高考数学附加题专项训练

17、为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。

若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y 与时间t 满足关系式：⎪⎭⎫⎝⎛<<-=为常数a a at y ,34041，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y 与时间t 满足关系式：()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=3123102t t t t y 。

现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。

（1）若1=a ，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值（2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a 的取值范围18、已知数列{}n a 满足：2121+,4=12+,2n n n+a n a a a n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩为偶数为奇数,-,（*,,n N a R a ∈∈为常数），数列{}n b 中，221n n b a -=。

⑴求123,,a a a ；⑵证明：数列{}n b 为等差数列；⑶求证：数列{}n b 中存在三项构成等比数列时，a 为有理数。

19、已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点．（1的正方形ABCD 的顶点A 、B 均在圆O 上，C 、D 在圆O 外，当点A 在圆O 上运动时，C 点的轨迹为E ． ①求轨迹E 的方程；②过轨迹E 上一定点00(,)P x y 作相互垂直的两条直线12,l l ，并且使它们分别与圆O 、轨迹E 相交，设1l 被圆O 截得的弦长为a ，设2l 被轨迹E 截得的弦长为b ，求a b +的最大值． （2）正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，求线段OC20、已知函数()2f x x x a x =-+．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方； （3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．· P E O DC BA F 高三数学附加题（1）班级____________ 姓名____________ 得分_____________一、选做题：(请在下列4小题中任做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内,多做者按所做的前2题给分.)1.A （几何证明选讲）如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF·EC .（1）求证：∠P=∠EDF ；(2)求证：CE·EB=EF·EP ．B （矩阵与变换）已知曲线C ：1=xy（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.C （坐标系与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.D （不等式选讲）设1,x y z ++=求22223F x y z =++的最小值.二、必做题：（本大题共2小题,每小题10分,计20分.）2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，E 为B 1C 的中点．(1)求直线BE 与A 1C 所成的角的余弦；(2)在线段AA 1上取一点F ，问AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？3.某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行． 根据以往经验，每局甲赢的概率为12，乙赢的概率为13，且每局比赛输赢互不受影响．若甲第n 局赢、平、输的得分分别记为2n a =、1n a =、0n a =*,15,n N n ∈≤≤令12n n S a a a =+++． （1）求35S =的概率；（2）若随机变量ξ满足7S ξ=（ξ表示局数），求ξ的分布列和数学期望．AC 1 B 1 A 1F高三数学附加题（1）参考答案（本部分满分40分，考试时间30分钟）一、选做题：1. A （几何证明选讲）（1）∵DE 2=EF·EC ， ∴DE : CE=EF : ED ． ∵∠DEF 是公共角， ∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ． ∵CD ∥AP ， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ． （2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．即EF·EP=DE·EA ． ∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE·EA=CE·EB ． ∴CE·EB=EF·EP ．B （矩阵与变换）由题设条件，0000cos 45sin 45sin 45cos 45M ⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，'2222:'M x y x x x T y y y x y ⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎥⎥⎦⎦，即有'22'x x y y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得'')'')x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。

所以将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，得到的曲线是222y x -=。

（2）由（1）知，只须把曲线222y x -=的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转045后，即可得到曲线C 的焦点坐标和渐近线方程。

曲线222y x -=的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，渐近线方程0x y ±=，变换矩阵0000cos(45)sin(45)22sin(45)cos(45)N ⎡⎢⎡⎤---⎢==⎢⎥⎢--⎣⎦⎢⎣02⎡⎢⎡⎡⎤⎢⋅=⎢⎢⎥-⎢⎣⎦⎢⎣⎢⎣，02⎡⎢⎡⎤⎢⋅=⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎣， 即曲线C的焦点坐标是(。

而把直线0x y ±=要原点顺时针旋转045恰为y 轴与x 轴，因此曲线C 的渐近线方程为0x =和0y =。

C （坐标系与参数方程）（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．（2）把直线1112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x，得2221(1)(1)4,1)202t t t +++=+-=，122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2．D （不等式选讲）()()22222111112323x y z z x y z ⎫⎛⎫=++=+∙+∙≤++++ ⎪⎪⎝⎭⎭22262311F x y z ∴=++≥7′1z == 且3261,,,111111x y z x y z ++==== F 有最小值611 二、必做题：2. (1)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝π2．以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，……2分 因为AC ＝2，∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝2， 从而B (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)， B 1(0，0，3)，A 1(2，0，3)，C 1(0，2，3)，D (22，22，3)，E (0，22，32)． 所以CA 1→＝(2，－2，3)，BE →＝(0，22，32)． 而|CA 1→|＝13，|BE →|＝112，且CA 1→·BE →＝72， 所以cosθ＝CA 1→·BE →|CA 1→||BE →|＝7213×112＝7143143；所以直线BE 与A 1C 所成的角的余弦为7143143．(2)设AF ＝x ，则F (2，0，x )，CF →＝(2，－2，x )，B 1F →＝(2，0，x －3)，B 1D →＝(22，22，0)，CF →·B 1D →＝2×22＋(－2)×22＋x ×0＝0，所以CF →⊥B 1D → ， 要使得CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F ，由CF →·B 1F →＝2＋x (x －3)＝0，有x ＝1或x ＝2，故当AF ＝1，或AF ＝2时，CF ⊥平面B 1DF ． 3. （1）53=S ，即前3局甲2胜1平．由已知，甲赢的概率为12，平的概率为16，输的概率为13，∴35S =．概率为223111().268C ⋅= （2）7S ξ=时，4, 5ξ=，且最后一局甲赢，1231111(4)()()()62216P C ξ===；1311243311111111119(5)()()()()()()().262362221612216P C C C ξ==+=+=ξ的分布列为∴1114945.16216216E ξ=⨯+⨯=4 5ξ 116 19216高三数学附加题（2）班级____________ 姓名____________ 得分_____________21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）在ABC∆中，已知12AC AB=，CM是ACB∠的平分线，AMC∆的外接圆交BC边于点N，求证：2BN AM=．B．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵13aMb⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量11 3e⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（1）求矩阵M；（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C'的方程为1xy=，求曲线C的方程．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，设M是椭圆22221 x ya b+=(0)a b>>上在第一象限的点，(,0)A a和(0,)B b是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB的面积的最大值.D．（选修４－５：不等式选讲）设,,,a b c d R∈当且仅当ad bc=时成立. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下：①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%.（1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票,求该顾客中奖的概率；（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为X元，求X的概率分布（用p表示）；（3）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p的取值范围.23．（1）设1x>-，试比较ln(1)x+与x的大小；（2）是否存在常数Na∈，使得111(1)1nkka an k=<+<+∑对任意大于1的自然数n都成立？若存在，试求出a的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．高三数学附加题（2）参考答案21. A. 证明：如图，在ABC ∆中，因为CM 是ACM ∠的平分线，所以AC AM BC BM =． 又12AC AB =，所以2AB AMBC BM=①因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦，所以，BM BA BN BC ⋅=⋅，即AB BNBC BM=② 由①、②可知 2AM BNBM BM=， 所以 2BN AM =． B ．解：（1）依题意,得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -=-⎧⎨-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点),(y x P 在矩阵M 的作用下得到曲线1xy =上一点),(y x P '''，则2130x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即⎩⎨⎧='+='xy y x x 32， 1x y ''=，(2)(3)1x y x ∴+=，整理得曲线C 的方程为2631x xy +=．C. 解：已知椭圆22221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩.由题设,可令(cos ,sin )M a b ϕϕ，其中02πϕ<<.所以，1122MOA MOB M M MAOB S S S OA y OB x ∆∆=+=⋅+⋅四边形1(sin cos )sin()24ab πϕϕϕ=+=+.所以，当4πϕ=时，四边形MAOB .D. 证明：由柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+ac bd +．将上式两边同时乘以2，再将两边同时加上2222a b c d +++，有222222()()()()a b c d a c b d +++≥+++ ，即22≥，由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知，原不等式中等号当且仅当ad bc =时成立．22. 解: （1）设至少一张中奖为事件A ，则顾客中奖的概率101023()10.51024P A =-=； （2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X 元，(145)p +-⨯1.6145p =-，∴福彩中心能够筹得资金⇔() 1.61450E X p =->，即80725p <<，所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业.23. 解：（1）设()ln(1)f x x x =-+，则1'()111xf x x x =-=++， 当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；故函数()f x 有最小值(0)0f =，则ln(1)x x +≤恒成立； （2）取1,2,3,4m =进行验算：11(1)21+=，219(1) 2.2524+==，3164(1) 2.37327+=≈，41625(1) 2.444256+=≈，猜测：①12(1)3m m<+<，2,3,4,5,m =，②存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明一：对m N ∈，且1m >，有012211111(1)()()()()m k k m mm m m m m C C C C C m m m m m +=+++++++()()()()211112111111()()()2!!!k mm m m m m k m m m k m m m---+-⋅=+++++++11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++---++-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111122!3!!!k m <++++++()()11112213211k k m m <++++++⨯⨯--11111112122311k k m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133m=-<． 又因()1()02,3,4,,k km C k m m >=，故12(1)3m m<+<，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明二：由（1）知：当(0,1]x ∈时，ln(1)x x +<，设1x k=，1,2,3,4,k =，则11ln(1)k k +<，所以1ln(1)1k k +<，1ln(1)1k k +<，1(1)3k e k+<<，当2k ≥时，再由二项式定理得：01221111(1)()()()k k k k k k k C C C C k k k k +=++++011()2k k C C k>+=， 即12(1)3k k <+<对任意大于1的自然数k 恒成立，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．高三数学附加题（3）班级____________ 姓名____________ 得分_____________21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，2CD=，DE AB⊥，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．B．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵2143A-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（1）求矩阵A的逆矩阵；（2）求满足AX B=的二阶矩阵X．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为2sin,[0,2)cosxyααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,nA x x x=-，其中12nx x x<<<<，2n≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A==∈∈.若12,a B a B∀∈∃∈使得12a a⋅=，则称A具有性质P.（1）若1a>，数集{}1,1,A a=-，求证：数集A具有性质P；（2）若b>，数集{}1,1A b=-具有性质P，求b的值；（3）若数集{}121,,,,nA x x x=-（其中12nx x x<<<<，2n≥）具有性质P，11x=，2x q=(q为常数，1q>)，求数列{}k x的通项公式k x*(,)k N k n∈≤.高三数学附加题（3）参考答案21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan30OB OD DC ===，cos303CD OC ==BC OC OB =-=B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴= 31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x+=∈- （2）由sin()4πρθ+=D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得1[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点. 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=．故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯=23. （1）证明：数集1,1,A a =-时，列表如下：1a (1-1,1)-(1,1),1)a(,)a a由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ； （2）选取1(a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，b ∴=，2b >，{}t A b ∈=-，t ∴=22b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=;当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =；当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-.取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=.由此可得1s =-或1t =-.若1t =-，则1m qx q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.高三数学附加题（4）班级____________ 姓名____________ 得分_____________21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC,,.（1）求证：BA DC GC AD∙=∙;（2）求BM．B．（选修４－２：矩阵与变换）设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵1M-以及椭圆22149x y+=在1M-的作用下的新曲线的方程．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知曲线C：2sin=ρθ，过极点O的直线l与曲线C相交于A、B两点，AB，求直线l的方程．D．（选修４－５：不等式选讲）设1,x y z++=求22223F x y z=++的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败.若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值.（1）求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；（2）记“函数f(x)= x2－ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．23．过抛物线22y px=(p为不等于2的素数)的焦点F,作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交x轴于Q点.(1)求PQ中点R的轨迹L的方程;(2).证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.高三数学附加题（4）参考答案21. A.（1）因为AC OB ⊥，所以090AGB ∠= 又AD 是圆O 的直径，所以090DCA ∠=又因为BAG ADC ∠=∠（弦切角等于同弧所对圆周角）所以Rt AGB Rt DCA ∆∆和所以BA AGAD DC=又因为OG AC ⊥，所以GC AG =相似所以BA GCAD DC=，即BA DC GC AD ∙=∙ （2）因为12AC =，所以6AG =，因为10AB =，所以8BG ==由（1）知：Rt AGB ∆～Rt DCA ∆。