初中数学几何综合试题

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初中七年级的数学下册的平面直角坐标系中几何综合题总结复习题

2015 年七年级下学期《平面直角坐标系中几何综合题》2015-07一．解答题（共17 小题）1．（ 2015 春?玉环县期中）如图在平面直角坐标系中，A（ a，0），B（b，0），（﹣ 1，2）．且 |2a+b+1|+=0．（1）求 a、b 的值；（2）①在 y 轴的正半轴上存在一点 M ，使 S△COM= S△ABC，求点 M 的坐标．（注明：三角形 ABC 的面积表示为S△ABC）②在坐标轴的其他地址可否存在点M ，使 S△COM= S△ABC仍成立？若存在，请直接写出吻合条件的点M 的坐标．2．（ 2015 春?汕头校级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知 A （ 0，a），B（b，0），C（ 3，c）三点，其中a、b、2c 满足关系式：|a﹣ 2|+（ b﹣ 3） +=0．（ 1）求 a、b、 c 的值；（ 2）若是在第二象限内有一点P（ m，），请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积；（3）在（ 2）的条件下，可否存在负整数 m，使四边形 ABOP 的面积不小于△AOP 面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明原由．3．（ 2015 春 ?鄂城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A ，B 的坐标分别为 A （ a，0）， B（ b， 0），且 a、 b 满足 a=+﹣1，现同时将点 A ， B 分别向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，分别获取点 A ，B 的对应点 C， D，连接 AC ，BD ， CD ．（ 1）求点 C， D 的坐标及四边形ABDC 的面积 S 四边形ABDC．P 的坐标；若不（ 2）在 y 轴上可否存在一点P，连接 PA， PB，使 S△PAB=S 四边形ABDC？若存在这样一点，求出点存在，试说明原由．（ 3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC， PO，当点P 在BD 上搬动时（不与 B ，D 重合）的值可否发生变化，并说明原由．4．（2014 春?富顺县校级期末）在平面直角坐标系中， A（ a，0），B（ b，0），C（﹣ 1，2）（见图 1），且 |2a+b+1|+ =0 （ 1）求 a、b 的值；（ 2）①在 x 轴的正半轴上存在一点M ，使△COM 的面积 =△ABC的面积，求出点M 的坐标；② 在坐标轴的其他地址可否存在点M ，使△ COM 的面积 = △ ABC 的面积依旧成立？若存在，请直接写出吻合条件的点 M 的坐标；（ 3）如图2，过点 C 作CD⊥y 轴交y 轴于点 D ，点P 为线段CD 延长线上的一动点，连接OP， OE 均分∠ AOP ，OF⊥ OE ．当点P 运动时，的值可否会改变？若不变，求其值；若改变，说明原由．5．（ 2014 春 ?泰兴市校级期末）已知：如图①，直线 MN ⊥直线 PQ，垂足为 O，点 A 在射线 OP 上，点 B 在射线 OQ 上（ A、 B 不与 O 点重合），点 C 在射线 ON 上且 OC=2，过点 C 作直线 l∥ PQ，点 D 在点 C 的左边且 CD=3 ．（1）直接写出△ BCD 的面积．（2）如图②，若 AC ⊥BC ，作∠ CBA 的均分线交 OC 于 E，交 AC 于 F，求证：∠ CEF= ∠ CFE．（3）如图③，若∠ ADC= ∠ DAC ，点 B 在射线 OQ 上运动，∠ ACB 的均分线交 DA 的延长线于点 H ，在点 B 运动过程中的值可否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．26．（ 2014 春 ?江岸区期末）如图 1，在平面直角坐标系中， A （ a ，0）， B （ b ， 3），C （ 4， 0），且满足（ a+b ） +|a﹣ b+6|=0 ，线段 AB 交 y 轴于 F点．（ 1）求点 A 、 B 的坐标．（ 2）点 D 为 y 轴正半轴上一点，若 ED ∥ AB ，且 AM ，DM 分别均分∠ CAB ，∠ ODE ，如图 2，求∠ AMD 的度数．（ 3）如图 3，（也可以利用图 1）① 求点 F 的坐标； ② 点 P 为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和 △ABC 的面积相等？若存在，求出 P 点坐标．7．（ 2014 春?黄陂区期末）在直角坐标系中，已知点 A 、B 的坐标是（ a ，0）（ b ，0），a ，b 满足方程组，c 为 y 轴正半轴上一点，且S △ ABC =6 ．（ 1）求 A 、 B 、 C 三点的坐标；（ 2）可否存在点 P （ t ， t ），使 S △PAB =S △ABC ？若存在，央求出P 点坐标；若不存在，请说明原由；（ 3）若 M 是 AC 的中点，N 是 BC 上一点，CN=2BN ，连 AN 、BM 订交于点 D ，求四边形 CMDN 的面积是．8．（ 2014 春 ?海珠区期末）在平面直角坐标系中，点 A （ a ， b ）是第四象限内一点， AB ⊥ y 轴于 B ，且 B （0， b ）是 y 轴负半轴上一点， b 2=16 ， S △AOB =12．（ 1）求点 A 和点 B 的坐标；（ 2）如图 1，点 D 为线段 OA （端点除外）上某一点，过点∠ AFD 的均分线订交于N ，求∠ 的度数．D 作AO垂线交x 轴于E，交直线AB 于F，∠EOD、（ 3）如图E，交直线2，点AB 于D 为线段 OA（端点除外）上某一点，当点F，∠ EOD，∠ AFD 的均分线订交于点D 在线段上运动时，过点 D 作直线 EF 交 xN．若记∠ ODF= α，请用α的式子表示∠ONF轴正半轴于的大小，并说明原由．9．（ 2014 春 ?黄梅县校级期中）如图，在下面的直角坐标系中，已知 A （ 0， a），B（ b， 0）， C（ b， 4）三点，其中a，b 满足关系式．（ 1）求a，b 的值；（ 2）若是在第二象限内有一点P（ m，），请用含m 的式子表示四边形ABOP 的面积；（ 3）在（ 2）的条件下，可否存在点若不存在，请说明原由．P，使四边形ABOP 的面积与△ ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；10．（ 2014 春 ?通州区校级期中）在如图直角坐标系中，已知 A （ 0， a）， B（ b，0）， C（ b， c）三点，其中a、 b、 c满足关系式2 2+（ b﹣ 3） =0 ，（ c﹣ 4）≤0．（1）求 a、b、 c 的值；（2）若是点 P（ m， n）在第二象限，四边形 CBOP 的面积为 y，请你用含 m， n 的式子表示 y；（ 3）若是点P 在第二象限坐标轴的夹角均分线上，并且y=2S 四边形CBOA，求 P 点的坐标．11．（2014 春 ?鄂州校级期中）如图，A 、B 两点坐标分别为2=0，A（a，4），B（ b，0），且 a，b 满足（ a﹣2b+8） +E 是 y 轴正半轴上一点．（1）求 A 、 B 两点坐标；（2）若 C 为 y 轴上一点且 S△AOC= S△AOB，求 C 点的坐标；（ 3）过 B 作 BD ∥ y 轴，∠ DBF=∠DBA，∠ EOF=∠ EOA，求∠ F与∠ A间的数量关系．12．（ 2014 春 ?东湖区期中）如图，平面直角坐标系中 A （﹣ 1，0）， B（ 3， 0），现同时将 A 、B 分别向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，分别获取 A 、 B 的对应点C、D ，连接 AC 、BD（ 1）直接写出C、D 的坐标： C D及四边形ABCD 的面积：（ 2）在 y 轴负半轴上可否存在点 M ，连接 MA 、 MB 使得 S△MAB＞ S 四边形ABCD？若存在，求出 M 点纵坐标的取值范围；若不存在说明原由（ 3）点 P 为线段 BD 上一动点，连PC、PO，当点 P 在 BD 上搬动（不含端点）现给出①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求其值．13．（ 2014 春 ?台州月考）如图，在平面直角坐标系中，点 A ， B 的坐标分别为 A （ 0，α）， B（ b，α），且α、 b 满22 个单位，再向左平移 1 个单位，分别获取点 A ，B 的对应足（ a﹣ 2） +|b﹣ 4|=0，现同时将点 A ，B 分别向下平移点 C，D ，连接 AC ， BD ，AB ．（ 1）求点 C， D 的坐标及四边形ABDC 的面积 S 四边形ABCD（2）在 y 轴上可否存在一点 M ，连接 MC ， MD ，使 S△MCD =S 不存在，试说明原由．（3）点 P 是线段 BD 上的一个动点，连接 PA， PO，当点 P 在四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M 的坐标，若BD 上搬动时（不与B， D 重合）的值可否发生变化，并说明原由．14．（ 2014 春 ?海安县月考）如图，在平面直角坐标系中，点 A ，B ，C 的坐标分别为（﹣1， 0），（ 3， 0），（ 0， 2），图中的线段 BD 是由线段 AC 平移获取．（ 1）线段 AC 经过怎样的平移可获取线段BD ，所得四边形是什么图形，并求出所得的四边形ABDC 的面积 S 四边形ABDC；（ 2）在 y 轴上可否存在点 P，连接 PA， PB，使 S =S 四边形ABDC？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说△ PAB明原由；（ 3）点 P 是线段 BD 上的一个动点，连接PC、 PO，当点 P 在 BD 上搬动时（不与 B ，D 重合）给出以下结论：①的值不变；②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．15．（ 2014 春 ?武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，2；点 A（0，m），点 B（ n，0），m、n 满足（ m﹣ 3） =﹣（ 1）求 A 、 B 的坐标；（ 2）如图1， E 为第二象限内直线 AB 上一点，且满足S△AOE= S△AOB，求 E 的坐标．（ 3）如图 2，平移线段 BA 至 OC，B 与 O 是对应点， A 与 C 对应，连 AC ．E 为 BA 的延长线上一动点，连 EO．OF均分∠ COE，AF 均分∠ EAC ，OF 交 AF 于 F 点．若∠ ABO+ ∠ OEB= α，请在图 2 中将图形补充完满，并求∠F（用含α的式子表示）．16．（ 2013 秋 ?江岸区校级月考）如图，已知点 A （﹣ m， n）， B（ 0， m），且 m、 n 满足2+（ n﹣5） =0，点 C在 y 轴上，将△ ABC 沿 y 轴折叠，使点 A 落在点 D 处．（1）写出 D 点坐标并求 A 、 D 两点间的距离；（2）若 EF 均分∠ AED ，若∠ ACF ﹣∠ AEF=20 °，求∠ EFB 的度数；（3）过点 C 作 QH 平行于 AB 交 x 轴于点 H，点 Q 在 HC 的延长线上， AB 交 x 轴于点 R，CP、RP 分别均分∠ BCQ和∠ ARX ，当点 C 在 y 轴上运动时，∠CPR 的度数可否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．17．（ 2013 春 ?武汉校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点 A ， B 的坐标分别为 A （﹣ 1， 0）、 B（ 3， 0）．现同时将点 A ， B 分别向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，分别获取点 A ， B 的对应点C、 D，连接 AC ， BD ．（ 1）直接写出点C、 D 的坐标，求四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC；（ 2）在坐标轴上可否存在一点P，使S△PAC=S 四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明原由．（ 3）如图 3，在线段 CO 上取一点 G，使 OG=3CG ，在线段 OB 上取一点 F，使 OF=2BF ， CF 与 BG 交于点 H，求四边形OGHF 的面积 S 四边形OGHF．。

初中几何试题及答案解析

初中几何试题及答案解析在初中数学的学习过程中，几何部分是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要环节。

下面是一份初中几何试题及其答案解析，旨在帮助学生巩固几何知识，提高解题能力。

试题一：已知一个等腰三角形的底边长为6cm，底边上的高为4cm，求等腰三角形的周长。

解析：首先，我们需要利用勾股定理来求出等腰三角形的腰长。

设等腰三角形的腰长为a，底边的一半为3cm（因为底边长为6cm）。

根据勾股定理，我们有：\[ a^2 = 3^2 + 4^2 \]\[ a^2 = 9 + 16 \]\[ a^2 = 25 \]\[ a = 5 \text{ cm} \]所以，等腰三角形的腰长为5cm。

那么，三角形的周长就是底边加上两条腰的长度：\[ \text{周长} = 6 \text{ cm} + 5 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 16 \text{ cm} \]答案：等腰三角形的周长为16cm。

试题二：一个圆的半径为5cm，求该圆的面积。

解析：圆的面积公式为 \( A = \pi r^2 \)，其中 \( r \) 是圆的半径。

将半径 \( r = 5 \text{ cm} \) 代入公式，我们得到：\[ A = \pi \times 5^2 \]\[ A = \pi \times 25 \]\[ A = 25\pi \text{ cm}^2 \]答案：该圆的面积为 \( 25\pi \text{ cm}^2 \)。

试题三：一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过两条直角边的长度 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c =\sqrt{a^2 + b^2} \)。

将 \( a = 3 \text{ cm} \) 和 \( b = 4\text{ cm} \) 代入公式，我们得到：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \text{ cm} \]答案：斜边的长度为5cm。

初中数学几何与面积法综合应用含答案竞赛题精选

F G E 图 2ACBD面积法1、常见规那么图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。

A 卷1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、12、13，︒=∠90ABC ，那么四边形ABCD 的面积为 .2、如图2，ABC ∆中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 21==， DE EF 3=，假设1=∆ABC S ，那么图中所有三角形的面积之和为 .图 1ACBD3、如图3，□ABCD 的面积是m ，点E 、F 分别平分AB 、BC ，那么_______=∆DEF S .4、如图4，边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么BPD ∆的面积的值是 .F E图 3ACBDECFA BDGFPE图 4AC BDO图 5AC BD5、如图5，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果5=∆ABD S ，6=∆ABC S ，10=∆BCD S ，那么_________=∆OBC S .6、〔第5届“希望杯〞邀请赛题〕在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，分别取AD 、BE 、CF ，使AB AD 41=，BC BE 41=，AC CF 41=，那么DEF ∆的面积是ABC ∆的面积的〔〕 A 、41 B 、83 C 、85 D 、167FEC ABDS 2图 6 ACBS 1S 4S 37、〔2004年第15届“希望杯〞初二年级竞赛题〕如图6，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1，S 2，S 3，S 4四局部，那么S 2和S 4的大小关系是〔〕A 、42S SB 、42S S =C 、42S SD 、无法确定8、在矩形ABCD 中，2=AB ，1=BC ，那么矩形的内接三角形的面积总比数的〔〕小或相等。

初中七年级的下册的数学期末几何综合压轴题.docx

21、如图，已知（A 0，a）， B（0，b）， C（m， b）且（ a-4）+ b+3 =0，S VABC =14.（1）求 C点坐标o（2）作 DE DC，交 y轴于 E点， EF为AED的平分线，且DFE=90 。

（ 3）E 在 y 轴负半轴上运动时，连 EC，点 P 为 AC延长线上一点， EM平分∠ AEC，且 PM⊥EM,PN ⊥ x 轴于 N点，PQ平分∠ APN，交 x 轴于 Q点，则 E 在运动过程中，MPQECA 的大小是否发生变化，若不变，求出其值。

y yA AF D No D o Q xxE MCB C PE2 、如图1，A A1NME E2B FC B F CABAAEDE2112DB C B CEDCOA B F(1)如图，∠ ABC的平分线与∠ ADC的平分线交于点 E，试问BE与 DE有何位置关系说明你的理由。

（2）如图，试问∠ ABC的平分线 BE与∠ ADC的外角平分线 DF有何位置关系说明你的理由。

（3）如图，若∠ ABC的外角平分线与∠ ADC的外角平分线交于点 E，试问 BE与 DE有何位置关系说明你的理由。

D G NEDMDBCFB BCCA EA E A6．（ 1）如图，点 E 在 AC的延长线上，∠BAC与∠ DCE的平分线交于点 F，∠B=60°, ∠F=56°, 求∠ BDC的度数。

BFDAE C（2）如图，点 E 在 CD的延长线上，∠ BAD与∠ ADE的平分线交于点 F，试问∠ F、∠ B 和∠C 之间有何数量关系为什么ABFCED7.已知∠ ABC与∠ ADC的平分线交于点 E。

（ 1）如图，试探究∠ E、∠ A 与∠ C 之间的数量关系，并说明理由。

AEDBC（ 2）如图，是探究∠ E、∠ A 与∠ C 之间的数量关系，并说明理由。

DAEBC8.（1）如图，点 E 是 AB上方一点， MF平分∠ AME，若点 G恰好在 MF的反向延长线上，且NE 平分∠ CNG， 2∠ E 与∠ G互余，求∠ AME的大小。

初中数学几何测试题

初中数学几何测试题精选初中数学几何测试题一、选择题(本题有10小题，每题3分，共30分)1.下列几何体中，不属于多面体的是( )A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(2)(4)2.下列各图中能折成正方体的是( )3. 下列说法：①长方体、正方体都是棱柱;②三棱柱的侧面是三角形;③圆锥的三视图中:主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是圆和圆心; ④球体的三种视图均为同样大小的图形;⑤ 直六棱柱有六个侧面、侧面为长方形(含正方形).其中正确的说法有( )种A.2B.3C.4D.54.一个直棱柱有18个顶点，那么它的面的个数是( )A.12个B.11个C.10个D.9个5.下列各图中，不可能折成无盖的长方体的是( )6. 图中有一个正方体的纸盒,在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪成一个平面图形，则展开图应当是 ( )7.棱长是1cm的小立方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是( )A.36cm2B.33cm2C.30cm2D.27cm28. 由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图，各小方格内的数字表示叠在该层位置的小正方体的个数，则这个几何体的左视图是( )9.由四个大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图如图所示，则这个几何体的搭法不能是( )10. 图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)、(3)是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的'规律继续叠放下去，至第七个叠放图形中，小正方体木块总数应是( )A.25B.66C.91D.120二、填空题(本题有9小题，15、16、19每空2分，其余每题3分，共30分)11. 由若干个_________围成的几何体叫做多面体.12. 画三视图必须遵循的法则是：________________________________________________ .13. 直七棱柱由_________个面围成，有_________条棱，_______个顶点.14. 一个正方体的6个面分别标有2， 3，4，5，6，7•其中的一个数字，右图表示的是正方体3种不同摆法，当3在上面时,下面的数字是________________.15. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们叠放在一起组成个新长方体，在这个新长方体中，体积是，最大表面积是_ .16. 若要使如图的表面展开图折叠成立方体后，相对面上的两个数之和为6，则x=_______ , y= .17. 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则需要这些相同小正方体_________块.18. 有一个侧面展开图是正方形的圆柱，其底面周长为，则它的侧面积是________.(结果保留 ).19. 用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示.搭建这样的几何体，最多要_______个小立方体，最少要_________个小立方体.二、解答题(本题有4小题，每题10分，共40分)20. 如图是一个由若干个小立方体组成的几何体，请画出该几何体的三视图.21. 下图是由几块小立方块组成的几何体的俯视图，小方块中的数字表示叠在该位置小方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图.22. 一个直棱柱的三视图如图，(1)请描述这个直棱柱的形状;(2)按三视图的图上尺寸，画出它的表面展开图;(3)若三视图的实际尺寸如图所示，求这个直棱柱的侧面积.23.如图，长方体的长、宽、高分别是6cm，5cm，4cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路径长.【精选初中数学几何测试题】。

中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型六二次函数与几何图形综合题试题-人教版初中九年级

题型六二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1．(2017·某某)在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2－2x －3与抛物线C 2：y ＝x 2＋mx ＋n 关于y 轴对称，C 2与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 在点B 的左侧．(1)求抛物线C 1，C 2的函数表达式； (2)求A 、B 两点的坐标；(3)在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A的坐标为__________，点B的坐标为__________；(2)如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．(2017·某某模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2016·某某)如图①，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.类型二二次函数与图形面积1．(2017·某某)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．2．(2017·某某)如图甲，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P.(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).3．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y 轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某模拟)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.(1)求该抛物线的解析式．(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的距离．类型三二次函数与线段问题1．(2017·某某)如图，已知抛物线y＝ax2－23ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；(3)证明：当直线l绕点D旋转时，1AM ＋1AN均为定值，并求出该定值．2．(2017·某某模拟)如图①，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－1)，抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D 在抛物线上，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标.3．(2017·某某)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.类型四二次函数与三角形相似1．(2016·某某)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)求证：△ABC是直角三角形；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.2．(2017·某某模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线y＝－ax＋c相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交直线AC于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；(3)P为抛物线上一动点，且P在第四象限内，过点P作PN垂直x轴于点N，使得以P、A、N为顶点的三角形与△ACO相似，请直接写出点P的坐标.3．如图①，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋33经过A(3，0)，G(－1，0)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM 面积的最大值；(3)抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E(0，233)作x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．(2017·某某)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)． (1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y＝错误!x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△Q与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.题型六第23题二次函数与几何图形综合题类型一二次函数与图形判定1．解：(1)∵C1、C2关于y轴对称，∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1的函数表示式为y＝x2－2x－3，C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3；(2)在C2的函数表达式为y＝x2＋2x－3中，令y＝0可得x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．设P(a ，b)，则Q(a ＋4，b)或(a －4，b)， ①当Q(a ＋4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a ＋4)2＋2(a ＋4)－3，解得a ＝－2，∴b ＝a 2－2a －3＝4＋4－3＝5， ∴P 1(－2，5)，Q 1(2，5)． ②当Q(a －4，b)时，得：a 2－2a －3＝(a －4)2＋2(a －4)－3，解得a ＝2.∴b ＝4－4－3＝－3， ∴P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3)．综上所述，所求点的坐标为P 1(－2，5)，Q 1(2，5)； P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3). 2．解：(1)∵抛物线y ＝－233x 2－433x ＋23， ∴其梦想直线的解析式为y ＝－233x ＋233，联立梦想直线与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－233x ＋233y ＝－233x 2－433x ＋23，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴A(－2，23)，B(1，0)；(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形，如解图①，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，在y ＝－233x 2－433x ＋23中，令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1，∴C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴AC ＝（－2＋3）2＋（23）2＝13，由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN ＝AN 2－AD 2＝13－4＝3， ∵OD ＝23，∴ON ＝23－3或ON ＝23＋3，当ON ＝23＋3时，则MN ＞OD ＞CM ，与MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为(0，23－3)；当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如解图②，在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝23，∴tan ∠DAM ＝MDAD ＝3，∴∠DAM ＝60°，∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°，又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3， ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝332，∴此时N 点坐标为(32，332)；综上可知N 点坐标为(0，23－3)或(32，332)；(3)①当AC 为平行四边形的边时，如解图③，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC ＝EF ，∴∠ACK ＝∠EFH ，在△ACK 和△EFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACK ＝∠EFH ∠AKC ＝∠EHF AC ＝EF，∴△ACK ≌△EFH(AAS )， ∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝23，∵抛物线对称轴为x ＝－1，∴F 点的横坐标为0或－2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F(0，233)，此时点E 在直线AB 下方，∴E 到x 轴的距离为EH －OF ＝23－233＝433，即E 点纵坐标为－433，∴E(－1，－433)；当F 点的横坐标为－2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时， ∵C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴线段AC 的中点坐标为(－52，3)，设E(－1，t)，F(x ，y)，则x －1＝2×(－52)，y ＋t ＝23，∴x ＝－4，y ＝23－t ，代入直线AB 解析式可得23－t ＝－233×(－4)＋233，解得t ＝－433，∴E(－1，－433)，F(－4，1033)；综上可知存在满足条件的点F ，此时E(－1，－433)、F(0，233)或E(－1，－433)、F(－4，1033).3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝4， ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2) 设点Q 的坐标为(m ，0)，如解图①，过点E 作EG ⊥x 轴于点G. 由－12x 2＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2，∵QE ∥AC ，∴△BQE ∽△BAC ，∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26，∴EG ＝2m ＋43，∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ·CO－12BQ·EG＝12(m ＋2)(4－2m ＋43)＝－13m 2＋23m ＋83＝－13(m－1)2＋3，又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q(1，0)；图①图②(3)存在．在△ODF 中． (ⅰ)若DO ＝DF ，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2，又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)，由－12x 2＋x ＋4＝2，得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为P(1＋5，2)或P(1－5，2)； (ⅱ)若FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，由等腰三角形的性质得：OM ＝MD ＝1，∴AM ＝3， ∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)，由－12x 2＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，此时，点P 的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)； (ⅲ)若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，与OF ≥22矛盾， ∴AC 上不存在点使得OF ＝OD ＝2，此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3). 4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－43x ＋n 上，∴n ＝4，∴y ＝－43x ＋4，令y ＝0，解得x ＝3，∴A(3，0)，∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴c ＝－2，6＋3b －2＝0，解得b ＝－43，∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2；(2)∵点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上， ∴P(m ，23m 2－43m －2)，∵PD ⊥x 轴，BD ⊥PD ，∴点D 坐标为(m ，－2)， ∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m 2－43m －2＋2|，当△BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝BD ， ∴|m|＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－43m|.∴m 2＝(23m 2－43m)2，解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝72，m 3＝12，∴当△BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为72或12；(3)∵∠PBP′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5， ∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝35，①当点P′落在x 轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，由旋转知，P ′D ′＝PD ＝23m 2－43m ，在Rt △P ′D ′N 中，cos ∠ND ′P ′＝ND′P′D′＝cos ∠PBP ′＝35，∴ND ′＝35(23m 2－43m)，在Rt △BD ′M 中，BD ′＝－m ，sin ∠DBD ′＝D′M BD′＝sin ∠PBP ′＝45，∴D ′M ＝－45m ，∴ND ′－MD′＝2，∴35(23m 2－43m)－(－45m)＝2，解得m ＝5(舍去)或m ＝－5，如解图②，同①的方法得，ND ′＝35(23m 2－43m)，MD ′＝45m ，ND ′＋MD′＝2， ∴35(23m 2－43m)＋45m ＝2， ∴m ＝5或m ＝－5(舍去)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)，②当点P′落在y 轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ， ∴∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，同①的方法得：P′N＝45(23m 2－43m)，BM ＝35m ，∵P ′N ＝BM ，∴45(23m 2－43m)＝35m ，解得m ＝258或m ＝0(舍去)，∴P(258，1132)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)或P(258，1132).类型二二次函数与图形面积1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴y ＝－12x 2－32x ＋2；(2)①令y ＝0，∴－12x 2－32x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1，∴B(1，0)，如解图①，过D 作DM ∥y 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DMBN ，设D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M(a ，12a ＋2)，∵B(1，0)，∴N(1，52)，∴S 1S 2＝DMBN ＝－12a 2－2a 52＝－15(a ＋2)2＋45； ∴当a ＝－2时，S 1S 2有最大值，最大值是45；②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5， ∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P(－32，0)，∴PA ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC)＝43，如解图②，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，情况一：∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∴∠CDG ＝∠BAC ， ∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12，即RC DR ＝12，令D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴DR ＝－a ，RC ＝－12a 2－32a ，∴－12a 2－32a －a ＝12，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2， ∴x D ＝－2，情况二：∠FDC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠FDC ＝43，设FC ＝4k ，∴DF ＝3k ，DC ＝5k ， ∵tan ∠DGC ＝3k FG ＝12，∴FG ＝6k ，∴CG ＝2k ，DG ＝35k ，∴RC ＝255k ，RG ＝455k ， DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR RC ＝1155k 255k ＝－a －12a 2－32a ，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2911， ∴点D 的横坐标为－2或－2911.2．解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B(3，0)，C(0，3)，把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)，设M(2，t)，且C(0，3)，∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，①当MC ＝MP 时，则有t 2－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M(2，32)；②当MC ＝PC 时，则有t 2－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此时M(2，7)；③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为(2，32)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－25)；(3)如解图，在0＜x ＜3对应的抛物线上任取一点E ，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E(x ，x 2－4x ＋3)，则F(x ，－x ＋3)， ∵0＜x ＜3，∴EF ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝－x 2＋3x ，∴S △CBE ＝S △EFC ＋S △EFB ＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x 2＋3x)＝－32(x －32)2＋278，∴当x ＝32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为(32，－34)，即当E 点坐标为(32，－34)时，△CBE 的面积最大.3．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l 为x ＝－1，∴B(－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －3； (2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q. ∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°， ∴∠BPM ＝∠NBQ.又∵∠BMP ＝∠BQN ＝90°，PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ ，∴PM ＝BQ.∵抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于点A(1，0)和点B ，且对称轴为x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－3，0)，点Q 的坐标为(－1，0)， ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.∵点P 是抛物线y ＝x 2＋2x －3上B 、C 之间的一个动点， ∴结合图象可知点P 的纵坐标为－2，将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2＋2x －3，解得x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2(舍去)， ∴此时点P 的坐标为(－1－2，－2)； (3) 存在．如解图②，连接AC ，PC.可设点P 的坐标为(x ，y)(－3＜x ＜0)，则y ＝x 2＋2x －3， ∵点A(1，0)，∴OA ＝1.∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴令x ＝0，得y ＝－3，即点C(0，－3)，∴OC ＝3. 由(2)可知S四边形PBAC＝S △BPM ＋S四边形PMOC＋S △AOC ＝12BM·PM＋12(PM ＋OC)·OM＋12OA·OC＝12(x＋3)(－y)＋12(－y ＋3)(－x)＋12×1×3＝－32y －32x ＋32，将y ＝x 2＋2x －3代入可得S 四边形PBAC ＝－32(x 2＋2x －3)－32x ＋32＝－32(x ＋32)2＋758.∵－32＜0，－3＜x ＜0，∴当x ＝－32时，S 四边形PBAC 有最大值758，此时，y ＝x 2＋2x －3＝－154.∴当点P 的坐标为(－32，－154)时，四边形PBAC 的面积最大，最大值为758.4．解：(1)把y ＝0代入直线的解析式得x ＋1＝0，解得x ＝－1，∴A(－1，0)． ∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴B 的坐标为(3，0)．将x ＝0代入抛物线的解析式得y ＝－3，∴C(0，－3)．设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，将C(0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3； (2)如解图①，连接OP.将x ＝0代入直线AD 的解析式得y ＝1，∴OD ＝1. 由题意可知P(t ，t 2－2t －3)． ∵S 四边形DCPB ＝S △ODB ＋S △OBP ＋S △OCP ，∴S ＝12×3×1＋12×3×(－t 2＋2t ＋3)＋12×3×t ，整理得S ＝－32t 2＋92t ＋6，配方得：S ＝－32(t －32)2＋758，∴当t ＝32时，S 取得最大值，最大值为758；(3)如解图②，设点D′的坐标为(a ，a ＋1)，O ′(a ，a)．当△D′O′E 的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB ′＝1∶2. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝1， ∴E(a ＋1，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得(a ＋1)2－2(a ＋1)－3＝a ，整理得：a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋172或a ＝1－172，∴O ′的坐标为(1＋172，1＋172)或(1－172，1－172)，∴OO ′＝2＋342或OO′＝34－22， ∴△DOB 平移的距离为2＋342或34－22，当△D′O′E 的面积∶△D ′EB ′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB ′＝2∶1. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝2，∴E(a ＋2，a)．将点E 的坐标代入抛物线的解析式得：(a ＋2)2－2(a ＋2)－3＝a ，整理得：a 2＋a －3＝0，解得a ＝－1＋132或a ＝－1－132.∴O ′的坐标为(－1＋132，－1＋132)或(－1－132，－1－132)．∴OO′＝－2＋262或OO′＝2＋262.∴△DOB 平移的距离为－2＋262或2＋262.综上所述，当△D′O′B′沿DA 方向平移2＋342或2＋262单位长度，或沿AD 方向平移34－22或－2＋262个单位长度时，ED ′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分. 类型三二次函数与线段问题1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a ＝3，解得a ＝－13.令y ＝0，得ax 2－23ax －9a ＝0，∵a ≠0，∴x 2－23x －9＝0，解得x ＝－3或x ＝3 3. ∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(33，0)，∴抛物线的对称轴为x ＝3； (2)解：∵OA ＝3，OC ＝3， ∴tan ∠CAO ＝3，∴∠CAO ＝60°. ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO ＝30°， ∴DO ＝33AO ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)，设点P 的坐标为(3，a)．∴AD 2＝4，AP 2＝12＋a 2，DP 2＝3＋(a －1)2. 当AD ＝PA 时，4＝12＋a 2，方程无解．当AD ＝DP 时，4＝3＋(a －1)2，解得a ＝0或a ＝2， ∴点P 的坐标为(3，0)或(3，2)．当AP ＝DP 时，12＋a 2＝3＋(a －1)2，解得a ＝－4. ∴点P 的坐标为(3，－4)．综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(3，－4)或(3，2);(3)证明：设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得－3m ＋3＝0，解得m ＝3，∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. 设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.把y ＝0代入y ＝kx ＋1，得kx ＋1＝0，解得：x ＝－1k ，∴点N 的坐标为(－1k ，0)，∴AN ＝－1k ＋3＝3k －1k.将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立，解得x ＝2k －3，∴点M 的横坐标为2k －3.如解图，过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G.则AG ＝2k －3＋ 3.∵∠MAG ＝60°，∠AGM ＝90°， ∴AM ＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2k －3.∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝k －323k －2＋2k 23k －2＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝32. 2．解：(1)∵直线l ：y ＝34x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝34x －1，∵直线l ：y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴y ＝34×4－1＝2，∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝43，∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA ＝43，在Rt △OAB 中，OB ＝1，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝（43）2＋12＝53， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO ＝∠DEF ，在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos ∠DEF ＝DE·OB AB ＝35DE ，DF ＝DE·sin ∠DEF ＝DE·OA AB ＝45DE ，∴l ＝2(DF ＋EF)＝2×(45＋35)DE ＝145DE ，∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t ，12t 2－54t －1)，E(t ，34t －1)，∴DE ＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∴l ＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋285t ，∵l ＝－75(t －2)2＋285，且－75＜0，∴当t ＝2时，l 有最大值285；(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．如解图③，设A 1的横坐标为m ，则O 1的横坐标为m ＋43，∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝712，如解图④，设A 1的横坐标为m ，则B 1的横坐标为m ＋43，B 1的纵坐标比A 1的纵坐标大1，∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或43.3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝116a ＋4b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ；(2)证明：设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋m ，将点A(－1，1)代入y ＝kx ＋m 中，即－k ＋m ＝1， ∴k ＝m －1，∴直线AF 的解析式为y ＝(m －1)x ＋m. 联立直线AF 和抛物线解析式成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12x 2－12x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2my 2＝2m 2－m ， ∴点G 的坐标为(2m ，2m 2－m)． ∵GH ⊥x 轴，∴点H 的坐标为(2m ，0)． ∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ＝12x(x －1)，∴点E 的坐标为(1，0)．设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将A(－1，1)，E(1，0)代入y ＝k 1x ＋b 1中，得⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝1k 1＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－12b 1＝12，∴直线AE 的解析式为y ＝－12x ＋12.设直线FH 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，将F(0，m)、H(2m ，0)代入y ＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝m 2mk 2＋b 2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－12b 2＝m， ∴直线FH 的解析式为y ＝－12x ＋m.∴FH ∥AE ；(3)解：设直线AB 的解析式为y ＝k 0x ＋b 0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝k 0x ＋b 0中，⎩⎪⎨⎪⎧－k 0＋b 0＝14k 0＋b 0＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝1b 0＝2， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋2.当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(t －2，t)，点Q 的坐标为(t ，0)．当点M 在线段PQ 上时，过点P 作PP′⊥x 轴于点P′，过点M 作MM′⊥x 轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．∵QM ＝2PM ， ∴QM′QP′＝MM′PP′＝23，∴QM ′＝43，MM ′＝23t ，∴点M 的坐标为(t －43，23t)，又∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴23t ＝12(t －43)2－12(t －43)，解得t ＝15±1136，当点M 在线段QP 的延长线上时，同理可得出点M 的坐标为(t －4，2t)， ∵点M 在抛物线y ＝12x 2－12x 上，∴2t ＝12×(t －4)2－12(t －4)，解得t ＝13±892.综上所述：当运动时间为15－1136秒、15＋1136秒、13－892秒或13＋892秒时，QM ＝2PM.类型四二次函数与三角形相似 1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2＋1，又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2＋2x ，联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x y ＝x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， ∴B(2，0)，C(－1，－3)；(2)证明：如解图，分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于D 、E 两点，则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，EC ＝3， ∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，即∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形；(3)解：假设存在满足条件的点N ，设N(x ，0)，则M(x ，－x 2＋2x)， ∴ON ＝|x|，MN ＝|－x 2＋2x|，由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝32， ∵MN ⊥x 轴于点N ∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，∴当△MNO 和△ABC 相似时有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ONAB，①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2＋2x|2＝|x|32，即|x|×|－x ＋2|＝13|x|，∵当x ＝0时M 、O 、N 不能构成三角形， ∴x ≠0，∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝73，此时N 点坐标为(53，0)或(73，0)，②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x|32＝|x|2，即|x|×|－x ＋2|＝3|x|，∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1，此时N 点坐标为(－1，0)或(5，0)，综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为(53，0)或(73，0)或(－1，0)或(5，0).2．解：(1)把A 、C 两点坐标代入直线y ＝－ax ＋c 可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋c ＝0c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13c ＝1， ∴直线的表达式为y ＝13x ＋1，把A 点坐标和a ＝－13代入抛物线解析式可得9×(－13)－3b ＋1＝0，解得b ＝－23，∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－23x ＋1；(2)∵点D 为抛物线在第二象限部分上的一点，∴可设D(t ，－13t 2－23t ＋1)，则F(t ，13t ＋1)，∴DF ＝－13t 2－23t ＋1－(13t ＋1)＝－13t 2－t ＝－13(t ＋32)2＋34.∵－13＜0，∴当t ＝－32时，DF 有最大值，最大值为34，此时D 点坐标为(－32，54)；(3)设P(m ，－13m 2－23m ＋1)，如解图，∵P 在第四象限，∴m ＞0，－13m 2－23m ＋1＜0，∴AN ＝m ＋3，PN ＝13m 2＋23m －1，∵∠AOC ＝∠ANP ＝90°，∴当以P 、A 、N 为顶点的三角形与△ACO 相似时有△AOC ∽△PNA 和△AOC ∽△ANP ，①当△AOC ∽△PNA 时，则有OC NA ＝AO PN ，即1m ＋3＝313m 2＋23m －1，解得m ＝－3或m ＝10，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝10，此时P 点坐标为(10，－39)；②当△AOC ∽△ANP 时，则有OC NP ＝AO AN ，即113m 2＋23m －1＝3m ＋3，解得m ＝2或m ＝－3，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝2，此时P 点坐标为(2，－53)；综上可知P 点坐标为(10，－39)或(2，－53).3．解：(1)将A 、G 点坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋33＝0，a －b ＋33＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝23，∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋23x ＋33； (2)如解图①，作ME ∥y 轴交AB 于E 点，当x ＝0时，y ＝33，即B 点坐标为(0，33)，直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋33，设M(n ，－3n 2＋23n ＋33)，E(n ，－3n ＋33)， ME ＝－3n 2＋23n ＋33－(－3n ＋33)＝－3n 2＋33n ， S △ABM ＝12ME·AO＝12(－3n 2＋33n)×3＝－332(n －32)2＋2738，当n ＝32时，△ABM 面积的最大值是2738；(3)存在；理由如下：OE ＝233，AP ＝2，OP ＝1，BE ＝33－233＝733，当y ＝233时，－3x ＋33＝233，解得x ＝73，即EF ＝73，将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)， ∵OB ⊥EF ，∴点B′在直线EF 上，∵C 点横坐标绝对值等于EO 长度，C 点纵坐标绝对值等于EO －PO 长度， ∴C 点坐标为(－233，233－1)，如解图，过F 作FQ ∥B′C，交EC 于点Q ，则△FEQ ∽△B′EC，由BE EF ＝B′E EF ＝CEEQ ＝3，可得Q 的坐标为(－23，－33)；根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q′(－23，533)也符合条件.4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝025a ＋5b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－185， ∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－185x ＋3；(2)①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，∴可设P(t ，35t 2－185t ＋3)(1＜t ＜5)，∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M(t ，0)，N(t ，35t ＋3)，∴PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720，联立直线CD 与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋3y ＝35x 2－185x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝365，∴C(0，3)，D(7，365)，分别过C 、D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E 、F ，如解图①，则CE ＝t ，DF ＝7－t ，∴S △PCD ＝S △P ＋S △PDN ＝12PN·CE＋12PN·DF＝72PN ＝72[－35(t －72)2＋14720]＝－2110(t －72)2＋102940， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积最大，最大值为102940；②存在．∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°， ∴当△Q 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BMPM两种情况， ∵CQ ⊥PN ，垂足为Q ，∴Q(t ，3)，且C(0，3)，N(t ，35t ＋3)，∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴NQ CQ ＝35，∵P(t ，35t 2－185t ＋3)，M(t ，0)，B(5，0)，∴BM ＝5－t ，PM ＝0－(35t 2－185t ＋3)＝－35t 2＋185t －3，当NQ CQ ＝PM BM 时，则PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35(5－t)，解得t ＝2或t ＝5(舍去)，此时P(2，－95)；当NQ CQ ＝BM PM 时，则BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t ＝349或t ＝5(舍去)，此时P(349，－5527)；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(2，－95)或(349，－5527).。

(宜宾专版)中考数学第3编创新分类突破篇题型4 几何综合、探究题(精讲)试题-人教版初中九年级

题型四几何综合、探究题某某市中考创新试题对几何的考查涉及平行线与相交线、三角形、四边形、圆、图形变化、视图与投影几部分，考题多以填空题、选择题、解答题、实践操作题、拓展探究题等形式出现．这部分内容的考题大多为容易题或中难题，但有的与其他知识点综合在一起出现高难度题．高难度题目在填空、选择、解答题中都有，主要综合了三角形、四边形、圆、图形变化等知识．题目涉及图形的面积、动态几何、比例线段、比例性质、圆的相关定理．考查学生的知识面、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．【例1】如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，OP交⊙O于点C，连结BO并延长交⊙O于点D，交PA的延长线于点E，连结AD，BC.下列结论：①AD∥PO；②△ADE∽△PCB；③tan∠EAD＝EDEA；④BD2＝2AD·OP.其中一定正确的是(A)A．①③④B．②④C．①②③D．①②③④【解析】连结OA，如图，根据切线的性质得∠APO＝∠BPO，OA⊥PA，OB⊥PB，根据等角的余角相等得∠2＝∠4，再利用三角形外角性质可得∠3＝∠4，于是可判断OP∥AD，则可对①进行判断；根据平行线的性质，由OP∥AD，得到∠ADE＝∠POE，再利用邻补角定义得∠POE＋∠COB＝180°，∠PCB＋∠OCB＝180°，由于∠COB≠∠OCB，则∠PCB≠∠ADE，所以不能判断△ADE∽△PCB，则可对②进行判断；根据平行线分线段成比例定理，由OP∥AD 得EA AP ＝ED DO ，且∠EAD＝∠EPO，则ED EA ＝DO AP ，再在Rt △AOP 中，利用正切定理得到tan ∠APO ＝OAAP ＝OD AP ，所以tan ∠EAD ＝ED EA ，则可对③进行判断；连结AB ，证明Rt △ABD ∽△BPO 得到AO OB ＝BD OP ，由OB ＝12BD 即可得到BD 2＝2AD·OP，则可对④进行判断．【答案】A【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连结圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．【例2】如图为一个半径为4 m 的圆形广场，其中放有六个宽为1 m 的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为________m .【解析】设圆心是O ，连结OA ，OB ，作OC⊥BC 于C.设长方形的摊位长是2x m ，在直角△OAD 和直角△OBC 中，利用勾股定理和三角函数表示出OC 和OD 的长，根据OC －OD ＝1即可列方程求得．【答案】－3＋372【点评】本题考查了正多边形的计算，解正多边形的问题最常用的方法是转化为直角三角形的计算问题，解方程是本题的关键．【例3】(2015某某中考模拟)在图①至图③中，点B 是线段AC 的中点，点D 是CE 的中点，△BCF 和△CDG 都是等边三角形，点M 为AE 的中点，连结FG.(1)如图①，若点E 在AC 的延长线上，点M 与点C 重合，则△FMG________(选填“是”或“不是”)等边三角形；(2)将图①中的CE 缩短，得到图②.求证：△FMG 为等边三角形；(3)将图②中的CE 绕点E 顺时针旋转一个锐角，得到图③.求证：△FMG 为等边三角形．【解析】(1)如图①，易证FM ＝BM ＝MD ＝MG ，∠FMG ＝60°，即可得到△FMG 是等边三角形；(2)如图②，易证BD ＝BC ＋CD ＝AM ，从而可得MD ＝AB.由△BCF 和△CDG 都是等边三角形，可得BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°，从而可证到MD ＝BF ，BM ＝GD ，进而可得到△FBM≌△MDG，则有MF ＝GM ，∠BFM ＝∠D MG ，从而可证到∠FMG＝60°，即可得到△FMG 为等边三角形；(3)如图③，连结BM ，DM ，根据三角形中位线定理可得BM∥CE，BM ＝12CE ＝CD ，DM ∥AC ，DM ＝12AC ＝BC.再根据△BCF 和△CDG 都是等边三角形，可得BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°，从而得到BF ＝BC ＝DM ，BM ＝CD ＝GD ，∠FBC ＝∠GDC.由BM∥CE，DM ∥AC ，可得四边形BCDM 是平行四边形，从而得到∠BMD＝∠DCB＝120°，∠CDM ＝∠MBC＝60°，即可得到∠FBM ＝∠GDM＝120°，即可得到△FBM≌△MDG，则有MF ＝GM ，∠FMB ＝∠MGD，从而可得∠FMG＝∠BMD－∠FMB－∠GMD＝∠BMD－∠MGD－∠GMD ＝60°，即可得到△FMG 为等边三角形．【答案】解：(1)是；(2)如图②，∵点B 是线段AC 的中点，点D 是CE 的中点，点M 为AE 的中点， ∴AB ＝BC ＝12AC ，CD ＝DE ＝12CE ，AM ＝ME ＝12AE ，∴BD ＝BC ＋CD ＝12AC ＋12CE ＝12AE ＝AM ，即BM ＋MD ＝BM ＋AB ，∴MD ＝AB. ∵△BCF 和△CDG 都是等边三角形，∴BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°， ∴MD ＝AB ＝BC ＝BF ，BM ＝BC －MC ＝MD －MC ＝CD ＝GD.在△FBM 和△MDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝DM ，∠FBM ＝∠MDG，BM ＝DG ，∴△FBM ≌△MDG ， ∴MF ＝GM ，∠BFM ＝∠DMG. ∵∠BFM ＋∠FMB＋∠FBM ＝180°， ∠DMG ＋∠FMB＋∠FMG＝180°， ∴∠FMG ＝∠FBM＝60°， ∴△FMG 为等边三角形； (3)如图，连结BM ，DM.∵点B 是线段AC 的中点，点D 是CE 的中点，点M 为AE 的中点，∴BM ∥CE ，BM ＝12CE ＝CD ，DM ∥AC ，DM ＝12AC ＝BC.∵△BCF 和△CDG 都是等边三角形，∴BF ＝BC ，CD ＝GD ，∠FBC ＝60°，∠GDC ＝60°， ∴BF ＝BC ＝DM ，BM ＝CD ＝GD ，∠FBC ＝∠GDC. ∵BM ∥CE ，DM ∥AC ，∴四边形BCDM 是平行四边形，∴∠BMD ＝∠DCB＝120°，∠CDM ＝∠MBC＝60°， ∴∠FBM ＝∠GDM＝120°.在△FBM 和△MDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝DM ，∠FBM ＝MDG ，BM ＝DG ，∴△FBM ≌△MDG ， ∴MF ＝GM ，∠FMB ＝∠MGD，∴∠FMG ＝∠BMD－∠FMB－∠GMD＝∠BMD－∠MGD－∠GMD＝120°－(180°－120°)＝60°，∴△FMG为等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，借鉴解决第(2)小题的经验(通过证明△FBM≌△MDG来解决问题)，是解决第(3)小题的关键．【针对练习】1．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是(B)A．12πB．24πC．6πD．36π,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝6，将其折叠，使点D与点B重合，tan∠BFE的值是(D)A.12B．1 C．2 D．33．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BO C＝(A)A．130°B．100°C．50°D．65°,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．如图，BC是半径为1的⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA是⊙O的切线，A为切点，AD⊥BC于点D，且点D是OC中点，则PB· PC＝ __3__．5．(2014某某创新考试)如图，一组平行线l1，l2，l3分别与∠O的两边相交于点A1，A2，A3和点B1，B2，B3，且梯形A1B1B2A2，A2B2B3A3的面积相等．设线段OA1＝1，OA2＝2，则线段A2A3＝__7－2__．,(第5题图)) ,(第6题图))6．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF ＝AC ，则∠ABC＝__45__°. 7．(2015某某拔尖考试)如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB ＝90°，E 为BC 上一点，连结AE 与OC 交于点D ，∠CAE ＝∠CBA.(1)求证：AE⊥OC；(2)若⊙O 的半径为5，AE 的长为6，求AD 的长．解： (1)∵∠ACB＝90°， ∴∠CBA ＋∠CAB＝90°. ∵∠CAE ＝∠CBA， ∴∠CAE ＋∠CAB＝90°. ∵OA ＝OC ， ∴∠CAO ＝∠ACO， ∴∠CAE ＋∠ACO＝90°， ∴∠ADC ＝90°， ∴AE ⊥OC ；(2)∵∠CAE＝∠CBA，∠ACB ＝∠ACE， ∴△ACE ∽△BCA ， ∴CE AC ＝AE AB ＝610＝35， ∴设AC ＝5x ，CE ＝3x ，∴AE ＝（5x ）2＋（3x ）2＝34x ＝6， ∴x ＝33417，∴AC ＝153417，∵∠CAE ＝∠CAD，∠ACE ＝∠ADC，∴△ACD∽△AEC，∴ACAE＝ADAC，∴AD＝AC2AE＝7517.8．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，tan∠ADC＝2.(1)求证：DC＝BC；(2)E是梯形内一点，连结DE，CE，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，得△BCF，，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，当CE＝2BE，∠BEC＝135°时，求cos∠BFE的值．解：(1)作AP⊥DC于点P.∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形APCB是矩形，∴PC＝AB＝2，AP＝BC＝4.在Rt△ADP中，tan∠ADC＝APDP＝2，∴DP＝2，∴DC＝DP＋PC＝4＝BC；(2)EF＝2CE.证明如下：由△DCE绕点C顺时针旋转90°得△BCF，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴EF＝CF2＋CE2＝2CE2＝2CE；(3)由(2)得∠CEF＝45°.∵∠BEC＝135°，∴∠BEF＝90°.设BE＝a，则CE＝2a，∴EF ＝2CE 2＝22a.在Rt △BEF 中，由勾股定理得：BF ＝3a ， ∴cos ∠BFE ＝EF BF ＝223.9．半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P.已知BC∶CA＝4∶3，点P 在AB ︵上运动，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q.(1)当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； (2)当点P 运动到AB ︵的中点时，求CQ 的长；(3)当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．解：(1)当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D. ∵AB 为O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，AB ＝5. 又∵BC∶CA＝4∶3， ∴BC ＝4，AC ＝3. 又∵AC·BC＝AB·CD， ∴CD ＝125，∴PC ＝245.在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中，∠ACB ＝∠PCQ＝90°，∠CAB ＝∠CPQ， ∴Rt △ACB ∽Rt △PCQ ， ∴AC BC ＝PC CQ， ∴CQ ＝BC ·PC AC ＝43PC ＝325；(2)当点P 运动到AB ︵的中点时，过点B 作BE⊥PC 于点E ，如答图．∵P 为AB ︵的中点， ∴∠PCB ＝45°， CE ＝BE ＝22BC ＝2 2. 又∠CPB＝∠CAB，∴tan ∠CPB ＝tan ∠CAB ＝43，∴PE ＝BE tan ∠CPB ＝322，∴PC ＝PE ＋EC ＝722，∴CQ ＝tan ∠CPB ·PC ＝1423；(3)点P 在弧AB 上运动时，恒有 CQ ＝BC ·PC AC ＝43PC ；故PC 最大时，CQ 取到最大值．当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203.10．在矩形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，点M 为BC 边上一动点(点M 与点B ，C 不重合)，连结AM ，过点M 作MN⊥AM，垂足为M ，MN 交CD 或CD 的延长线于点N.(1)求证：△CMN∽△BAM；(2)设BM ＝x ，＝y ，求y 关于x 的函数表达式．当x 取何值时，y 有最大值？并求出y 的最大值；(3)当点M 在BC 上运动时，求使得下列两个条件都成立的b 的取值X 围：①点N 始终在线段CD 上，②点M 在某一位置时，点N 恰好与点D 重合．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C＝90°， ∴∠BAM ＋∠AMB＝90°. ∵MN ⊥AM, 即∠AMN＝90°， ∴∠CMN ＋∠AMB＝90°， ∴∠BAM ＝∠CMN， ∴△CMN ∽△BAM ； (2)∵△CMN∽△BAM， ∴CMBA ＝BM. ∵BM ＝x ，＝y ，AB ＝a ，BC ＝AD ＝b ， ∴b －x a ＝yx， ∴y ＝1a (bx －x 2)＝－1a(x 2－bx)＝－1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22－b 24＝－1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋b 24a∵－1a<0，∴当x ＝b 2时，y 取最大值，最大值为b24a ；(3)由题可知：当0<x<b 时，y 的最大值为a ，即b24a ＝a ，解得b ＝2a.∴要同时满足两个条件，b 的值为2a.11．如图，⊙O 的半径为1，直线CD 经过圆心O ，交 ⊙O 于C ，D 两点，直径AB⊥CD，点M 是直线CD 上异于点C，O，D的一个动点，AM所在的直线交⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN.(1)当点M在⊙O内部，如图①，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；(2)当点M在⊙O外部，如图②，其他条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由；(3)当点M在⊙O外部，如图③，∠AMO＝15°，求图中阴影部分的面积．解：(1)PN与⊙O相切．如图①，连结ON，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN.∵∠AMO＝∠PMN，∴∠PNM＝∠AMO，∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠OAN＝90°，即PN与⊙O相切；(2)成立．如图②，连结ON，则∠ONA＝∠OAN.∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN.在Rt△AOM中，∵∠OMA＋∠OAM＝90°，∴∠PNM＋∠ONA＝90°，∴∠PNO＝180°－90°＝90°，即PN与⊙O相切；(3) 如图③，连结ON，由(2)可知∠ONP＝90°.∵∠AMO＝15°，PM＝PN，∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°，∴∠PON＝60°，∠AON＝30°. 作NE⊥OD，垂足为点E，则NE＝ON·sin60°＝1×32＝32，∴S阴影＝S△AOC＋S扇形AON－S△CON＝12OC·OA＋30360×π×12－12CO·NE＝12＋112π－34.。

初中七年级数学《平面直角坐标系中几何综合题》

七年级下学期期末备考之《平面直角坐标系中几何综合题》一．解答题（共17小题）1．（春•玉环县期中）如图在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），（﹣1，2）．且|2a+b+1|+=0．（1）求a、b的值；（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=S△ABC，求点M的坐标．（标注：三角形ABC的面积表示为S△ABC）②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S△COM=S△ABC仍成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．2．（春•汕头校级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+=0．（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3．（春•鄂城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．4．（春•富顺县校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0（1）求a、b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．5．（春•泰兴市校级期末）已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP 上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE．（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．6．（春•江岸区期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y轴于F点．（1）求点A、B的坐标．（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．（3）如图3，（也可以利用图1）①求点F的坐标；②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．7．（春•黄陂区期末）在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是（a，0）（b，0），a，b满足方程组，c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）是否存在点P（t，t），使S△PAB=S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）若M是AC的中点，N是BC上一点，CN=2BN，连AN、BM相交于点D，求四边形CMDN的面积是．8．（春•海珠区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2=16，S△AOB=12．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF=α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．9．（春•黄梅县校级期中）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式．（1）求a，b的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（春•通州区校级期中）在如图直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0．（1）求a、b、c的值；（2）如果点P（m，n）在第二象限，四边形CBOP的面积为y，请你用含m，n的式子表示y；（3）如果点P在第二象限坐标轴的夹角平分线上，并且y=2S四边形CBOA，求P点的坐标．11．（春•鄂州校级期中）如图，A、B两点坐标分别为A（a，4），B（b，0），且a，b满足（a﹣2b+8）2+=0，E是y轴正半轴上一点．（1）求A、B两点坐标；（2）若C为y轴上一点且S△AOC=S△AOB，求C点的坐标；（3）过B作BD∥y轴，∠DBF=∠DBA，∠EOF=∠EOA，求∠F与∠A间的数量关系．12．（春•东湖区期中）如图，平面直角坐标系中A（﹣1，0），B（3，0），现同时将A、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD（1）直接写出C、D的坐标：C D及四边形ABCD的面积：（2）在y轴负半轴上是否存在点M，连接MA、MB使得S△MAB＞S四边形ABCD？若存在，求出M点纵坐标的取值范围；若不存在说明理由（3）点P为线段BD上一动点，连PC、PO，当点P在BD上移动（不含端点）现给出①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求其值．13．（春•台州月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，α），B（b，α），且α、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．14．（春•海安县月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（0，2），图中的线段BD是由线段AC平移得到．（1）线段AC经过怎样的平移可得到线段BD，所得四边形是什么图形，并求出所得的四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变；②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．15．（春•武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，点A（0，m），点B（n，0），m、n满足（m﹣3）2=﹣；（1）求A、B的坐标；（2）如图1，E为第二象限内直线AB上一点，且满足S△AOE=S△AOB，求E的坐标．（3）如图2，平移线段BA至OC，B与O是对应点，A与C对应，连AC．E为BA的延长线上一动点，连EO．OF平分∠COE，AF平分∠EAC，OF交AF于F点．若∠ABO+∠OEB=α，请在图2中将图形补充完整，并求∠F（用含α的式子表示）．16．（2013秋•江岸区校级月考）如图，已知点A（﹣m，n），B（0，m），且m、n满足+（n﹣5）2=0，点C在y轴上，将△ABC沿y轴折叠，使点A落在点D处．（1）写出D点坐标并求A、D两点间的距离；（2）若EF平分∠AED，若∠ACF﹣∠AEF=20°，求∠EFB的度数；（3）过点C作QH平行于AB交x轴于点H，点Q在HC的延长线上，AB交x轴于点R，CP、RP分别平分∠BCQ和∠ARX，当点C在y轴上运动时，∠CPR的度数是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．17．（2013春•武汉校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）．现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C、D，连接AC，BD．（1）直接写出点C、D的坐标，求四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在坐标轴上是否存在一点P，使S△PAC=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）如图3，在线段CO上取一点G，使OG=3CG，在线段OB上取一点F，使OF=2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积S四边形OGHF．。

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初中数学几何综合试题
班级____ 学号____ 姓名____ 得分____

一、单选题(每道小题 3分共 9分 )
1. 下列各式中正确的是 [ ]

A.sin12=30B.tg1=45
C.tg30=3D.cos60=
1
2



2. 如图,已知AB和CD是⊙O中两条相交的直径,连AD、CB那么α和β的关系
是 [ ]

ABCD....12122

3. 在一个四边形中，如果两个内角是直角，那么另外两个内角可以
[ ]
A．都是钝角
B．都是锐角
C．一个是锐角一个是直角
D．都是直角或一个锐角一个钝角

二、填空题(第1小题 1分, 2-7每题 2分, 8-9每题 3分, 10-14
每题 4分, 共 39分)
1. 人们从实践经验中总结出来的图形的基本性质,我们把它叫做_______．

2. 小于直角的角叫做______;大于直角而小于平角的角叫做________．
3. 已知正六边形外接圆的半径为R , 则这个正六边形的周长为_______．
4. 在中若则RtABC,C=90,cosB=23,sinA=.
5. 如果圆的半径R增加10% , 则圆的面积增加_____________．

6. cossincossin.45306030
7. 已知∠a=60°,∠AOB=3∠a,OC是∠AOB的平分线,则∠a=___∠AOC．
8. 等腰Rt△ABC, 斜边AB与斜边上的高的和是12厘米, 则斜边AB=
厘米．

9. 已知：如图△ABC中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF
的度数为________．

10. 在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧
______;所对的弦_______, 所对弦的弦心距_______．

11. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，D、E分别是AB、AC中点，
AC=7，BC=4，若以C为圆心，BC为半径做圆，则ED与⊙o的位置关
系是：D在______, E在_____．

12. 在△ABC中,∠C=90°
若a=5,则S△ABC=,则c=_________,∠A=_________

13. 如图：CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°
求证：DA⊥AB
证明：∵∠1+∠2=90°(已知)
∠2=∠4,∠1=∠3(角平分线定义)
∴∠3+∠4=90°(等量代换)
∴∠ADC+∠BCD=180°(等量代换)
AD∥BC( )
∵BC⊥AB(已知)
∴AD⊥AB( )

14. 圆外切四边形ABCD中，如果AB=2，BC=3，CD=8，那么 AD= ．

三、计算题(第1小题 4分, 2-3每题 6分, 共 16分)
1. 求值：cos245°+tg30°sin60°

2. 已知正方形ABCD，E是BC延长线上一点，AE交CD于F，如果AC=CE，
求∠AFC的度数．

3. 如图：AB是半圆的直径，O为圆心，C是AB延长线上的一点，CD切半
圆于，于，已知：，，求之长．DDEABEEBABCDBC152

四、解答题(1-2每题 4分, 第3小题 6分, 第4小题 7分, 共 21
分)
1. 在△Rt△ABC中,∠C=90°,AB+AC=a,∠B=a,求AC.

2. 如图：铁路的路基的横截面是等腰梯形斜坡的坡度为为米基面宽米求路基的高，基底的宽及坡角的度数答案可带根号,AB13,33,AD2,AEBECB.():BE
3. 如图,某厂车间的人字屋架为等腰三角形,跨度AB=12米,∠A=30°,
求中柱CD和上弦AC的长(答案可带根号)

4. 如图：已知AB∥CD , ∠BAE=40°, ∠ECD=62°, EF平分∠AEC , 则
∠AEF是多少度

五、证明题(第1小题 4分, 2-4每题 7分, 共 25分)
1. 已知：如图 , AB=AC , ∠B=∠C．BE、DC交于O点．
求证：BD=CE

2. 已知：如图，PA=PB，PA切⊙O于A，BCD交⊙O于C、D，PC延长交
⊙O于E，连结BE交⊙O于F．求证：DF∥PB．

3. 如图：EG∥AD , ∠BFG=∠E.求证：AD平分∠BAC.
4. 已知：如图 , 在∠AOB的两边OA , OB上分别截取OQ=OP , OT=OS , PT
和 QS相交于点C．
求证：OC平分∠AOB

六、画图题(第1小题 2分, 2-3每题 4分, 共 10分)
1. 已知：如图, ∠AOB
求作：射线OC, 使∠AOC=∠BOC．(不写作法)

2. 已知：两角和其中一个角的对边 ,
求作：三角形ABC(写出已知 , 求作 , 画图,写作法)

3. 如图, 要在河边修建一个水泵站, 分别向张村, 李村送水．修在河边什
么地方, 可使所用的水管最短(写出已知, 求作, 并画图)
初中数学模拟考试题答案
一、单选题
1. D 2. D 3. D
二、填空题
1. 公理

2. 锐角,钝角
3. 6R

4. 23
5. πR2

6. 212
7. 23
8. 8
9. 70°
10. 越长, 越长, 越短
11. 在圆外，在圆内

12. 5245,
13. 同旁内角互补,两直线平行；
一条直线和两条平行线中的一条垂直,也和另一条垂直

14. 7
三、计算题
1. 解：原式()223332121212
2. 解：∵AC=CE 则∠1=∠2 又∵∠ACE=135°
∴∠1=(180°-135°)÷2=°
故 ∠AFC=180°-(45°+°)=°

3. 解：如图，连结、，为直径∴又∵，∽∴·同理·而，∴··∴：：∵切半圆于，∽，：：：ADDBABADBDEABADEABDADABAEADADAEABBDBEABBEABADBDAEABBEABCCADBDCDDCDBAADCDBCDCBCADBDCDBC9015412121212222
四、解答题
1. 解：在中则即即RtABCCACABACABACaACACa90111sinsinsinsinsinsinsin

2. 解：米米AEAEBCB3313326330()()()
3. CDAC为米为米2343
解：过E作EG∥AB
∵∠BAE=40°
∴∠AEG=40°
同理∠CEG=62°
∴∠AEC=102°
又∵EF平分∠AEC ∴∠AEF=51°

4.
五、证明题
1. 证：∵∠A=∠A , AB=AC , ∠B=∠C．
∴△ADC≌△AEB(ASA)
∴AD=AE
∵AB=AC,
∴BD=CE．

2. 证明：如图，切⊙于，交⊙于、，又的公用∽又∥PAOABCDOCDAPPCPEPAPBPBPCPEPBPCPEPBBPCPBCPEBEEBDFBDFDFPB2211
证明：∵∠BFG=∠E=∠EFA EG∥AD ∴∠E=∠DAC ∠BFG=∠BAD ∴AD平分∠BAC 3.
4. 证：作射线OC , 连结TS．
在△SOP和△TOQ中 ,
OS=OT , OQ=OP , ∠AOB=∠BOA．
∴△SOP≌△TOQ(SAS) ∴ ∠1=∠2．
∵OT=OS , ∴∠OST=∠OTS
∴∠3=∠4 ∴CT=CS
∵OC=OC , OS=OT , CT=CS
∴△OCS≌△OCT (SSS)
∴∠5=∠6
∴OC平分∠AOB

六、画图题
1. 射线OC为所求．

2. 已知：∠a、∠b、线段a
求作：△ABC使∠A=∠a , ∠B=∠b, BC=a
作法：1.作线段BC=a
2.在BC的同侧作∠DBC=∠b,
∠ECB=180-∠a-∠b,
BD和CE交于A, 则△ABC为所求的三角形．

3. 已知：直线a和a的同侧两点A、B．
求作：点C, 使C在直线a上, 并且AC+BC最小．
作法：
1.作点A关于直线a的对称点A'．

2.连结A'B交a于点C．
则点C就是所求的点．
证明：在直线a上另取一点C', 连结AC,AC', A'C', C'B．

∵直线a是点A, A'的对称轴, 点C, C'在对称轴上
∴AC=A'C, AC'=A'C'
∴AC+CB=A'C+CB=A'B
在△A'C'B中,
∵A'B＜A'C'+C'B
∴AC+CB＜AC'+C'B
即AC+CB最小．

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