传热学大作业报告 二维稳态导热
传热学大作业报告二维稳态导热
传热学大作业报告二维稳态导热二维稳态导热大作业报告导热问题是传热学中非常重要的一个研究领域。
在导热问题中，我们研究的是物体内部的温度分布、热流分布以及热传导过程。
本次大作业中，我们将研究一个二维稳态导热问题，分析材料内部的温度分布情况。
在二维稳态导热问题中，我们假设热传导发生在一个二维平面内，而且热流只在平面内的两个方向上进行。
我们的目标是研究材料内部的温度分布情况，并找到材料内各个位置的温度。
为了研究这个问题，我们首先需要建立热传导的数学模型。
根据热传导方程，在稳态下，热传导的速率是不变的。
假设材料在x和y两个方向上的热传导系数分别为kx和ky，温度分布函数为T(x, y)，则可以得到以下的二维热传导方程：kx * d^2T/dx^2 + ky * d^2T/dy^2 = 0这是一个二维的亥姆霍兹方程，我们可以通过求解它来得到材料内部的温度分布。
为了进一步分析问题，我们对热传导方程进行了无量纲化处理。
使用无量纲化可以简化计算，并且使得结果更加清晰。
我们引入了一个无量纲化的温度变量θ，通过以下公式进行计算：θ=(T-T0)/(T1-T0)其中T是位置(x,y)处的温度，T0是最低温度，T1是最高温度。
这样处理之后，热传导方程可以写成：d^2θ/dx^2 + σ * d^2θ/dy^2 = 0其中σ = ky / kx 是无量纲化的热传导比。
为了求解这个二维亥姆霍兹方程，我们使用了有限差分法。
首先将平面划分成一个个小的网格单元，然后在每个网格单元中，使用二阶中央差分法对方程进行离散化。
最终得到一个线性方程组，可以通过求解该方程组，得到无量纲温度分布。
为了验证我们的计算结果，我们将研究一个简单的导热问题，即一个正方形材料中心局部加热的情况。
我们假设正方形材料的一部分区域中心加热，其余区域保持恒定温度。
我们通过计算得到了材料内部的温度分布，并且将结果与理论解进行了比较。
通过对比发现，计算结果与理论解非常吻合，验证了我们的计算方法的准确性和可靠性。
西安交大传热学上机实验报告
西安交⼤传热学上机实验报告传热学上机实验报告⼆维导热物体温度场的数值模拟学院：化⼯学院姓名：沈佳磊学号：2110307016班级：装备11⼀、物理问题有⼀个⽤砖砌成的长⽅形截⾯的冷空⽓空道，其截⾯尺⼨如下图所⽰，假设在垂直于纸⾯⽅向上冷空⽓及砖墙的温度变化很⼩，可以近似地予以忽略。
在下列两种情况下试计算：（1）砖墙横截⾯上的温度分布；（2）垂直于纸⾯⽅向的每⽶长度上通过砖墙的导热量。
外矩形长为3.0m，宽为2.2m；内矩形长为2.0m，宽为1.2m。
第⼀种情况：内外壁分别均匀地维持在0℃及30℃；第⼆种情况：内外表⾯均为第三类边界条件，且已知：外壁：30℃，h1=10W/m2·℃,内壁：10℃，h2= 4 W/m2·℃砖墙的导热系数λ=0.53 W/m·℃由于对称性，仅研究1/4部分即可。
⼆、数学描写对于⼆维稳态导热问题，描写物体温度分布的微分⽅程为拉普拉斯⽅程22220t t x x ??+=??这是描写实验情景的控制⽅程。
三、⽅程离散⽤⼀系列与坐标轴平⾏的⽹格线把求解区域划分成许多⼦区域，以⽹格线的交点作为确定温度值的空间位置，即节点。
每⼀个节点都可以看成是以它为中⼼的⼀个⼩区域的代表。
由于对称性，仅研究1/4部分即可。
依照实验时得点划分⽹格。
建⽴节点物理量的代数⽅程对于内部节点，由?x=?y ，有,1,1,,1,11()4m n m n m n m n m n t t t t t +-+-=+++由于本实验为恒壁温，不涉及对流，故内⾓点，边界点代数⽅程与该式相同。
设⽴迭代初场，求解代数⽅程组图中，除边界上各节点温度为已知且不变外，其余各节点均需建⽴类似3中的离散⽅程，构成⼀个封闭的代数⽅程组。
以t ? =0°C 为场的初始温度，代⼊⽅程组迭代，直⾄相邻两次内外传热值之差⼩于0.01，认为已达到迭代收敛。
四、编程及结果program mainimplicit nonereal ,dimension(1:16,1:12)::treal ,dimension(1:16,1:12)::t1real q,q1,q2,q3,q4,q5,q6,q7,q8,q9,q10,q11,a integer m,n,z logical::converged=.false.z=1t=0a=0.53do n=1,12t(1,n)=30end dodo m=2,16t(m,12)=30end dodo n=1,7t(6,n)=0end dodo m=7,16t(m,7)=0end dodo while(.not.converged.and.z<10000)t1=tdo m=2,5do n=1,11if( n==1 )thent(m,n)=0.25*(t(m-1,n)+t(m+1,n)+2*t(m,n+1))elset(m,n)=0.25*(t(m-1,n)+t(m+1,n)+t(m,n-1)+t(m,n+1)) end if end doend dodo n=8,11do m=6,16if (m==16) thent(m,n)=0.25*(t(m,n-1)+t(m,n+1)+2*t(m-1,n)) elset(m,n)=0.25*(t(m-1,n)+t(m+1,n)+t(m,n-1)+t(m,n+1)) end if end doend doz=z+1do m=1,16do n=1,12if(abs(t(m,n)-t1(m,n))>0.000001) thenconverged=.false.exitelseconverged=.true.end ifend doend doend dowrite(*,'(16f5.1)',advance='no')((t(m,n),m=1,16),n=12,7,-1) write(*,*) write(*,'(6f5.1)',advance='no')((t(m,n),m=1,6),n=6,1,-1)do n=2,11q1=(t(1,n)-t(2,n))*a+q1end dodo m=2,15q2=(t(m,12)-t(m,11))*a+q2end doq3=(t(1,1)-t(2,1))*a*0.5q4=(t(16,12)-t(16,11))*a*0.5q10=q1+q2+q3+q4write(*,*)do n=2,6q5=(t(5,n)-t(6,n))*a+q5end dodo m=7,15q6=(t(m,8)-t(m,7))*a+q6end doq7=(t(5,1)-t(6,1))*a*0.5q8=(t(16,8)-t(16,7))*a*0.5q9=(t(5,7)-t(6,7))*a*2q11=q5+q6+q7+q8+q9q=(q10+q11)*0.5*4print*,"外表⾯导量=",q10,"内表⾯导热量",q11,"每⽶⾼砖墙导热量",q end结果截图：将以上结果⽤matlab画图⼯具绘制出如下图像：。
二维稳态导热
导热系数呢？
4.4 有限差分方程之
3.能量平衡法
考虑节点（m, n），对于无内热源的 二维稳态情况，仅仅在（m, n）点与和它 相邻的四个节点之间有能量交换。
对于节点（m, n）所控制区域（单 元），能量守恒关系可以表示为
4
q(i)(m,n) 0
i 1
内部节点
为计算热传导速率，假定只有在x或y方向上的通道才会发生热传导，
4.29
Tm,n1 Tm,n1 Tm1,n Tm1,n 4Tm,n 0
4.29
1.节点（m,n）处的热导热方程从一个严格的微分方程简化为一个近似的代数方程。
2.这个近似的有限差分形式可应用于与四个相邻节点等距的任意内部节点。
3.这一关系就是“相邻节点温度之和等于要求节点温度的四倍” 。
2. 如果一个绝热表面或暴露于对流条件下的表面的 温度是未知的，对这种表面上的点，必须应用能量 平衡法得到有限差分方程。
3. 考虑图中凹角上的一个节点。假定这一节点代表 了图中划阴影线的三个部分，它和与它接触的温度为
T 的流体进行对流传热。
传导部分
qm1,nm,n k
y 1 Tm1,n Tm,n x
y m,n
1 2
y
T
Tm,n1 Tm.n
y m
,n
1 2
y
有限差分法计算结果的精度与网格划分之间的关系
1. 每个节点代表一个确定的区域，节点的温度就代表这个区域 （单元）的平均温度。
2. 节点的选择通常取决于几何上的方便以及所要求的准确度。
3. 所做计算在数值上的准确度与选用的节点数目之间有密切关 系，如果数目很小（稀网格），其准确度不高，密网格可获得 较高的精度。
二维稳态导热问题的数值解法
核科学与技术学院《传热学》二维稳态导热问题的数值解法作业姓名：罗晓学号：2014151214班级：20141512任课教师：李磊，张智刚哈尔滨工程大学核科学与技术学院2016年11月28日问题重述：第一题：如图所示，一个无限长矩形柱体，其横截面的边长分别为L 1和L 2，常物性。
该问题可视为二维稳态导热问题，边界条件如图中所示，其中L 1=0.6m ，L 2=0.4m ，T w 1=60℃，T w 2=20℃，λ=200W/(mK)。
1）编写程序求解二维导热方程。
2）绘制x =L 1/2和y=L 2/2处的温度场，并与解析解进行比较。
已知矩形内的温度场的解析解为：()()()()1211w2w1sh sh sin ,L L L y L x t t y x t πππ+=。
第二题将第一题中2y L =处的边界条件变为2w t t =，其他条件不变。
1)编写程序求解二维导热方程并计算从y =0处导入的热量2Φ。
2)当21L L 时，该二维导热问题可简化为一维导热问题。
在一维的近似下，试计算从y =0处导入的热量1Φ，并比较不同L 2/L 1下21ΦΦ的比值。
由该问题的解析解可知：L 2/L 10.0070.010.050.080.121ΦΦ0.99870.99120.9560.930.912解：（第一题第一问）对于此问题，由于可以视为二维稳态导热问题，由二维稳态热传导1,1,,,1,1,22220m n m n m nm n m n m nt t t t t t xy+-+-+-+-+=∆∆基本方程：22220t tx y∂∂+=∂∂用数值法对该区域进行节点划分(如下图所示）：x 方向上一共划分M 个节点，y 方向上一共划分N 个节点。
可以将以上方程改为：如果我们取x y ∆=∆则有：1,1,1,1,,4m n m n m n m nm n t t t t t +-+-+++=考虑到节点位置的特殊性，我们在此将节点的种类进行如下划分，并给出节点的离散方程。
传热学ch2稳态导热
dΦ/dA为通过该点的热流密度，傅里叶定律 的热流密度表达式写为：
t q λ n
负号表示热流方向和温度梯度方向相反，即 指向温度降低的方向。 q是沿n方向传递的热流密度（严格地说热 流密度是矢量，所以q应是热流密度矢量在 n方向的分量）单位为W/m²。 t n 是物体沿n方向的温度变化率
2.1.2导热基本定律 1）傅里叶导热定律 定义式： dΦ λ dA t
n
λ——导热系数 A——传热面积，单位为m² t ——温度，单位为K
物理意义：
通过物体内某点微元面积dA，在单位时间里传 递的热量与该点处的温度梯度以及截面面积成正 比。导热基本定律说明的是通过物体中任一点导 热量的大小，热量传递的方向和温度传递的方向相
假定前提：热扰动的传递速度无限大。 不适用范围（非傅里叶导热）： 1）温度效应，导热物体的温度接近0K时； 2）时间效应，当过程的作用时间极短，与材料 本身固有的时间尺寸（松弛时间）相接近时； 3）尺度效应，当过程发生的空间尺寸极小，与 微观粒子的平均自由行程相接近时。
已知条件：无内热源、λ为定值、稳态 导热微分方程： t 0
c. 温度与热导率的关系 物体热导率随温度的变化关系比较复杂,如 图所示，但一般在某个不大的温度范围内， 可以认为二者之间成线性关系，一般写成 0 (1 bt) 其中b称为温度系数。
温度对物质的热导率具有较大的影响，同 一物体温度变化，热导率一般也发生变化。 因此，在谈论某种物体的热导率时，一般 应指明物体此时所处的温度，如果没有指 明，一般物体温度为常温。
一维稳态温度场假设肋片受到流体冷却肋基温度为t高温肋片温度沿肋高h下降由于肋片一般在长度方向肋宽方向较长所以温度在该方向不变在肋片厚度方向由于肋片很薄且大所以该方向温度也不变所以温度只在肋高方向变化是一维稳态温度场如图221则1宏观整个肋片上从肋基到肋端取为控制体则能量平衡为
西安交通大学传热学大作业---二维温度场热电比拟实验
西安交通大学传热学大作业一、物理问题有一个用砖砌成的长方形截面的冷空气通道，其截面尺寸如下图1-1所示，假设在垂直于纸面方向上用冷空气及砖墙的温度变化很小，可以近似地予以忽略。
在下列两种情况下试计算：砖墙横截面上的温度分布；垂直于纸面方向的每米长度上通过砖墙的导热量。
第一种情况：内外壁分别均匀维持在0℃及30℃；第二种情况：内外壁均为第三类边界条件，且已知：K m W K m W h C t K m W h C t ∙=∙=︒=∙=︒=∞∞/53.0砖墙导热系数/20,10/4,30222211λ二、数学描写由对称的界面必是绝热面，可取左上方的四分之一墙角为研究对象，该问题为二维、稳态、无内热源的导热问题。
控制方程：02222=∂∂+∂∂y tx t边界条件：① 给出了边界上的温度，属于第一类边界条件：由对称性知边界1绝热： 0=w q ； 边界2、3为等温边界：t w2=0℃，t w3=30℃② 给出了边界上的边界上物体与周围流体间的表面传热系数h 及周围流体的温度t f ，属于第三类边界条件 由对称性知边界1绝热： 0=w q ；边界2为对流边界，)()(2f w w w t t h n tq -=∂∂-=λ； 边界3为对流边界，)()(3f w w w t t h n t q -=∂∂-=λ。
1-1图2-1图三、数学模型网格划分：将长方形截面离散成31×23个点，用有限个离散点的值的集合来代替整个截面上温度的分布，通过求解按傅里叶导热定律、牛顿冷却公式及热平衡法建立的代数方程，来获得整个长方形截面的温度分布，进而求出其通过壁面的冷量损失。
步长为0.1m ，记为△x=△y=0.1m 。
采用热平衡法，利用傅里叶导热定律和能量守恒定律，按照以导入元体（m,n ）方向的热流量为正，列写每个节点代表的元体的代数方程。
第一种情况：()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++==︒==︒==︒==︒==︒==︒==︒==︒=+-+-代表内部点,，点4126~6,1018,26~6,106,18~6,10,2618~6,10,631~1,3023,31~1,301,23~1,30,3123~1,30,11,1,,1,1,n m t t t t t n C m t n C m t n C n t n C n t n C m t n C m t n C n t n C n t n m n m n m n m n m 第二种情况对于外部角点（1,1）、（1,23）、（31,1）、（31,，23）有：()()02222,1,,22,,1,22=∆∆-+-∆+∆∆-+-∆±±x y t t t t x h y x t t t t yh n m n m n m f n m n m n m f λλ 得到：()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=++=22,3123,3023,312,311,301,3122,123,223,12,11,21,11865331400186533140018653314001865331400t t t t t t t t t t t t 同理可得：对于内部角点（6,6）（6,18）（26,6）（26,18） ，有()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=++++=7,2618,2518,2719,2618,267,266,256,275,266,2618,717,619,618,518,67,66,75,66,56,671853359533592000718533595335920007185335953359200071853359533592000t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t对于外部边界节点有()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++==+++==+++==+++=+-+-+-+-20~2,29253146537360020~2,29253146537360022~2,29253146537360022~229253146537360023,123,122,23,1,11,12,1,1,311,31,30311,11,1,21m t t t t m t t t t n t t t t n t t t t m m m m m m m m n n n n n n n n ，，， 对于内部边界节点有()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++==+++==+++==+++=+-+-+-+-25~7,6125330653153100025~7,6125330653153100017~7,6125330653153100017~7,6125330653153100018,118,119,18,6,16,15,6,1,261,26,27261,61,6,56n t t t t n t t t t n t t t t n t t t t m m m m m m m m n n n n n n n n ，， 对于内部节点有()1,1,,1,1,41+-+-+++=n m n m n m n m n m t t t t t传热问题的有限差分解法中主要采用迭代法。
《传热学》第四章大作业
《传热学》第四章大作业 ——二维稳态导热问题的数值解法
第一题：
如图所示，一个无限长矩形柱体，其横截面的边长分别为L 1和L 2，常物性。
该问题可视为二维稳态导热问题，边界条件如图中所示，其中L 1=0.6m ，L 2=0.4m ， T w1=60℃，T w2=20℃，λ=200W/(m·K)。
(1) 编写程序求解二维导热方程。
(2) 绘制x =L 1/2和y =L 2/2处的温度场，并与解析解进行比较。
已知矩形内
的温度场的解析解为()()()()
1211w2w1sh sh sin ,L L L y L x t t y x t πππ+=。
第二题
将第一题中y =L 2处的边界条件变为t =t w2，其他条件不变。
(1) 编写程序求解二维导热方程并计算从y =0处导入的热量Φ2。
(2) 当L 2<<L 1时，该二维导热问题可简化为一维导热问题。
在一维的近似下，试计算从y =0处导入的热量Φ1，并比较不同L 2/L 1下Φ2/Φ1的比值。
由该问。
传热学上机C程序源答案之二维非稳态导热的数值计算
二维稳态导热的数值计算2.1物理问题一矩形区域，其边长L=W=1，假设区域内无内热源，导热系数为常数，三个边温度为T1=0，一个边温度为T2=1，求该矩形区域内的温度分布。
2.2 数学描述 对上述问题的微分方程及其边界条件为：2222T T 0x y∂∂+=∂∂ x=0，T=T 1=0x=1，T=T 1=0y=0，T=T 1=0y=1，T=T 2=1 该问题的解析解：112121(1)sin n n n sh y T T n L x n T T n L sh W L ππππ∞=⎛⎫⋅ ⎪---⎛⎫⎝⎭=⋅ ⎪-⎛⎫⎝⎭⋅ ⎪⎝⎭∑ 2.3数值离散2.3.1区域离散区域离散x 方向总节点数为N ，y 方向总节点数为M ，区域内任一节点用I,j 表示。
2.3.2方程的离散 对于图中所有的内部节点方程可写为：2222,,0i j i jt t x y ⎛⎫⎛⎫∂∂+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 用I,j 节点的二阶中心差分代替上式中的二阶导数，得：+1,,-1,,+1,,-1222+2+0i j i j i ji j i j i j T T T T T T x y --+=上式整理成迭代形式：()()22,1,-1,,1,-12222+2()2()i j i j i j i j i j y x T T T T T x y x y ++=++++ (i=2,3……,N -1)，(j=2,3……,M -1)补充四个边界上的第一类边界条件得：1,1j T T = (j=1,2,3……,M),1N j T T = (j=1,2,3……,M),1i j T T = (i=1,2,3……,N),2i M T T (i=1,2,3……,N)#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 10#define M 10main(){char s;int i,j,l;float cha,x,y;float t[N][M],a[N][M];/*打印出题目*/printf("\t\t\t 二维稳态导热问题\t\t");printf("\n\t\t\t\t\t\t----何鹏举\n");printf("\n 题目：补充材料练习题二\n");printf("\n 矩形区域，边长L=W=1，假设区域内无内热源，导热系数为常熟，三个边温度为T1=0，一个边温度为T2=1，求该矩形区域内的温度分布。
二维稳态热传导方程
二维稳态热传导方程在热传导领域，二维稳态热传导方程是一个重要的理论基础，它描述了物体在特定条件下热传导过程的物理规律。
在拥有固定温度场的前提下，二维稳态热传导方程可以描述物体的温度分布。
它的基本的数学表达式如下：$$frac{partial^{2}T}{partialx^{2}}+frac{partial^{2}T}{partial y^{2}}=0$$其中，T代表物体的温度，x和y分别表示物体内温度场的横向和纵向方向坐标。
从它的表达式可以看出，这个方程在x和y方向上是等价的，表明温度场在物体不同位置上具有同样的温差。
二维稳态热传导方程经常用以计算物体表层温度分布，如受稳态热传导作用的墙壁、空气和水等物质的温度分布研究。
在室外热传导研究中，除了研究墙壁的温度分布外，还可以使用二维稳态热传导方程来研究空气的温度分布，以及如何影响空气中的风流和湿度等。
二维稳态热传导方程还可用于研究物体内部温度分布，如金属、砖块、石子等物质的温度场。
通过利用二维稳态热传导方程，可以计算出物体的温度场，并且可以更好地判断物体的热传导率、热容量和热导率等特性。
二维稳态热传导方程还可以用于计算液体的温度场，如汽水的温度场。
这里，液体温度的变化是由流动的温度场所决定的，可以用二维稳态热传导方程来模拟温度场变化，以及液体在不同温度场下的密度变化。
此外，二维稳态热传导方程还可以用于估算加热物体的热量传递速度，以及物体内部温度的变化趋势。
这里的热量传递速度是指，当热源传入物体时，物体内部温度所发生的变化，可以根据二维稳态热传导方程计算出来。
综上所述，二维稳态热传导方程对热传导理论和技术具有重要的指导意义。
它不仅可以用于计算墙壁、空气、水和金属等物质的温度分布，还可以用于估算物体内部温度变化和热量传递速度。
有效地利用它，可以使我们更好地把握热传导过程，从而改善热传导设计、分析和控制的能力。
总的来说，二维稳态热传导方程是热传导领域中不可缺少的理论基础，在设计和研究热传导过程中具有重要的指导意义。
数值传热二维稳态导热问题及程序
} float e = 0.001;
//设迭代误差限；
for(k=1;k < 100;k++) // 设置最大迭代次数； { for(i = 1;i < M-1;i++) //完成一次迭代； for(j = 1;j < N-1;j++) { T[i][j] = 0.25 * ( T[i-1][j] + T[i+1][j] + T[i][j-1] + T[i][j+1] ); } for(i = 1;i < M-1;i++) 差值； for(j = 1;j < N-1;j++) { dif[i][j] = fabs(T[i][j] - Tcopy[i][j]); } max = dif[1][1]; for(i = 1;i < M-1;i++) 最大差值； for(j = 1;j < N-1;j++) { if(max < dif[i][j]) max = dif[i][j]; } if(max <= e) break; for(i = 1;i < M-1;i++) for(j = 1;j < N-1;j++) { Tcopy[i][j] = T[i][j]; } } //求相邻两迭代温度值的 //求相邻两迭代温度值的
2.求解过程—热平衡法 （1）区域离散化 对正方形区域进行离散，将该区域划分成不同节点数的不重叠子区 域。设置节点时采用内点法。
（2）控制方程离散化 依据题意，二维稳态无源项的纯导热问题的控制方程如式（1） .…...……………….（1） 扩散项——中心差分，如式（2）（3）
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传热学大作业报告二维稳态计算院系：能源与环境学院专业：核工程与核技术姓名：***学号：********一、原始题目及要求计算要求：1. 写出各未知温度节点的代数方程2. 分别给出G-S 迭代和Jacobi 迭代程序3. 程序中给出两种自动判定收敛的方法4. 考察三种不同初值时的收敛快慢5. 上下边界的热流量（λ=1W/(m ℃））6. 绘出最终结果的等值线报告要求：1. 原始题目及要求2. 各节点的离散化的代数方程3. 源程序4. 不同初值时的收敛快慢5. 上下边界的热流量（λ=1W/(m ℃））6. 计算结果的等温线图7. 计算小结二、各节点的离散化的代数方程左上角节点 )(211,22,11,1t t t +=右上角节点 )(215,24,15,1t t t += 左下角节点 C t ︒=1001,5右下角节点 )2(211,24,55,5λλx h t t x h t ∆++∆+=左边界节点 C t i ︒=1001,，42≤≤i上边界节点 C t j ︒=200,1，42≤≤j右边界节点 )2(415,15,14,5,+-++=i i i i t t t t ，42≤≤i 下边界节点 )42()2(211,51,5,4,5∞+-∆+++∆+=t x h t t t x h t j j j j λλ，42≤≤j 内部节点 )(21,1,11,1,,j i j i j i j i j i t t t t t +-+-+++=，4,2≤≤j i 三、源程序1、G-S 迭代法t=zeros(5,5);t0=zeros(5,5);dteps=0.0001;for i=2:5 %左边界节点t(i,1)=100;endfor j=2:4 %上边界节点t(1,j)=200;endt(1,1)=(t(1,2)+t(2,1))/2;tfor k=1:100for i=2:4 %内部节点for j=2:4t(i,j)=(t(i-1,j)+t(i+1,j)+t(i,j-1)+t(i,j+1))/4;endendt(1,5)=(t(1,4)+t(2,5))/2;%右上角节点for i=2:4;%右边界节点t(i,5)=(2*t(i,4)+t(i-1,5)+t(i+1,5))/4;endfor j=2:4; %下边界节点t(5,j)=(2*t(4,j)+t(5,j-1)+t(5,j+1)+200)/24;endt(5,5)=(t(5,4)+t(4,5)+100)/12;%右下角节点dtmax=0;for i=1:5for j=1:5dtmax=max(abs(t(i,j)-t0(i,j)),dtmax);endendktdtmaxt0=t;contour(t',30);pause;if dtmax<dteps break; endendtplot(t);运行结果：t =150.0000 200.0000 200.0000 200.0000 171.3730 100.0000 137.7620 147.6867 148.5797 142.7461 100.0000 103.3613 104.4054 103.8862 102.4519 100.0000 71.2780 62.6875 60.1080 59.2890 100.0000 19.0631 14.9586 14.5693 14.4882等温图：2、Jacobi迭代法t=zeros(5,5);t1=zeros(5,5);dteps=0.0001;for i=2:5%左边界节点t(i,1)=100;endfor j=2:4 %上边界节点t(1,j)=200;endt(1,1)=(t(1,2)+t(2,1))/2;tt1=t;for k=1:100for i=2:4 %内部节点for j=2:4t1(i,j)=(t(i-1,j)+t(i+1,j)+t(i,j-1)+t(i,j+1))/4;endendt1(1,5)=(t(1,4)+t(2,5))/2;%右上角节点for i=2:4;%右边界节点t1(i,5)=(2*t(i,4)+t(i-1,5)+t(i+1,5))/4;endfor j=2:4; %下边界节点t1(5,j)=(2*t(4,j)+t(5,j-1)+t(5,j+1)+200)/24;endt1(5,5)=(t(5,4)+t(4,5)+100)/12;%右下角节点dtmax=0;for i=1:5for j=1:5dtmax=max(abs(t1(i,j)-t(i,j)),dtmax);endendkt1dtmaxt=t1;contour(t',30);pause;if dtmax<dteps break; endendt1plot(t1);运行结果：t1 =150.0000 200.0000 200.0000 200.0000 171.3729100.0000 137.7620 147.6867 148.5796 142.7459100.0000 103.3613 104.4053 103.8861 102.4517100.0000 71.2779 62.6874 60.1079 59.2889100.0000 19.0631 14.9586 14.5693 14.4882等温图：四、不同初值时的收敛快慢以G-S迭代为例：1、令初始值t=100，在程序代码的第四行加入代码：t(1:5,1:5)=10;则可以给出未知节点的初始值为10运行结果为：k =36t =150.0000 200.0000 200.0000 200.0000 171.3730 100.0000 137.7620 147.6867 148.5797 142.7460 100.0000 103.3613 104.4054 103.8862 102.4518 100.0000 71.2780 62.6875 60.1080 59.2890 100.0000 19.0631 14.9586 14.5693 14.4882 dtmax = 9.6143e-05表示在当初值为10时其迭代36次得到最终结果2、令初始值t=50，k =37t =125.0000 200.0000 200.0000 200.0000 168.646750.0000 115.7484 137.0412 142.4485 137.293550.0000 75.9524 89.9681 95.4595 95.630450.0000 48.0931 51.4195 53.7911 54.309150.0000 15.0005 13.8257 13.9763 14.0238dtmax =7.0088e-05一共迭代37次得到结果3、令初始值t=200，k =38t =150.0000 200.0000 200.0000 200.0000 171.3733100.0000 137.7622 147.6870 148.5801 142.7464100.0000 103.3615 104.4057 103.8866 102.4522100.0000 71.2781 62.6877 60.1082 59.2892100.0000 19.0631 14.9587 14.5693 14.4882dtmax = 8.9881e-05可以看出，当初值较小时，收敛得越快五、上下边界的热流量上边界的热流量：δλi i i U t A ∆∑=Φ=51 ))7461.1423730.171(5.0)5797.148200()6867.147200()100150(5.0(1-⨯+-+-+-⨯⨯= W 144.0471=下边界的热流量i i i U t hA ∆∑=Φ=51 )]104882.14(5.0)105693.14()109586.14()100631.19[(10-⨯+-+-+-⨯=W 208.351=六、计算小结二维稳态导热的数值计算主要采用了热平衡法。
用差分法建立节点的热平衡方程，将节点所在的单元体的四个方向传递的热流密度，内热源在单元体产生的热流密度，根据能量守恒的原则建立方程，可以得到每一个节点的离散化代数方程。
进行数值计算的方法是：先设定初值，在根据初值对每一个节点进行迭代可以求得节点的值。
再将初值与新值进行比较，判断迭代的敛散性。
比较常用的迭代方法有两种：Gauss-Seidel法和Jacobi法。
Gaus-Seidel法每次迭代计算，均是使用节点温度的最新值。
Jacobi 迭代法每次迭代计算均用上一次迭代计算出的值。
对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合适有可能导致迭代过程发散，而对于常物性导热问题组成差分方程组，每一个方程都选用导出方程的中心节点温度作为迭代变量则迭代一定收敛。
从计算中可以发现，运用Gauss-Seidel迭代法迭代次数少，收敛性好，因此一般较为常用。