2018-2019学年北京市昌平区高一第一学期期末数学试题(解析版)
（1）由 所以
解得
, 故函数 的定义域是
.
（2）函数 是奇函数.
由（1）知定义域关于原点对称. 因为
，
所以函数 是奇函数.
(3) 由
可得
.பைடு நூலகம்
得
解得
.
【点睛】
本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化思想，
是一道中档题．
19．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古 诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：
数型函数的一段，即满足
，且过点（5，100）和点（15，60），代入解析
式即可得到函数的解析式．令 y=40，求出 x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间．
【详解】
由题意，当 0≤t≤5 时，函数图象是一个线段，当 t≥5 时，函数的解析式为
，
点（5，100）和点（15，60），代入解析式，
有
，
解得 a＝5,b=20，
. （2）设小明对“经典名著”的阅读时间为
，
①当
，即
时，
=
= 所以当
， 时， 有最大值 13600．
当
，即
时，
h
=
，
因为 的对称轴方程为 ，
所以 当
时， 是增函数，
所以 当 时， 有最大值为 13200. 因为 13600>13200，
，则对“古诗词”的阅读时间为
所以阅读总字数 的最大值为 13600，此时对“经典名著”的阅读时间为 40 分钟，对 “古诗词”的阅读时间为 20 分钟． 【点睛】 本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．
,则函数 的一个解析式为
【答案】
（不是唯一解）
【解析】根据 f（﹣2）•f（2）＞0 便可想到 f（x）可能为偶函数，从而想到 f（x）＝x2，
x＝0 是该函数的零点，在（﹣2，2）内，从而可写出 f（x）的一个解析式为：f（x）＝
x2．
【详解】
根据 f（﹣2）•f（2）＞0 可考虑 f（x）是偶函数；
∵40.5＞40＝1，log0.54＜log0.51＝0，0＜0.54＜0.50＝1； ∴b＜c＜a．
故选：A．
【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题．
7．如果二次函数
A．
B．
【答案】C
有两个不同的零点，那么 的取值范围为
C．
D．
【解析】由条件利用二次函数的性质可得△＝4 ﹣4（ 【详解】
20．已知函数 的定义域为 ，对于给定的 足：
，若存在
，使得函数 满
① 函数 在 上是单调函数；
② 函数 在 上的值域是
，则称 是函数 的 级“理想区间”.
(1)判断函数
，
区间”；（只需直接写出结果）
是否存在 1 级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想
(2) 证明：函数
存在 3 级“理想区间”；（
由题意可得 T •
，解得ω＝2．
再由五点法作图可得 2
＝ ，解得 ，
故答案为(1). 2 (2). ． 【点睛】 本题主要考查利用 y＝Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象 求解析式，属于中档题．
14．已知函数 在 上存在零点，且满足 __________.（只需写出一个即可）
2．已知角α的终边经过点
，那么 的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由三角函数的定义直接可求得 sina.
【详解】
∵知角 a 的终边经过点 P
，
∴sina
，
故选：B．
【点睛】
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3． sin210 （ ）
A． 3 2
B． 3 2
【答案】D
C． 1 2
17．已知函数 （1）求函数 的最小正周期； （2）求函数 的单调递减区间；
(3)求函数 在区间 上的最小值．
【答案】（1） ；（2）
；（3）
【解析】（1）化简
，由周期公式计算周期即可.
（2）由题意知
解得 x 的范围即得 单调递减区间.
（3）由（2）知 f（x）在区间
上单调递增，在
上单调递减，即可求 f（x）
故选：C．
【点睛】
考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．
5．下列函数中，既是偶函数，又在区间
上为减函数的为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于 A，y 为反比例函数，为奇函数，不符合题意； 对于 B，y＝cosx 为余弦函数，在（﹣∞，0）上不是单调函数，不符合题意； 对于 C，y＝2﹣x，不是偶函数，不符合题意；
）
(3)设函数
，
，若函数 存在 级“理想区间”，求 的值.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 或
【解析】(1)直接由“理想区间”的定义判断即可.
(2)由题意结合函数 的单调性得
，即方程
有两个不等实根.
设
，由零点存在定理知 有零点 ， ，所以方程组有解，即函数
，向量 与 的夹角为 , 那么
【答案】 【解析】【详解】
∵| |＝1，| |＝1，向量 与 的夹角为 ，∴
，
∴
，
故答案为 . 【点睛】 本题考查了向量数量积的运算，属于基础题．
13．已知函数 __________, __________.
的图象如图所示，那么函数
【答案】2 【解析】根据周期求出ω，根据五点法作图求出φ，从而求得函数的解析式． 【详解】
2018-2019 学年北京市昌平区高一第一学期期末数学试题
一、单选题 1．已知集合
，
,那么 等于
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据并集的定义写出 A∪B 即可．
【详解】
集合 A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2，3}，
则 A∪B＝{﹣1，0，2，3}．
故选：A．
【点睛】
本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．
在区间[0， ]上的最小值．
【详解】
（1）
所以函数 的最小正周期是
.
（2）由题意知
故
所以函数 单调递减区间为
.
（3）由（2）知 f（x）在区间
上单调递增，在
上单调递减，
故 f（x）在 时取得最小值为 . 【点睛】 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
18．已知函数
.
（1）求函数的 定义域；
②由 f（x）的图象关于原点对称，可得 f（0）=0，又当 x＞0 时，f（x）的对称轴为 x=a,
所以若 f（x）的值域是 R，
则当 x＞0 时，f（x）＝
必须满足：
，或
，
解得 a≥2 或 a≤-2， 即 a 的取值范围是（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案为：【答题空 1】 ；【答题空 2】（﹣∞，-2]∪[2，+∞）． 【点睛】 本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于难题．
小明阅读“经典名著”的阅读量 （单位：字）与时间 t（单位：分钟）满足二次函数 关系，部分数据如下表所示；
t
0
10
20
30
0
2700
5200
7500
阅读“古诗词”的阅读量 系.
（单位：字）与时间 t（单位：分钟）满足如图 1 所示的关
（1）请分别写出函数 和 的解析式； （2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时
（2）判断函数 的奇偶性，并用定义证明你的结论；
（3）若函数
，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【解析】（1）由
，求得 x 的范围，可得函数的定义域；
（2）根据函数的定义域关于原点对称，且 f（﹣x）＝﹣f（x），可得 f（x）为奇函数；
（3）由 f（x） 0，利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集． 【详解】
对于 D，y＝|x|+1 合题意；
，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数，符
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．
6．已知
那么 a，b，c 的大小关系为
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】容易看出 40.5＞1，log0.54＜0，0＜0.54＜1，从而可得出 a，b，c 的大小关系． 【详解】
间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）设 f（t）=
代入（10，2700）与（30，7500），解得 a 与 b. 令
＝kt，
,代入（40，8000），解得 k,再令 ＝mt+b，
,代入（40，8000），
（60，11000），解得 m，b 的值．即可得到 和 的解析式；
∴想到 f（x）＝x2，并且该函数在（﹣2，2）上存在零点；
∴写出 f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．
故答案为：f（x）＝x2． 【点睛】 考查函数零点的定义及求法，属于基础题．
15．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，
（1）当 时，
__________；
，其中 ．
2018北京市昌平区高一(上)期末数学
2018北京市昌平区高一（上）期末数 学（满分150分，考试时间120分钟）2018.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. (1) 设全集U={1,2,3,4,5,6}，{3,4}A =，{2,4,5}B =，则U A B =ðI (A) {1,2,4,5,6} (B) {2,3,4,5} (C ) {2,5} (D) {1,6} (2) 已知角θ的终边经过点(4,3)-，则cos θ的值是（A ）45 （B ）35- （C ）45- （D ）35(3) 已知向量(,1)m =-a ，(24)=，b ，若a ⊥b ，则m 的值为 （A ）12 （B ）2 （C ）12- （D ）2- (4) 设函数()(0,1)xf x a a a =>≠，且(2)4f =.则下列结论正确的是（A ）(1)(2)f f ->- （B ） (1)(2)f f > （C ） (2)(2)f f <- （D ） (3)(2)f f ->- (5) 如图所示，D 是ABC ∆的边AB 的中点，则向量CD =DC B A（A ）BA BC 21+- （B ）BA BC 21--（C ）BA BC 21- （D ）BA BC 21+(6) 已知,αβ都是锐角，若sin cos αβ>，则下列结论正确的是（A ）2παβ+>（B ）2παβ+<（C ）2παβ->（D ）αβ-与2π大小关系不确定 (7) 中国民间流传着有关阳历月份天数的口诀：“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十日，平年二月二十八，闰年二月把一加.”『腊』指十二月，『冬』指十一月. 2017年3月15日为星期三，记作：(170315)f =三.已知(171111)f =六，则(171212)f =（A ）六 （B ）日 （C ）一 （D ）二 (8) 对于函数()sin(2)6f x x π=+,下列命题①函数图象关于直线12x π=-对称；②函数图象关于点5(,0)12π对称； ③函数图象可看作是把()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位而得到； ④函数图象可看作是把()sin()6f x x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)而得到. 其中正确命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 (9) 函数()2lg 1xf x x =-的零点的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 (10) 如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，1()2x g x -=.令函数{}()min (),()H x f x g x =，其中{}12min ,x x表示12,x x 这两个数中最小的数.则()H x 取最大值时对应的x 的值为y BA C Ox22-87（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2第二卷（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. (11) 已知(4,3),(2,1)A B --，则12AB = . (12) 已知tan 2α=，则5cos sin sin 2cos αααα-=+______________ .(13) 20.9232log 5-，，三个数中最大的数是______________ . (14) 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若2cos 3α=-，则cos β=_____________ .(15)如图，在直角梯形ABCD 中，//,1,2,AD BC AB AD BC ===点P 是梯形ABCD 边上的动点，沿着A B C D A →→→→方向运动.则BD BA ⋅=_________ ；BD BP ⋅的取值范围是_________.PDCBA(16)已知函数6, 2()(0,1)3log , 2 ax x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩.若(9)5f =，则a =_____ ；若()f x 的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是________．三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. (17) (本小题满分13分)已知全集U =R ，集合A={}42x x -≤≤，{}13B x x =-<<，{},C x x a a =≥∈R . （I ） 求AB ,U A B ð；（II ） 若()A B C φ=，求a 的取值范围.(18) (本小题满分14分)已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+- (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（III ）求函数()f x 在46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值． (19)(本小题满分13分)已知函数2()(2)1()f x ax a x a =-++∈R ，且(1)(3)f f -=. (Ⅰ) 求函数()f x 的最值； (Ⅱ) 设()()4f x g x x=+.判断函数()g x 的奇偶性，并证明. (20)(本小题满分15分)如图，已知(1,1),A -(5,3),B (4,0)C . (Ⅰ) 求cos ,AB BC 〈〉；(Ⅱ) 若(,)OA AB BC λμλμ=+∈R ,求λμ的值； （III ）设点(,)P m m -，若,,P B C 三点共线，求m 的值.-4-3-2-1654321-4-3-2-154321yxOCBA(21)(本小题满分15分)如图，ABCD 是一块边长为1的正方形地皮，其中AST 是一占地半径为(01)r r <≤的扇形小山，其余部分为平地，开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形一顶点P 落在ST 上，相邻两边,CQ CR 落在正方形ABCD 的边,BC CD 上.设(0)2SAP πθθ∠=≤≤，记停车场PQCR 的面积为()f θ.（I ）求()f θ；（II ）记()f θ的最大值为()g r ，求()g r 。
昌平区高一上学期数学期末考试题及答案
昌平区高一上学期数学期末考试题及答案昌平区高一上学期数学期末考试题及答案学习要持之以恒。
平常不急不躁，一步一个脚印，就是为期末考试打好了基础。
下面店铺带来一份昌平区高一上学期数学的期末考试题，文末有答案，希望能对大家有帮助，更多内容欢迎关注应届毕业生网!1.本试卷共4页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟.2.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚.答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔.3.修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液.请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损.不得在答题卡上作任何标记.4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分.第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合，， ,那么等于A. B. C. D.2. 已知向量 , 且，那么实数的值是A. B. C. D.3. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A.若点A的纵坐标是，那么的值是A. B. C. D.4. 已知函数的零点为，那么所在的区间是A. B. C. D.5.已知函数f (x) 是定义在上的奇函数，当时，f (x) 的图象如图所示，那么f (x) 的值域是A. B.C. D.6. 已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有的点A.向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度7. 已知，，，那么a，b，c的.大小关系是A. B. C. D.8. 已知定义在R上的奇函数f (x)满足，且在区间[0,2]上是增函数，那么A. B.C. D.9. 甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示. 假设某人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是A. 40万元B. 60万元C.120万元D. 140万元10. 已知定义在上的函数，若对于任意，且，都有，那么函数称为“ 函数”. 给出下列函数：① ;② ;③ ;④ .其中“ 函数”的个数是A.1B. 2C.3D.4第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.11. 已知函数的图象经过点，那么实数的值等于____________.12. 已知，且，那么 ________.13. 已知函数如果，那么实数的值是 .14. 已知函数 ( )的部分图象如图所示，那么 ________， .15.如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足向量，那么 _______.16.已知函数的定义域为D，若同时满足以下两个条件：① 函数在D内是单调递减函数;② 存在区间，使函数在内的值域是 .那么称函数为“W函数”.已知函数为“W函数”.(1)当时，的值是 ;(2)实数k的取值范围是 .三、解答题(共5个小题，共70分)17. (本小题满分13分)已知向量 .(Ⅰ)若，求的值;(II)若，求向量a与b夹角的大小.18.(本小题满分14分)已知函数 .(I)求函数的最小正周期;(II) 求函数的单调递增区间;(III)当时，求函数的最小值，并求出使取得最小值时相应的x值.19. (本小题满分14分)已知函数 .(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 判断函数的奇偶性，并加以证明;(Ⅲ)若，求实数的取值范围.20.(本小题满分14分)据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P(元)和时间t ( )(天)的关系如图所示.(I) 求销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系式;(II)若日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式是 )，问该产品投放市场第几天时，日销售额 (元)最高，且最高为多少元?21.(本小题满分15分)已知函数，对于任意的，都有 , 当时，，且 .( I ) 求的值;(II) 当时，求函数的最大值和最小值;(III) 设函数，判断函数g(x)最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围.数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C A B B D C B A C B二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)11. 12. 13.14. 15. 3 16. 1，(注：第14、16题第一问2分，第二问3分).三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分13分)(I)依题意，由可得， ,解得 ,即 ,所以. …………6分(II) 依题意，可得，所以，因为，所以 a与b的夹角大小是. …………13分18.(本小题满分14分)解：(I) . ……………………………3分(II)所以函数的单调递增区间是 ( ). ……………………………8分(III) , ,. ……………………………10分所以函数的最小值是，……………………………12分此时. ……………………………14分19. (本小题满分14分)解: ( Ⅰ )……………………………3分( Ⅱ ) 函数是偶函数. ……………………………4分证明：由解得所以 ,所以函数的定义域为. ………………………………6分因为………………………………7分，所以函数是偶函数. …………………………9分( Ⅲ ) 由可得…………………………10分得，…………………………12分解得，，或. …………………………14分20.(本小题满分14分)解：(I)①当时，设将代入，得解得所以………………….3分②当时，设将代入，解得所以………………….6分综上所述………………….7分(II)依题意，有得………………….9分化简得整理得………………….11分① 当时，由可得，当时，有最大值900元. ………12分② 当时，由可得，当时，有最大值800元. …….13分因为，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元. ………………….14分21. (本小题满分15分)解：(I)令得，得. ………………….1分令得，………………….2分令得…………………3分(II)任取且，，因为，即，则. …………………4分由已知时，且，则，所以，，所以函数在R上是减函数，………………….6分故在单调递减.所以，又，………………….7分由，得，，故. ………………….9分(III) 令代入，得，所以，故为奇函数. ………………….10分………………….11分令即，因为函数在R上是减函数，………………….12分所以，即，………………….13分所以当时，函数最多有4个零点. ………………….15分下载全文。
2018-2019学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．若集合A＝{x|x2+2x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}2．已知数列{a n}，a2＝1，，则a1+a3的值为（）A．4B．5C．6D．83．若x，y满足，则2x+y的最小值为（）A．8B．C．2D．﹣14．如图是一个算法流程图，则输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．55．已知a，b∈R，则“a＜b”是“log2a＜log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知向量，满足||＝1，||＝2，||＝，那么与的夹角为（）A．B．C．D．7．《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛8．现有A1，A2，…，A5这5个球队进行单循环比赛（全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场）．当比赛进行到一定阶段时，统计A1，A2，A3，A4这4个球队已经赛过的场数分别为：A1队4场，A2队3场，A3队2场，A4队1场，则A5队比赛过的场数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共轭复数＝．10．已知抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为．11．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为．12．在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝3．若△ABC的面积为，则∠A＝；BC＝．13．能说明“若点M（a，b）与点N（5，5）在直线x+y﹣2＝0的同侧，则a+b＞4”是假命题的一个点M的坐标为．14．已知函数其中a＞0，且a≠1．（i）当a＝2时，若f（x）＜4，则实数x的取值范围是；（ii）若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）设{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1＝1，a2+a3＝6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求lna1+lna2+…+lna n．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为﹣2，求m的最大值．17．（13分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．（Ⅰ）从III型号汽车的回访客户中随机选取1人，则这个客户不满意的概率为；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率；（Ⅲ）汽车公司拟改变投资策略，这将导致不同型号汽车的满意率发生变化．假设表格中只有两种型号汽车的满意率数据发生变化，那么哪种型号汽车的满意率增加0.1，哪种型号汽车的满意率减少0.1，使得获得满意的客户人数与样本中的客户总人数的比值达到最大？（只需写出结论）18．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：CD∥&平面ABFE；（Ⅱ）求证：平面ABFE⊥平面CDEF；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？说明理由．19．（13分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若0＜a＜e，判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．20．（14分）已知椭圆过点，且离心率为．设A，B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP，BP分别与直线l：x＝4相交于M，N 两点，且直线MB与椭圆C交于另一点H．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：直线AP与BP的斜率之积为定值；（Ⅲ）判断三点A，H，N是否共线，并证明你的结论．2018-2019学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．若集合A＝{x|x2+2x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣2≤x≤0}；∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0}．故选：D．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2．已知数列{a n}，a2＝1，，则a1+a3的值为（）A．4B．5C．6D．8【分析】利用递推关系式，转化求解即可．【解答】解：数列{a n}，a2＝1，，可得a1+a2＝2，a2+a3＝4，解得a1＝1，a3＝3，a1+a3＝4．故选：A．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．3．若x，y满足，则2x+y的最小值为（）A．8B．C．2D．﹣1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z作出x，y满足，对应的平面区域如图：由图象可知当直线y＝﹣2x+z过点A时，直线y＝﹣2x+z的在y轴的截距最小，此时z最小，由，得A（0，2），此时z＝2×0+2＝2，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4．如图是一个算法流程图，则输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝1，k＝1S＝2，不满足条件S＞10，k＝2，S＝6不满足条件S＞10，k＝3，S＝15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故选：B．【点评】本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．5．已知a，b∈R，则“a＜b”是“log2a＜log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵log2a＜log2b，∴0＜a＜b，∴“a＜b”是“log2a＜log2b”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用对数的基本运算性质是解决本题的关键，比较基础．6．已知向量，满足||＝1，||＝2，||＝，那么与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】由向量的模的运算得：2+2+2＝3，由向量的夹角公式得：2+2||||cosθ+2＝3，即cosθ＝﹣，又θ∈[0，π]，所以θ＝，得解．【解答】解：由||＝，得：2+2+2＝3，即2+2||||cosθ+2＝3，又||＝1，||＝2，所以cosθ＝﹣，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选：C．【点评】本题考查了向量的模的运算及向量的夹角，属简单题7．《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r＝，故米堆的体积为××π×（）2×5＝，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈21，故选：A．【点评】本题主要考查锥体的体积的计算，比较基础．8．现有A1，A2，…，A5这5个球队进行单循环比赛（全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场）．当比赛进行到一定阶段时，统计A1，A2，A3，A4这4个球队已经赛过的场数分别为：A1队4场，A2队3场，A3队2场，A4队1场，则A5队比赛过的场数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意，分析可得A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，进而可得A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又由A4队只赛过一场，分析可得A2队必须和A3、A5各赛1场，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，A1，A2，A3，A4，A5五支球队进行单循环比赛，已知A1队赛过4场，所以A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，已知A2队赛过3场，A2队已和A1队赛过1场，那么A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又知A4队只赛过一场（也就是和A1队赛过的一场），所以A2队必须和A3、A5各赛1场，这样满足A3队赛过2场，从而推断A5队赛过2场．故选：B．【点评】此题主要考合情推理的应用，利用A1队比赛场数得出A2队、A4队比赛过的对应球队是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共轭复数＝﹣1﹣i．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵＝，∴．故答案为：﹣1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．已知抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为4．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标（1，0），抛物线y2＝4x上的一点M到该抛物线的焦点F 的距离|MF|＝5，则M到准线的距离为5，则点M到y轴的距离为：4．故答案为：4．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．11．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为900．【分析】求出a的值，根据[70，80）的概率求出在此区间的人数即可．【解答】解：由1﹣0.05﹣0.35﹣0.2﹣0.1＝0.3，故a＝0.03，故阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：0.3×3000＝900，故答案为：900．【点评】本题考查了直方图问题，考查概率问题，是一道常规题．12．在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝3．若△ABC的面积为，则∠A＝60°；BC＝．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求sin A，结合A为锐角可求A的值，根据余弦定理可求BC 的值．【解答】解：∵AB＝2，AC＝3．若△ABC的面积为＝AB•AC•sin A＝，∴解得：sin A＝，∵A为锐角，∴A＝60°，∴BC＝＝＝．故答案为：60°，．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．13．能说明“若点M（a，b）与点N（5，5）在直线x+y﹣2＝0的同侧，则a+b＞4”是假命题的一个点M的坐标为（2，1）[或（1，2），（0，3），（3，0）]（答案不唯一）．【分析】由题意知（a+b﹣2）（5+5﹣2）＞0，举例说明a+b＞2且a+b≤4即可．【解答】解：点M（a，b）与点N（5，5）在直线x+y﹣2＝0的同侧，则（a+b﹣2）（5+5﹣2）＞0，∴a+b＞2，不能得出a+b＞4，当点M的坐标为（2，1）时，a+b＞4是假命题．故答案为：（2，1）[或（1，2），（0，3），（3，0）]（答案不唯一）．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是开放性题目．14．已知函数其中a＞0，且a≠1．（i）当a＝2时，若f（x）＜4，则实数x的取值范围是（﹣∞，2）；（ii）若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，则实数a的取值范围是（0，1）∪（1，2）．【分析】（i）由分段函数或，解得即可，（ii）分类讨论，结合图象，利用函数单调性即可求出．【解答】解：（i）当a＝2时，或，解得x＜2，故f（x）＜4，则实数x的取值范围是（﹣∞，2）；（ii）当0＜a＜1时，函数f（x）的大致图象为：当x＞1时，函数f（x）＝a x为减函数，则0＜f（x）＜f（1）＝a，当x≤1时，函数f（x）＝x+为增函数，则f（x）＜f（1）＝1+，此时存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，当a＞1时，当x＞1时，函数f（x）＝a x为增函数，则f（x）＞f（1）＝a，当x≤1时，函数f（x）＝x+为增函数，则f（x）＜f（1）＝1+，如图所示：若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，则需要满足1+＞a，解得1＜a＜2，综上所述a的取值范围为（0，1）∪（1，2）故答案为：（﹣∞，2），（0，1）∪（1，2）【点评】本题考查不等式的解法，方程的根的个数，考查数形结合的思想方法，注意转化思想，转化为函数的图象的交点个数问题，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）设{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1＝1，a2+a3＝6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求lna1+lna2+…+lna n．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，利用通项公式，然后求解即可．（Ⅱ）由（I）知，lna1＝0，通过lna1+lna2+…+lna n＝．转化求解即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，因为a2+a3＝6，所以，又a1＝1，所以q2+q＝6．即q＝2或q＝﹣3（舍）．所以．……（Ⅱ）由（I）知，lna1＝0，因为，所以{lna n}是以0为首项，公差为ln2的等差数列．所以lna1+lna2+…+lna n＝．所以（n∈N*）．……（13分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为﹣2，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）＝＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）．由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得．所以f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）在区间上，∴2x+∈[2m+，]．要使得f（x）在区间上的最小值为﹣2，2sin（2x+）在区间上的最小值为﹣1，∴2m+≤﹣，∴m≤﹣，即m的最大值为﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，定义域和值域，属于中档题．17．（13分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．（Ⅰ）从III型号汽车的回访客户中随机选取1人，则这个客户不满意的概率为0.4；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率；（Ⅲ）汽车公司拟改变投资策略，这将导致不同型号汽车的满意率发生变化．假设表格中只有两种型号汽车的满意率数据发生变化，那么哪种型号汽车的满意率增加0.1，哪种型号汽车的满意率减少0.1，使得获得满意的客户人数与样本中的客户总人数的比值达到最大？（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）从III型号汽车的回访客户中随机选取1人，利用对立事件概率计算公式能求出这个客户不满意的概率．（Ⅱ）先求出样本中的回访客户的总数和样本中满意的客户人数，由此能估计这个客户满意的概率．（Ⅲ）增加IV型号汽车的满意率，减少II型号汽车的满意率．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从III型号汽车的回访客户中随机选取1人，则这个客户不满意的概率为p＝1﹣0.6＝0.4．故答案为：0.4．……（3分）（Ⅱ）由题意知，样本中的回访客户的总数是：250+100+200+700+350＝1600，样本中满意的客户人数是：250×0.5+100×0.3+200×0.6+700×0.3+350×0.2＝125+30+120+210+70＝555，所以样本中客户的满意率为．所以从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率为．……（11分）（Ⅲ）增加IV型号汽车的满意率，减少II型号汽车的满意率．…………（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：CD∥&平面ABFE；（Ⅱ）求证：平面ABFE⊥平面CDEF；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD．由此能证明CD∥平面ABFE．（Ⅱ）推导出AE⊥DE，AB⊥AD，从而AB⊥平面ADE，进而AB⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABFE，从而平面ABFE⊥平面CDEF．（Ⅲ）取CD的中点N，连接FN，推导出四边形EDNF是平行四边形，从而FN∥DE，由DE⊥平面ABFE，能证明FN⊥平面ABFE．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD．因为CD⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，所以CD∥平面ABFE．……（4分）（Ⅱ）因为，AD＝2，所以AE2+DE2＝AD2，所以∠AED＝90°，即AE⊥DE．因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面ADE．因为DE⊂平面ADE，所以AB⊥DE．因为AB∩AE＝A，所以DE⊥平面ABFE．因为DE⊂平面CDEF，所以平面ABFE⊥平面CDEF．……（9分）（Ⅲ）在线段CD上存在点N，使得FN⊥平面ABFE．证明如下：取CD的中点N，连接FN．由（Ⅰ）知，CD∥&平面ABFE，又CD⊂平面CDEF，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以CD∥EF．因为，所以EF＝DN．所以四边形EDNF是平行四边形．所以FN∥DE．由（Ⅱ）知，DE⊥平面ABFE，所以FN⊥平面ABFE．………………………（14分）【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查满足线面垂直的点是不存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（13分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若0＜a＜e，判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）把a＝分别代入原函数及导函数解析式，求得f′（1）及f（1），利用直线方程的点斜式求解；（Ⅱ）求出导函数的零点，列关于x，f′（x），f（x）变化情况表，求得函数最小值f（a）．然后分f（a）＞0，f（a）＝0，f（a）＜0三类分析原函数的零点．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）＝．（Ⅰ）若a＝，则f′（1）＝3，且f（1）＝2，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣2＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣1＝0；（Ⅱ）令f′（x）＝0，得x＝a，或x＝﹣a（舍）．x，f′（x），f（x）变化情况如下表：f（x）min＝f（a）＝a﹣2alna＝a（1﹣2lna）．①当f（a）＞0，即时，f（x）无零点．②当f（a）＝0，即时，f（x）只有一个零点．③当f（a）＜0，即时，∵f（1）＝＞0，f（a）＜0，且f（x）在（0，a）上单调递减，∴f（x）在（1，a）上存在唯一零点；在（a，+∞）上，e2＞a，．∵a＜e，∴e2﹣2a＞e2﹣2e＝e（e﹣2）＞0，即f（e2）＞0．又f（a）＜0，且f（x）在（a，+∞）上单调递增，∴f（x）在（a，e2）上存在唯一零点．∴当时，f（x）有两个零点．综上：时，f（x）无零点；时，f（x）只有一个零点；时，f（x）有两个零点．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，是中档题．20．（14分）已知椭圆过点，且离心率为．设A，B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP，BP分别与直线l：x＝4相交于M，N 两点，且直线MB与椭圆C交于另一点H．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：直线AP与BP的斜率之积为定值；（Ⅲ）判断三点A，H，N是否共线，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）根据已知条件列有关a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可得出椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，y0），将点P的坐标代入椭圆C的方程可得出x0与y0之间的等量关系，然后利用斜率公式，结合等量关系可证出结论；（Ⅲ）设直线AP的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），可得出直线BP的方程，与直线x＝2联立，可分别求出点M、N的坐标，然后求出直线MN的斜率，写出直线HM的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理可求出点H的坐标，再计算AH和AN的斜率，利用这两直线斜率相等来证明结论成立．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可知解得所以椭圆C的方程；（Ⅱ）根据题意，直线AP，BP的斜率都存在且不为零．A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则（﹣2＜x0＜2）．则，因为点P在椭圆上，则，所以，，所以，所以直线AP与BP的斜率之积为定值；（III）三点A、H、N共线．证明如下：设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0），则直线BP的方程为，所以，M（4，6k），，，设直线HM：y＝3k（x﹣2），联立方程组，消去y整理得，（1+12k2）x2﹣48k2x+48k2﹣4＝0．设H（x1，y1），则，所以，．所以，因A（﹣2，0）、，，，所k AN＝k AH，所以三点A，H，N共线．【点评】本题考查椭圆的性质，考查韦达定理在椭圆综合的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题．。
北京市昌平区2018-2019学年高一数学上学期期末调研试卷
北京市昌平区2018-2019学年高一数学上学期期末调研试卷一、选择题1．已知定义在R 上的函数()y f x =在[1,)+∞上单调递减，且(1)y f x =+是偶函数，不等式(2)(1)f m f x +≥-对任意的[1,0]x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[3,1]-B.(,3][1,)-∞-+∞C.[4,2]-D.[3,1]--2．抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（ ） A.19B.118C.16D.1123．函数y=的定义域是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，1]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）4．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。
假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人。
若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为（ ） A ．101 B ．808 C ．1212 D ．20125．已知直线1l 的方程是y ax b =+，2l 的方程是(0,)y bx a ab a b =-≠≠，则下列各图形中，正确的是（ ）A. B. C. D.6．已知数据1x ，2x ，，5x ，2的平均值为2，方差为1，则数据1x ，2x ，，5x 相对于原数据（ ） A.一样稳定B.变得比较稳定C.变得比较不稳定D.稳定性不可以判断7．已知点,,,A B C D 均在球O 上，3AB BC AC ===，若三棱锥D ABC -体积的最大值为，则球O 的体积为 A.323πB.16πC.32πD.163π8．已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ）A.32 B.52C.72D.929．若2x =-是函数2()(1)xf x x ax e =+-⋅的极值点，则()f x 的极小值为( )A.1-B.32e --C.e -D.110．已知f （x ）=-x 3-ax 在（-∞，-1]上递减，且g （x ）=2x-ax在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a 的取值范围是（ ） A.2a >-B.3a -≤C.32a -≤<-D.32a --≤≤11．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：2ˆˆyx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ） A ．56千瓦·时 B ．62千瓦·时 C ．64千瓦·时D ．68千瓦·时12．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ）A ．114m <<B ．114mm 或 C ．14m <D ．1m >二、填空题13．抛物线24y x =的焦点为F ，点(2,1)A ，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则MAF ∆周长的最小值为____．14．设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan α＝________. 15．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：)mm 检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的中位数为______．16．已知()()401211x a a x -=+- ()()()234234111a x a x a x +-+-+-，则2a =__________． 三、解答题17．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点.（Ⅰ）求曲线，的标准方程；（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值.18．已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作直线与该椭圆相交于、两点，若线段恰被点所平分，求直线的方程.19．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点.（1）设为上一动点，到直线的距离为，点，求的最小值；（2）求.20．已知，函数（是自然对数的底数）.（1）若有最小值，求的取值范围，并求出的最小值；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.21．已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的最大值和最小值．22．是抛物线为上的一点，以S为圆心，r为半径做圆，分别交x 轴于A，B两点，连结并延长SA、SB，分别交抛物线于C、D两点．求抛物线的方程．求证：直线CD的斜率为定值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．314．－15．516．24三、解答题17．(Ⅰ) ( Ⅱ)【解析】分析：（Ⅰ）把及对应的参数，代入曲线，化简解出即可；设圆的半径为，由题意，圆的方程，把点代入，再利用互化公式化简即可；（Ⅱ）把两点，代入曲线，化简整理即可.详解：（Ⅰ）将及对应的参数，代入，得解得曲线的参数方程为（为参数），曲线的标准方程为.设圆的半径为，由题意，圆的方程，即.将点代入，得，即，所以曲线的标准方程为.（Ⅱ）因为点，在曲线上，所以，，所以.点睛：本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、椭圆方程的应用，考查了推理能力与计算能力. 18．（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质列出方程求出a,b，即可得到答案（2）解法一：运用点差法，设出点坐标，代入求出结果；解法二：联立直线方程与椭圆方程，求出交点的横坐标的和，由中点坐标求出结果【详解】解：（1）由题意得，解得，.则椭圆的方程为；（2）法一：很明显点在椭圆内部，设、，①-②得：的中点为，所以，.代入上式得，得.直线的方程为，即为.法二：若直线斜率不存在，不符合题意.设直线方程为，设、，消去，化简得，由于点在椭圆内部，所以.，解得.直线的方程为，即为.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，在遇到中点坐标时可以采用点差法计算，需要掌握解题方法19．（1）（2）8【解析】试题分析：（1）先求得的坐标为，由抛物线定义得，即可得解；（2）通过直线与抛物线联立得，进而通过，利用韦达定理求解即可.试题解析：（1）∵的坐标为，直线是的准线.∴，∴.（2）易知，由，得.设，.则，，，∴.20．（1）的取值范围是，此时的最小值为.（2）.【解析】【分析】（1）导函数为,对a分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数的最值；（2）设.由恒成立，即恒成立，研究函数单调性，求其最小值即可.【详解】（1），其导函数为①当时，对有，在上是函数，没有最小值；②当时，由得.当时，，在区间上是减函数，当时，，在区间上是增函数.所以的最小值为，所以的取值范围是，此时的最小值为.（2）设.由恒成立，即恒成立①当，则当时，，而，不可能有恒成立；②当，，设，则在上增函数又，所以在上，，是减函数，在区间上，，是增函数，最小值为.所以恒成立综上所述，实数的取值范围是.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.21．（1）;（2）11,-1【解析】【详解】(1).令,解此不等式，得x<-1或x>1,因此，函数的单调增区间为.(2) 令,得或.-当变化时，，变化状态如下表：当时，函数取得最大值11.22．（1）；（2）定值，证明见解析【解析】【分析】（1）将点（1，1）代入y2＝2px（p＞0），解得p，即可得出．（2）设直线SA的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），C（x1，y1）．与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得C坐标．由题意有SA＝SB，可得直线SB的斜率为﹣k，同理可得D坐标，再利用向量计算公式即可得出．【详解】将点代入，得，解得．∴抛物线方程为：．证明：设直线SA的方程为：，联立，联立得：，，，，由题意有，直线SB的斜率为，设直线SB的方程为：，联立，联立得：，，，，．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
北京市昌平区2018-2019学年高一第一学期期末数学试题(精品解析含答案)
昌平区2018－2019学年第一学期高一年级期末质量抽测数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，,那么等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据并集的定义写出A∪B即可．【详解】集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2，3}，则A∪B＝{﹣1，0，2，3}．故选：A．【点睛】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.已知角α的终边经过点，那么的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义直接可求得sin a.【详解】∵知角a的终边经过点P，∴sin a，故选：B．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：诱导公式4.已知向量, 且，那么实数的值为A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【详解】∵，∴；∴m＝2．故选：C．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y为反比例函数，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝cos x为余弦函数，在（﹣∞，0）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝2﹣x，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．6.已知那么a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】容易看出40.5＞1，log0.54＜0，0＜0.54＜1，从而可得出a，b，c的大小关系．【详解】∵40.5＞40＝1，log0.54＜log0.51＝0，0＜0.54＜0.50＝1；∴b＜c＜a．故选：A．【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题．7.如果二次函数有两个不同的零点，那么的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得△＝4﹣4（）＞0，由此求得m的范围．【详解】∵二次函数y＝x2+2x+（m﹣2）有两个不同的零点，∴△＝4﹣4（）＞0，求得m＜-1或m>2，故选：C．【点睛】本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查了二次函数的性质，属于基础题．8.为了得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位【答案】B【解析】【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】∵将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位得到sin[2（x）]=，∴要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题．9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为（为常数）, 通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为A. 35B. 30C. 25D. 20【答案】C【解析】【分析】由函数图象可知这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，即满足，且过点（5，100）和点（15，60），代入解析式即可得到函数的解析式．令y=40，求出x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间．【详解】由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一个线段，当t≥5时，函数的解析式为，点（5，100）和点（15，60），代入解析式，有，解得a＝5,b=20，故函数的解析式为，t≥5．令y=40，解得t=25,∴最少需要的时间为25min．故选C.【点睛】本题考查了求解析式的问题，将函数图象上的点的坐标代入即可得到函数的解析式，考查了指数的运算，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.10.已知集合，, 则__________.【答案】【解析】【分析】直接由交集的定义求得结果.【详解】，,∴A∩B＝．故答案为．【点睛】考查描述法表示集合的概念，以及交集的运算，属于基础题．11.__________.（用数字作答）【答案】5【解析】【分析】根据对数与指数的运算性质直接得到结果.【详解】.故答案为5.【点睛】本题考查了指数运算法则及对数的运算性质，属于基础题，12.已知向量，向量与的夹角为, 那么__________.【答案】【解析】【详解】∵||＝1，||＝1，向量与的夹角为，∴，∴，故答案为.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属于基础题．13.已知函数的图象如图所示，那么函数__________,__________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据周期求出ω，根据五点法作图求出φ，从而求得函数的解析式．【详解】由题意可得T•，解得ω＝2．再由五点法作图可得2＝，解得，故答案为(1). 2(2). ．【点睛】本题主要考查利用y＝A sin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．14.已知函数在上存在零点，且满足,则函数的一个解析式为 __________.（只需写出一个即可）【答案】（不是唯一解）【解析】【分析】根据f（﹣2）•f（2）＞0便可想到f（x）可能为偶函数，从而想到f（x）＝x2，x＝0是该函数的零点，在（﹣2，2）内，从而可写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．【详解】根据f（﹣2）•f（2）＞0可考虑f（x）是偶函数；∴想到f（x）＝x2，并且该函数在（﹣2，2）上存在零点；∴写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．故答案为：f（x）＝x2．【点睛】考查函数零点的定义及求法，属于基础题．15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．（1）当时，__________；（2）若的值域是，则的取值范围为__________.【答案】(1). (2). （﹣∞，-2]∪[2，+∞）．【解析】【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的值域，结合判别式与对称轴满足的条件列出不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】①当时，，函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣2+3）＝﹣2；②由f（x）的图象关于原点对称，可得f（0）=0，又当x＞0时，f（x）的对称轴为x=a,所以若f（x）的值域是R，则当x＞0时，f（x）＝必须满足：，或，解得a≥2或a≤-2，即a的取值范围是（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．故答案为：【答题空1】；【答题空2】（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于难题．三、解答题（共5个小题，共70分）16.已知是第二象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接由.（2）由可得，再由二倍角公式计算即可.【详解】（1）由，解得.（2）由（1）可得，所以.【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系、两角和的正切公式及二倍角公式，熟练掌握基本关系是解决本题的关键，属于基础题．17.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间；(3)求函数在区间上的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）化简，由周期公式计算周期即可.（2）由题意知解得x的范围即得单调递减区间.（3）由（2）知f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，即可求f（x）在区间[0，]上的最小值．【详解】（1）所以函数的最小正周期是.（2）由题意知故所以函数单调递减区间为.（3）由（2）知f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，故f（x）在时取得最小值为.【点睛】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．18.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论；（3）若函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由，求得x的范围，可得函数的定义域；（2）根据函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数；（3）由f（x）0，利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【详解】（1）由解得所以, 故函数的定义域是.（2）函数是奇函数.由（1）知定义域关于原点对称.因为，所以函数是奇函数.(3) 由可得 .得解得.【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化思想，是一道中档题．19.为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；阅读“古诗词”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数和的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设f（t）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a与b. 令＝kt，,代入（40，8000），解得k,再令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m，b的值．即可得到和的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为=，分和两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.【详解】（1）因为f（0）=0，所以可设f（t）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以,又令＝kt，,代入（40，8000），解得k=200,令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以.（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为，则对“古诗词”的阅读时间为，① 当，即时，==，所以当时，有最大值13600．当，即时，h=，因为的对称轴方程为，所以当时，是增函数，所以当时，有最大值为13200.因为 13600>13200，所以阅读总字数的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．20.已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足：① 函数在上是单调函数；② 函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”.(1)判断函数，是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果）(2) 证明：函数存在3级“理想区间”；（）(3)设函数，，若函数存在级“理想区间”，求的值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】(1)直接由“理想区间”的定义判断即可.(2)由题意结合函数的单调性得，即方程有两个不等实根.设，由零点存在定理知有零点，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”(3)根据函数在上为单调递增得到，转化为方程在上有两个不等实根进而转化为在至少有一个实根.分、三种情况，分别求得满足条件的k即可. 【详解】(1) 函数存在1级“理想区间”，“理想区间”是[0,1]；不存在1级“理想区间”.(2)设函数存在3级“理想区间”，则存在区间，使的值域是.因为函数在R上单调递增，所以，即方程有两个不等实根.设，可知，，，，由零点存在定理知，存在，，使，.设，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”.(3)若函数存在级“理想区间”，则存在区间，函数的值域是.因为，任取，且，有，因为，所以，所以，即，所以函数在上为单调递增函数.所以，于是方程在上有两个不等实根.即在上有两个不等实根.显然是方程的一个解，所以在至少有一个实根.（1）当时，，不合题意，舍；（2）当时，方程无实根，舍；（3）时，,所以，解出.所以，又因为，所以或.【点睛】本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，属于难题．。
【区级联考】北京市昌平区2018-2019学年高一第一学期期末数学试题
绝密★启用前 【区级联考】北京市昌平区2018-2019学年高一第一学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合 ， ,那么 等于 A ． B ． C ． D ． 2．已知角α的终边经过点 （ ），那么 的值为 A ． B ． C ． D ． 3．sin210=（ ） A B ． C ．12 D ．12- 4．已知向量 , 且 ，那么实数 的值为 A ． B ．1 C ．2 D ．4 5．下列函数中，既是偶函数，又在区间 上为减函数的为 A ． B ． C ． D ． 6．已知 那么a ，b ，c 的大小关系为 A ． B ． C ． D ． 7．如果二次函数 有两个不同的零点，那么 的取值范围为 A ． B ． C ． D ． 8．为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象………○…………订…………○…※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ………○…………订…………○…A ．向左平行移动 个单位 B ．向左平行移动 个单位 C ．向右平行移动 个单位 D ．向右平行移动 个单位 9．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ，水温 与时间 近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度 与时间 近似满足函数的关系式为 （ 为常数）, 通常这种热饮在40 时，口感最佳，某天室温为 时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为A ．35B ．30C ．25D ．20…………○…………订……名：___________班级：___________考号：___…………○…………订……第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 10．已知集合 ， , 则 __________. 11． __________.（用数字作答） 12．已知向量 ，向量 与 的夹角为 , 那么 __________. 13．已知函数 其中 ， ）的图象如图所示，那么函数 __________, __________. 14．已知函数 在 上存在零点，且满足 ,则函数 的一个解析式为 __________.（只需写出一个即可） 15．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，其中 ． （1）当 时， __________； （2）若 的值域是 ，则 的取值范围为__________. 三、解答题 16．已知 是第二象限角，且 ． （1）求 的值； （2）求 的值． 17．已知函数○…………装…………※※请※※不※※要※※在※※○…………装…………（1）求函数 的最小正周期； （2）求函数 的单调递减区间； (3)求函数 在区间 上的最小值． 18．已知函数 . （1）求函数的 定义域； （2）判断函数 的奇偶性，并用定义证明你的结论； （3）若函数 ，求实数 的取值范围. 19．为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量 （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；阅读“古诗词”的阅读量 （单位：字）与时间t （单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数 和 的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？20．已知函数 的定义域为 ，对于给定的 ，若存在 ，使得函数 满足：① 函数 在 上是单调函数；② 函数 在 上的值域是 ，则称 是函数 的 级“理想区间”.的“理想区间”；（只需直接写出结果）(2) 证明：函数存在3级“理想区间”；（）(3)设函数，，若函数存在级“理想区间”，求的值.参考答案1．A【解析】【分析】根据并集的定义写出A ∪B 即可．【详解】集合A ＝{﹣1，0，2}，B ＝{0，2，3}，则A ∪B ＝{﹣1，0，2，3}．故选：A ．【点睛】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2．B【解析】【分析】由三角函数的定义直接可求得sin a.【详解】∵知角a 的终边经过点P （ ），∴sin a （ ） ， 故选：B ．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．D【解析】试题分析： ()1sin210sin 18030sin302=+=-=- 考点：诱导公式4．C【解析】【分析】根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出m 的值．【详解】∵，∴；∴m＝2．故选：C．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．5．D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y为反比例函数，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝cos x为余弦函数，在（﹣∞，0）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝2﹣x，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1，，＜，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．6．A【解析】【分析】容易看出40.5＞1，log0.54＜0，0＜0.54＜1，从而可得出a，b，c的大小关系．【详解】∵40.5＞40＝1，log0.54＜log0.51＝0，0＜0.54＜0.50＝1；∴b＜c＜a．故选：A．【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题．7．C【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得△＝4﹣4（）＞0，由此求得m的范围．【详解】∵二次函数y＝x2+2x+（m﹣2）有两个不同的零点，∴△＝4﹣4（）＞0，求得m＜-1或m>2，故选：C．【点睛】本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查了二次函数的性质，属于基础题．8．B【解析】【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】∵将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位得到sin[2（x）]=，∴要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题．9．C【解析】【分析】由函数图象可知这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，即满足，且过点（5，100）和点（15，60），代入解析式即可得到函数的解析式．令y=40，求出x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间．【详解】由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一个线段，当t≥5时，函数的解析式为，点（5，100）和点（15，60），代入解析式，有，解得a＝5,b=20，故函数的解析式为，t≥5．令y=40，解得t=25,∴最少需要的时间为25min．故选C.【点睛】本题考查了求解析式的问题，将函数图象上的点的坐标代入即可得到函数的解析式，考查了指数的运算，属于中档题．10．【解析】【分析】直接由交集的定义求得结果.【详解】，,∴A∩B＝．故答案为．【点睛】考查描述法表示集合的概念，以及交集的运算，属于基础题．11．5【解析】【分析】根据对数与指数的运算性质直接得到结果.【详解】.故答案为5.【点睛】本题考查了指数运算法则及对数的运算性质，属于基础题，12．【解析】【详解】∵||＝1，||＝1，向量与的夹角为，∴＜，＞，∴，故答案为.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属于基础题．13．2【解析】【分析】根据周期求出ω，根据五点法作图求出φ，从而求得函数的解析式．【详解】由题意可得T•，解得ω＝2．再由五点法作图可得2＝，解得，故答案为(1). 2(2). ．【点睛】本题主要考查利用y＝A sin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．14．（不是唯一解）【解析】【分析】根据f（﹣2）•f（2）＞0便可想到f（x）可能为偶函数，从而想到f（x）＝x2，x＝0是该函数的零点，在（﹣2，2）内，从而可写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．【详解】根据f（﹣2）•f（2）＞0可考虑f（x）是偶函数；∴想到f（x）＝x2，并且该函数在（﹣2，2）上存在零点；∴写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．故答案为：f（x）＝x2．【点睛】考查函数零点的定义及求法，属于基础题．15．（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．【解析】【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的值域，结合判别式与对称轴满足的条件列出不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】①当时，当时，，函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣2+3）＝﹣2；②由f（x）的图象关于原点对称，可得f（0）=0，又当x＞0时，f（x）的对称轴为x=a,所以若f（x）的值域是R，则当x＞0时，f（x）＝必须满足：＝﹣（），或，解得a≥2或a≤-2，即a的取值范围是（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．故答案为：【答题空1】；【答题空2】（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于难题．16．（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接由两角和的正切公式解得.（2）由可得，再由二倍角公式计算即可.（1）由，解得.（2）由（1）可得，所以.【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系、两角和的正切公式及二倍角公式，熟练掌握基本关系是解决本题的关键，属于基础题．17．（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）化简，由周期公式计算周期即可.（2）由题意知解得x的范围即得单调递减区间.（3）由（2）知f（x）在区间，上单调递增，在，上单调递减，即可求f（x）在区间[0，]上的最小值．【详解】（1）所以函数的最小正周期是.（2）由题意知故所以函数单调递减区间为.（3）由（2）知f（x）在区间，上单调递增，在，上单调递减，故f（x）在时取得最小值为.【点睛】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．18．（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）由＞＞，求得x的范围，可得函数的定义域；（2）根据函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数；（3）由f（x）0，利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【详解】（1）由解得所以, 故函数的定义域是.（2）函数是奇函数.由（1）知定义域关于原点对称.因为，所以函数是奇函数.(3) 由可得 .得，解得.【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化思想，是一道中档题．19．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设f（t）=，代入（10，2700）与（30，7500），解得a与b. 令＝kt，,代入（40，8000），解得k,再令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m，b的值．即可得到和的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为=，分和两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.【详解】（1）因为f（0）=0，所以可设f（t）=，代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以,又令＝kt，,代入（40，8000），解得k=200,令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以.（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为，则对“古诗词”的阅读时间为，① 当，即时，==，所以当时，有最大值13600．当，即时，h=，因为的对称轴方程为，所以当时，是增函数，所以当时，有最大值为13200.因为 13600>13200，所以阅读总字数的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．20．（1）见解析；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】(1)直接由“理想区间”的定义判断即可.(2)由题意结合函数的单调性得，即方程有两个不等实根.设，由零点存在定理知有零点，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”(3)根据函数在上为单调递增得到，转化为方程在上有两个不等实根进而转化为在至少有一个实根.分、、三种情况，分别求得满足条件的k即可.【详解】(1) 函数存在1级“理想区间”，“理想区间”是[0,1]；不存在1级“理想区间”.(2)设函数存在3级“理想区间”，则存在区间，使的值域是.因为函数在R上单调递增，所以，即方程有两个不等实根.设，可知，，，，由零点存在定理知，存在，，使，.设，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”.(3)若函数存在级“理想区间”，则存在区间，函数的值域是.因为，任取，且，有，因为，所以，所以，即，所以函数在上为单调递增函数.所以，于是方程在上有两个不等实根.即在上有两个不等实根.显然是方程的一个解，所以在至少有一个实根.（1）当时，，不合题意，舍；（2）当时，方程无实根，舍；（3）时，舍,所以，解出.所以，又因为，所以或.【点睛】本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，属于难题．。
北京市昌平区2018-2019学年高一第一学期期末数学试题(精品Word版,含答案解析)
昌平区2018－2019学年第一学期高一年级期末质量抽测数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，,那么等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据并集的定义写出A∪B即可．【详解】集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{0，2，3}，则A∪B＝{﹣1，0，2，3}．故选：A．【点睛】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.已知角α的终边经过点，那么的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义直接可求得sin a.【详解】∵知角a的终边经过点P，∴sin a，故选：B．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：诱导公式4.已知向量, 且，那么实数的值为A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【详解】∵，∴；∴m＝2．故选：C．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y为反比例函数，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝cos x为余弦函数，在（﹣∞，0）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝2﹣x，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．6.已知那么a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】容易看出40.5＞1，log0.54＜0，0＜0.54＜1，从而可得出a，b，c的大小关系．【详解】∵40.5＞40＝1，log0.54＜log0.51＝0，0＜0.54＜0.50＝1；∴b＜c＜a．故选：A．【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题．7.如果二次函数有两个不同的零点，那么的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得△＝4﹣4（）＞0，由此求得m的范围．【详解】∵二次函数y＝x2+2x+（m﹣2）有两个不同的零点，∴△＝4﹣4（）＞0，求得m＜-1或m>2，故选：C．【点睛】本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查了二次函数的性质，属于基础题．8.为了得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向左平行移动个单位B. 向左平行移动个单位C. 向右平行移动个单位D. 向右平行移动个单位【答案】B【解析】【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【详解】∵将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位得到sin[2（x）]=，∴要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题．9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为（为常数）, 通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为A. 35B. 30C. 25D. 20【答案】C【解析】【分析】由函数图象可知这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，即满足，且过点（5，100）和点（15，60），代入解析式即可得到函数的解析式．令y=40，求出x,即为在口感最佳时饮用需要的最少时间．【详解】由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一个线段，当t≥5时，函数的解析式为，点（5，100）和点（15，60），代入解析式，有，解得a＝5,b=20，故函数的解析式为，t≥5．令y=40，解得t=25,∴最少需要的时间为25min．故选C.【点睛】本题考查了求解析式的问题，将函数图象上的点的坐标代入即可得到函数的解析式，考查了指数的运算，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.10.已知集合，, 则__________.【答案】【解析】【分析】直接由交集的定义求得结果.【详解】，,∴A∩B＝．故答案为．【点睛】考查描述法表示集合的概念，以及交集的运算，属于基础题．11.__________.（用数字作答）【答案】5【解析】【分析】根据对数与指数的运算性质直接得到结果.【详解】.故答案为5.【点睛】本题考查了指数运算法则及对数的运算性质，属于基础题，12.已知向量，向量与的夹角为, 那么__________.【答案】【解析】【详解】∵||＝1，||＝1，向量与的夹角为，∴，∴，故答案为.【点睛】本题考查了向量数量积的运算，属于基础题．13.已知函数的图象如图所示，那么函数__________,__________.【答案】(1). 2(2).【解析】【分析】根据周期求出ω，根据五点法作图求出φ，从而求得函数的解析式．【详解】由题意可得T•，解得ω＝2．再由五点法作图可得2＝，解得，故答案为(1). 2(2). ．【点睛】本题主要考查利用y＝A sin（ωx+φ）的图象特征，由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．14.已知函数在上存在零点，且满足,则函数的一个解析式为 __________.（只需写出一个即可）【答案】（不是唯一解）【解析】【分析】根据f（﹣2）•f（2）＞0便可想到f（x）可能为偶函数，从而想到f（x）＝x2，x＝0是该函数的零点，在（﹣2，2）内，从而可写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．【详解】根据f（﹣2）•f（2）＞0可考虑f（x）是偶函数；∴想到f（x）＝x2，并且该函数在（﹣2，2）上存在零点；∴写出f（x）的一个解析式为：f（x）＝x2．故答案为：f（x）＝x2．【点睛】考查函数零点的定义及求法，属于基础题．15.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．（1）当时，__________；（2）若的值域是，则的取值范围为__________.【答案】(1). (2). （﹣∞，-2]∪[2，+∞）．【解析】【分析】①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的值域，结合判别式与对称轴满足的条件列出不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】①当时，，函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1﹣2+3）＝﹣2；②由f（x）的图象关于原点对称，可得f（0）=0，又当x＞0时，f（x）的对称轴为x=a,所以若f（x）的值域是R，则当x＞0时，f（x）＝必须满足：，或，解得a≥2或a≤-2，即a的取值范围是（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．故答案为：【答题空1】；【答题空2】（﹣∞，-2]∪[2，+∞）．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于难题．三、解答题（共5个小题，共70分）16.已知是第二象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接由.（2）由可得，再由二倍角公式计算即可.【详解】（1）由，解得.（2）由（1）可得，所以.【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系、两角和的正切公式及二倍角公式，熟练掌握基本关系是解决本题的关键，属于基础题．17.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间；(3)求函数在区间上的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）化简，由周期公式计算周期即可.（2）由题意知解得x的范围即得单调递减区间.（3）由（2）知f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，即可求f（x）在区间[0，]上的最小值．【详解】（1）所以函数的最小正周期是.（2）由题意知故所以函数单调递减区间为.（3）由（2）知f（x）在区间上单调递增，在上单调递减，故f（x）在时取得最小值为.【点睛】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．18.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论；（3）若函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由，求得x的范围，可得函数的定义域；（2）根据函数的定义域关于原点对称，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数；（3）由f（x）0，利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【详解】（1）由解得所以, 故函数的定义域是.（2）函数是奇函数.由（1）知定义域关于原点对称.因为，所以函数是奇函数.(3) 由可得 .得解得.【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化思想，是一道中档题．19.为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：小明阅读“经典名著”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足二次函数关系，部分数据如下表所示；阅读“古诗词”的阅读量（单位：字）与时间t（单位：分钟）满足如图1所示的关系.（1）请分别写出函数和的解析式；（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使每天的阅读量最大，最大值是多少？【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）设f（t）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a与b. 令＝kt，,代入（40，8000），解得k,再令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m，b的值．即可得到和的解析式；（2）由题意知每天的阅读量为=，分和两种情况，分别求得最大值，比较可得结论.【详解】（1）因为f（0）=0，所以可设f（t）=代入（10，2700）与（30，7500），解得a=-1,b=280.所以,又令＝kt，,代入（40，8000），解得k=200,令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以.（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为，则对“古诗词”的阅读时间为，① 当，即时，==，所以当时，有最大值13600．当，即时，h=，因为的对称轴方程为，所以当时，是增函数，所以当时，有最大值为13200.因为 13600>13200，所以阅读总字数的最大值为13600，此时对“经典名著”的阅读时间为40分钟，对“古诗词”的阅读时间为20分钟．【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法及应用，二次函数的图象和性质，难度中档．20.已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足：① 函数在上是单调函数；② 函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”.(1)判断函数，是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果）(2) 证明：函数存在3级“理想区间”；（）(3)设函数，，若函数存在级“理想区间”，求的值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】(1)直接由“理想区间”的定义判断即可.(2)由题意结合函数的单调性得，即方程有两个不等实根.设，由零点存在定理知有零点，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”(3)根据函数在上为单调递增得到，转化为方程在上有两个不等实根进而转化为在至少有一个实根.分、三种情况，分别求得满足条件的k 即可.【详解】(1) 函数存在1级“理想区间”，“理想区间”是[0,1]；不存在1级“理想区间”.(2)设函数存在3级“理想区间”，则存在区间，使的值域是.因为函数在R上单调递增，所以，即方程有两个不等实根.设，可知，，，，由零点存在定理知，存在，，使，.设，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”.(3)若函数存在级“理想区间”，则存在区间，函数的值域是.因为，任取，且，有，因为，所以，所以，即，所以函数在上为单调递增函数.所以，于是方程在上有两个不等实根.即在上有两个不等实根.显然是方程的一个解，所以在至少有一个实根.（1）当时，，不合题意，舍；（2）当时，方程无实根，舍；（3）时，,所以，解出.所以，又因为，所以或.【点睛】本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，属于难题．。
北京市昌平区2019届高三第一学期期末数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．若集合A＝{x|x2+2x＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|1＜x＜2}2．设x，y满足，那么2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．﹣1C．0D．13．如图是一个算法流程图，则输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．54．设是单位向量，是非零向量，则“⊥”是“•（+）＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）上的点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．6．数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，且a5＝b5，则（）A．a3+a7＞b4+b6B．a3+a7≥b4+b6C．a3+a7＜b4+b6D．a3+a7＝b4+b67．《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛8．设点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是（）A．B．3C．5D．8二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数＝．10．已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F坐标为；若双曲线（a＞0）的一个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是．11．已知展开式中x5的系数为21，则实数a的值为．12．能说明“若点M（a，b）与点N（3，﹣1）在直线x+y﹣1＝0的同侧，则a2+b2＞2”是假命题的一个点M的坐标为．13．已知函数f（x）＝sin x若对任意的实数，都存在唯一的实数β∈（0，m），使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最大值是．14．已知函数其中a＞0，且a≠1．（i）当a＝2时，若f（x）＜f（2），则实数x的取值范围是；（ii）若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）若△ABC的面积为，，且∠A为锐角．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求的值．16．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面BCF与平面ADE所成锐二面角的余弦值．17．（13分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如，表：满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．（Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；（Ⅱ）从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；（Ⅲ）用“η1＝1”，“η2＝1”，“η3＝1”，“η4＝1”，“η5＝1”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，“η1＝0”，“η2＝0”，“η3＝0”，“η4＝0”，“η5＝0”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意．写出方差Dη1，Dη2，Dη3，Dη4，Dη5的大小关系．18．（13分）已知椭圆过点，离心率为．记椭圆C的右焦点为F，过点F且斜率为k的直线交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M（x0，0），求x0的取值范围．19．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+2ax．（Ⅰ）若a＝﹣1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．20．（14分）已知集合A＝{x|x＝2n+1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，C＝A∪B．对于数列{a n}，}．记S n为数列{a n}的前n项和．a1＝1，且对于任意n≥2，n∈N*，有a n＝min{x∈C|x＞a n﹣1（Ⅰ）写出a7，a8的值；（Ⅱ）数列{a n}中，对于任意n∈N*，存在k n∈N*，使a＝2n﹣1，求数列{k n}的通项公式；（Ⅲ）数列{a n}中，对于任意n∈N*，存在k∈N*，有a k+1＝2n+1．求使得S k+1＞27a k+1成立的k的最小值．2018-2019学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．若集合A＝{x|x2+2x＜0}，B＝{x||x|＞1}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|1＜x＜2}【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x＜﹣1，或x＞1}；∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．故选：A．【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，以及交集的运算．2．设x，y满足，那么2x﹣y的最大值为（）A．﹣3B．﹣1C．0D．1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出直线y＝2x﹣z过可行域内C点时z有最大值，把C点坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，要使z最大，则直线y＝2x﹣z在y轴上的截距最小，由图可知，当直线y＝2x﹣z过可行域内的点C（0，﹣1）时直线y＝2x﹣z在y轴上的截距最小．∴z＝2x﹣y的最大值为2×0﹣（﹣1）＝1．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝1，k＝1S＝2，不满足条件S＞10，k＝2，S＝6不满足条件S＞10，k＝3，S＝15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故选：B．【点评】本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．4．设是单位向量，是非零向量，则“⊥”是“•（+）＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由向量数量积运算可得：•（+）＝1⇔2+＝1⇔＝0⇔⊥，得解．【解答】解：是单位向量，是非零向量，则•（+）＝1⇔2+＝1⇔＝0⇔⊥，故“⊥”是“•（+）＝1”的充分必要条件，故选：C．【点评】本题考查了向量数量积运算及充分必要条件，属简单题．5．设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）上的点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】直线的普通方程为2x+y﹣15＝0，曲线C的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝5，曲线C是以C（1，﹣2）为圆心，以r＝为半径的圆，由此能求出圆心C（1，﹣2）到直线的距离．【解答】解：∵P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）上的点，∴直线的普通方程为2x+y﹣15＝0，曲线C的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝5，曲线C是以C（1，﹣2）为圆心，以r＝为半径的圆，圆心C（1，﹣2）到直线的距离d＝＝3，∴|PQ|的最小值为：d＝r＝3＝2．故选：B．【点评】本题考查两点间距离的最小值的求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，且a5＝b5，则（）A．a3+a7＞b4+b6B．a3+a7≥b4+b6C．a3+a7＜b4+b6D．a3+a7＝b4+b6【分析】分别运用等差数列和等比数列中项性质，以及基本不等式，即可得到所求结论．【解答】解：数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，由a3+a7＝2a5＝2b5，b4+b6≥2＝2b5，a3+a7≤b4+b6，由于q＞1可得a3+a7＜b4+b6，故选：C．【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项性质、基本不等式的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7．《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r＝，故米堆的体积为××π×（）2×5＝，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈21，故选：A．【点评】本题主要考查锥体的体积的计算，比较基础．8．设点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的值可以是（）A．B．3C．5D．8【分析】设P（x0，y0），则，＝（2﹣x0，﹣y0），由及点P椭圆上，可得关于x0，y0的方程组，联立得．再由0＜＜9求解m的范围，则答案可求．【解答】解：由椭圆，得a2＝9，b2＝5，则c＝2．∴F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x0，y0），则，＝（2﹣x0，﹣y0），由，得（﹣2﹣x0，﹣y0）•（2﹣x0，﹣y0）＝m，即①，又点P在椭圆上，∴②，联立①②，得．要使成立的点恰好是4个，则0＜＜9．则1＜m＜5．∴实数m的值可以是3．故选：B．【点评】本题考查平面向量数量积的运算、椭圆的简单性质，考查方程思想，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数＝﹣1﹣i．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1﹣i）z＝2i，得z＝，∴．故答案为：﹣1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F坐标为（2，0）；若双曲线（a＞0）的一个焦点与点F重合，则该双曲线的渐近线方程是y＝±x．【分析】由开口向右的抛物线的焦点坐标可得所求焦点F；由题意可得a＝，由焦点在x轴上的渐近线方程可得所求方程．【解答】解：点F为抛物线y2＝8x的焦点，2p＝8，即p＝4，由焦点坐标（，0），即有F（2，0），双曲线（a＞0）的一个焦点与点F（2，0）重合，可得a2+2＝4，可得a＝，即有双曲线的方程为x2﹣y2＝2，可得渐近线方程为y＝±x．故答案为：（2，0），y＝±x．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．已知展开式中x5的系数为21，则实数a的值为﹣3．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：展开式中的通项公式T r+1＝＝（﹣a）r x7﹣2r，令7﹣2r＝5，解得r＝1．∴﹣a•＝21，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了二项式的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．能说明“若点M（a，b）与点N（3，﹣1）在直线x+y﹣1＝0的同侧，则a2+b2＞2”是假命题的一个点M的坐标为（答案不唯一）．【分析】由题意知（a+b﹣1）（3﹣1﹣1）＞0，写出满足a+b＞1且a2+b2≤2的对应数对即可（答案不唯一）．【解答】解：点M（a，b）与点N（3，﹣1）在直线x+y﹣1＝0的同侧，则（a+b﹣1）（3﹣1﹣1）＞0，∴a+b＞1，不能得出a2+b2＞2，当点M的坐标为（1，1）时，a2+b2＞2是假命题．故答案为：（1，1）[或（，0），（0，），（，）]（答案不唯一）．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是开放性题目．13．已知函数f（x）＝sin x若对任意的实数，都存在唯一的实数β∈（0，m），使f（α）+f（β）＝0，则实数m的最大值是．【分析】由任意性和存在性原命题可转化为即f（β）＝k，k∈（，）有且仅有一个解，即作函数图象y＝f（β）与直线x＝k，k∈（，），只有一个交点，作图观察即可【解答】解：由f（x）＝sinα，则f（α）∈（﹣，），存在唯一的实数β∈（0，m），使f（α）+f（β）＝0即f（β）＝k，k∈（，）有且仅有一个解，作函数图象y＝f（β）与直线x＝k，k∈（，），当两图象只有一个交点时，由图知，＜m，故实数m的最大值是，故答案为：．【点评】本题考查了任意性和存在性，三角函数的图象，属中档题．14．已知函数其中a＞0，且a≠1．（i）当a＝2时，若f（x）＜f（2），则实数x的取值范围是（﹣∞，2）；（ii）若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，则实数a的取值范围是（0，1）∪（1，2）．【分析】（1）由分段函数，分别讨论①当x＞1时，②当x≤1时，解不等式即可，（2）分别讨论①当0＜a＜1时，②当a≥1时，作图象观察即可【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝，则f（2）＝22＝4，①当x＞1时，解不等式2x＜4，解得：1＜x＜2，②当x≤1时，解不等式x+1＜4，解得：x≤1，综合①②得：实数x的取值范围是：（﹣∞，2），（2）①当0＜a＜1时，由图一知，存在直线y＝m与y＝f（x）有两个交点，即0＜a＜1满足题意，②当a≥1时，由图二知，当a时，存在直线y＝m与y＝f（x）有两个交点，即a即1＜a＜2综合①②得：实数a的取值范围是为：0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为：（﹣∞，2），（0，1）∪（1，2）【点评】本题考查了分段函数及数形结合的思想方法，属难度较大的题型．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）若△ABC的面积为，，且∠A为锐角．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可求sin A的值，根据同角三角函数基本关系式可求cos A．（II）在△ABC中，由余弦定理可求a，由正弦定理可得．根据二倍角公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）因为△ABC的面积为，，所以，所以．因为△ABC中，∠A为锐角，所以．…………（6分）（II）在△ABC中，由余弦定理，，所以．由正弦定理，所以．所以．……（13分）【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，正弦定理，二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．16．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面BCF与平面ADE所成锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明AB∥CD．推出AB∥平面CDEF．然后证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD的中点O，BC的中点M，连接OE，OM．推出OM⊥AD．OE⊥AD，即可证明平面ADE⊥平面ABCD，推出OE⊥平面ABCD．建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ADE的法向量，然后求解直线BF与平面ADE所成角．（Ⅲ）求出平面BCF的法向量，平面ADE的法向量，利用空间向量的数量积求解平面BCF与平面ADE所成锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD．因为AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，所以AB∥平面CDEF．因为AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以AB∥EF．………（4分）（Ⅱ）取AD的中点O，BC的中点M，连接OE，OM．因为四边形ABCD是矩形，所以OM⊥AD．因为，O是AD的中点，所以OE⊥AD，且OE＝1．因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，OE⊂平面ADE，所以OE⊥平面ABCD．如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz，依题意得O（0，0，0），B（1，4，0），F（0，2，1）．所以，平面ADE的法向量为＝（0，1，0）．设直线BF与平面ADE所成角为α，则，所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．………（9分）（Ⅲ）由C（﹣1，4，0），得．设平面BCF的法向量为＝（x，y，z），则有即令y＝1，则＝（0，1，2）．因为平面ADE的法向量为＝（0，1，0），所以．所以平面BCF与平面ADE所成锐二面角的余弦值为．……（14分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．17．（13分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如，表：满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．（Ⅰ）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；（Ⅱ）从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望；（Ⅲ）用“η1＝1”，“η2＝1”，“η3＝1”，“η4＝1”，“η5＝1”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，“η1＝0”，“η2＝0”，“η3＝0”，“η4＝0”，“η5＝0”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意．写出方差Dη1，Dη2，Dη3，Dη4，Dη5的大小关系．【分析】（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是1600，满意的客户人数是555，由此能求出所求概率．（Ⅱ）ξ＝0，1，2．设事件A为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件B为“从V 型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A、B为独立事件．根据题意，P（A）估计为0.5，P（B）估计为0.2．由此能求出ξ的分布列和期望．（Ⅲ）用“η1＝1”，“η2＝1”，“η3＝1”，“η4＝1”，“η5＝1”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，由此能写出方差Dη1，Dη2，Dη3，Dη4，Dη5的大小关系．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是250+100+200+700+350＝1600，满意的客户人数250×0.5+100×0.3+200×0.6+700×0.3+350×0.2＝555，故所求概率为．……（4分）（Ⅱ）ξ＝0，1，2．设事件A为“从I型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，事件B为“从V型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”，且A、B为独立事件．根据题意，P（A）估计为0.5，P（B）估计为0.2．则，＝0.5×0.8+0.5×0.2＝0.5，P（ξ＝2）＝P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.2＝0.1．∴ξ的分布列为ξ的期望E（ξ）＝0×0.4+1×0.5+2×0.1＝0.7．……（11分）（Ⅲ）用“η1＝1”，“η2＝1”，“η3＝1”，“η4＝1”，“η5＝1”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，“η1＝0”，“η2＝0”，“η3＝0”，“η4＝0”，“η5＝0”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意．∴方差Dη1，Dη2，Dη3，Dη4，Dη5的大小关系为：Dη1＞Dη3＞Dη2＝Dη4＞Dη5．……（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方差的大小判断，考查古典概型、相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（13分）已知椭圆过点，离心率为．记椭圆C的右焦点为F，过点F且斜率为k的直线交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M（x0，0），求x0的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据已知条件列有关a、b、c的方程，求出a、b、c的值，可求出椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线PQ的方程为y＝k（x﹣2），设点P（x1，y1）、Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求出线段PQ的中点坐标，并求出线段PQ的中垂线的方程，于是可求出x0的表达式，利用函数性质可求出x0的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知解得故椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）依题意，F（2，0），直线PQ的方程y＝k（x﹣2）．联立方程组消y并整理得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，△＝（﹣12k2）2﹣4（12k2﹣6）（3k2+1）＝24（k2+1）＞0，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），故，，设PQ的中点为N，则．因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M（x0，0），①当k＝0时，那么x0＝0；②当k≠0时，k MN•k＝﹣1，即．解得．因为k2＞0，所以，，即．综上，x0的取值范围为．【点评】本题考查椭圆性质的综合问题，考查韦达定理法在椭圆综合问题中的应用，考查计算能力与转化能力，属于难题．19．（13分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+2ax．（Ⅰ）若a＝﹣1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a＝﹣1时，f（x）＝lnx+x2﹣2x．利用导数的运算法则可得f′（0），而f（1）＝﹣1．利用点斜式即可得出．（II）若f（x）≤x恒成立，即f（x）﹣x≤0恒成立．设g（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣ax2+（2a﹣1）x．只要g（x）max≤0即可；g′（x）＝．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a＝﹣1时，f（x）＝lnx+x2﹣2x．∴，f′（0）＝1，且f（1）＝﹣1．所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝x﹣1，即x﹣y﹣2＝0．（II）若f（x）≤x恒成立，即f（x）﹣x≤0恒成立．设g（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣ax2+（2a﹣1）x．只要g（x）max≤0即可；g′（x）＝＝．①当a＝0时，令g′（x）＝0，得x＝1．x，g′（x），g（x）变化情况如下表：所以g（x）max＝g（1）＝﹣1＜0，故满足题意．②当a＞0时，令g′（x）＝0，得x＝﹣（舍），或x＝1；x，g′（x），g（x）变化情况如下表：所以g（x）max＝g（1）＝a﹣1≤0，得0＜a≤1．③当a＜0时，存在，满足g（2﹣）＝ln（2﹣）＞0，所以f（x）＜0不能恒成立，所以a＜0不满足题意．综上，实数a的取值范围为[0，1]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）已知集合A＝{x|x＝2n+1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，C＝A∪B．对于数列{a n}，a1＝1，且对于任意n≥2，n∈N*，有a n＝min{x∈C|x＞a n}．记S n为数列{a n}的前n项和．﹣1（Ⅰ）写出a7，a8的值；（Ⅱ）数列{a n}中，对于任意n∈N*，存在k n∈N*，使a＝2n﹣1，求数列{k n}的通项公式；（Ⅲ）数列{a n}中，对于任意n∈N*，存在k∈N*，有a k+1＝2n+1．求使得S k+1＞27a k+1成立的k的最小值．【分析】（I）运用列举法，分别写出A，B，C，由题意可得所求项；（II）首先判断数列{a n}为单调递增数列．由等比数列的通项公式和求和公式，即可得到所求通项；（III）由条件可令2m﹣1≤2n，m∈N*，求得m的最大值，运用等差数列的求和公式和分类讨论思想，可得k的最小值．【解答】解：（I）集合A＝{x|x＝2n+1，n∈N*}＝{3，5，7，9，…，2n+1，…}，B＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}＝1，2，4，8，16，…，2n﹣1，…}，C＝A∪B＝{1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，…}，}，因为a1＝1，且对于任意n≥2，n∈N*，a n＝min{x∈C|x＞a n﹣1所以a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，a6＝7，a7＝8，a8＝9；}，（II）对于任意n≥2，n∈N*，有a n＝min{x∈C|x＞a n﹣1，即数列{a n}为单调递增数列．所以对于任意n≥2，n∈N*，有a n＞a n﹣1因为对于任意n∈N*，存在k n∈N*，使a＝2n﹣1，所以k1＜k2＜k3＜…＜k n＜…，因为a＝2n﹣1，a＝2n，所以对于任意n∈N*，有k1＝1，k2＝2，k3＝4，所以当n≥2时，有k n+1﹣k n＝+1＝2n﹣2+1，即k3﹣k2＝20+1，k4﹣k3＝2+1，k5﹣k4＝22+1，……，k n﹣k n＝2n﹣3+1，﹣1所以当n≥3时，有k n﹣k2＝20+21+22+…+2n﹣3+n﹣2＝+n﹣2＝2n﹣2+n﹣3（n≥3），所以k n＝2n﹣2+n﹣1（n≥3）．又k1＝1，k2＝2，数列{k n}的通项公式为k n＝；（III）若任意n∈N*，存在k∈N*，有a k+1＝2n+1，令2m﹣1≤2n，m∈N*，解得m﹣1≤log2（2n），即m≤log2n+2，得m max＝[log2n+2]＝[log2n]+2，其中[log2n+2]表示不超过log2n+2的最大整数，所以k+1＝n+m max＝n+（[log2n]+2），k＝n+（[log2n]+1）．S k+1＝[3+5+7+...+（2n+1）]+[1+2+3+ (2)＝n（n+2）+（2﹣1），依题意S k+1＞27a k+1，n（n+2）+（2﹣1）＞27（2n+1），即n2﹣52n﹣28+2＞0，（n﹣26）2+4×2＞704．当[log2n]＝0时，即n＝1时，（n﹣26）2+4×2＝629＜704，不合题意；当[log2n]＝1时，即n＝2，3时，，不合题意；当[log2n]＝2时，即4≤n≤7时，，不合题意；当[log2n]＝3时，即8≤n≤15时，，不合题意；当[log2n]＝4时，即16≤n≤31时，，不合题意；当[log2n]＝5时，即32≤n≤63时，由，此时（n﹣26）2＞576．而n＝50时，（n﹣26）2＝576．所以n＞50．又当n＝51时，（51﹣26）2+4×2＝753＞704；所以k＝n+[log2n]+1≥51+[log251]+1＝51+5+1＝57．综上所述，符合题意的k的最小值为k＝57．【点评】本题考查数列的通项和求和，考查分类讨论思想和转化思想，化简整理的运算能力和推理能力，属于难题．。
2019年北京市昌平区高一上册期末数学试卷(有答案)-精编.doc
北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．C U（M∪N）D．C U（M∩N）2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4 C．4 D．44．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1） C．（cosa，sina）D．（||≠0）5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．16．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．（5分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．38．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sin B．y=cos C．y=tan D．y=tan29．（5分）函数y=5sin（2+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移10．（5分）计算sin=（）A．B．C．D．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°12．（5分）已知集合{α|2π+≤α≤2π+，∈}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）比较大小：sin1cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为．15．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|=．16．（5分）定义：如果函数y=f（）在定义域内给定区间[a，b]上存在0（a＜0＜b），满足f（0）=，则称函数y=f（）是[a，b]上的“平均值函数”，0是它的一个均值点．例如y=||是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（）=2﹣m﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（）=lg（+1）﹣lg（1﹣）．（Ⅰ）求函数f（）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（）的奇偶性．18．（12分）已知集合A={|2sin ﹣1＞0，0＜＜2π}，B={|2＞4}．（1）求集合A 和B；（2）求A∩B．19．（12分）已知函数f（）=Asin（ω+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（）的解析式．20．（12分）已知f（）=2sin（2﹣）．（Ⅰ）求函数f（）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当∈[0，]时，求f（）的最大值与最小值．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．22．（10分）如果f（）是定义在R上的函数，且对任意的∈R，均有f（﹣）≠﹣f（），则称该函数是“﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2；②y=+1；③y=2+2﹣3是否为“﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（）=sin+cos+a是“﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（）=是“﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．北京市昌平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．C U（M∪N）D．C U（M∩N）【解答】解：C U M={1，4，6}，C U N={1，2，3，6}选项A，M∪N={1，2，3，4，6}，不满足题意；选项B，M∩N={5}，不满足题意．选项C，C U（M∪N）={1，6}，满足题意；选项D，C U（M∩N）={1，2，3，4，6}，不满足题意；故选：C．2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵θ是第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，则点M（sinθ，cosθ）在第四象限．故选：D．3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4 C．4 D．4【解答】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故为C4．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1） C．（cosa，sina）D．（||≠0）【解答】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；B中的向量的模=，因此不是单位向量．故选：B．5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=﹣4．故选：A．6．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解∵A、B、C三点共线，∴，共线；∵=（3，1），=（a，﹣1）∴3×（﹣1）=a解得，a=﹣3，故选：D．7．（5分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【解答】解：∵∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+=0，解得=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．8．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sin B．y=cos C．y=tan D．y=tan2【解答】解：y=sin是奇函数，周期为2π，y=cos是偶函数，周期为2π，y=tan是奇函数，周期为π，y=tan2是奇函数，周期为．故选：C．9．（5分）函数y=5sin（2+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【解答】解：把函数y=5sin（2+）的图象向右平移个单位，可得函数y=5sin2的图象，故选：C．10．（5分）计算sin=（）A．B．C．D．【解答】解：sin=sin（π+）=﹣sin=﹣，故选：B．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°【解答】解：与﹣60°终边相同的角一定可以写成×360°﹣60°的形式，∈，令=1 可得，300°与﹣60°终边相同，故选：A．12．（5分）已知集合{α|2π+≤α≤2π+，∈}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A． B． C． D．【解答】解：集合{α|2π+≤α≤2π+，∈}，表示第一象限的角，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）比较大小：sin1＞cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．【解答】解：由三角函数的图象可知当时，sin＞cos，∵，∴sin1＞cos1．故答案为：＞．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为．【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵=（1，1），=（2，0），∴cosθ===，即向量，的夹角的余弦值为，故答案为：．15．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|=π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．16．（5分）定义：如果函数y=f（）在定义域内给定区间[a，b]上存在0（a＜0＜b），满足f（0）=，则称函数y=f（）是[a，b]上的“平均值函数”，0是它的一个均值点．例如y=||是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（）=2﹣m﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（）=2﹣m﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，∴关于的方程2﹣m﹣1=在（﹣1，1）内有实数根．即2﹣m﹣1=﹣m在（﹣1，1）内有实数根．即2﹣m+m﹣1=0，解得=m﹣1，=1．又1∉（﹣1，1）∴=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（）=lg（+1）﹣lg（1﹣）．（Ⅰ）求函数f（）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（）的奇偶性．【解答】解：（1）依题意有解得﹣1＜＜1故函数的定义域为（﹣1，1）（2）∵f（﹣）=lg（1﹣）﹣lg（1+）=﹣f（）∴f（）为奇函数．18．（12分）已知集合A={|2sin ﹣1＞0，0＜＜2π}，B={|2＞4}．（1）求集合A 和B；（2）求A∩B．【解答】解：（1）集合A={|2sin ﹣1＞0，0＜＜2π}={|sin＞，0＜＜2π}={|＜＜}，B={|2＞4}={|2﹣＞2}={|＜﹣1或＞2}；（2）根据交集的定义知，A∩B={|2＜＜}．19．（12分）已知函数f（）=Asin（ω+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（）的解析式．【解答】解：由题意A=1，，∴ω=1，将（，1）代入f（）=sin（+φ），可得sin（+φ）=1，∵|φ|＜，∴φ=，∴f（）=sin（+）．20．（12分）已知f（）=2sin（2﹣）．（Ⅰ）求函数f（）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当∈[0，]时，求f（）的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，由，求得，可得函数f（）的单调递增区间为，∈．由，求得．故f（）的对称轴方程为，其中∈．（Ⅱ）因为，所以，故有，故当即=0时，f（）的最小值为﹣1，当即时，f（）的最大值为2．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．【解答】解：（I）P（cosα，sinα）．…2分（II），因为，所以，即，因为α为锐角，所以．…6分（Ⅲ）法一：设M（m，0），则，，因为，所以，所以对任意成立，所以，所以m=﹣2．M点的横坐标为﹣2．…10分法二：设M（m，0），则，，因为，所以，即m2﹣2mcosα﹣4cosα﹣4=0，（m+2）[（m﹣2）﹣2cosα]=0，因为α可以为任意的锐角，（m﹣2）﹣2cosα=0不能总成立，所以m+2=0，即m=﹣2，M点的横坐标为﹣2．…10分．22．（10分）如果f（）是定义在R上的函数，且对任意的∈R，均有f（﹣）≠﹣f（），则称该函数是“﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2；②y=+1；③y=2+2﹣3是否为“﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（）=sin+cos+a是“﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（）=是“﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“﹣函数”，③不是“﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（2分）（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的∈R，f（﹣）≠﹣f（），即f（﹣）+f（）≠0；因为f（）=sin+cos+a，所以f（﹣）=﹣sin+cos+a，故f（）+f（﹣）=2cos+2a；由题意，对任意的∈R，2cos+2a≠0，即a≠﹣cos；﹣﹣﹣（4分）又cos∈[﹣1，1]，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（5分）（Ⅲ）（1）对任意的≠0，（i）若∈A且﹣∈A，则﹣≠，f（﹣）=f（），这与y=f（）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若∈B且﹣∈B，则f（﹣）=﹣=﹣f（），这与y=f（）是“﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（）的定义域为R，故对任意的≠0，与﹣恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在0＜0，使得0∈A，则由0＜，故f（0）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（0），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（0），矛盾；综上，对任意的＜0，∉A，故∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣（8分）。
北京市昌平区2019届高三上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含解析
昌平区2018－2019学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）2019.1一、选择题(在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1.若集合，，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A、B，再取其交集得出答案.【详解】因为集合解之得所以所以故选A.【点睛】本题考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法和交集的求法，属于基础题. 2.设满足那么的最大值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，平移目标函数经过可行域，利用z的几何意义，求出答案即可. 【详解】满足的可行域为如图：令z=2x-y，当直线经过点A（0，-1）时，在y轴截距最小，z最大，所以目标函数z=2x-y的最大值为故选D.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题关键在于利用z的几何意义，属于基础题.3.如图是一个算法流程图，则输出的的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】分析程序中的变量，语句的作用，根据流程图的顺序，即可得出答案.【详解】由题意提供的算法流程图中的算法程序可知当S=1，k=1时，S=2<10，k=2；当S=2，k=2时，S=6<10，k=3；当S=6，k=3时，S=15>10，此时运算程序结束，输出k=3故选B.【点睛】本题主要考查了程序框图，属于简单题.4.设是单位向量，是非零向量，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由向量的数量积运算可得，即可得到答案.【详解】因为是单位向量，是非零向量，则故“”是“”的充分必要条件.【点睛】本题考查了向量的数量积运算和充分必要条件，难度不大.5.设分别为直线（t为参数）和曲线C：（为参数）上的点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将直线和曲线分别化简成普通方程，得到直线和圆，再利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离得出结果.【详解】因为直线（t为参数）的普通方程为2x+y-15=0曲线C：（为参数）的普通方程所以曲线C是以C(1,-2)为圆心，半径的圆，圆心C（1，-2）到直线距离为所以的最小值为故选B.【点睛】本题主要考查了参数方程和普通方程的互化，还有直线与圆的位置关系，能否将参数方程化简为普通方程是解题的关键，属于较为基础的题.6.数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别运用等差，等比数列的中项性质即可得解。