模拟）若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos(θ＋π

3)，它们相交于A 、B 两

点，求线段AB 的长．

应对策略：1．熟练掌握极坐标方程化为与直角坐标方程的公式错误!不能出现类似于ρcos θ＝y 的错误，应注意一些不能套用公式转化的特殊情形．

变化1：（南京市、盐城市2010-2011学年度第三次调研）极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ＝错误!(ρ∈R )相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．

2．应了解点的极坐标的形式和意义．

变化2：在极坐标系中，O 为极点，已知两点M 、N 的极坐标分别为(4，23π)，(2，1

4π)．求△OMN 的面积．

变化3：（南通市2011届高三第三次调研测试）在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，π2)，B (22，π

4

)的圆的

极坐标方程．

说明：方法一：先求出圆的直角坐标方程，再转化为极坐标方程； 方法二：直接利用图形得极坐标方程．

3．极坐标转化为直角坐标后，往往就是研究直线与圆以及圆与圆的问题，我们应熟悉相关的位置关系的判别，以及一些距离或长度的计算．

考点2：参数方程转化普通方程

例3（2009年高考题）已知曲线C 的参数方程为???x ＝t －1

t ，

y ＝3(t ＋1

t )

(t 为参数，t ＞0)．求曲线C 的普通方程．

x

B A O P

应对策略：掌握一些消元的常见方法，一般有以下几种①代入消元法；②加减消元法；③利用代数恒等式或三角恒等式．消元后要注意字母的取值范围是否发生变化． 考点3：参数方程的应用

例4（2008年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x2

3＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大

值．

变化1：（南京市2010届第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为???x ＝2＋2t ，

y ＝1－t (t 为参数)，椭

圆C 的参数方程为???x ＝2cosθ，

y ＝sinθ

(θ为参数)，试在椭圆C 上求一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小．

应对策略：掌握用角参数表示椭圆上动点的方法，并掌握三角函数y ＝a sin x ＋b cos x 求最值的方法．

（三）概率

基本题型：附加题概率考查两个方面问题：

（1）随机事件的概率的计算，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率； （2）离散型随机变量分布列及其数学期望、方差计算． 基本策略:

1．解好概率问题的关键是理解题意，审题务必仔细．把复杂事件说明确是解题第一步；

例1（2010年江苏高考）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立． （1）记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

2．复杂问题简单化的方法有两种：一是将复杂事件分拆为几个简单的互斥事件，二是转化为其对立事件．分拆事件时一定要做到“不重不漏”．特别应注意“至多”、“至少”、“恰有”等词语．

例2将甲、乙两所大学共6名大学生志愿者随机平均分配到某地从事A ，B ，C 三个岗位服务，且A 岗位至少有一名甲大学志愿者的概率是3

5

．

（1）求6名志愿者中来自甲大学的是几人； （2）求A 岗位恰好甲、乙两所大学各一人的概率；

（3）设随机变量ζ为在B 岗位服务的甲大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．

例3（南京市2008届高三摸底考试）甲投篮命中的概率为0.5，每次投篮之间没有影响．甲连续投篮若干次，直到投中2次时停止，且最多投5次．

（1）记甲投篮的次数为X ，求随机变量X 的概率分布；

（2）求随机变量X 的数学期望E (X )和方差V (X )．（本题结果用最简分数表示）．

说明：求P (X ＝5)是该题的难点，回避难点的方法是求其对立事件P (X ≤4)的概率，但这样做必须保证前几个概率都正确．

3．概率中常犯的错误不仅表现为复杂事件分拆过程中“重”或“漏”（表现为基本事件的不互斥或不对立），独立事件与独立重复事件混同（表现为漏乘相应的组合数），也表现为对古典概型模型本质理解不透彻．

例4盒子中装着有标数字1，2，3，4，5的上卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求： （1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分不小于20分的概率．

说明：解答（1）时的一种典型错误是认为“取得两张1和一张2”及“取得一张1一张2一张3”是等可能的基本事件．

解答（2）中P （ξ＝2）时的一种典型错误是认为事件“取出的3张卡片中最大数字为2”仅含两个基本事件：“取得两张1和一张2”和“取得两张2和一张1”．

例5（2011届高三学情调研）袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片(每张卡片被取出的可能性都相等)，并记下卡面数字和为X ，然后把卡片放回，叫做一次操作．

（1）求在一次操作中随机变量X 的概率分布和数学期望E (X )； （2）甲进行四次操作，求至少有两次X 不大于E (X )的概率．

4．特别要注意的：（1）答题的基本规范：①交待一些基本事件；②写出基本事件发生的概率；③求其它事件发生的概率、写出概率分布列等；④答．（2）养成利用i=1∑n

P i ＝1检验计算是否正确的习惯．

（四）空间向量与立体几何 考点1：空间向量的坐标运算

例1（2008年江苏高考）如图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D1P

D1B ＝λ，当

∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．

考点2：空间向量的应用 1．判别线面位置关系；

2．计算异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角．

例2（2011年江苏高考） 如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC 1上，设二面角A 1－DN －M 的大小为θ． （1）当θ＝90°时，求AM 的长； （2）当cos θ＝6

6

时，求CM 的长．

A

B C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

P

例3如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直， AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足A1P

→＝λA1B1→． （1）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？ （2）若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°，试确 定点P 的位置．

2．要掌握以下关系：异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值；线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值；二面角平面角余弦与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等,其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角进行确定．

（五）圆锥曲线与方程

考点1：曲线方程． 考点2：直线与抛物线．

例1（2009年江苏高考）在平面直接坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2，2)，其焦点F 在x 轴上． （1）求抛物线C 的标准方程；

（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线方程；

（3）设过点M (m ，0)(m ＞0)的直线交抛物线C 于D ，E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f (m )，求f (m )关于m 的表达式．

P

M

C

B

A

N

例2在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线x＝－2的距离比它到点F(1，0)的距离大1．（1）求动点P的轨迹C；

（2）直线l过点（1，0）且与曲线C交于A，B两点，若△AOB的面积为4

3

，求直线l的斜率．

三、