北京市昌平区2020-2021学年高一上学期期末质量抽测数学试题

昌平区2020－2021学年第一学期高一年级期末质量抽测数学试卷第一部分（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 已知集合{0,1,2,4}A =，{1,2,3}B =，则A B =（ ） A. {0,1,2,3,4} B. {3} C. {1,2} D. {0,4}C根据题中条件，由交集的概念，可直接得出结果. 因为集合{0,1,2,4}A =，{1,2,3}B =， 所以{1,2}A B =.故选：C.2. 下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是（ ） A. ()2-=x f x B. 3()f x x = C. ()lg f x x =D. 1()f x x=B将选项中的函数逐一检验，可得答案． 对于A ，()2-=x f x 不是奇函数，错误；对于B ，3()f x x =既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数，正确； 对于C ，()lg f x x =不是奇函数，错误；对于D ，1()f x x=在(0,)+∞上是减函数，错误；故选：B3. 已知点(1,1),(3,4)A B -，则||AB =（ ）A. B. 5 C. D. 29C首先求出AB 的坐标，再根据向量模的坐标公式计算可得； 因为(1,1),(3,4)A B -，所以()()()3,41,12,5AB =--=所以22AB =故选：C4. 函数()f x 的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A. 1e x -B. 1e x +C. ln(1)x -D. ln(1)x +D先得出曲线e x y =关于直线y x =对称的曲线方程，再由换元法求出函数()f x 的解析式. 曲线e x y =关于直线y x =对称的曲线为ln y x =，即(1)ln f x x -= 令1,1t x x t =-=+，则ln(1)()f t t +=，即()ln(1)f x x =+故选：D关键点睛：解决本题时，关键是由同底的指数函数和对数函数关于直线y x =对称，再由换元法求出解析式.5. 已知矩形ABCD 中，13AE AB =，若AD a =，AB b =，则CE =（ ）A .23a b -+B.23a b -- C. 23a b +D. 23a b -B先由题中条件，得到13AE AB =，再由平面向量的线性运算，用AD 和AB 表示出CE ，即可得出结果.因为13AE AB =，所以13AE AB =， 所以()122333CE AE AC AB AB AD AB AD b a =-=-+=--=--.故选：B.6. 2020年11月5日—11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（ ） A.110B.310C.25D.35先分别对五个专区作标记，列举出总的基本事件，以及满足“选择的两个专区中包括人工智能及软件技术专区”所对应的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.分别记“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术” 五个专区为A 、B 、C 、D 、E ；从这五个专区中选择两个专区参观，所包含的基本事件有：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10个基本事件；选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区（即E 专区），所对应的基本事件有：AE ，BE ，CE ，DE ，共4个基本事件；因此，选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是42105P ==.故选：C. 7. 已知23x =，28log 9y =，则2x y +=（ ）A. 3B. 4C. 8D. 9A根据指对运算化简2log 3x =，再根据对数运算法则计算2x y +的值.223log 3x x =⇔=，28log 9y = 222228822log 3log log 3log 8399x y ⎛⎫∴+=+=⨯== ⎪⎝⎭.故选：A. 8. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[90，100]，样品数据分组为[90,92)，[92,94)，[94,96)，[96,98)，[98,100].已知样本中产品净重小于94克的个数为36，则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是（ ）A. 45B. 60C. 75D. 90先得出[90,92)，[92,94)，[94,96)，[96,98)对应的频率，再由净重小于94克的个数为36，求出样本容量，最后由[92,94)，[94,96)，[96,98)对应的频率得出答案.[90,92)，[92,94)，[94,96)，[96,98)对应的频率分别为：0.1,0.2,0.3,0.25设样本容量为n因为净重小于94克的个数为36，所以()0.10.236n +=，解得120n =则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数为()0.20.30.2512090++⨯=故选：D9. 已知四边形ABCD 中，//AB CD ，则 “||||AC BD =”是“四边形ABCD 是矩形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据充分条件，必要条件定义即可判断.解：充分性：在四边形ABCD 中，//AB CD ，||||AC BD =，则四边形ABCD 为平行四边形，不一定是矩形；必要性：四边形ABCD 是矩形，则一定有||||AC BD =；故“||||AC BD =”是“四边形ABCD 是矩形”的必要而不充分条件.故选：B . 10. 已知函数2()f x x k .若存在实数,m n ，使得函数()f x 在区间上的值域为，则实数k 的取值范围为（ ）A. (1,0]-B. (1,)-+∞C. (2,0]-D. (2,)-+∞A由函数解析式可得函数在[)0,+∞上单调递增，依题意可得f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩为方程220--=x x k 的两不相等的非负实数根，利用根的判别式及韦达定理计算可得； 解：因2()f x x k ，所以2()f x x k 在[)0,+∞上单调递增，要使得函数()f x在区间上的值域为，所以f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即m k n k ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩220--=x x k 的两不相等的非负实数根，所以()()2122400k x x k ⎧∆=--⨯->⎪⎨=-≥⎪⎩，解得10k -≤<，即(]1,0k ∈-故选：A 第二部分（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 已知命题2:(2,),4p x x ∀∈+∞>，则p ⌝为_______.2(2,),4x x ∃∈+∞≤根据全称命题的否定，可直接得出结果.命题2:(2,),4p x x ∀∈+∞>的否定为p ⌝：2(2,),4x x ∃∈+∞≤. 故答案为：2(2,),4x x ∃∈+∞≤12. 已知函数3x y =，则函数在区间[1,3]上的平均变化率为_______ 12根据平均变化率的定义计算可得答案. 由定义可知，平均变化率为()()3127312312f f --==-. 13. 已知1x >，则11y x x =+-的最小值为_____ ，当y 取得最小值时x 的值为______ . (1). 3 (2). 2 分析】利用基本不等式求出最小值以及y 取得最小值时x 的值．10x ->，11111311y x x x x ∴=+=-++≥=-- 当且仅当2x =时取等号 故答案为：3;214. 已知向量(1,)a k =，(2,2)b =，且a b +与a 共线，则实数k =______ .1先得出a b +，再根据向量共线的坐标表示列出方程，即可求出结果. 因为向量(1,)a k =，(2,2)b =，所以(3,2)a b k +=+， 又a b +与a 共线，所以3(2)0k k -+=，解得1k =. 故答案为：115. 某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩 (百分制) 的茎叶图如图所示.则男生成绩的75%分位数为______；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为________ .(1). 77.5 (2). 200根据75%分位数的求法，结合题中数据，即可得答案；根据分层抽样的定义，即可求得高一年级学生总数.将男生成绩从小到大排列可得：64、76、77、78，共4个数据，且475%3⨯=， 所以男生成绩的75%分位数为777877.52+=； 设高一年级学生总数为n ，因为用分层抽样方法抽取10人中，男生有4人，且高一年级中男生总数为80人， 所以48010n=，解得200n =， 故答案为：77.5；200.16. 已知函数12,? ,()2,.x x a f x a x x a -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩（Ⅰ）若1a =，则函数()f x 的零点是________；（Ⅱ）如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =，称实数a为函数()f x 的包容数.在给出的①12；② 1；③ 32三个数中，为函数()f x 的包容数是________．（填出所有正确答案的序号） (1). 2 (2). ②③（Ⅰ）根据函数解析式，令()0f x =，再分类讨论，分别计算可得；（Ⅱ）由题意可得1()f x 的值域为2()f x 的值域的子集，分别讨论三种情况，由指数函数的单调性和一次函数的单调性，求得值域，即可判断．解：（Ⅰ）当1a =，12,1,()2, 1.x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，令()0f x =，即1120x x -<⎧⎨=⎩或120x x ≥⎧⎨-=⎩解得2x =，故函数的零点为2（Ⅱ）由题意可得1()f x 的值域为2()f x 的值域的子集，当12a =时，由12x <时，112()20,2x f x --⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；由12x 时，1()1,2f x x ⎛⎤=-∈-∞ ⎥⎝⎦， 1210,2,2-⎛⎫⎛⎤-∞ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭，不满足题意；当1a =时，由1x <时，1()2(0,1)x f x -=∈；由1x 时，(]()2,1f x x =-∈-∞，(0，1)(⊆-∞，1]，满足题意；当32a =时，由32x <时，112()20,2x f x -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，； 由32x 时，3()3,2f x x ⎛⎤=-∈-∞ ⎥⎝⎦， 1230,2,2⎛⎫⎛⎤⊆-∞ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭，满足题意．综上可得函数()f x 的包容数是②③． 故答案为：2；②③本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力．三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 已知全集=U R ，{|2A x x a =≤-或}x a ≥，{}250B x x x =-<.（I ）当1a =时，求A B ，A B ，()U C A B ⋂；（II ）若A B B =，求实数a 的取值范围.（I ）{}|15A B x x ⋂=≤<，{|1A B x x ⋃=≤-或}0x >，{}()|01U C A B x x ⋂=<<；（II ）7a ≥或0a ≤（I ）利用集合的交并补运算的定义求解即可；（II ）A B B =，即B A ⊆，列不等式可得实数a 的取值范围．【详解】（I ）当1a =时，{|1A x x =≤-或}1x ≥，{}{}250|05B x x x x x =-<=<<，则{}|15A B x x ⋂=≤<，{|1A B x x ⋃=≤-或}0x >，{}|11U C A x x =-<<，{}()|01U C A B x x ∴⋂=<<；（II ）A B B =，即B A ⊆ 则25a -≥或0a ≤，即实数a 的取值范围是7a ≥或0a ≤ 18. 已知关于x 的方程222(1)30x m x m -++-=有两个不等实根.（Ⅰ）求实数m 的取值范围； （Ⅱ）设方程的两个实根为12,x x ，且21212()()120x x x x +-+-=，求实数m 的值；（Ⅲ）请写出一个整数m 的值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明） （Ⅰ）()2,-+∞；（Ⅱ）1m =；（Ⅲ）6m =（Ⅰ）依题意0∆>，解得即可；（Ⅱ）利用韦达定理得到()1221x x m +=+，再代入方程，解得即可；（Ⅲ）依题意找出合适的m 即可；解：（Ⅰ）因为方程222(1)30x m x m -++-=有两个不相等实数根，所以[]()222(1)430m m ∆=-+-->，即240m +>，解得2m >-，即()2,m ∈-+∞ （Ⅱ）因为方程222(1)30x m x m -++-=的两个实根为12,x x ，所以()1221x x m +=+，2123x x m =-，又21212()()120x x x x +-+-=，所以()()22121120m m +-+-=⎡⎤⎣⎦，解得1m =或52m =-，又()2,m ∈-+∞，所以1m =（Ⅲ）当6m =时，方程214330x x -+=，解得111x =，23x =满足条件；19. 某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表:（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长;（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率； （Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差21s 与女生锻炼时长的方差22s 的大小.（直接写出结果）（Ⅰ）6.5小时（Ⅱ）35（Ⅲ）2212s s >（Ⅰ）由表中数据计算平均数即可；（Ⅱ）列举出任选2人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可；（Ⅲ）根据数据的离散程度结合方差的性质得出2212s s >（Ⅰ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为53687682911306.53862120⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==++++小时（Ⅱ）由表中数据可知，锻炼8小时的学生中男生有3人，记为,,a b c ，女生有2人，记为,A B 从中任选2人的所有情况为{,},{,},{,},{,}a b a c a A a B ，{,},{,},{,}b c b A b B ，{,},{,},{,}c A c B A B ，共10种，其中选到男生和女生各1人的共有6种故选到男生和女生各1人的概率63105P == （Ⅲ）2212s s >关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解.20. 已知函数1()log (02af x a x =>+且1)a ≠. （1）试判断函数()f x 的奇偶性； （2）当2a =时，求函数()f x 的值域；（3）若对任意x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．（1）偶函数；（2）(]1-∞-，；（3）112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.（1）先求得函数的定义域为R ，再由()()f x f x -=，可判断函数()f x 是奇偶性；（2）由110022x x ≥<≤+，，所以2211()log log 122f x x =≤=-+，以及对数函数的单调性可得函数()f x 的值域；（3）对任意x ∈R ，()1f x ≥恒成立，等价于[]min ()1f x ≥，分01a <<，和>1a ，分别求得函数的最值，可求得实数a 的取值范围. （1）因为1()log (02af x a x =>+且1)a ≠，所以其定义域为R ，又11()log log ()22aa f x f x x x -===-++，所以函数()f x 是偶函数； （2）当2a =时，21()log 2f x x =+，因为110022x x ≥<≤+，，所以2211()log log 122f x x =≤=-+， 所以函数()f x 的值域为(]1-∞-，； （3）对任意x ∈R ，()1f x ≥恒成立，等价于[]min ()1f x ≥，当01a <<，因为110022x x ≥<≤+，，所以11()log log 22a a f x x =≥+，所以1log 12a ≥，解得112a ≤<， 当>1a ，因为110022x x ≥<≤+，，所以11()log log 22a a f x x =≤+，所以函数()f x 无最小值，所以此时实数a 不存在，综上得：实数a 的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，. 方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)； ③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.1121. 已知集合12{|(,,,),{,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x k i n n ==∈=≥.对于1212(,,,),(,,,)n n n A a a a B b b b S ==∈，定义：A 与B 的差为1122(||,||,||)n n A B a b a b a b -=---；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2,5k n ==时，设(1,2,1,1,2),(2,1,1,2,1)A B ==，求,(,)A B d A B -； （2）若对于任意的,,n A B C S ∈，有n A B S -∈，求k 的值并证明：(,)(,)d A C B C d A B --=. （1）()1,1,0,1,1；4；（2）0k =；证明见解析. （1）直接代入计算A B -和(,)d A B ；（2）根据{},,1(1,2,,)i i a b k i n ∈=，都有n n a b k -=或1，可计算得0k =；然后表示出()()1|()|,ni i i i i a d A C B C c b c =-----=∑，分别讨论0i c =与1i c =两种情况.（1）()()12,21,11,12,211,1,0,1,1A B -=-----=； 1(,)||1+1+0+1+1=4ni i i d A B a b ==-=∑；（2）证明：因为12{|(,,,),{,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x k i n n ==∈=≥， 1122(||,||,||)n n n A B a b a b a b S -=---∈，所以对于任意的,n A B S ∈，即对{},,1(1,2,,)i i a b k i n ∈=，都有n n a b k -=或1，所以得0k =.设12(,,,)n n C c c c S =∈ 则()()1|()|,ni i i i i a d A C B C c b c =-----=∑，当0i c =时，()()=i i i i i i a c b c a b ----；当1i c =时，()()()()=11i i i i i i i i a c b c a b a b ------=-. 所以()()()11||(,)||,n ni i i i i i i i d A a c b c a b d A B B C C ==--=--=-=-∑∑解答该题的关键是需要注意理解并表示出()()1|()|,ni i i i i a d A C B C c b c =-----=∑，然后代入化简判断0i c =与1i c =两种情况.。