光在球面上的反射与折射
第三章几何光学球面反射折射物像公式
例3.4:
一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在 离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。
[解]：两次折射成像问题。
n
P
O1
n
P’1 n` O 2
1、P为物, 对球面O1折射成像P1’
已知 : s1 5cm , r1 2cm , n 1, n ' 1.6 n n n n 由折射成像公式 ' r1 s1 s1
沿轴线段
A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正； 凡光线与主 轴交点在顶点左方者线段长度数值为负； B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。 ② 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的角度；由主轴 （或法线）转向有关光线时： A、顺时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。 （注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）
2
r
2
s r
'
2
2 r s ' r cos
光程 PAP ' nl nl ' n
r 2 r s 2 2 r r s cos r
2
n
s r
'
2
2 r s r cos
1、高斯公式：
球面反射 : f ' f 1 1 2 ' s s r
六、理想成象的两个普适公式
n' n n' n 将物像公式 ' 变形为 : s s r n' n r r ' ' ' f f n n n n 1 1 ' ' s s s s
光在单球面上的折射和反射-四川大学
x′ f′
y′ f =− y x
从 Q 作 O 点的入射线 QO ，其折射线是 OQ′ 。由图可知，得
ny n′y′ =− −s s′
或 讨论：
β=
y′ ns′ = y n′s
(1) β > 0 时， y′ 与 y 同号。物正立时像也是正立的。即物是实物时，像必定是虚像，反之， 当物是虚物时，像必定是实像。 (2) 当 β < 0 时，物和像在主光轴的异侧，而且当物是实物时，生成的像也是实像，当物是虚 物时，生成的像也是虚像。 总之，当 β > 0 时，物和像一定是一实一虚； 当 β < 0 时，物和像的虚实相同。
n n’ P n n’
P’
P’ P
虚物成实像
虚物成虚像
n′ n n′ − n − = s′ s r f′ f + =1 s′ s xx′ = ff ′
1 1 2 + = s′ s r 1 1 1 + = s′ s f xx′ = f 2
φ=
f′=
n′ r n′ − n n f =− r n′ − n
n′ − n r
φ=
f′ n′ =− f n
β=
ns′ n′s
N
P
F
(e) 轴上物点成像作图法
图 作图法的几个例子
四川大学精品课程《光学》
六．球面反射镜 1．方法：将反射看作是折射的特殊情况 2．球面反射的物像距公式：
1 1 2 + = s′ s r
i = −i′ ； n′ = −n
3． 单球面折射饿球面反射镜公式对比
球面折射和球面反射公式对照表 球面折射成像 球面反射成像 公式 公式 物 像 距 焦距和光焦度 横向放 大率
几何光学基本定律球面反射和折射成像
11-1-4 全反射
n1sinin2sinr
当 n1 n2 有 r i
临界角 ic ：相应于折射角 为90°的入射角.
r
n2
i
ic ic
n1
全反射：当入射角 i 大于临界角时,将不会出现折射 光,入射光的能量全部反射回原来介质的现象.
sin ic
n2 n1
§11-2 平面反射和平面折射成像
i i v1 n1
n2
r v2
⑵ 入射角 i 的正弦与折射角 r 的正弦之比为一个常数
sin i sin r n 21
n21称为第二种介质对第 一种介质的相对折射率
n21
sin i sinr
v1 v2
绝对折射率：一种介质相对于真空的折射率 n c v 。
设
c n1 v1
c n2 v2
n 21
虚像
m y 1 y
像正立
例2.点光源P位于一玻璃球心点左侧25 cm处.已知玻璃球半径 是10 cm,折射率为1.5,空气折射率近似为1,求像点的位置.
解: p1 15cm
P2
R10cm
n1 1
P1
n2 1.5
n1 P p1
p 1 p2
n2
C
P2
p 2
n1 n2 n2 n1
p1 p1
R
R
2
C
P
P
R
C P
P
会聚光入射凹镜：虚物成实像
p0
p' 0
R0
f
R 2
0
发散光入射凸镜： 实物成虚像
p 0 p' 0 R0
f R 0 2
R
P
P
3.5光在球面上的反射和折射符号法则
主讲人：尹国盛 教授 河南大学物理与信息光电子学院
1
主要内容
3.1 光线的概念 3.2 费马原理 3.3 单心光束 实像和虚像 3.4 光在平面界面上的反射和折射
光学纤维 3.5 光在球面上的反射和折射 3.6 光连续在几个球面界面上的折射
如果：n1 > n2，那么 y < y ,即像点P 位于 物点 P 的上方，视深度减小。
（渔民叉鱼） 如果：n1 < n2, 那么 y > y ,即像点P 位于
物点 P 的下方，视深度增大。
20
三. 全反射 光学纤维
1.全反射：
对光线只有反射而无折射的现像。
当光从光密介质n1射向光疏介质
n2（<n1）时，i1 i2 i1 ＝ic
18
∵ 单心光束的波面是球面， ∴ 在平面界面上折射后，波面的形状发生 变化，不再是球面了。这样形成的互相垂直 的两小段像且不那么清晰的现像称为像散。
② 当i1＝0，即当P所发出的光束几乎垂直于 界面时,有 x ＝0 ， y = y1 = y2 = y n2 n1 。
19
这表明 y 近似地与入射角 i1 无关，则折 射光束是近似单心的，y 称为像视深度，y 为 物的实际深度。
25
例题3.1 人眼前一小物体，距人眼25cm，今 在人眼和小物体之间放置一块平行平面玻璃 板，玻璃板的折射率为1.5 ，厚度为5mm。 试问此时看小物体相对它原来的位置移动多 远？
解：利用 P162 L 3.1 的结果，
PPˊ= d ( 1-1/n )
可得：
s = 5×（1－1/1.5）= 5/3≈1.67（mm)
光在球面上的反射与折射
光在球⾯上的反射与折射光在球⾯上的反射与折射1.4.1、球⾯镜成像（1）球⾯镜的焦距球⾯镜的反射仍遵从反射定律，法线是球⾯的半径。
⼀束近主轴的平⾏光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上⼀点F （图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。
⼀束近主轴的平⾏光线经凸⾯镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上⼀点F （图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜⾯顶点O 之间的距离叫做球⾯镜的焦距f 。
可以证明，球⾯镜焦距f 等于球⾯半径R 的⼀半，即2R f =（2）球⾯镜成像公式f u 111=+υ上式是球⾯镜成像公式。
它适⽤于凹⾯镜成像和凸⾯镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸⾯镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长和物长h 之⽐为成像放⼤率，⽤m 表⽰，u h h m υ='=由成像公式和放⼤率关系式可以讨论球⾯镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
1.4.2、球⾯折射成像（1）球⾯折射成像公式r n n v n u n 1221-=+ 这是球⾯折射的成像公式，式中u 、υ的符号同样遵循“实正虚负”的法则，对于R ；则当球⼼C 在出射光的⼀个侧，（凸⾯朝向⼊射光）时为正，当球⼼C 在⼊射光的⼀侧（凹⾯朝向⼊射光）时为负。
若引⼊焦点和焦距概念，则当⼊射光为平⾏于主轴的平⾏光（u=∝）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第⼆焦点，（也称像⽅焦点），此时像距即是第⼆焦距2f，有1222n n R n f -=。
当出射光为平⾏光时，⼊射光（或其延长线）的交点即第⼀焦点（即物⽅焦点），这时物距即为第⼀焦距1f，有1211nn R n f -=，将1f 、2f 代⼊成像公式改写成图1-4-1 图1-4-2 图1-4-6A121=+u fu f反射定律可以看成折射定律在12n n -=时的物倒，因此，球⾯镜的反射成像公式可以从球⾯镜折射成像公式中得到，由于反射光的⾏进⽅向逆转，像距υ和球⾯半径R 的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令12n n -=，υυ-→，R R -→，即可得到球⾯镜反射成像公式R u 211=+υ，对于凹⾯镜0>R ，221R f f ==，对于凸⾯镜0f f ==，厚透镜成像。
1. 4. 光在球面上的反射与折射
§1.4、光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像<1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。
一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F<图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F<图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。
可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即b5E2RGbCAP<2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。
下面以凹镜为例来推导：<如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于点，半径CA为反图1-4-1图1-4-2射的法线，即S的像。
根据反射定律，，则CA为角A的平分线，根据角平分线的性质有p1EanqFDPw①由为SA为近轴光线，所以，，①式可改写为②②式中OS叫物距u，叫像距v，设凹镜焦距为f，则代入①式化简这个公式同样适用于凸镜。
使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。
DXDiTa9E3d上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长和物长h之比为成像放大率，用m表示，RTCrpUDGiT由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况～2f表Ⅱ 凸镜成像情况～～2f同侧～<3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
5PCzVD7HxA 如图1-4-4所示，半径为R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R ，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R 处放一点光源S 。
光在球面上的反射和折射参考幻灯片
s'0.10m
顶点O的右边，虚像。
如右图，光线从右向
左传播，此时
A 物空间
巳知：S=0.05m， r=0.20m
Байду номын сангаас
P’
O PC
像空间
由球面镜物像公式，
11 2 s s' r
10/8/2020
1 1 2 0.05 s' 0.20
s'0.1m 0
顶点O的左边，虚像。
3.3.4 球面折射对 光束单心性的破坏
-s
考虑光线P－A－P’的光程 PA' P nln'l
n[ (r)2(rs)22(r)(rs)cos]12
n[ (r)2(s'r)22(r)(s'r)cos]12
当A点在镜面上移动时，是位置的变量。由费马原理
可得
dPA ' P 0 rss'r0
d
l
l'
由此可见，若s已知，则反射线与主轴的交点P’到O 点的距离s’随入射线的倾角u（亦即角）而变。也
由费马原理可得
d PAP' 0
d
n(rs)n'(s'r)0
l
l'
折射线与主轴的交点P’到O点的距离s’随入射线的倾角 u（亦即角）而变。
物点发出的单心光束经球面折射后，单心性也被破坏。
10/8/2020
3.3.5 近轴光线条件下球面折射的物像公式
近轴光线条件下，
角很小，在一级近似下，cos≈1，则有：l≈-s ，l’≈s’
10/8/2020 返回第3 章
3.3.1 符号法则
几何光学中的“符号”是人为规定的具有任意 性，需统一；
3.5 光在球面上的反射和折射 符号法则
2.光焦度公式：
0 会聚 n n ＝ ＝0 平面折射 r 0 发散
单位：m -1 ，称为屈光度，用 D 表示。 （共轭P176）
23
四. 棱 镜
主截面：垂直于两界面的截面. 偏向角：出射线与入射线间的交角. ＝(i1-i2 )+(i1 -i2 )= i1 +i 2 -A 最小偏向角：
A A ＝2i A , i i , i i 2 2
0 1 1 1 2 2
(i i A)
2 2
尹国盛教授河南大学物理与信息光电子学院31光线的概念32费马原理33单心光束实像和虚像34光在平面界面上的反射和折射光学纤维35光在球面上的反射和折射36光连续在几个球面界面上的折射37薄透镜38近轴物点近轴光线成像的条件39理想光具组的基点和基面310理想光具组的放大率基点和基面的性质311一般理想光具组的作图求像法和物像公式波面波面波面波面31光线的概念一光线与波面二几何光学的基本实验定律1光的直线传播定律小孔成像物体的影子2光的反射定律和折射定律3光的独立传播定律和光路可逆原理
11
5.物像之间的等光程性
物点S和像点S之间 各光线的光程都相等 （费马原理）
12
3.4 光在平面界面上的反射和折射 光学纤
三. 全反射 光学纤维
四. 棱镜
13
一. 光的平面反射成像
一个平面镜是最简单的光学系统
平面反射镜是一个最简单的理想光学系 统，它不改变光束的单心性，能成完善的像。 所成的像与原物大小相同，而物和像以平面 镜为对称。
B A
极小值：图（ｂ） 光的直线传播、 光的反射定律、折射定律 极大值：图（c） 恒定值：图（a）
6
3.3 单心光束 实像和虚像
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光在球面上的反射与折射
1.4.1、球面镜成像
（１）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律,法线是球面的半径。
一束近主轴的平行光线,经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F （图１-4-１)，这F 点称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经
凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一
点F （图1-４－２），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦
点Ｆ到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距ｆ。
可以证明，球面镜焦距ｆ等于球面半径R 的一半，即
2R f =
（2）球面镜成像公式
f u 111=+υ
上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正,虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的,因此焦距为负值。
在成像中,像长 和物长h 之比为成像放大率,用m 表示,
u h h m υ='=
由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况,对于凹镜,如表Ⅰ所列;对于凸镜,
如表Ⅱ所列。
1.4.2、球面折射成像 (1)球面折射成像公式
r n n v n u n 1
221-=+ 这是球面折射的成像公式,式中u 、υ的符号同样
遵循“实正虚负”的法则，对于R;则当球心Ｃ在出射光的一个侧，(凸面朝向入射光）时为正，当球心C 在入射光的一侧(凹面朝向入射光）时为负。
若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光(u=∝）时,出射光(或其反向延长线)的交点即为第二焦点，（也称像方焦点),此时像距即是第二焦
距2f
,有1
22
2n n R n f -=。
当出射光为平行光时,入射光(或其延长线）的交点即第一焦点（即物方焦点),这时
物距即为第一焦距1f ,有
121
1n n R n f -=，将1f 、2f 代入成像公式改写成
图1-4-1 图
1-4-2 图1-4-6
A
121=+u f
u f
反射定律可以看成折射定律在12n n -=时的物倒，因此,球面镜的反射成像公式可以
从球面镜折射成像公式中得到,由于反射光的行进方向逆转,像距υ和球面半径R 的正负规定应与折射时相反,在上述公式中令12
n n -=，υυ-→,R R -→,即可得到球面镜反射
成像公式R u 211=+υ
，对于凹面镜0>R ，221R f f ==,对于凸面镜0<R ,221R f f =
=,厚透镜成像。
(2）光焦度
折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量,我们定义此量为光焦度,用φ表示:
r n n -'=
Φ
它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。
φ的数值越大,平行光束折得越厉害；φ>0时,屈折是会聚性的；φ<0时，屈折是发散性的。
φ＝0时,对应于∞=r ，即为平面折射。
这时,沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束，不出现屈折现象。
光焦度的单位是［米-1
],或称[屈光度],将其数值乘以1００,
就是通常所说的眼镜片的“度数”。
§1.5、透镜成像
1.5.1、透镜成像作图
（1)三条特殊光线
（2)一般光线作图：对于任一光线SA ，过光心O 作轴OO ’平行于SA ，
O O '与焦平面 M M '交于P 点，连接A Ｐ或A Ｐ的反向延长线即为SA 的折射光线
*像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。
一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后,若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点;若成为发散光束,则其反向延长线交点为物的虚像点;若为平行光束则不成像。
1.5．２、薄透镜成像公式 薄透镜成像公式是：
f u 111=+υ 式中ｆ、u 、ｖ的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。
若令f u x -=,f x -='υ,则有
2
f x x ='
该式称为“牛顿公式”。
式中x 是物到“物方焦点”的距离,x '是像到“像方焦点”的距离。
从物点到焦点，若顺着光路则x 取正，反之取负值;从像点到焦点,若逆着光路则x '取正值,反之取负值,该式可直接运用成像作图来推导,请读者自行推导，从而弄清x x ',的意义。
图1-4-8
图1-5-2
*“实正、虚负”法则：凸透镜焦距取正值,凹透镜焦距取负值;实像像距取正值,虚像像距取负值。
实物物距取正值，虚物物距取负值。
＊实物与虚物：发散的入射光束的顶点(不问是否有实际光束通过此顶点）是实物;会聚的入射光束的顶点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。
假定n n >'，P 为实物，P '为虚像使所有光线都循原路沿相反方向进行，如将（a)反向为(b)图所示，则0P 表示光线在未遇
凸面镜之前是会聚的，0P 为虚物'
0P 均为实物。
例1、 半径为R 的半圆柱形玻璃砖,横截面如图1-3-10所示。
O 为圆心。
已知玻璃的折射率
为2。
当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°，一束与MN 平面成4５0的平行光束射到玻璃砖的
半圆柱面上,经玻璃折射后，有部分光能从MN 平面上射出。
求能从M Ｎ平面射出的光束的宽度为多少?
例6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图1-2-1６所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面A 上。
试确定通过表面A 进入的光全部从表面B 射出的R ／d 的最小值。
已知玻璃的折射为1.５。
例6、某人的眼睛的近点是10cm ，明视范围是８0cm ，当他配上-10０度的近视镜后明视范围变成多少?
例2、 如图1-5-18,MN 是凸透镜主光轴，O 为光心，F 为焦点，图中所画两条光线为点光
图1-3-11
图1-2-16
源S 经凸透镜折射的两条光线。
用作图法确定光源Ｓ与像点S 的位置。
例1、如图１－2-6所示,AB 表示一平直的平面镜,21P P 是水平放置的米尺(有刻度的一面朝着平面镜），M Ｎ是屏,三者相互平行,屏ＭN 上的a ｂ表示一条竖直的缝（即ａb 之间是透光的）。
某人眼睛紧贴米尺上的小孔S （其位置如图所示）,可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。
试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在21P P 上把这部分涂以标志。
例2、
在内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一黑球
,距球心为L 处有一点光源S ，球心O 和光源S 皆在圆筒轴线上，已知筒的内半径为ｒ,如图所示．若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则黑球的半径R 最小为多少？
P 1 P 2 M N a
b A
B S 图1-2-6。