光在球面上的反射和折射

n=1.5
O1 R
O2 P’ P1’ s2’ s2
s1’
(1). O1面：s1=-, r1=+R, n1=1, n1’=1.5 O2面：s2=R, r2= -R, n2=1.5, n2’=1
s1’ = 3R s2’ = R/2
P
n=1.5
-s1
O1
n' n n'n s' s r
O2
R
s2’
P’
(习题)
M
出发点： P、P为物像共轭点。
从P发出的各同心 光线都到P点
rh
P’
P
O
Q
h
C
n n’
r
-s
s’
从Fermat原理可知P点到P点的 所有成像光线有相等的光程
n PM n' MP n PO n'OP
PM h2 (s )2
M
MP' h2 (s')2
P
h2 r2 2
r2 h2 r 2
Abbe不变式: n' n n'n s' s r
焦距公式：
f n r n n'
和
f ' n' r n'n
Gauss成像公式: f ' f 1 s' s
P
F
O
P’ F’
n n’
-f -x
f’ x’
-s
s’
分别以F和F’为基准点，量度物点P和像点P’ 的位置，物距和
和像距分别用 x 和 x’ 表示：
iv. 所有量用绝对值表示----全正表示。
-i
M
P
-u
hf
-i’ u’
P’
OQ
C
n n’ r
-s s’
单个折射面成像系统的笛卡尔符号规则
线段
笛卡尔坐标规则补充
纵向线段 以球面顶点O为原点，以入射光线进行 的方向为正方向，建立物空间坐标 s 和像空间坐标 ，
物点s 坐标为物距，像点坐标为像距.
横向线段 以光轴为起点，向上为正向下为负.
像放大
f
像缩小
f0
s
1、一个折射率为1.5的玻璃球，半径R，置于空气中。在近轴成像时， 问： （1）无穷远处的物成像在何处？ （2）物在球前2R处，成像在何处？
n=1.5
P1’
P
O1
-s1
O2
P’
R
s2’
s2
s1’
解：
-s1
n' n n'n s' s r
D > 0，会聚作用 F
n < n
O
C
n n’
F’
r
-f
f’
n > n
D < 0，发散作用 F’
O
CF
n n’
r
-f’ f
F’
O
n n’
-f’
f
O
F
n n’
-f
f’
F
n < n
F’ n > n
B. 焦距公式
从
n' n s' s
n'n r
F
O n n’
C F’
r
-f f’
第一主焦距 (first focal length)或物 方主焦距：
利用几何知识可以得到单球面反射系统成像公式
1 1 1 ( s s ) l l r l l
考虑近轴光线,进一步得到
1 1 2 s s r
它的成像规律与介质无关．
球面镜成像.swf
C FF o
令 s , 得 f r ;
令 s ,
得
f
r2, 2
f f r
2
因此球面镜物方焦点与像方焦点重合 .
凹面镜 r 0, f f 0;
凸面镜 r 0, f f 0.
球面反射物像公式： 1 1 1 s s f
Mirror
见P173例3.3
3 单个球面的折射成像
A. Abbe不变式 B. 焦距(focal lengh) C. Gauss成像公式和 Newton成像公式
A. 用Fermat原理推导Abbe不变式:
1. 符号规则(sign convention) 几何光学常用的符号规则：
笛卡尔坐标规则:
实正虚负规则； 笛卡尔坐标规则。
i. 假设光线从左侧进入光学系统；
ii. 线段量以光轴与介质分界面的交点为参照点， 左方负，右方正；在光轴上方为正，下方为负；
iii. 角度量以介质分界面法线或光轴为基准，按小于 90o的方向旋转，顺时针为正逆时针为负；
f n r n n'
同理： 第二主焦距 (second focal length)
或像方主焦距:
f '
n' r
n'n
f、f’、 D之间的关系:
D n'n n' n r f' f
F
f n f ' n'
n < n’
O
C
n n’
F’
r
-f
f’
f, f ’ 符号相反，大小不等
4 Gauss成像公式和Newton成像公式
n n n' n' ----- Abbe不变式 r s r s'
n n n' n' r s r s'
M
P
O
P’
n n’ r C
-s
s’
n' n n'n s' s r
定义光焦度(optical power) ：D n'n
r
r 的单位为米时，D的单位称为屈光度(diopter)
D n'n r
2 s' r
n
{s
r2
2
1 s
1 r
}
n'{s'
r2
2
1 s'
1 } r
Fermat原理
M
r
P
O
P’
n n’ r C
-s
s’
n PM n'MP' n PO n'OP'
n {s r 2 1 1 } n'{s' r 2 1 1 } n (s) n's'
2 s r
2 s' r
n
n n
i
y
•
S
u
O
i
u
S
•
C
y
s
r s
角度
以光轴或法线为始边，沿小于 的方向旋转，顺时 针为正，逆时针为负．(顺正逆负)
图中各量的表示方法
图中只标记角度和线段的绝对值．标记点用大写字母, 标记角度和线段用小写字母.
物与像 的一一对应关系称为共轭.
n
i
y
•
S
u
O
s
n n
i
C
r s
u
S
•
y
2单个球面的反射成像
rh
O
Q
P’ C
n n’ r
-s
s’
r2
PM s2 r 2 2 s
2r
(s)2 r 2 (s)r 2
r
PM (s) 1 r 2 1 1
ss r
近轴光线
r << -s、r、s
PM
s
r2
2
1 s
1 r
M
P
rh O
P’
hQ
C
n n’ r
-s
s’
同理： MP' s' r 2 1 1
-s = -x-f s’ = x’+f’
xx' ff '
Newton成像公式
成像规律图
以S 为横坐标, 以 S为纵坐标, 根据高斯公式作物距和像距关系曲 线. 这是一条以S=f， S=ƒ 两直线为渐近线的双曲线. 曲线上每一点 都对应光轴上一对共轭点.
第二象限实 物实像
s 第一象限虚 物实像
1
s2
s1’
(2). O1面：s1=-2R, r1=+R, n1=1, n1’=1.5
s1’ =
O2面：s2= , r2= -R, n2=1.5, n2’=1
s2’ = 2R
例2. 推导薄透镜(thin lens)的焦距公式-----透镜制造者公式