2020年重庆一中高一(上)期中数学试卷
高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合A ={1,3，4}，B ={2,4}，则(∁U A)∩B =( )A. {2}B. {2,4}C. {1,2，4}D. ⌀2. 函数f(x)=a x−1−1(a >0且a ≠1)的图象必经过定点( )A. (0,−1)B. (1,−1)C. (−1,0)D. (1,0)3. 在0到2π范围内，与角−4π3终边相同的角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 4π34. 函数f(x)=√3−2x +lg(x +2)的定义域是( )A. (−2,32)B. (−2,32]C. (−2,+∞)D. (32,+∞)5. 已知a =0.42.1，b =20.3，c =log 50.3，则( )A. c <a <bB. a <b <cC. c <b <aD. a <c <b6. 函数f(x)=lnx −1x 的零点所在的大致区间是 ( )A. (1e ,1)B. (1,e)C. (e,e 2)D. (e 2,e 3)7. 已知函数f(x)={log 2x(x >0)3x (x ≤0)，则f[f(18)]的值是( )A. 27B. 127C. −27D. −1278. 函数y =x⋅e x |x|的图象的大致形状是( )A. B.C. D.9.已知函数f(x)=log12(3x2−ax+5)在[−1,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是()A. [−8,−6]B. (−∞,−6]C. (−8,−6]D. (−∞,−2√15)10.已知关于x的方程|2x−m|=1有两个不等实根，则实数m的取值范围是()A. (−∞,−1]B. (−∞,−1)C. [1,+∞)D. (1,+∞)11.已知函数f(x)=ln(√x2+1+x)+a xa x−1(a>0且a≠1)，若f(lg(log23))=13，则f(lg(log32))=()A. 0B. 13C. 23D. 112.设函数f(x)=e x+2x−a(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立，则a的取值范围是()A. [1,e]B. [1,1+e]C. [e,1+e]D. [0,1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0,+∞)上为增函数，则m=．14.已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______cm2．15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，则当x<0时，f(x)=______．16.已知函数f(x)=log13(−|x|+3)定义域是[a,b](a，b∈Z)，值域是[−1,0]，则满足条件的整数对(a,b)有______对．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.化简：(1)(214)12−(√3−π)0+log313+712log74；(2)lg5⋅lg20+(lg2)2+−√6−2√5．√5+2≤0}，18.已知集合A为函数f(x)=x2+2x−1，x∈[1,2]的值域，集合B={x|x−4x−1则(1)求A∩B；(2)若集合C={x|a<x<a+1}，A∩C=C，求实数a的取值范围．19.已知函数y=f(x)为二次函数，f(0)=4，且关于x的不等式f(x)−2<0解集为{x|1<x<2}，(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)−a=0有一实根大于1，一实根小于1，求实数a的取值范围．20. 已知函数f(x)=2x −a⋅2−x 2x +2−x是定义在R 上的奇函数．(1)求实数a 的值，并求函数f(x)的值域；(2)判断函数y =f(x)的单调性(不需要说明理由)，并解关于x 的不等式5f(2x +1)−3≥0．21. 已知函数f(x)={2−(12)x ,x ≤012x 2−x +1,x >0，(1)画出函数f(x)的草图并由图象写出该函数的单调区间； (2)若g(x)=3x2−x−a ，对于任意的x 1∈[−1,1]，存在x 2∈[−1,1]，使得f(x 1)≤g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．22. 对于在区间[m,n]上有意义的函数f(x)，满足对任意的x 1，x 2∈[m,n]，有|f(x 1)−f(x 2)≤1|恒成立，则称f(x)在[m,n]上是“友好”的，否则就称f(x)在[m,n]上是“不友好”的，现有函数f(x)=log 31+ax x．(1)若函数f(x)在区间[m,m +1](1≤m ≤2)上是“友好”的，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的方程f(x)log 3[(a−3)x+2a−4]=1的解集中有且只有一个元素，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：U={1,2，3，4}，A={1,3，4}，B={2,4}，∴∁U A={2}，(∁U A)∩B={2}．故选：A．进行交集、补集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：令x−1=0，解得x=1，此时y=a0−1=0，故得(1,0)此点与底数a的取值无关，故函数y=a x−1−1(a>0且a≠1)的图象必经过定点(1,0)故选：D．由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数x−1=0，解得x=1，y=0，故得定点(1,0)．本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标．属于指数函数性质考查题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．得到与角−4π3终边相同的角是2kπ+(−4π3)，k∈Z是解题的关键．【解答】解：与角−4π3终边相同的角是2kπ+(−4π3)，k∈Z，令k=1，可得与角−4π3终边相同的角是2π3，故选：C．4.【答案】A【解析】解：由{3−2x >0x +2>0，解得−2<x <32．∴函数f(x)=√3−2x +lg(x +2)的定义域是(−2,32). 故选：A ．由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵0<a =0.42.1<0.40=1， b =20.3>20=1， c =log 50.3<log 51=0． ∴c <a <b ． 故选：A ．利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a ，b ，c 与0和1的大小得答案． 本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由于连续函数f(x)=lnx −1x 满足f(1)=−1<0，f(1)=1−1e >0， 且函数在区间(0,e)上单调递增，故函数f(x)=lnx −1x 的零点所在的区间为( 1,e)． 故选：B ．由于连续函数f(x)=lnx −1x 满足f(1)<0，f(e)>0，根据函数零点判定定理，由此求得函数的零点所在的区间．本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵f(x)={log 2x(x >0)3x (x ≤0)∴f[f(18)]=f(−3)=127故选B ．由已知中的函数的解析式，我们将18代入，即可求出f(18)的值，再代入即可得到f[f(18)]的值．本题考查的知识点是分段函数的函数值，根据分析函数的解析式，由内到外，依次代入求解，即可得到答案．8.【答案】B【解析】解：当x>0时，y=e x，排除C，D．当x<0时，y=−e x，为减函数，排除A．故选：B．根据绝对值的应用，分别求出当x>0和当x<0时的解析式，结合指数函数的图象和性质进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数的性质是解决本题的关键．比较基础．9.【答案】C【解析】解：令t=3x2−ax+5，则t=3x2−ax+5在[−1,+∞)上是增函数，且t>0∴{a6≤−13+a+5>0，∴−8<a≤−6故选：C．令t=3x2−ax+5，则t=3x2−ax+5在[−1,+∞)上是增函数，且t>0，故可建立不等式组，即可得到结论．本题考查复合函数的单调性，解题的关键是确定内函数的单调性，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：2x−m=1或2x−m=−1，即m=2x−1，或者m=2x+1，当m=2x−1>−1时，有一个解，当m=2x+1>1时，有一个解，所以m>1时，方程|2x−m|=1有两个不等实根，故选：D．分离参数，再根据指数函数性质求出．考查方程根的个数问题，利用了分类讨论法，分离参数法，中档题．11.【答案】C【解析】解：f(x)=ln(√x 2+1+x)+a xa x −1，则f(−x)=ln(√x 2+1−x)+a −xa −x −1，∴f(x)+f(−x)=ln(√x 2+1+x)+ln(√x 2+1−x)+a x a x −1+11−a x =ln1+a x −1a x −1=1， lg(log 23)=lg1log 32=−lg(log 32)，∴f(lg(log 23))+f(lg(log 32))=f(−lg(log 32))+f(lg(log 32))=1， ∵f(lg(log 23))=13，∴f(lg(log 32))=1−f(lg(log 23))=1−13=23．故选：C ．可以求出f(x)+f(−x)=1，从而可求出f(lg(log 23))+f(lg(log 32))=1，根据f(lg(log 23))=13即可求出答案．本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：由f(f(b))=b ，可得f(b)=f −1(b) 其中f −1(x)是函数f(x)的反函数因此命题“存在b ∈[0,1]使f(f(b))=b 成立”，转化为 “存在b ∈[0,1]，使f(b)=f −1(b)”，即y =f(x)的图象与函数y =f −1(x)的图象有交点， 且交点的横坐标b ∈[0,1]，∵y =f(x)的图象与y =f −1(x)的图象关于直线y =x 对称，∴y =f(x)的图象与函数y =f −1(x)的图象的交点必定在直线y =x 上， 由此可得，y =f(x)的图象与直线y =x 有交点，且交点横坐标b ∈[0,1]， ∴e x +2x −a =x ∴a =e x +x 设g(x)=e x +x则g′(x)=e x +1>0在[0,1]上恒成立， ∴g(x)=e x +x 在[0,1]上递增， ∴g(0)=1+0=1，g(1)=e +1 ∴a 的取值范围是[1,1+e]， 故选：B ．利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．本题主要考察了复合函数的性质，综合性较强，属于难题．13.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的单调性，属于基础题．根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案．【解答】解：∵函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数∴可得m2−m−1=1解得m=−1或2，当m=−1时，函数为f(x)=x−3在区间(0,+∞)上单调递减，不满足题意；当m=2时，函数为f(x)=x3在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故答案为：2．14.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题．设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α，由于α=2弧度，可得：l=Rα=2R，由于扇形的周长为8=l+2R，所以：2R+2R=8，所以解得：R=2，扇形的弧长l=2×2=4，扇形的面积为：S=12lR=12×4×2=4(cm2).故答案为4．15.【答案】−x2+2x【解析】解：当x<0时，−x>0，则f(−x)=(−x)2+2(−x)=x2−2x．又f(x)是R上的奇函数，∴当x<0时f(x)=−f(−x)=−x2+2x．故答案为：−x2+2x．当x<0时，−x>0，由已知表达式可求得f(−x)，由奇函数的性质可得f(x)与f(−x)的关系，从而可求出f(x)．本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属基础题．16.【答案】5【解析】解：t=−|x|+3，值域是[−1,0]，∵1≤t≤3，∴1≤−|x|+3≤3，−2≤−|x|≤0，−2≤x≤2，a=−2，0≤b≤2满足条件，−2≤a≤0，b=2满足条件，(−2,0)(−2,1)(−2,2)(−1,2)(0,2)一共有5对．故答案为：5．由函数f(x)=log13(−|x|+3)的定义域，知−2≤x≤2，由a=−2，0≤b≤2满足条件，−2≤a≤0，b=2满足条件，知满足条件的整数对(a,b)有5对．本题考查对数函数的定义域和应用，解题时要注意对数函数定义域的限制．17.【答案】解：(1)(214)12−(√3−π)0+log313+712log74 =(9)12−1+log33−1+7log72 =32−1−1+2=32；(2)lg5⋅lg20+(lg2)2+1√5+2√6−2√5=lg5(lg10+lg2)+(lg2)2+√5−2−√(√5−1)2=lg5+lg2(lg5+lg2)−1=0．【解析】(1)化带分数为假分数，化0指数幂为1，再由有理指数幂与对数的运算性质化简求值；(2)把分式分母有理化，把根式开方，再由有理指数幂与对数的运算性质化简求值．本题考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础的计算题．18.【答案】解：(1)f(x)=(x+1)2−2，x∈[1,2]，∴f(x)的值域A=[2,7]，且B=(1,4]，∴A∩B=[2,4]；(2)∵A∩C=C，∴C⊆A，且C={x|a<x<a+1}，A=[2,7]，∴{a≥2a+1≤7，解得2≤a≤6，∴a的取值范围为[2,6]．【解析】(1)可看出f(x)在[1,2]上单调递增，从而可求出A=[2,7]，并且求出B=(1,4]，然后进行交集的运算即可；(2)根据A∩C=C即可得出C⊆A，从而可得出{a≥2a+1≤7，解出a的范围即可．本题考查了函数值域的定义及求法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)∵设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，f(0)=c=4；由于关于x的不等式f(x)−2<0解集为{x|1<x<2}，所以f(x)<2即ax2+bx+2<0的解集为{x|1<x<2}，且1+2=−ba ，1×2=2a；∴解得a=1，b=−3；∴函数f(x)的解析式为：f(x)=x2−3x+4．(2)设g(x)=x2−3x+4−a则g(1)=1−3+4−a=2−a<0，故a>2．所以实数a的取值范围为(2,+∞)．【解析】(1)根据给出的条件，用待定系数法求出函数解析式即可；(2)设g(x)=f(x)−a，则关于x的方程f(x)−a=0有一实根大于1，一实根小于1，转化为g(1)<0，解出a的取值范围即可．本题考查了三个“二次”的关系，待定系数法求函数解析式，数形结合的思想方法，属于基础题．20.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=2x−a⋅2−x2x+2−x是定义在R上的奇函数，则有f(0)=20−a⋅2020+20=1−a 2=0，变形可得a =1．故f(x)=2x −2−x 2x +2−x=22x −122x +1，为奇函数，符合题意， 又由f(x)=2x −2−x 2x +2−x=22x −122x +1，变形可得a 2x =y+11−y ，则有a 2x =y+11−y >0，解可得−1<y <1， 即函数的值域为(−1,1)；(2)根据题意，由(1)的结论，f(x)=2x −2−x 2x +2−x =22x −122x +1=1−222x +1，易知f(x)在R 上为增函数，且f(1)=1−24+1=35，则5f(2x +1)−3≥0⇒f(2x +1)≥35⇒f(2x +1)≥f(1)， 则有2x +1≥1，解可得x ≥0， 即不等式的解集为[0,+∞)．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=20−a⋅2020+20=1−a 2=0，分析可得a 的值，将函数的解析式变形可得a 2x =y+11−y ，则有a 2x =y+11−y >0，解可得y 的取值范围，即可得答案；(2)根据题意，由函数的解析式分析函数的单调性以及f(1)的值，进而分析可得5f(2x +1)−3≥0⇒f(2x +1)≥35⇒f(2x +1)≥f(1)，结合函数单调性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．21.【答案】解：(1)如下图所示，易知函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(−∞,0)，(1,+∞)，(2)由(1)知f(x)max =f(0)=1， g(x)=3x2−x−a ，设t =x 2−x =(x −12)2−14，x ∈[−1,12]，递减，[12,1]递增，因为3>1， 所以g(x)在[−1,12]，递减，[12,1]递增，g(x)max =max{g(1),g(−1)}=g(−1)=9−a ， 由题意可得f(x)max ≤g(x)max ，所以9−a ≥1，即a ≤8．【解析】(1)画出图象即可得到；(2)任意的x 1∈[−1,1]，存在x 2∈[−1,1]，使得f(x 1)≤g(x 2)成立相当于f(x)max ≤g(x)max ，解出最值，代入即可得到．考查分段函数的画法，存在性问题和恒成立问题，复合函数的单调性问题，中档题．22.【答案】解：(1)f(x)=log 3(a +1x )在[m,m +1]上单调递减，∴f(x)的最大值为f(m)=log 3(1m +a)，f(x)的最小值为log 3(1m+1+a). ∵函数f(x)在区间[m,m +1](1≤m ≤2)上是“友好”的， ∴log 3(1m +a)−log 3(1m+1+a)≤1，即1m +a 1m+1+a ≤3，∴a ≥−12⋅2m−1m(m+1)．令g(m)=−12⋅2m−1m(m+1)，则g′(m)=2m 2−2m−12(m 2+m)2，∴当1≤m ≤1+√32时，g′(m)<0，当1+√32<m ≤2时，g′(m)>0，又g(1)=−14，g(2)=−14，∴g(m)的最大值为−14． ∴a ≥−14．又对于任意的x ∈[m,m +1]，1x +a >0恒成立， a >−1x 恒成立，即a >−1m+1≥−13，综上，a 的取值范围是[−14,+∞)． (2)∵f(x)log 3[(a−3)x+2a−4]=1，即1x +a =(a −3)x +2a −4>0，且(a −3)x +2a −4≠1，①∴(a −3)x 2+(a −4)x −1=0，即[(a −3)x −1](x +1)=0，② 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立 当a =2时，方程②的解为x =−1，代入①，不成立． 当a ≠2且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−3．将x =−1代入①，则(a −3)x +2a −4=a −1>0且a −1≠1， ∴a >1且a ≠2，将x =1a−3代入①，则(a −3)x +2a −4=2a −3>0，且2a −3≠1， 所以a >32且a ≠2．要使方程有且仅有一个解，则1<a≤3，2综上，a的取值范围为{a|1<a≤3或a=3}．2【解析】(1)根据单调性求出f(x)的最大值，根据定义列出不等式，分离参数得出a关于m的不等式，利用函数求出函数的最值得出a的范围；(2)化简方程，讨论a的范围和方程解得出结论．本题考查了函数单调性与最值的计算，对数的运算性质，属于中档题．。
2020届重庆一中高三年级上学期期中考试数学(理)答案
在 中, ,故
所以 的面积
（2）在 中,由正弦定理 （*）
而 ,
代入（*）式得
18.解：（1）由已知
由定义知 为等差数列,且公差为 ,首项为
故
（2）由已知
故
错位相减得
即 ,所以
19.解：（1）证明：由已知 为正四棱锥,设 交于点 ,
由正棱锥的性质可知 平面 ,所以 ,
由于正方形 满足 , 为 的中位线,故 ,所以
设 ,将直线 与椭圆联立得
由韦达定理
结合 及 可知：
将韦达定理代入整理得
结合 知 ,设 ,
则
综上 的取值范围为
22.解：（1）已知等价于 ，由于
所以等价于
整理得曲线 的普通方程为 ，将 代入解得
（2）设直线 的参数方程为 （ 为参数， 为倾斜角）与 联立得：
，由韦达定理
由于 异号，故
将韦达定理代入，并结合 得
23.证明：（1）由已知 ，均值不等式
由均值不等式 ，结合 可知
（2）欲证 ，只需证
只需证 ；即证
结合 ，只需证 ，即 ，
即证 ，因为 ，故这是成立的.从而原不等式得证.
所以切线方程为 ,即
（2）由已知 ,故
由于 ,故 ,由于 在 单调递增
同时 ,故存在 使得
且当 时 ,当 时 ,
所以当 时 ,当 时 ,即函数 先减后增.
故
由于 ,所以
21.解：（1）由已知 ,设
由焦半径公式
,结合
故 ,故
（2）当直线 斜率不存在时,其方程为 ,由对称性,不妨设为 ,
此时 ,故
若直线 斜率存在,设其方程为 ,由已知
所以 平面 ,而 平面 ,所以
重庆市第一中学2020届高三数学上学期期中试题文【含答案】
13． cos 27 cos18 sin 27 sin18 __________.
35 D. 10
14．已知 an (2 a)n a ,若数列an是递增数列，则实数 a 的取值范围是________.
15.(原创）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC 90 且 AB 3 , BB1 4 ，设其外接 球的球心为 O ，且球 O 的表面积为 28 ，则 ABC 的面积为__________.
（2）设 bn
an
1 log2
an
1
，求
bn
的前
n
项和.
19．(12 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， P,Q 分别是 AA1 、 A1C1 的中点.
（1）设棱 BB1 的中点为 D ，证明： C1D// 平面 PQB1 ； （2）若 AB 2 ， AC AA1 AC1 4 ， AA1B1 60o 且平面 AA1C1C 平面 AA1B1B ，求三棱柱 ABC A1B1C1 的高.
f x e2x 2mx mx R， m R
21．(12 分）已知函数
．
（1）讨论函数 f x的单调性； （2）若 m 1，不等式 f x ln x ln 2 bx 对一切 x 0 恒成立，求实数 b 的取值范围.
选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.
21．（1） f x的定义域是 R ， f 'x 2e2x 2m ．..............1 分
①m
0 时，
f
' x
0
，
f
x在 R
上单调递增：...............3
分
②m
重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题及答案
秘密★启用前【考试时间：10月24日10：00-12：00】重庆一中高2027届高一上期月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}4,32A B x x =≤=>∣，则A B ⋂=（）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{316}xx ≤<∣c .223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02xx ≤≤∣2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤B.230,1x x x ∀<+≤C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥ B.2a > C.6a > D.6a ≥5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}mm -<<∣ B.{3mm <-∣或1}m >C.{13}mm -<<∣ D.{1mm <-∣或3}m >6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,x x ∀∈R 且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x ⎡⎤--<⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,17.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）B.34aa b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为168.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}54M x x =∈-≤≤Z ∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦11.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x=与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B ⋃=且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.14.若正实数,x y 满足33(23)(31)423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分，第（1）小问6分，第（2）小问7分）已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.16.（本小题满分15分，第（1）小问8分，第（2）小问7分）已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ⋃；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ⫋()R A ð，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分15分，第（1）小问3分，第（2）小问6分，第（3）小问6分）已知二次函数()f x 的图像过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分17分，第（1）小问5分，第（2）小问5分，第（3）小问7分）教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a > ，则有*12,2n a a a n n n +++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z x x y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.19.（本小题满分17分，第（1）小问3分，第（2）小问6分，第（3）小问8分）已知定义在11,,22∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.重庆一中高2027届高一上期月考数学参考答案一､单项选择题：1-4ABDC5-8CDBA7.B 【详解】选项A ：2112,a b a b =+≤++==时取等，得；A 对；选项B ：3433443577a a b a b a b a a b a b a b+++++=+=+≥+B 错；故选B 选项C ：()()211911,24a b a b a b +++⎛⎫++≤== ⎪⎝⎭时取等，C 对；选项D ：换元，令3,2x a y b =+=+，则6x y +=，于是，式子22(3)(2)949419425110413446666x y x y y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫--+=+=+-++=+⋅-=++-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取等条件为941812,55y x x y x y =⇒==8.A【详解】将集合M 的子集两两配对(),:4,4A B A B ∈∉且{}4B A ⋃=，则集合A 与集合B 的交替和之和为4，所以交替和的总和为9114222048==.故选：A二､多项选择题：9.BD 10.ACD 11.ABD11.ABD【详解】选项A ：()()()()()210121013101320272025202331f f f f f λλλλλ====== ，()()()()()210111012202420222020200f f f f f λλλλ====== ，所以选项A 正确；选项B ：由()()122f x f x =-知，()0,2024x ∈时，()()()()()[)()()[)()()[)210112,0,2124,2,42146,4,62120222024,2022,20242x x x x x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪--∈⎪⎪⎪=--∈⎨⎪⎪⎪⎪--∈⎪⎩ 由于()()()()()()1111111,33,553254g f g f g f ===<==<=，但()()()()31011111177,202320237220232g f g f =>==>= ，结合()(),f x g x 的图像可知()0,6x ∈上有2226++=个交点，在[)6,2024x ∈上无交点.补充说明：()0,2x ∈时，令()212f x x x x=-+=，可得()()()3221215210111,0,22x x x x x x x +-+=⇒---⇒==∈，因此选项B 正确；选项C ：[]2024,2025x ∈时，()()()1012120242026f x x x λ=--，故()f x 在[]2024,2025上单增，C错；选项D ：因为1λ<-，所以[]0,4x ∈时，值域为][,1;0,8x λ⎡⎤∈⎣⎦时，值域为[]32,;0,12x λλ⎡⎤∈⎣⎦时，值域为[]54,;0,16x λλ⎡⎤∈⎣⎦[]76,;,0,4x n λλ⎡⎤∈⎣⎦ 时，值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦，故D 正确.综上，正确答案为ABD.三､填空题：13.414.10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.13.10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，因为()(){}10B x x a ax =+-≤∣，且0a ≥：1当0a =时，[)0,B ∞=+，符合题意；2 当0a >时，11404a a ≥⇒<≤，综上，10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.14.【详解】由题可知()()33(23)23(13)13x x y y -+-=-+-，由于()3g t t t =+在R 上单增，所以上式()()23132313243g x g y x y x y ⇔-=-⇔-=-⇔=-，因此()2243343386624x y y x y y x x x x y xyx y -++=++=+≥，当且仅当38243y xx y x y⎧=⎪⎨⎪=-⎩，2622446,515x y -==时等号成立.四､解答题：15.解：（1）由()01f x =可得：(020001122112x x x x >-⎧⎪⇒==-⎨-=⎪⎩ 舍去）0000123,,23;21x x x x ≤-⎧⇒=-=-⎨--=⎩综上或（2）由()3f a a <+可得：()2211111,428024132a a a a a a a a a >-⎧⎧>->-⎧⎪⇒⇒⇒∈-⎨⎨⎨--<-<<-<+⎩⎩⎪⎩ ；1152,152322a a a a a a ⎧≤-⎧≤-⎪⎪⎛⎤⇒⇒∈--⎨⎨ ⎥--<+>-⎝⎦⎪⎪⎩⎩综上，1,2 取并，得5,42a ⎛∈-⎝⎭16.解：（1）()()43203143310{|22420x x x x A x x x x x ⎧--≥--≤⇒≤⇒⇒=≤⎨---≠⎩或2}x >.由321321x x ->⇒-<-或13213x x ->⇒<或11{3x B x >⇒=<或1}x >所以3{|4A B x x ⋃=≤或1}x >（2）因为3{|4A x x =≤或2}x >，所以3,24R A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð1当ΦM =时，43213a a a ->-⇒<，此时ΦR M A =⊂ð，所以43a <满足题意2 当ΦM ≠时，由题有3213433432212a a a a a -≤-⎧⎪⎪->⇒≤≤⎨⎪-≤⎪⎩.综上，12 取并，得实数a 的取值范围是3,2a ∞⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.17.解：（1）在不等式()26231x f x x --≤≤+，令()()141414x f f =-⇒≤-≤⇒-=（2）因为()f x 为二次函数且图像过原点()0,0，所以可设()()2,0f x ax bx a =+≠，由()1444f a b b a -=⇒-=⇒=-，于是()()24f x ax a x =+-，由题：()()262220,f x x ax a x x ≥--⇔+++≥∈R 恒成立()222002,222Δ0(2)8(2)0a a a b f x x x a a a ⎧>>⎧⇔⇔⇒==-⇒=-⎨⎨≤+-=-≤⎩⎩，检验知此时满足()2231(1)0,f x x x x ≥--⇔+≥∈R ，故()222f x x x =-；（3）函数()222f x x x =-，开口向上，对称轴12x =，所以()222f x x x =-在区间(]1,6上单调递增，因此，(]11,6x ∈时，()()()(11,6f x f f ⎤∈⎦，即()(]10,60f x ∈，而()g x m x =-在[]6,10上单调递减，所以[]26,10x ∈时，()[]210,6g x m m ∈--因为对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，等价于()()(]110010,10f g m m ∞≥⇒≥-⇒∈-18.解：（1）因为,,0x y z >，所以由三阶基本不等式可得：246y z x x y z ++≥=因此24y z xx y z++的最小值为6，当且仅当24y z x x y z ==即2222y xzz xy ⎧=⎨=⎩即2y z x ==时取等；（2）当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由四阶基本不等式可得：()()()432221227222272733312128333842048x x x x x x x x x x ⎛⎫+++- ⎪-=⋅⋅⋅⋅-≤⋅= ⎪⎪⎝⎭，因此()312x x -的最大值为272048，当且仅当2123xx =-即310,82x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取等；（3）大小关系为1*1111,1kk k k k +⎛⎫⎛⎫+<+∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭N ，证明如下：由条件可知：12,,,0n a a a > 时*1212,,,2nn n a a a a a a n n n +++⎛⎫⋅≤∈≥ ⎪⎝⎭N 1当1k =时，左边11121⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，右边219124⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，左边<右边，不等式成立；2 当*2,k k ≥∈N 时，由1k +阶基本不等式，可知：不等式左边111111111kk k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)1111111111(11)(1)1()111k k k k k k k k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪≤== ⎪+++ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭个个1111k k +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭而111k ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，因此上式的不等号取不到等，于是1111111111k k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，原不等式得证.19.解：（1）在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中令333120222a b ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（或令53532,102222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭而()()333000222f x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=⇒-+=⇒-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减下证明：由④知：对任意,0a b >，恒有111222f ab f b f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证一：任取2112x x >>，于是()()22211111111111122112222222x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-+--+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为2112x x >>，所以211122x x ->->22111113221112222x x x x --⇒>⇒+>--，而对任意32x >时恒有()0f x <，故211120122x f x ⎛⎫- ⎪+<⎪ ⎪-⎝⎭，即()()210f x f x -<，所以()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，证毕；证二：任取2112x x >>，设2111,,1,022x mn x n m n =+=+>>()()21111222f x f x f mn f f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为131.22m m >+>，所以102f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()()21f x f x <，也即()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭单调递减；证毕；（3）在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中：令5599222222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()0f x f x -+=，于是922f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令139339,402442242a b f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+==⇒=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）知()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，又()()0f x f x -+=，可得()f x 在1,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上也单调递减，如图，可知不等式()()21232f t k t k -+-+≤等价于：对任意[]1,1t ∈-，不等式()231234t k t k -+-+≥……①或者()29112322t k t k -≤-+-+<-恒成立，……②法一：令()()[]2123,1,1g t t k t k t =-+-+∈-立，因为()g t 开口向下，由()g t 图像可知：不等式①()()11313204;334144k g k g k ⎧⎧≥-≥⎪⎪⎪⎪⇔⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩⎩对于②，当1t =±时，由()()1391121022Φ919112222k g k g k ⎧⎧-≤<-≤-<-⎪⎪⎪⎪⇒⇒∈⎨⎨⎪⎪-≤<--≤<-⎪⎪⎩⎩，即一定不存在k 满足②.综上取并，得3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭法二：令()()[]()2123,1,1,g t t k t k t g t =-+-+∈-开口向下，对称轴为12t k =-，且()()211152,1,224g k g k g k k k ⎛⎫-=-=-=++ ⎪⎝⎭，1 当112k -<-即32k >时，问题等价于()32314k g ⎧>⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或()()32112912k g g ⎧>⎪⎪⎪-<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩解得32k >；2 当1102k -≤-≤即1322k ≤≤时，等价于()1322314k g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或()13221133,;2242912k g k k g ⎧≤≤⎪⎪⎪⎛⎫⎡⎤-<-⇒∈⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪≥-⎪⎩3 当1012k <-≤即1122k -≤<时，问题等价于()1122314k g ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()11221122912k g k g ⎧-≤<⎪⎪⎪⎛⎫-<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥-⎪⎩，解得Φk ∈；4 当112k ->即12k <-时，问题等价于()12314k g ⎧<-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()()12112912k g g ⎧<-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得Φk ∈；综上，3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.。
2019-2020学年重庆一中高三(上)期中数学试卷 试题及答案(文科)
2019-2020学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1．设全集U Z =，集合2{|20}A x Z x x =∈--…，则(U A =ð ) A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1，2}2．若复数z 满足(1)12z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．等比数列{}n a 中，5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，则39a a 等于( ) A ．3-B ．3C ．4-D ．44．已知向量(2,1)a =，(2,sin 1)b α=-，(2,cos )c α=-，若()//a b c +，则tan α的值为( )A ．2B ．12 C ．12-D ．2-5．“26m <<”是“方程22126x y m m -=--表示的曲线为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．过点(1,2)A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=或30x y +-=D ．20x y -=或10x y -+=7．已知2(1)45f x x x -=+-，则(1)(f x += ) A ．287x x ++B ．26x x +C ．223x x +-D ．2610x x +-8．定义域为R 的奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且f （1）2018=，f （2）2019=，则(2018)(2019)(f f += ) A ．4035B ．4036C ．4037D ．40389．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是1BB 的中点，则AD 与平面11AA C C 所成角的正弦值等于( )A B C D 10．己知正实数x ，y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的x ，y ，都有2()()60x y a x y +-++…恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．B ．7C ．D ．811．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC ∆的最大边长为( )A ．2B ．3CD ．12．设函数2()sin f x x ππ=-在(0,)+∞上最小的零点为0x ，曲线()y f x =在点0(x ，0)处的切线上有一点P ，曲线232y x lnx =-上有一点Q ，则||PQ 的最小值为( )A B C D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．cos 27cos18sin 27sin18︒︒-︒︒= ．14．已知(2)n a a n a =-+，若数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 ．15．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且AB =，14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为 ．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，||FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为 ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．已知函数22()2sin cos f x x x x x =+． （1）求()f x 的对称轴；（2）当[0α∈，]π时，若()1f α=，求α的值． 18．己知数列{}n a 中，11a =，121(*)n n a a n N +=+∈． （1）求n a 的通项公式；（2）设2(1)log (1)n n n b a a =++．求{}n b 的前n 项和：19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、Q 分别是1AA 、11A C 的中点． （1）设棱1BB 的中点为D ，证明：1//C D 平面1PQB ；（2）若2AB =，114AC AA AC ===，1160AA B ∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ；求三棱柱111ABC A B C -的高．20．已知点(1,0)F 和直线1:1l x =-，直线2l 过直线1l 上的动点M 且与直线1l 垂直，线段MF 的垂直平分线l 与直线2l 相交于点P ． ()I 求点P 的轨迹C 的方程；()II 设直线PF 与轨迹C 相交于另一点Q ，与直线1l 相交于点N ，求NP NQ 的最小值．21．已知函数2()2(,)x f x e mx m x R m R =--∈∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1m =，不等式()2f x lnx ln bx -+…对一切0x >恒成立，求实数b 的取值范围 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为4(x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数）．曲线2C 的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C 交于点M ，射线6πθ=与曲线2C 交于点N ，求MON ∆的面积（其中O 为坐标原点）． 23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-． （Ⅰ）解不等式()1f x x +…；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +++…．2019-2020学年重庆一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1．设全集U Z =，集合2{|20}A x Z x x =∈--…，则(U A =ð ) A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1，2}【解答】解：集合2{|20}{|2A x Z x x x Z x =∈--=∈厖或1}x -…，则{0z A =ð，1}， 故选：C ．2．若复数z 满足(1)12z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)12z i i +=+，得12(12)(1)311(1)(1)22i i i z i i i i ++-===+++-， z ∴在复平面内对应的点的坐标为3(2，1)2，位于第一象限．故选：A ．3．等比数列{}n a 中，5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，则39a a 等于( ) A ．3-B ．3C ．4-D ．4【解答】解：5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点， 5a ∴、7a 是方程2430x x -+=的两个根， 573a a ∴=，由等比数列的性质可得：39573a a a a ==． 故选：B ．4．已知向量(2,1)a =，(2,sin 1)b α=-，(2,cos )c α=-，若()//a b c +，则tan α的值为( )A ．2B ．12 C ．12-D ．2-【解答】解：向量(2,1)a =，(2,sin 1)b α=-，(2,cos )c α=-，∴(4,sin )a b α+=， 若()//a b c +，则4sin tan 2cos ααα==-，则tan 2α=-， 故选：D ．5．“26m <<”是“方程22126x y m m -=--表示的曲线为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：方程表示的曲线为双曲线221(2)(6)026x y m m m m -=⇔-->--．解得26m <<； ∴ “26m <<”是“方程表示的曲线为双曲线”的充分必要条件．故选：C ．6．过点(1,2)A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=或30x y +-=D ．20x y -=或10x y -+= 【解答】解：当直线过原点时，可得斜率为20210k -==-， 所以直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设方程为1x y a a+=-， 代入点(1,2)可得121a a-=，解得1a =-， 所以直线方程为10x y -+=；综上知，所求直线方程为：20x y -=或10x y -+=． 故选：D ．7．已知2(1)45f x x x -=+-，则(1)(f x += ) A ．287x x ++ B ．26x x +C ．223x x +-D ．2610x x +-【解答】解：2(1)45f x x x -=+-，2()6f x x x ∴=+， 2(1)87f x x x ∴+=++故选：A ．8．定义域为R 的奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且f （1）2018=，f （2）2019=，则(2018)(2019)(f f += ) A ．4035B ．4036C ．4037D ．4038【解答】解：奇函数()y f x =的图象关于直线2x =对称， (2)(2)(2)f x f x f x ∴+=-=--，即(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=， 即()f x 是周期为8的周期函数， 则f （1）2018=，f （2）2019=，(2018)(25282)f f f ∴=⨯+=（2）2019=，(2019)(25283)f f f =⨯+=（3）(14)(1)f f f =-+=--=（1）2018=，则(2018)(2019)201820194037f f +=+=， 故选：C ．9．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是1BB 的中点，则AD 与平面11AA C C 所成角的正弦值等于( )ABCD【解答】解：以C 为原点，在平面ABC 中，过C 作CB 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设122AA AB ==，则A ，12，0)，(0C ，0，0)，1(0C ，0，2)，(0D ，1，1)， 3(CA =12，0)，1(0CC =，0，2)，(AD =-12，1)， 设平面11AA C C 的法向量(n x =，y ，)z ，则13102220n CA x y n CC z ⎧=+=⎪⎨⎪==⎩，取1x =，得(1n =，0)，设AD 与平面11AA C C 所成角为θ，则||3sin 4||||24AD n AD n θ===，AD ∴与平面11AA C C 故选：C ．10．己知正实数x ，y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的x ，y ，都有2()()60x y a x y +-++…恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．B ．7C ．D ．8【解答】解：正实数x ，y 满足3x y xy ++=，而2()2x y xy +…， 23()2x y x y +∴++…， 2()4()120x y x y ∴+-+-…，6x y ∴+…或2x y +-…（舍去）， 6x y ∴+…．又正实数x ，y 有2()()60x y a x y +-++…恒成立， 6a x y x y ∴+++…恒成立， 6()min a x y x y∴+++…， 令(6,)x y t t +=…，6()g t t t=+，由双钩函数的性质得()g t 在[6，)+∞上单调递增， ∴6()()min min x y g t g x y ++==+（6）6676=+=． 7a ∴…，即a 的最大值为7．故选：B．11．已知ABC∆的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC∆的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos1sin sinA B C A C-+=+，则ABC∆的最大边长为()A．2B．3C D．【解答】解：222cos cos cos1sin sinA B C A C-+=+，222(1sin)(1sin)(1sin)1sin sinA B C A C∴---+-=+，∴可得222sin sin sin sin sinA CB A C+-=-，∴根据正弦定理得222a cb ac+-=-，所以2221cos22a c bBac+-==-，(0,180)B∈︒︒，120B∴=︒，所以b最大，又ABC∆的外接圆半径为R，面积为23Rππ=，R=，所以32sin33b R B===，故选：B．12．设函数2()sinf x xππ=-在(0,)+∞上最小的零点为x，曲线()y f x=在点(x，0)处的切线上有一点P，曲线232y x lnx=-上有一点Q，则||PQ的最小值为()A B C D【解答】解：函数2()sinf x xππ=-的零点为x k=，k Z∈，由题意可得1x=，()f x的导数为()2cosf x xπ'=-，曲线()y f x=在点(1,0)处的切线斜率为2cos2π-=，可得切线方程为22y x=-，232y x lnx=-的导数为13y xx'=-，设与切线22y x=-平行的直线与曲线232y x lnx=-相切的切点为(,)m n，可得232n m lnm=-，0m>，而132m m-=，解得1m =（负的舍去），则切点为3(1,)2，可得切点到直线22y x =-的距离为d ==则||PQ ， 故选：C ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．cos 27cos18sin 27sin18︒︒-︒︒【解答】解：cos 27cos18sin 27sin18cos(2718)cos 45︒︒-︒︒=︒+︒=︒=． 14．已知(2)n a a n a =-+，若数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 (,2)-∞ ． 【解答】解：已知(2)n a a n a =-+，若数列{}n a 是递增数列， 则20a ->，求得2a <，故实数a 的取值范围为(,2)-∞， 故答案为：(,2)-∞．15．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且AB =，14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆ 【解答】解：如图，由于90BAC ∠=︒，连接上下底面外心PQ ， O 为PQ 的中点，OP ⊥平面ABC ，则球的半径为OB ，球O 的表面积为28π，OB ∴=由题意，14BB =，90BAC ∠=︒，所以BC ===所以3AC ==，则ABC ∆的面积为12S AB AC =⨯⨯=．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，||FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为3． 【解答】解：如图所示，设左焦点为1F ，圆与x 轴的另一个交点为B ， 根据对称性，可得AM AN =．又线段AM 的垂直平分线经过点N ，AN NM ∴=， AMN ∴∆时正三角形． 30MAF ∠=︒，60MBF ∠=︒， MF AF a c ∴==+，13MF a c ∴=+，在1MFF ∆中，由余弦定理可得2221112cos120MF MF FF MF FF =+-︒； 22340c ac a ∴--=， 2340e e ∴--=， 43e =． 故答案为：43三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17．已知函数22()2sin cos f x x x x x =+． （1）求()f x 的对称轴；（2）当[0α∈，]π时，若()1f α=，求α的值．【解答】解：（1）22()2sin cos f x x x x x =+22)sin 22sin 22sin(2)3cos x sin x x x x x π=-+=+=+．由232x k πππ+=+，得122k x ππ=+，k Z ∈． ()f x ∴的对称轴为122k x ππ=+，k Z ∈； （2）由()1f α=，得2sin(2)13πα+=，1sin(2)32πα∴+=， [0α∈，]π，∴2[33ππα+∈，7]3π， 则5236ππα+=或11236ππα+=， 即4πα=或34πα=． 18．己知数列{}n a 中，11a =，121(*)n n a a n N +=+∈． （1）求n a 的通项公式；（2）设2(1)log (1)n n n b a a =++．求{}n b 的前n 项和： 【解答】（1）解：设12()n n a k a k ++=+；则12n n a a k +=+； 1k ∴=；令1n n c a =+，其中1112c a =+=；则等比数列{}n c 的通项公式为：1*222()n n n c n N -=⨯=∈； ∴数列{}n a 的通项公式为：*121()n n n a c n N =-=-∈（2）解：由（1）可知，2222n n n n b log n ==，*()n N ∈； 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，⋯①234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，⋯②①-②，可得123122222n n n T n +-=+++⋯+-12(12)212n n n +-=--整理可得，数列{}n b 的前n 项和．1*(1)22()n n T n n N +=-+∈19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、Q 分别是1AA 、11A C 的中点． （1）设棱1BB 的中点为D ，证明：1//C D 平面1PQB ；（2）若2AB =，114AC AA AC ===，1160AA B ∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ；求三棱柱111ABC A B C -的高．【解答】（1）证明：连接AD ，D 是1BB 的中点，P 是1AA 的中点，可由棱柱的性质知1//AP DB ，且1AP DB =；∴四边形1ADB P 是平行四边形，1//AD PB ∴．P ，Q 分别是1AA 、11A C 的中点，1//AC PQ ∴，∴平面1//AC D 平面1PQB ．1C D ⊂平面1AC D ， 1//C D ∴平面1PQB ．（2）解：三棱柱的高转化成三棱锥1C ABC -的高，设为h ， 过点1B 作11B M A A ⊥交1A A 于点M ，因为平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，平面11AA C C ⋂平面111AA B B A A =， 又因为11B M A A ⊥，所以1B M ⊥平面1ACC ，在△11A B P 中求得1B M =，又因为122ABC S ∆=⨯=，114442ACC S =⨯⨯=． 所以11C ABC B ACC V V --=，所以1133ABC h S h ∆⨯⨯==．20．已知点(1,0)F 和直线1:1l x =-，直线2l 过直线1l 上的动点M 且与直线1l 垂直，线段MF 的垂直平分线l 与直线2l 相交于点P ． ()I 求点P 的轨迹C 的方程；()II 设直线PF 与轨迹C 相交于另一点Q ，与直线1l 相交于点N ，求NP NQ 的最小值．【解答】解：()I 连接PF ，MF 的中垂线l 交2l 于点P ，||||PF PM ∴=，即点P 到点(1,0)F 的距离等于点P 到直线1:1l x =-的距离，由抛物线的定义可得点P 的轨迹C 是以F 为焦点，以直线1:1l x =-为准线的抛物线，方程为24y x =．()II 把直线PF 的方程(1)y k x =-代入24y x =可得2222(24)0k x k x k -++=，0k ≠，且△0>．且212224k x x k ++=，121x x =．NP NQ 和 同向，(1,2)N k --，∴222121212||||1|1|1|1|(1)(1NP NQ NP NQ k x k x k x x x x ==++++=++++)2214(2)16k k =++…，当且仅当1k =±时，等号成立． ∴NP NQ 的最小值为16．21．已知函数2()2(,)x f x e mx m x R m R =--∈∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1m =，不等式()2f x lnx ln bx -+…对一切0x >恒成立，求实数b 的取值范围 【解答】解：（1）()f x 的定义域是R ，2()22x f x e m '=-． ①0m …时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增： ②0m >时，2()220x f x e m '=-=，解得12x lnm =，当12x lnm <时，()0f x '<，则()f x 在1(,)2lnm -∞上递减；当12x lnm >时，()0f x '>，则()f x 在1(,)2lnm +∞上递增．（2）当1m =时，2()21x f x e x =--， 依题意知不等式()2f x lnx ln bx -+…，即2212x e x lnx ln bx ---+…在(0,)+∞上恒成立，即2(2)2x e lnx b x ln e --+…在(0,)+∞上恒成立， 设2()(2)x g x e lnx b x =--+，21()2(2)x g x e b x '=--+， 令02001()2(2)0x g x e b x '=--+=，0200122(0)x e b x x -=+>， 易知()g x 在0(0,)x 上递减，在0(x ，)+∞上递增，则002200000()()(2)(12)12x x min g x g x e lnx b x x e lnx ln e ==--+=--+…， 即0200(21)20x x e ln x -+…，设020t x =>，则()(1)0h t t e lnt '=-+…，1()0h t te t''=+>，则()h t 递增，又h （1）0=， 故0021t x <=…，0102x <…， ∴02012222x b e e x +=--…， 解得24b e -…．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为4(x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数）．曲线2C 的参数方程为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C 交于点M ，射线6πθ=与曲线2C 交于点N ，求MON ∆的面积（其中O 为坐标原点）． 【解答】解：（1）由曲线14:(x C t y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩为参数），消去参数t得：4x = 化简极坐标方程为：sin()26πρθ+=曲线2:(x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数） 消去参数θ得：224177x y += 化简极坐标方程为：22(13sin )7ρθ+=（2）联立2sin()2633πρρθππθθ⎧=+=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩，即(2,)3M π联立222(13sin )766ρρθππθθ=⎧+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩， 即(2,)6N π故11||||sin 22sin()12236MON S OM ON MON ππ∆=∠=⨯⨯⨯-= 23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-． （Ⅰ）解不等式()1f x x +…；（Ⅱ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +++…． 【解答】（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 （Ⅰ）解：()1f x x +…，即|1||3|1x x x -+-+…．①当1x <时，不等式可化为421x x -+…，1x …． 又1x <，x ∴∈∅；②当13x 剟时，不等式可化为21x +…，1x …． 又13x 剟，13x ∴剟． ③当3x >时，不等式可化为241x x -+…，5x …． 又3x >，35x ∴<…．综上所得，13x 剟，或35x <…，即15x 剟． ∴原不等式的解集为[1，5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+--+-=…， 2c ∴=，即2a b +=．令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1a m =-，1b n =-，4m n +=，22222(1)(1)11444111()2a b m n m n m n a b m n m n mn --+=+=+++-==+++…， 原不等式得证．。
重庆市第一中学2020届高三数学上学期期中试题 文(2)
2020年重庆一中高2020级高三上期半期考试数 学 试 题 卷（文科）数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{}{},1,0,1,,21-=∈≤<-=B Z x x x A 则=B A Y （ ）A.}1,0{B.]2,1[-C.}1,0,1{-D.}2,1,0,1{- 2.等比数列}{n a 中，若32,231==a a ，则=5a （ ）A.6B.36C.12D.18 3.计算οο75sin 15sin ⋅的结果是（ ）A.21 B. 41 C. 426- D.426+ 4.下列函数为奇函数的是（ ）A.233)(x x x f += B.xxx f -+=22)( C.x x x f sin )(= D.xxx f -+=33ln)( 5.已知非零向量,的夹角为ο30,31==则=-2（ ）A.32-B.1C.2D.26.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+00102x y x y x ，则y x z -=2的最小值为（ ）A.1B.25-C.2-D.1- 7.圆C 半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．03222=--+x y x B ．0422=-+x y x C ．0422=++x y x D ．03222=-++x y x8.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若4=AF ，则=p （ ）A.2B.1C. 3D. 49.已知双曲线Γ过点)4,3(M 且其渐近线方程为x y 332±=，ABC ∆的顶点,A B 恰为Γ的两焦点，顶点C 在Γ上且BC AC >，则sin sin sin BAC ABCACB∠-∠=∠（ ）A ．2- B.2 C.772-D.772 10.若函数x ax x f ln )(-=有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)e -∞ B ．(,)e -∞ C ．(0,)e D ．1(0,)e11.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项123a =-，且()122n n n S a n S ++=≥，则2018S =（ ） A ．20192020-B. 20182019- C.20172018- D.20162017-12.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A , 以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q .若60PAQ ∠=o,且3OQ OP =u u u r u u u r（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A B ． D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上） 13.函数)2ln()(+=x x f 在点))1(,1(--f P 处的切线方程为 ；14.若+∈R y x ,，且12=+y x ，则yx 12+的最小值为 ； 15.已知21,F F 是椭圆2221(3)9x y a a +=>的左、右焦点，P 为椭圆上一点且满足ο12021=∠PF F ，则21PF PF ⋅的值为 ；16.已知函数)(x f 满足21)1(=f ，且对任意R y x ∈,恒有)()()2()2(2y f x f yx f y x f +=-⋅+，则=+)2019()2018(f f ；图2图1FFC图2 图1 三、解答题.（共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 1A B a b c+=. （Ⅰ）证明：,,a c b 成等比数列；（Ⅱ）若3=c 222cos +1C C =，求ABC ∆的周长.18．（本小题满分12分）如图1，在直角ABC ∆中，32,34,90===∠AB AC ABC ο，E D ,分别为BD AC ,的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD ∆沿BD 折起，使平面⊥ABD 平面BCD ，如图2所示．（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）求四棱锥CDEF A -的体积．19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足)(212*++∈=+N n a a a n n n ，数列}{n b 满足)(*11N n a a b b n n nn ∈-=++，且22,5,75311=+==a a a b a . （Ⅰ）求n a 及n b ；（Ⅱ）令*,N n b a c n n n ∈⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n S ．20. （本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，且2F 为抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，2C 的准线被椭圆1C 和圆222x y a +=截得的弦长分别为和4. （Ⅰ）求1C 和2C 的方程；（Ⅱ）已知直线l 与抛物线2C 相切，且l 与椭圆1C 相交于N M ,两点，若椭圆1C 上存在点Q ，使得)0(≠=+λλOQ ON OM ，求实数λ的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()ln 1xf x x =-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：xe x xf 1)(+>（其中e 是自然对数的底数，Λ71828.2=e ）.注意：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分． 22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=，直线l的参数方程为312x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点A的极坐标为)6π，设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （Ⅱ）求AP AQ OP OQ ⋅⋅⋅的值．23.（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲 已知函数12)(+--=x x x f ． （Ⅰ）解不等式1)(≤x f 错误!未找到引用源。
2019-2020学年重庆一中高一下学期期中数学试卷(有解析)
2019-2020学年重庆一中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知平面向量a ⃗ =(−1,3)，b ⃗ =(2,4)，则−2a ⃗ −b ⃗ =( )A. (−4,−10)B. (0,2)C. (4,−2)D. (0,−10)2. 在△ABC 中，B =135°，C =15°，a =3，则边b = ( )A. 5√2B. 4√2C. 3√2D. 2√23. 两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是( )A. 甲、乙两人的各科平均分相同B. 甲的中位数是83，乙的中位数是85C. 甲各科成绩比乙各科成绩稳定D. 甲的众数是89，乙的众数为874. 点P (7,−4)关于直线l ：6x −5y −1=0的对称点Q 的坐标是( )A. (5,6)B. (2,3)C. (−5,6)D. (−2,3)5. 已知直线经过点A(−2,0)，B(−5,3)，则该直线的倾斜角为( )A. 150°B. 135°C. 75°D. 45°6. 在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若sinA:sinB =2:3，则a:b =( )A. 3:2B. 4:9C. 9:4D. 2:37. 若数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=2a n .n =1，2，3….则a 1+a 2+⋯+a n = ______ ．A. 353453453B. 3453453C. 3543453D. 4534538. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为ŷ=0.85x −0.25.由以上信息，得到下表中c 的值为( ) 天数x(天) 3 4 5 6 7 繁殖个数y(千个)2.5344.5cA. 5B. 6C. 7D. 89. 已知a ，b ∈{−1,0，1，2}，则关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的概率为( )A. 78B. 1316C. 34D. 5810. 在△ABC 中，已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2B. −2C. 2√3D. −2√311. 已知数列{a n }对任意的m 、n ∈N ∗，满足a m+n =a m +a n ，且a 2=1，那么a 10等于( )A. 3B. 5C. 7D. 912. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，且满足|a ⃗ −2b ⃗ |=2，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为 ( )A. 12B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知一组数据x 1，x 2，…，x 10的平均数是x ，则数据x 1+1，x 2+2，…，x 10+10的平均数是_______. 14. 已知方程：x 2+y 2−(4m +2)x −2my −m =0,(m ∈R)①该方程表示圆，且圆心在直线x −2y −1=0上； ②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；③当m =−1时，该方程表示的曲线关于直线l:x −y +1=0的对称曲线为C ，则曲线C 上的点到直线l 的最大距离为√2+22； ④若m ≥1，过点(−1,0)作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为A,B ，则AB 所在的直线方程为4x +y −2=0．以上四个命题中，是正确的有_______________(填序号)15. 已知△ABC 中，AB =√3，BC =1，tanC =√3，则AC 等于______．16. 已知直线l 1：y =kx +3k −2与直线l 2：x +4y −4=0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0)． (1)若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求m 的值； (2)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求cos∠BAD ．18.已知两条直线l1：x+2y−m+3=0，l2：mx+y−1−m=0．(Ⅰ)若l 1⊥l 2，求实数m的值；(Ⅱ)若l 1//l 2，求直线l 1，l 2间的距离．19.2020年决战脱贫攻坚期间，某工作小组为了解本地农民对脱贫攻坚工作的满意度，深入农村贫困一线调查，得出数据制成如下表格和频率分布直方图(分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组).已知评分在[80,100]的人数为1800．满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求频率分布直方图中a的值，及满意度评分在[40,70)内的人数；(2)定义满意度指数X=平均分，若X<0.8，则脱贫攻坚工作需要进行大的调整，否则不需要大100调整．根据所学知识判断该区脱贫攻坚工作是否需要进行大调整(同一组中的数据以该数据所在区间的中点值为代表)；(3)为了解部分人员不满意的原因，从不满意的人员(评分在[40,50)，[50,60)内)中用分层抽样的方法抽取6名人员，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任脱贫攻坚工作的监督员，求这2人中至少有1人对脱贫攻坚工作的评分在[40,50)内的概率．20.已知{a n}为等比数列且a n>0，a1=1，a5=256；S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=2，5S5=2S8．(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设T n=a1b1+a2b2+⋯+a n b n，求T n．21.在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，△ABD面积与△ACD面积的比为2：3．(1)求cos∠C的值；(2)若AC=√2，求DC的长．22.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n log2a n，求{b n}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查向量的坐标运算，属于基础题．直接利用向量的坐标运算求解即可．解：平面向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,4)，则−2a⃗−b⃗ =−2(−1,3)−(2,4)=(0,−10)．故选D.2.答案：C解析：本题主要考查正弦定理的应用．∵B=135°，C=15°，∴A=180°−B−C=30°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得b=3×√2212=3√2．故选C．3.答案：D解析：本题主要考查样本数据特征：平均数、中位数、众数，会分析茎叶图的特点．根据茎叶图中的数据观察和计算可得．解：由茎叶图中的数据可知甲与乙的平均数均为82.55556，选项A正确，根据中位数的定义，从小到大排列，此题各组有9个数据，则最中间的一个数即为中位数，于是甲的中位数为83，乙的中位数为85，选项B正确，根据茎叶图的特点可知，数据越是集中说明越是稳定，因此可知甲比乙成绩稳定，选项C正确，由众数的定义知，甲的众数是83，乙的众数是98，因此选项D错误．4.答案：C解析：设所求对称点Q 的坐标为(a,b)，求出PQ 的中点为M(a+72,b−42)，直线l 的斜率k =65.再根据轴对称的性质建立关于a 、b 的方程组，解出a 、b 之值，可得点Q 的坐标．本题求定点P 关于直线l 的对称点Q 的坐标，着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题．解：设P(7,−4)关于直线l ：6x −5y −1=0的对称点Q 的坐标为Q(a,b)， 可得PQ 的中点为M(a+72,b−42)，直线l 的斜率k =65，∵PQ 与直线l 相互垂直，且PQ 的中点M 在直线l 上，∴{b+4a−7×65=−1, 6×a+72−5×b−42−1=0，解得{a =−5b =6，可得Q 的坐标为(−5,6)． 故选：C5.答案：B解析：解：∵直线经过点A(−2,0)，B(−5,3)， ∴其斜率k =3−0−5−(−2)=−1． 设其倾斜角为θ(θ∈[0,π))， 则tanθ=−1． ∴θ=135°． 故选：B ．由两点式求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角． 本题考查了直线斜率的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．解析：本题考查正弦定理，属于基础题目．直接利用正弦定理得出即可．解：∵sinA:sinB=2:3，∴由正弦定理可得a:b=sinA:sinB=2:3．故选D．7.答案：C解析：解：数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n.n=1，2，3….所以数列是等比数列，公比为：2；a1+a2+⋯+a n=1(1−2n)1−2=2n−1；故答案为：2n−1由题意推出数列是等比数列，求出公比，直接求出它的前n项和即可．本题考查数列的求和公式的应用，数列的递推关系式，判断数列是等比数列，还是等差数列，主要依据数列的定义，注意公比是数值，是解题的关键．8.答案：B解析：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．解：x=3+4+5+6+75=5，y=2.5+3+4+4.5+c5=14+c5，代入回归直线方程中，得14+c5=0.85×5−0.25，解得c=6，故选B．9.答案：B解析：本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n =4×4=16，使关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的点P 满足的条件为ab ≤1，由此利用举法能求出使关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的点P 的概率． 解：点P(a,b)，且a ，b ∈{−1,0，1，2}， 基本事件总数n =4×4=16，使关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的点P 满足的条件为： △=4−4ab ≥0，即ab ≤1，或a =0∴使关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的点P(a,b)有：(−1,−1)，(−1,0)，(−1,1)，(−1,2)，(0,−1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,−1)，(1,0)，(1,1)，(2,−1)，(2,0)，共13个，∴使关于x 的方程ax 2+2x +b =0有实数解的点P 的概率P =1316． 故选：B ．10.答案：B解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−π3)=2×2×(−12)=−2 故选B直接利用向量的数量积的定义即可求解本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，属于基础试题11.答案：B解析：本题主要考查由数列的递推公式推导求解数列的项，考查基本运算，属于基础题． 由a m+n =a m +a n ，a 2=1可得a 4=2a 2，a 8=2a 4，进而可求a 10=a 2+a 8． 解：∵a m+n =a m +a n ，a 2=1， ∴a 4=2a 2=2， ∴a 8=2a 4=4，∴a10=a2+a8=5，故选B．12.答案：B解析：本题考查了数量积运算性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意，利用数量积运算性质与基本不等式的性质可得|a⃗||b⃗ |≤2.即可得出．解：∵非零向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗−2b⃗ |=2，∴4=a⃗2+4b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗=a⃗2+4b⃗ 2−2|a⃗|⋅|b⃗ |≥2|a⃗|×2|b⃗ |−2|a⃗||b⃗ |=2|a⃗||b⃗ |，即|a⃗||b⃗ |≤2．当且仅当|a⃗|=2|b⃗ |时等号成立，|a⃗||b⃗ |≤1．∴a⃗⋅b⃗ =12即a⃗⋅b⃗ 的最大值为1．故选B．13.答案：x+5.5解析：，属基础题．本题考查数据的平均数性质，原数据的平均数为x，则新数据的平均数为x+1+2+...+1010=x+5.5．解：根据平均数性质知：原数据的平均数为x+1+2+...+1010故答案为x+5.5．14.答案：③④解析：本题考查命题的真假判断与应用，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．利用配方法把已知方程变形，确定圆心与半径判断①②；将m=−1代入圆的方程，把问题转化为圆上的点到直线l 的最大距离求解，即可判断③；求出以(−1,0)和圆心的连线为直径的圆的方程，将两圆方程作差可得两切点AB 所在直线方程判断④．解：由方程：x 2+y 2−(4m +2)x −2my −m =0，配方可得：(x −2m −1)2+(y −m)2=5m 2+5m +1当5m 2+5m +1>0，即m <−√5−510或m >√5−510才表示圆，故①错误； 由①知，当m <−√5−510或m >√5−510才表示圆，且圆心M(2m +1,m)在直线x −2y −1=0上移动，而圆的半径是是不定的，故②错误；当m =−1时，方程表示圆M(x +1)2+(y +1)2=1，由条件知曲线C 上的点到直线l 的最大距离 即为圆M 上的点到直线l 的最大距离，即为|−1+1+1|√2+1=√2+22，故③正确； 当m ≥1时，r 2=5m 2+5m +1=5(m +12)2−14，则当m =1时，面积最小，此时圆心为M(3,1)，圆M 的方程为(x −3)2+(y −1)2=11，设P(−1,0)，则PM 的中点为(1,12)，|PM|2=17，则以PM 为直径的圆的方程为(x −1)2+(y −12)2=174，两圆相减即得AB 所在直线方程为4x +y −2=0，故④正确．故答案为：③④．15.答案：2解析：解：由题意AB =√3，BC =1，tanC =√3，可知C =60°，B =90°，三角形ABC 是直角三角形，所以AC =√AB 2+BC 2=2．故答案为：2．画出图形，利用已知条件直接求出AC 的距离即可．本题考查三角形形状的判断，勾股定理的应用，考查计算能力．16.答案：(27,1)解析：本题考查了根据两直线的方程求出交点的坐标，需要掌握象限点坐标的特点，属于基础题．联立两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k 的范围．解：联立两直线方程{y =kx +3k −2x +4y −4=0， 解得{x =−12k+121+4k y =7k−21+4k ， 所以两直线的交点坐标为(−12k+121+4k ,7k−21+4k )，因为两直线的交点在第一象限，所以得到−12k+121+4k >0，且7k−21+4k >0， 解得27<k <1．故答案为(27,1)．17.答案：解：(1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0)，∴DA⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(2−m,−2)， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴1×(−2)−4(2−m)=0，∴m =52; (2)∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+m,2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4)， ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴−2(1+m)+8=0，∴m =3，此时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，∴cos∠BAD =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13×√5=−√6565．解析：本题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示，解题的关键是向量数量积的性质的熟练掌握．(1)先由DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )求出坐标，然后根据BC ⃗⃗⃗⃗⃗ //DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标表示表示可求m ；(2)由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 求出坐标，由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 根据向量垂直的坐标表示可求m ． 18.答案：解：直线l 1的斜率为k 1=−12，截距为b 1=12m −32，直线l 2的斜率为k 2=−m ，截距为b 2=m +1，(Ⅰ)若l 1⊥l 2，则k 1⋅k 2=12m =−1，解得m =−2；(Ⅱ)若l 1//l 2，则{k 1=k 2b 1≠b 2，即{m =1212m −32≠m +1，解得m =12， 此时直线l 1：x +2y +52=0，直线l 2：x +2y −3=0，所以直线l 1，l 2间的距离d =|52−(−3)|√12+22=11√510．解析：本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数a 的值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题．(Ⅰ)根据两条直线垂直的条件，建立关于a 的关系式，即可得到使l 1⊥l 2的实数a 的值； (Ⅱ)两条直线平行的条件，建立关于a 的方程，解之可得实数a 的值．19.答案：解：(1)由频率分布直方图知(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+a)×10=1， 即10×(0.075+a)=1，解得a =0.025；设总共调查了n 人，则0.6n =1800，解得n =3000，即调查的总人数为3000人；满意度评分在[40,70)内共调查的人数为(0.002+0.004+0.014)×10×3000=600;(2)由频率分布直方图知x =45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7所以，满意度指数X =80.7100=0.807>0.8，因此，该区工作不需要大的调整．，(3)由题意可知，评分在[40,50)，[50,60)的频率之比为0.020.04=12，即不满意的人数在两段分别有20、40，所以评分在[40,50)，所抽取的人数为6×13=2，分别记为a 、b ，评分在[50,60)所抽取的人数为6×23=4，分别记为A 、B 、C 、D ，所以抽取两人的基本事件为：ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共15个，至少有一人来自[40,50)的基本事件有ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD 共9个， 所以所求概率p =915=35．解析：本题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图估计平均数，分层抽样，古典概型的计算与应用，考查计算能力，属于中档题．(1)由频率分布直方图中小长方形的面积和为1，可得a ，根据频率，频数可求样本容量；(2)根据频率分布直方图估计总体平均数的计算公式可得；(3)先求出评分在[40,50)，[50,60)两段的人数，再由分层抽样求出在两段抽取的人数，由题意，列出所有的基本事件及至少有一人来自[40,50)的基本事件，由古典概型的概率计算公式可得． 20.答案：解：(Ⅰ)设{a n }的公比为q ，由a 5=a 1q 4得q =4，所以a n =4n−1．设{ b n }的公差为d ，由5S 5=2 S 8得5(5 b 1+10d)=2(8 b 1+28d)，d =32a 1=32×2=3，所以b n =b 1+(n −1)d =3n −1． (Ⅱ)T n =1⋅2+4⋅5+42⋅8+⋯+4n−1(3n −1)，①4T n =4⋅2+42⋅5+43⋅8+⋯+4n (3n −1)，②②−①得：3T n =−2−3(4+42+⋯+4n )+4n (3n −1)=−2+4(1−4n−1)+4n (3n −1)=2+(3n −2)⋅4n∴T n =(n −23)4n +23．解析：(Ⅰ)直接利用a1=1，a5=256求出公比即可求出{a n}的通项公式；把5S5=2S8转化为用首项和公差来写求出公差即可求{b n}的通项公式；(Ⅱ)直接利用(1)的结论对数列{a n⋅b n}用错位相减法求和即可求T n．本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．21.答案：解：(1)S△ABD=12⋅AB⋅AD⋅sin∠BAD，S△ACD=12⋅AC⋅AD⋅sin∠CAD，∠B=2∠C，所以：S△BAD S△ACD =12⋅AB⋅AD⋅sin∠BAD12⋅AC⋅AD⋅sin∠CAD=ABAC=23，由正弦定理得：sinBsinC =ACAB=32，得到：sin2CsinC =2sinCcosCsinC=32，所以：cosC=34．(2)由(1)得：sinC=√1−sin2C=√74，所以：sinB=sin2C=2sinCcosC=3√78，cosB=cos2C=2cos2C−1=18．由(1)得：ACAB =32，所以：AB=2√23，设DC=x，由BDCD =23，所以：BD=2x3，在△ADC中，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅cosC，即：AD2=2+x2−3√22x，①在△ABD中，AD2=AB2+BD2−2⋅AB⋅BD⋅cosB，即：AD2=89+49x2−√29x，②由①②得：2x2−5√2x+4=0，解得：x =√22或2√2． 由于BC <AB +AC =5√23， 所以：53x <5√23， 所以：x <√2．故：x =√22,即：CD =√22．解析：(1)直接利用三角形的面积公式和正弦定理的应用求出结果．(2)利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式及一元二次方程的解法求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．22.答案：解：(1)当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n−1，当n =1时，a 1=S 1=2，∴数列的通项公式为．a n ={2,n =12n−1,n ≥2， (2)∵b n =a n log 2a n ，∴b n ={2,n =1(n −1)2n−1,n ≥2， ∴T n =2+1⋅2+2⋅22+⋯+(n −1)⋅2n−1，令M n =1⋅2+2⋅22+⋯+(n −1)⋅2n−1，2M n =1⋅22+2⋅23+⋯+(n −2)⋅2n−1+(n −1)⋅2n ，两式相减可得，−M n =2+22+23+⋯+2n−1−(n −1)⋅2n ，=2n −2−(n −1)⋅2n =(2−n)⋅2n −2，∴M n =(n −2)⋅2n +2∴T n =(n −2)⋅2n +4．解析：(1)根据数列的递推公式，即可求出．(2)由(1)和条件求出b n ，利用错位相减可求{b n }的前n 项和T n ．本题考查了数列的递推公式、前n 项和公式，以及错位相减求数列的和的应用，考查了计算能力．。
重庆市第一中学2020届高三数学上学期期中试题 文(1)
2020年重庆一中高2020级高三上期半期考试数学试题卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线10x ++=的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 2．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则()R A B I ð（ ）A ．{}1-B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3D ．{}0,1,23．若复数z 满足()211z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知,αβ是两个不同平面，直线l β⊂，则“αβ∥”是“l β∥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．过点()1,1，且在y 轴上的截距为3的直线方程是（ ）A ．230x y +-=B ．210x y --=C ．210x y --=D ．230x y +-= 6．已知直角坐标系中点()0,1A ，向量()4,3AB =--uu u r ，()7,4BC =--uu u r ，则点C 的坐标为（ ）A ．()11,8B ．()3,2C ．()11,6--D ．()3,0-7．若,x y 满足约束条件2212510x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，则23x y -的最大值（ ）A ．9B ．1C ．7D ．1-8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）A ．10日B ．20日C ．30日D ．40日9．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0ω>，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数为()y g x =，则函数的()y g x =图象（ ） A ．有一个对称中心,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．有一个对称中心,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．有一条对称轴4x π= 10．已知偶函数2y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()13sin f x x x =+.设()1a f =，()2b f =，()3c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<11．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如下图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．32πB ．36πC ．128πD ．144π12．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，O 为ABC ∆的外心，D 为BC 边上的中点，4C =，6AO BC ⋅=-uuu r uu u r ，sin sin 4sin 0C A B +-=，则cos A =（ ）A ．32B ．12C ．14D ．28 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量()1,2a =-r ，(),3b m =r ，m R ∈，若a b ⊥r r ，则m = ．14．已知函数()232ln f x x x x =+-则函数()f x 的单调递减区间为 ．15．对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是 ．16．数列{}n a 满足：113a =，且()()*113n n n n a a n N a n++=∈+，则数列{}n a 的前n 项和n s = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）设()2log 1n n b a =-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18．旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元.旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有60人.设旅行团的人数为x 人，飞机票价格为y 元，旅行社的利润为Q 元.（1）写出飞机票价格y 元与旅行团人数x 之间的函数关系式；（2）当旅游团的人数x 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.19．已知直线3x π=是函数()sin 2cos2f x m x x =-的图象的一条对称轴.（1）求函数()f x 的的单调增区间；（2）设ABC ∆中角，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f B =，且b =a c +的最大值.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线AF ∥平面PEC ；（2）求点F 到平面PEC 的距离.21．已知函数()ln 1a f x x x =+-的图象与x 轴相切. （1）求a 的值；（2）求证：()()21x f x x -≤；（3）若1x b <<()211log 2b x b x -->. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于点,A B ，且14AB =α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x a =-.（1）若1a =，解不等式()41f x x ≥-+；（2）若不等式()1f x ≤的解集为[]0,2，112a m n+=()0,0m n >>，求mn 的最小值.2020年重庆一中高2020级高三上期半期考试文科数学答案一、选择题1-5:DBCAD 6-10:CACBD 11、12：AC二、填空题13．6 14．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 15．1x <或3x > 16．3n 三、解答题17．解：（1）当1n =时，11121a S a ==+，解得11a =-当1n >时，由题意，()1121n n S a n --=+- ()()11221n n n n S S a n a n ---=+---⎡⎤⎣⎦1221n n a a -=-+，即121n n a a -=-所以()1121n n a a --=-，即1121n n a a --=- 数列{}1n a -是首项为2-，公比为2的等比数列（2）由（1），11222n n n a --=-⋅=-，所以12n n a =-2log 2n n b n ==，()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1111n n n =-=++ 18．解：（1）依题意得，()()8001351011503560x x N y x x x N ≤≤∈⎧⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩且且 （2）设利润为Q ，则15000Q y x =⋅-=()()280015000135101150150003560x x x N x x x x N -≤≤∈⎧⎪⎨-+-<≤∈⎪⎩且且当135x ≤≤且x N ∈时，max 800351500013000Q =⨯-=当3560x <≤且x N ∈时，2max 115361251022Q x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ∴57x =或58时，可获最大利润为18060元.19．解：（1）3x π=是函数()sin 2cos2f x m x x =-的一条对称轴3f π⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭()m f x ⇒=2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ∴增区间为(),66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）()2sin 216f B B π⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭3B π⇒=又b =2sin a A =，2sin c C =22sin 2sin 3a c A A π⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭3sin 6A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴3A π=时，a c +取最大值20．解：（1）设PC 的中点为Q ，连接,EQ FQ ，由题意，FQ DC ∥且12FQ CD =，AE CD ∥且12AE CD = 故AE FQ ∥且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形所以，AE EQ ∥，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面AEC所以，AF ∥平面PEC（2）由（1），点F 到平面PEC 的距离等于点A 到平面PEC 的距离，设为d .由条件易求EC =PE =，PC =AC =故12PEC S ∆=⨯=112AEC S ∆=⨯=所以由A PEC P AEC V V --=1232d =⋅⋅解得10d = 21．解：（1）设切点()0,0x ，则()()0000f x f x =⎧⎪⎨'=⎪⎩即00200ln 1010a x x a x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴01a x == （2）∵()1ln 1f x x x =+-，()()21x f x x-≤等价于ln 1x x ≤- 设()ln 1h x x x =-+，则()11h x x'=-，当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，∴()()10h x h ≤=，即ln 1x x ≤-，得证.（3）设()()211log 2b x g x b x -=--，()()2ln 11ln ln b x b b g x x x b x b -+--'=-=， 由()0g x '=，得0x =2）可得，当1x >时，ln 1x x <-，即11ln x x ->； 以1x 代换x 可得1ln 1x x <-，有1ln x x x ->，即1ln x x x-<，∴当1b >时，有01x <<当01x x <<时，()0g x '>，()g x单调递增；当0x x <<()0g x '<，()g x 单调递减，又∵()10g g ==，所以()0g x >，即()211log 2b x b x --> 22．解：（1）()2224x y -+=（2）将直线参数方程代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=，化简得22cos 30t t α--=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩， ∴12AB t t =-===∴24cos 2α=，cos 2α=±，4πα=或34π 23．解：（1）函数()f x x a =-.当1a =，不等式为()41f x x ≥-+⇔114x x ++-≥ 去绝对值，解得：2x ≥或2x ≤-原不等式的解集为(][),22,-∞-+∞U ；（2）()1f x ≤的解集为[]0,2，11x a a ⇔-≤⇔-1x a ≤≤+.∵()1f x ≤的解集为[]0,2∴10112a a a -=⎧⇒=⎨+=⎩.∴1112m n +=≥()0,0m n >>， ∴2mn ≥. （当且仅当11122m n +=即1m =，2n =，时取等号） ∴mn 的最小值为2.。
2020年重庆市铜梁一中高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
绝密★启用前2020年重庆市铜梁一中高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在等差数列{}n a 中,若261,1a a ==-,则4a = ( ) A ．1-B ．1C ．0D ．12-2．在ABC ∆中，若()()3a b c b c a bc +++-=，则A =（ ） A ．90︒B ．60︒C ．135︒D ．150︒3．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3C =，c =3b a =，则ABC V 的面积为 A B ．4CD ．44．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则{}n a 的前11项和11S =（ ） A ．132B ．66C ．48D ．245．已知{}n a 中，11a =，()11n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式是( ) A ．1n a n=B ．21nn a =- C ．n a n = D ．12n n a n+=6．已知向量(1,1),(2,),a b x ==v v若a b +v v 与42b a -v v 平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．27．在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于（ ） A ．2B ．2C ．2D ．4○…………外○…………内8．△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则AB BC ⋅u u u v u u u v的值为（ ）A ．19B ．14C ．-18D ．-199．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===u u u vu uu v u u uv v v v，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=v v v v v v（ ）. A ．3B ．-3C ．32D ．32-10．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心D ．外心重心内心11．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若15BC e =u u u v u v ，23DC e =u u u v u u v 则OC u u u v=（ ）A ．()121532e e +uv u u vB ．()121532e e -uv u u vC ．()211352e e -uu v u vD ．()211532e e -uu v u v12．已知,,a b c 为等比数列,,,b m a ,和,,b n c 是两个等差数列,则a cm n+等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知向量a 、b 满足()()26a b a b +⋅-=-r r r r ，且1a =r ，2b =r ，则a r 与b r的夹角为 .14．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，sin BAC ∠=，AB =3AD =，则BD 的长为____○…………外…………………○…………线………名：_____________○…………内…………………○…………线………15．已知{}n a 是等差数列, 11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若1a ,2a ,5a 成等比数列,则8S =_____.16．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若·2AB AF =u u u r u u u r，则·AE BF u u u r u u u r的值是 ．三、解答题17．在平面直角坐标系内,已知()()()1,0,0,1,2,5A B C ,求:（1）,AB AC u u u v u u u v的坐标;（2）AB AC -u u u v u u u v的值;（3）cos BAC ∠的值.18．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinA=acosB ．（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值19．已知等差数列{}n a 的公差不为零，18a =，且157,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2221n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.20．如图，货轮在海上以35n mile/h 的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为．求此时货轮与灯塔之间的距离．线…………○……线…………○……21．在锐角三角形ABC中, 222a c b+=.（1）求BÐ的大小;（2cosA C+的范围.22．列{a n}满足a n+1=1+a n3−a n(n∈N∗),且a1=0.（1）求a2,a3;（2）若存在一个常数λ,使得数列{1a n−λ}为等差数列,求λ值;（3）求数列{a n}通项公式.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据给出的条件，直接运用等差数列的性质可求4a ． 【详解】∵4262110a a a =+=-=,∴40a =. 故选C. 【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题． 2．B 【解析】()()3a b c b c a bc +++-=,22()3b c a bc +-= ,222b c a bc +-= ,2221cos 22b c a A bc +-== ,则060A = ，选B .3．B 【解析】 【分析】本题可以先通过解三角形的余弦公式解出a 、b 的值，再通过1sin 2ABC S ab C =V 解得三角行面积． 【详解】222cos 2a b c C ab+-=，即πcos3=，12=， ()22227337ab a b a a a a =+-=+-n ，,解得1a =，即11b 3sin 1322ABC S ab C ===⨯⨯=V ，故选B ． 【点睛】解三角形余弦公式为222cos 2a b c C ab+-=，面积公式为1sin 2ABC S ab C =V ．4．A 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为912162a a =+，所以()11181162a d a d +=++，1512a d +=，612a =，()11111611111322a a S a +===，故选A.5．C 【解析】 【分析】观察式子可变形为：1111n n n n a n na n a a n+++=+⇒=（），再用叠乘法即可求解 【详解】由na n +1=（n +1）a n ，可得：11n n a n a n++=， 又∵a 1=1，∴321121n n n a a a a a a a a -=⋅⋯⋅=231121n n ⨯⨯⋯⨯⨯-=n ． ∴a n =n ， 故选：C ． 【点睛】本题考查叠乘法求数列通向，属于基础题 6．D 【解析】 【详解】因为(1,1),(2,)a b x ==r r ，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-r r r r 由于a b +r r 与42b a-r r平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =. 7．B 【解析】 【详解】2sin sin A A A =⇒===，所以sin sin()sin cos cos sin 14C A B A B A B =+=+=，则BC 边上的高142h C ===，应选答案B .点睛：解答本题的思路是先运用正弦定理求出cos A =，再运用两角和的正弦公式求得sin C =，再解直角三角形可求得三角形的高h C ==，从而使得问题获解. 8．D 【解析】 【分析】运用余弦定理，求得cos B ，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值． 【详解】解：由于7AB =，5BC =，6CA =， 则25493619cos 25735B +-==⨯⨯，则||||cos()AB BC AB BC B π=-u u u r u u u r u u u r u u u rg gg 1975()1935=⨯⨯-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，注意夹角的大小，考查余弦定理及运用，属于基础题和易错题． 9．D 【解析】 【分析】利用向量的数量积即可求解.【详解】解析：311cos12011cos12011cos1202a b b c c a ︒︒︒⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-r r r r r r .故选：D 【点睛】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题. 10．C 【解析】 【详解】试题分析：因为OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++=u u u r u u u r u u u r ，则NA NB NC +=-u u u v u u u v u u u v，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=u u u v u u u v u u u u v u u u v，所以2NE CN =u u u v u u u v ，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，得()0PA PC PB -⋅=u u u v u u u v u u u v ，即0AC PB ⋅=u u u v u u u v ，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用. 11．A 【解析】 【分析】 【详解】因为矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若121115,3,()()222BC e DC e BC DC AB AD AC OC ==+=+==u u u r u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ur u ur 则,即()121532OC e e =+u u u r u r u u r,故选A. 12．C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得a 、b 、c 与m 、n 的关系，根据等比数列的定义，用a 、q 表示b 、c ，代入所求式子中，整理化简即可．【详解】解：b Q 、m 、a 和b 、n 、c 是两个等差数列， m b a m ∴-=-，n b c n -=-，2a b m +∴=，2b cn +=；a Q 、b 、c 为等比数列，设公比为q ， 则b aq =，2c aq =， ∴22a c a c a b b c m n +=+++2222a aq a aq aq aq =+++ 2211q q q =+++ 2221qq+==+． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的分析能力与运算能力． 13．60° 【解析】 【分析】首先通过展开已知等式得到a r 与b r的数量积，然后由数量积公式求夹角．【详解】因为()()26a b a b +⋅-=-r r r r ，且1a =r，2b =r ，展开得2226a b a b -+⋅=-rr rr ，即1﹣8a b +⋅=-rr 6， 所以a b rr ⋅=1，所以a r 与b r的夹角余弦值为12a b a b ⋅=r r r r ，所以a r与b r的夹角为60°； 故答案为60° 【点睛】本题考查了平面向量的运算以及数量积公式的运用；属于基础题．14【解析】 【分析】通过诱导公式易知cos ∠=BAD ，利用余弦定理计算即得结论． 【详解】解：AD AC ⊥Q ，90DAC ∴∠=︒，sin sin(90)cos BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠又AB =Q ，3AD =，2222cos BD AB AD AB AD BAD ∴=+-∠g189233=+-⨯⨯ 3=，BD ∴=． 【点睛】本题考查求三角形中某条线段的长度，利用三角函数的诱导公式、余弦定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．15．64【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【详解】解：因为{}n a 为等差数列,且1a ,2a ,5a 成等比数列,所以()()21114a a d a d +=+,解得122d a ==,所以()()818818818826422S a d ⨯-⨯-=+=+⨯=. 故答案为：64【点睛】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【解析】 试题分析：()22AB AF AB AB BC CF AB CF AB CF ⋅=⋅++=+⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 211()()2422AE BF AB BE BC CF AB CF BC ⋅=+⋅+=⋅+=+⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 考点：向量数量积17．（1）()1,1AB =-u u u v ，()1,5AC =u u u v （2）（3）13【解析】【分析】（1）根据向量的坐标表示，由终点坐标减去起点坐标即可得解； （2）首先求出AB AC -u u u r u u u r 的坐标，再根据模的公式计算可得；（2）由夹角公式cos AB AC A BA AB CC ⋅∠=u u u r u u u r u u u r u u u r 计算可得； 【详解】解： （1） ()()()1,0,0,1,2,5A B C Q()()()0,11,01,1AB ∴=-=-uu u r ,()()()2,51,01,5AC -==uu u r（2）因为()()()1,11,52,4AB AC -=--=--u u u r u u u r , 所以AB AC -==u u u r u u u r （3）因为()()1,11,511154,A A C B AC B A ⋅=-⋅=-⨯+⨯===u u u u ur u u u r ur u u u r所以cos 13AB AC AB ACBAC ⋅∠===u u u r u u u r u u u r u u u r . 【点睛】本题考查了平面向量的应用，同时考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．18．【解析】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理19．（1）a n ＝－n ＋9（2）1449n n -+ 【解析】分析：（1）设{}n a 的公差为d . 由题意可得d (a 1＋8d )＝0，即可求出d ，从而求得{}n a 的通项公式；（2）使用裂项相消法求和即可.详解：(1)设{}n a 的公差为d . 由题意，2517a a a =，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋6d )． 于是d (a 1＋8d )＝0. 又a 1＝8，所以d ＝0（舍去），d ＝－1.故a n ＝－n ＋9.(2)由(1)知2221n n a a +＝()()1111927222927n n n n ⎛⎫=- ⎪----⎝⎭， 从而数列2221n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111275532927n n ⎛⎫-+-++- ⎪------⎝⎭L 1112727n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭ 1449n n =-+ 点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．20．船与灯塔间的距离为n mile【解析】【详解】在△ABC 中，∠B ＝152o －122o ＝30o ；∠C ＝180o －152o ＋32o ＝60o ；∠A ＝180o －30o －60o ＝90o ，BC ＝； ∴AC ＝sin30o ＝21．（1）4B π∠=（2）2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出cos B 即可得出B 的大小；（2）用A 表示出C ，cos A C +关于A 的三角函数，求出A 的范围利用正弦函数的性质即可得出答案【详解】解：（1）∵222a c b +=,∴222a c b +-=.∴222cos 2a c b B ac +-===. ()0,B π∈Q ∴4B π∠=.（2）∵A B C π++= ∴34A C π+=. 34C A π∴=-cos A C +c 3o 4s A A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos 22A A A ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭πcos sin 224A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. ∵3π4A C +=.且ABC ∆是锐角三角形， 023042A A πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩∴,42A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴3,424A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.∴sin 42A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos A C +的范围是⎫⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查了余弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．22．（1）a 2=13,a 3=12；（2）详见解析；（3）a n =n−1n+1.【解析】（1）由a n+1=1+a 3−a 及a 1=0知a 2=13，a 3=12．（4分） （2）由数列{1an −λ}为等差数列知 2a 2−λ=1a 1−λ+1a 3−λ得61−3λ=1−4λλ(2λ−1)∴解得λ=1 又1a n+1−1-1a n −1= ∴当λ=1时，数列{1a n+1−1}为等差数列（9分）（3）由（2）可知：b n+1-b n =-12，b 1=-1，b n =(-1)+(-12)(n-1)∴1n =−1+n ∴a n =n −1。
重庆市育才中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
两式联立得 g（x）函
t
，h（x）函
tt，
D．（﹣∞，0]
若ሺ
ˈሺ h在 x∈（0，2]上恒成立，
则
t
a（
tt ）
h，
设 t＝ex﹣e﹣x，则 t 为增函数，
且 t2＝e2x+e﹣2x﹣2，即 e2x﹣e﹣2x＝t2+2，
∵x∈（0，2]，
∴t∈（0，e2﹣e﹣2]， 则不等式等价为h（t2+2） hat h，在 t∈（0，e2﹣e﹣2]上恒成立，
h t
的定义域为（
） B．[1，+∞）
C．[1，3）
D．[1，3）∪（3，+∞）
3．设 x∈R，则“（x﹣1）2＜1”是“0＜x＜5”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知函数 f（x+1）＝3x﹣1，则 f（x）的解析式是（ ）
A．f（x）＝3x﹣1 B．f（x）＝3x﹣4 C．f（x）＝3x﹣2 D．f（x）＝3x+2
19．已知函数 f（x）＝ex，g（x）＝|x﹣1|． （1）写出 y＝g[f（x）]的单调递增区间（不需要说明原因）； （2）若函数 y＝f[g（x）]+m 与 x 轴有交点，试求 m 的取值范围； （3）若函数 y＝g[f（x）]+k 在 x∈[﹣1，ln3﹣ln2]上的图象不全在 x 轴下方，试求 k 的取 值范围．
A．y＝﹣x
B．y＝﹣|x|
C．y＝1﹣x2
D． 函t
【解答】解：选项 A，y＝﹣x 是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，满足题意； 选项 B，y＝﹣|x|是偶函数，不满足题意； 选项 C，y＝1﹣x2 是偶函数，不满足题意；
2020年高一上学期期中数学试卷
第 1 页 共 7 页 2020年高一上学期期中数学试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、 填空题 (共12题；共12分) 1. （1分） 下列各组中的M、P表示同一集合的是________（填序号）． ①M={3，﹣1}，P={（3，﹣1）}； ②M={（3，1）}，P={（1，3）}； ③M={y|y=x2﹣1，x∈R}，P={a|a=x2﹣1，x∈R}； ④M={y|y=x2﹣1，x∈R}，P={（x，y）|y=x2﹣1，x∈R}． 2. （1分） (2016高一下·武城期中) 给出下列命题：
①函数 是奇函数； ②存在实数α，使得sinα+cosα= ； ③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；
④ 是函数 的一条对称轴方程； ⑤函数 的图象关于点 成中心对称图形． 其中命题正确的是________（填序号）． 3. （1分） (2017高一上·双鸭山月考) 若函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝x ， 则f(x)的解析式为________． 4. （1分） (2016高一上·上饶期中) 如果奇函数y=f（x） （x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则使f（x﹣1）＜0的x的取值范围是________．
5. （1分） (2016高一上·沭阳期中) 已知函数f（x）=|x|﹣x+1，则不等式f（1﹣x2）＞f（1﹣2x）的解集为________ 第 2 页 共 7 页
6. （1分） 若是不等式m﹣1＜x＜m+1成立的一个充分非必要条件，则实数m的取值范围是________ 7. （1分） (2017高一上·泰州月考) 若 ，则 ________． 8. （1分） (2016高一上·潍坊期中) 已知函数f（x）=x2﹣2x（x∈[﹣1，2]）的值域为集合A，g（x）=ax+2（x∈[﹣1，2]）的值域为集合B．若A⊆B，则实数a的取值范围是________．