§14-2 光在球面上的折射解析

n2 f2 R n 2 n1
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如果要使光线折射后所成的像点处于主光轴上并 落在离开球面无限远处，即l2 = ∞ ，则物点必须放 置在主光轴的F1 点上，而球面顶点C到F1的距离可 以表示为： f 1 l1 n1 R
F1点也是表示折射面性质的点，称为第一主焦点， f2 n2 而f1称为折射面的第一焦距。
点的像距和像的横向放大率。
S1
n1（空气；水）
解：先求放在空气中的情形。
1.50 l2 n1l2 n2l1 1.00 80.0
C
80.0mm
n2(玻璃)
1.50 1.00 20.0 1.00
O
解得l2 = 120 mm
m

1 120 1.50 ( 80.0)
说明像是倒立的实像，位于C点右侧120 mm处。 12
S1O S 2 A sin i n 2 S1 A S 2 O sin r n1
n1
S1
i
θ
A
φ r
n2
S2
n2 n1 n2 n1 l1l 2 n1 Rl 2 n1 l1l 2 n2 Rl1n2 l l1 R 2
近轴光线的球面折射公式。可以看到，对于折射 率为n1和n2的介质以及给定的界面曲率半径R，像点 的位置只依赖于物点的位置。或者说物点和像点之 间存在一一对应的关系。 任何满足近轴光线条件的同心光束在球面上折射 后仍然保持同心性。 5
l1 R l 2 n2 l1 l 2 R n1
C
O
上式对凸状球面和凹状球面都是适用的，只需按
照上面的规定调整球面曲率半径的符号就可以了。
上式也可以用于描述光线在各种球面上的反射，
这时除了应调整球面曲率半径的符号外，还需令
n 2 = -n1 。
还可以用于描述光线在平面上的折射和反射，因 为平面可以认为是曲率半径无限大的球面。 也可以作为研究各种情况下折射和反射成像规 律的基础。
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二、球面折射公式
根据正弦定理应有:
S1O sin i S1 A sin S1O S 2 A
n1 S1
i
θ
A
φ r
n2 S2
sin i n 2 S1 A S 1 C , S 2 A S 2 C S1 A S 2 O sin r n1 C点是主光轴与球面的交点称为球面的顶点。 S1C是物点到球面顶点的距离称为物距，用l1表示。 S2C是像点到球面顶点的距离称为像距，用l2表示。
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n1 y1 n2 y2 根据折射定律： l1 l2
y2 n1l2 m y1 n2l1
பைடு நூலகம்11
例题 如图所示一根折射率为1.50的玻璃棒，其一 端被磨成半径为20.0 mm的半球面。若将它先后放 在折射率为1.00的空气中和折射率为1.33的水中，求
在这两种情况下在棒轴上距离顶点80.0 mm处的物
由物点发出的光束，经光学系统后仍为同心光束， 则这个经过光学系统后的光束的心，称为光学系统 对该物点所成的像点。
如果经光学系统后光线本身通过光束心，则该光 束心是物点的实像；如果经光学系统后光线延长线 相交于一点，则该点是物点的虚像。
在近轴光线的情况下，由物点发出的同心光束， 经单球面折射后仍为同心光束，即对应于一个物点 可获得一个像点。
现求放在水中的情形。
这时像距l2应由下式求得：
1.50 l2
横向放大率为：

1.33 80.0

1.50 1.33 20.0
解得l2 = -185 mm ，
m
n1l2 n2l1

1.33 (185 ) 1.50 (80.0)
2.05
表示像是正立的虚像，处于C点左侧185 mm处。
S 2 A sin S 2 O sin r
C
O
线段正负我们规定如下：由折射点或反射点出发到 被考察点所形成的线段的方向，若与入射光的传播 方向相同，则取正值，若相反，则该线段取负值。 3
根据这个规定，我们可以得到：
(1) 物点若为实际物体时，物距一般取负值。 (2) 像距的符号决定于像的位置。像和物若处于折 射面或反射面的同侧，像距取负值；像和物若处于 折射面或反射面的异侧，像距取正值。但是在折射 和反射这两种情况下，对应于同样符号的像距，像 的性质却不同。具体地说，正的像距，在折射的情 况下代表实像，在反射的情况下代表虚像。负的像 距，在折射的情况下代表虚像，在反射的情况下代 表实像。 (3) 曲率半径的符号决定于曲率中心的位置。在凸 状球面的情况下，曲率半径取正值；在凹状球面的 情况下，曲率半径取负值。 4
n 2 n1
折射面的焦距决定于两种介质的折射率和界面的 曲率半径。
焦点有实焦点和虚焦点之分。实焦点是平行光线 经折射后相交的一点；虚焦点是平行光线经折射后 并不相交，而其延长线相交的一点。 8
f1
n1
通过第一主焦点F1所作的垂直于主光轴的平面，称 为第一主焦面；通过第二主焦点F2所作的垂直于主光 轴的平面，称为第二主焦面。如果近轴的平行光线并 不平行于主光轴，则经球面折射后焦点并不处于主焦 点上，但总处于主焦面上。
§14-2 光在球面上的折射
一、介绍几个概念 光线在两种折射率不同的透明介质所形成的球形 分界面上发生一次折射后的规律，这种情形也称为 光在单球面上的折射。物点与球心的连线称为主光 轴，在主光轴附近并与主光轴夹角很小的光线，称 为近轴光线，或傍轴光线。 有一定关系的光线集合称为光束。从一点发出的 光线形成的光束，称为同心光束，或单心光束。 若光束经光学系统反射或折射后，变成会聚于一点 的光束，或者光束本身虽然不会聚于一点，但光线的 延长线相交于一点，这种反射或折射之后的光束也称 同心光束。光线本身不会聚于一点，其延长线也不相 交于一点的光束，称为像散光束。 1
必须条件是物点发出三条光线都必须是近轴光线。
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五、球面折射的横向放大率
P1
若物体高度为y1，像的 y 2 高度为y2，光学系统 1 S1 F1 QQ 的横向放大率 y
1 3
φ1
Q O φ
2
C
Q’
F2 2
S2
y2
P2
m
2
y1
若像方向与物方向相同称为正像;若方向相反为倒像。
当横向放大率m为正值时，为正像；当横向放大率 m为负值时，为倒像。
n2 n1 n2 n1 用R/(n2 -n1)乘以公式 等号两边，得 l2 l1 R
n2 R n1 R 1 l 2 n2 n1 l1 n2 n1
f1 f2 1 l1 l2
即高斯公式，与近轴光线的球面折射公式完全等效。
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四、球面折射成像的作图法 如图将一个有限大 小的物体放置在球面 左侧并与主光轴垂直
P1 2 S1 1 3 F1 O 2 F2 S2 P2
物点P1发出的同心光束有三条光线是容易画出： (1) 平行于主光轴的光线折射后通过第二主焦点； (2) 通过第一主焦点的光线折射后平行于主光轴； (3) 通过球面曲率中心的光线沿原路径传播。 三条光线中任意两条的交点就是物点P1的像点P2， 由P2向主光轴作垂线，垂足S2就是S1的像。
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三、高斯公式
引入焦点焦距，得球面折射的另一种形式：高斯公式。 如果处于主光轴上的物点离开球面的距离为无限大， 即l1 = ∞，那么由它发出而投射到球面上的光线必定 平行于主光轴。这时表示像点位置的像距应为： n2 l2 R n 2 n1 由l2所确定的点表示了折射面的性质，称为第二 主焦点，用F2 表示。 由球面顶点C到F2 的距离，称为折射面的第二焦距， 若用f2 表示，则有：