2020-2021学年北京市昌平区高一(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{3}C．{1，2}D．{0，4}2．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）＝2﹣x B．f（x）＝x3C．f（x）＝lgx D．3．已知点A（1，﹣1），B（3，4），则＝（）A．B．5C．D．294．函数f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于直线y＝x对称，则f（x）＝（）A．e x﹣1B．e x+1C．ln（x﹣1）D．ln（x+1）5．已知矩形ABCD中，，若，则＝（）A．B．C．D．6．2020年11月5日﹣11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区．现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（）A．B．C．D．7．已知2x＝3，，则2x+y＝（）A．3B．4C．8D．98．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[90，100]，样品数据分组为[90，92），[92，94），[94，96），[96，98），[98，100]．已知样本中产品净重小于94克的个数为36，则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是（）A．45B．60C．75D．909．已知四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD是矩形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．已知函数f（x）＝x2﹣k．若存在实数m，n，使得函数f（x）在区间上的值域为，则实数k的取值范围为（）A．（﹣1，0]B．（﹣1，+∞）C．（﹣2，0]D．（﹣2，+∞）二、填空题（共6小题）.11．已知命题p：∀x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为．12．已知函数y＝3x，则函数在区间[1，3]上的平均变化率为．13．已知x＞1，则的最小值为，当y取得最小值时x的值为．14．已知向量＝（1，k），＝（2，2），且+与共线，则实数k＝．15．某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．则男生成绩的75%分位数为；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为．16．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝1，则函数f（x）的零点是；（Ⅱ）如果函数f（x）满足对任意x1∈（﹣∞，a），都存在x2∈（a，+∞），使得f（x2）＝f（x1），称实数a为函数f（x）的包容数．在给出的①；②1；③三个数中，为函数f（x）的包容数是．（填出所有正确答案的序号）三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集U＝R，A＝{x|x≤a﹣2或x≥a}，B＝{x|x2﹣5x＜0}．（Ⅰ）当a＝1时，求A∩B，A∪B，（∁U A）∩B；（Ⅱ）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．18．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0有两个不等实根．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）设方程的两个实根为x1，x2，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求实数m的值；（Ⅲ）请写出一个整数m的值，使得方程有两个正整数的根．（结论不需要证明）19．某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时．为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如表：锻炼时长（小时）56789男生人数（人）12434女生人数（人）38621（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长；（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差s12与女生锻炼时长的方差s22的大小．（直接写出结果）20．已知函数f（x）＝log a（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）当a＝2时，求函数f（x）的值域；（Ⅲ）若对任意x∈R，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．21．已知集合S n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n），x i∈{k，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n）∈S n，定义：A与B的差为A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|…，|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为．（Ⅰ）当k＝2，n＝5时，设A＝（1，2，1，1，2），B＝（2，1，1，2，1），求A﹣B，d（A，B）；（Ⅱ）若对于任意的A，B，C∈S n，有A﹣B∈S n，求k的值并证明：d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{3}C．{1，2}D．{0，4}【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．解：∵A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}，故选：C．2．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）＝2﹣x B．f（x）＝x3C．f（x）＝lgx D．【分析】由基本初等函数的性质逐一判断即可．解：对于A，f（x）＝2﹣x为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x3为奇函数，且在R上是增函数，符合题意；对于C，f（x）＝lgx为非奇非偶函数，不符合题意；对于D，为奇函数，在（0，+∞）上是减函数，不符合题意．故选：B．3．已知点A（1，﹣1），B（3，4），则＝（）A．B．5C．D．29【分析】直接利用两点间距离公式求解即可．解：点A（1，﹣1），B（3，4），所以．故选：C．4．函数f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于直线y＝x对称，则f（x）＝（）A．e x﹣1B．e x+1C．ln（x﹣1）D．ln（x+1）【分析】与函数y＝e x的图象关于直线y＝x对称的函数为y＝lnx，只需把y＝lnx向左平移一个单位长度即可．解：由题意可知与函数y＝e x的图象关于直线y＝x对称的函数为y＝lnx，只需把y＝lnx向左平移一个单位长度得到y＝ln（x+1），∴f（x）＝ln（x+1），故选：D．5．已知矩形ABCD中，，若，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据向量基本定理进行求解即可．解：＝++＝﹣﹣+＝﹣﹣+＝﹣﹣，故选：B．6．2020年11月5日﹣11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区．现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是（）A．B．C．D．解：现从“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，基本事件总数n＝＝10，选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区包含的基本事件个数m＝＝4，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是P＝＝＝．故选：C．7．已知2x＝3，，则2x+y＝（）A．3B．4C．8D．9【分析】利用指数式与对数式的互化求出x＝log23，再由对数的运算法则能求出2x+y．解：∵2x＝3，，∴x＝log23，∴2x+y＝＝log28＝3．故选：A．8．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[90，100]，样品数据分组为[90，92），[92，94），[94，96），[96，98），[98，100]．已知样本中产品净重小于94克的个数为36，则样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数是（）A．45B．60C．75D．90解：由频率分布直方图得：样本中产品净重小于94克的频率为：（0.050+0.100）×2＝0.3，∵样本中产品净重小于94克的个数为36，∴样本单元数n＝＝120，∵样本中净重大于或等于92克并且小于98克的频率为：（0.100+0.150+0.125）×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于92克并且小于98克的产品的个数为：0.75×120＝90．故选：D．9．已知四边形ABCD中，，则“”是“四边形ABCD是矩形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：必要性：因为，四边形ABCD为矩形⇒其对角线相等⇒，即“”是“四边形ABCD是矩形”的必要条件；充分性：反例，四边形ABCD为等腰梯形时，满足对角线相等，，但四边形ABCD不是矩形，即“”不是“四边形ABCD是矩形”的充分条件；所以“”是“四边形ABCD是矩形”的必要不充分条件．故选：B．10．已知函数f（x）＝x2﹣k．若存在实数m，n，使得函数f（x）在区间上的值域为，则实数k的取值范围为（）A．（﹣1，0]B．（﹣1，+∞）C．（﹣2，0]D．（﹣2，+∞）解：由函数f（x）＝x2﹣k，可知函数f（x）在区间[]上单调递增，要使得函数f（x）在区间上的值域为，只需，即，所以为方程x2﹣2x﹣k＝0的两个不相等的非负实数根，所以，解得﹣1＜k≤0，即实数k的取值范围为（﹣1，0]，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．已知命题p：∀x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为∃x∈（2，+∞），x2≤4．解：根据含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，所以命题p：∀x∈（2，+∞），x2＞4，则￢p为∃x∈（2，+∞），x2≤4．故答案为：∃x∈（2，+∞），x2≤4．12．已知函数y＝3x，则函数在区间[1，3]上的平均变化率为12．【分析】利用函数解析式求出区间两个端点的函数值，再根据平均变化率公式求出函数在区间[1，3]上的平均变化率．解：因为y＝f（x）＝3x，且f（3）＝33＝27，f（1）＝3，所以该函数在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝＝12．故答案为：12．13．已知x＞1，则的最小值为3，当y取得最小值时x的值为2．【分析】可知x﹣1＞0，然后将原函数变成，从而根据基本不等式即可求出原函数的最小值，并得出对应的x的值．解：∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴，当且仅当，即x＝2时取等号，∴的最小值为3，当y取最小值时x＝2．故答案为：3，2．14．已知向量＝（1，k），＝（2，2），且+与共线，则实数k＝1．【分析】利用向量共线定理即可得出．解：+＝（3，2+k），∵+与共线，∴3k﹣（2+k）＝0，解得K＝1．故答案为：1．15．某学校开展了“国学”系列讲座活动，为了了解活动效果，用分层抽样的方法从高一年级所有学生中抽取10人进行国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．则男生成绩的75%分位数为77.5；已知高一年级中男生总数为80人，试估计高一年级学生总数为200．解：将男生成绩从小到大排列可得：64、76、77、78，共4个数据，且4×75%＝3，所以男生成绩的75%分位数为＝77.5．设高一年级学生总数为n，因为用分层抽样的方法抽取10人中，男生有4人，且高一年级中男生总数为80人，所以＝，解得n＝200．故答案是：77.5；200．16．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝1，则函数f（x）的零点是2；（Ⅱ）如果函数f（x）满足对任意x1∈（﹣∞，a），都存在x2∈（a，+∞），使得f（x2）＝f（x1），称实数a为函数f（x）的包容数．在给出的①；②1；③三个数中，为函数f（x）的包容数是②③．（填出所有正确答案的序号）解：（Ⅰ）a＝1时，函数f（x）＝，当x＜1时，由2x﹣1＝0，得x∈∅；当x≥1时，由2﹣|x|＝0，解得x＝2．∴若a＝1，则函数f（x）的零点是2；（Ⅱ）由题意可得f（x1）的值域为f（x2）的值域的子集，当a＝时，由x＜，得f（x）＝2x﹣1∈（0，），由x≥，得f（x）＝1﹣x∈（﹣∞，]，而（0，）⊈（﹣∞，]，不满足题意；当a＝1时，由x＜1，得f（x）＝2x﹣1∈（0，1），由x≥1，f（x）＝2﹣x∈（﹣∞，1]，而（0，1）⊆（﹣∞，1]，满足题意；当a＝时，由x＜，得f（x）＝2x﹣1∈（0，），由x≥，得f（x）＝3﹣x∈（﹣∞，]，而（0，）⊆（﹣∞，]，满足题意．综上可得函数f（x）的包容数是②③．故答案为：（Ⅰ）2；（Ⅱ）②③．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知全集U＝R，A＝{x|x≤a﹣2或x≥a}，B＝{x|x2﹣5x＜0}．（Ⅰ）当a＝1时，求A∩B，A∪B，（∁U A）∩B；（Ⅱ）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝1时，A＝{x|x≤﹣1或x≥1}，B＝{x|x2﹣5x＜0}＝{x|0＜x＜5}，则∁U A＝{x|﹣1＜x＜1}，所以A∩B＝{x|1≤x＜5}，A∪B＝{x≤﹣1或x＞5}，（∁U A）∩B＝{x|0＜x＜1}；（Ⅱ）若A∩B＝B，则B⊆A，因为B＝{x|x2﹣5x＜0}＝{x|0＜x＜5}，所以a﹣2≥5或a≤0，解得a≥7或a≤0，故实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[7，+∞）．18．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0有两个不等实根．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）设方程的两个实根为x1，x2，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求实数m的值；（Ⅲ）请写出一个整数m的值，使得方程有两个正整数的根．（结论不需要证明）【分析】（Ⅰ）根据根与系数的关系得到关于m的不等式，求出m的范围即可；（Ⅱ）求出x1+x2＝2（m+1），得到关于m的方程，解出即可；（Ⅲ）写出满足条件的m的值即可．解：（Ⅰ）由题意得：△＝4（m+1）2﹣4（m2﹣3）＞0，解得m＞﹣2，故m的取值范围是（﹣2，+∞）；（Ⅱ）由题意：x1+x2＝2（m+1），故（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，即4（m+1）2﹣2（m+1）﹣12＝0，解得m＝1或m＝﹣，由（Ⅰ）得：m＞﹣2，故m＝1；（Ⅲ）满足要求的m＝6，此时x1＝3，x2＝11．19．某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时．为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如表：锻炼时长（小时）56789男生人数（人）12434女生人数（人）38621（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长；（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差s12与女生锻炼时长的方差s22的大小．（直接写出结果）【分析】（Ⅰ）利用加权平均数公式能求出这个班级女生在该周的平均锻炼时长．（Ⅱ）从锻炼8小时的学生中有男生3人，女生2人，从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，分别求出基本事件总数和选到男生和女生各1人包含的基本事件个数，由此能求出选到男生和女生各1人的概率．（Ⅲ）由统计表得该班男生锻炼时长相对分散，从而s12＞s22．解：（Ⅰ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为：＝＝6.5（小时）．（Ⅱ）从锻炼8小时的学生中有男生3人，设为a，b，c，女生2人，设为e，f，从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，基本事件总数为10，分别为：ab，ac，ae，af，bc，be，bf，ce，cf，ef，选到男生和女生各1人包含的基本事件个数为6，分别为：ae，af，be，bf，ce，cf，∴选到男生和女生各1人的概率P＝＝＝．（Ⅲ）由统计表得，该班男生锻炼时长相对分散，∴该班男生锻炼时长的方差s12与女生锻炼时长的方差s22的大小为s12＞s22．20．已知函数f（x）＝log a（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）试判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）当a＝2时，求函数f（x）的值域；（Ⅲ）若对任意x∈R，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）＝log a（a＞0且a≠1）的定义域为R，且f（﹣x）＝log a＝log a＝f（x），所以f（x）为偶函数．（Ⅱ）当a＝2时，f（x）＝log2，因为0＜≤，所以log2≤log2＝﹣1，所以函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1]．（Ⅲ）若对任意x∈R，f（x）≥1恒成立，即log a≥log a a恒成立，当a＞1时，则有≥a恒成立，因为0＜≤，所以a＜0，不符合题意；当0＜a＜1时，则有≤a恒成立，因为0＜≤，所以≤a＜1，综上，实数a的取值范围是[，1）．21．已知集合S n＝{X|X＝（x1，x2，…，x n），x i∈{k，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，a n），B＝（b1，b2，…，b n）∈S n，定义：A与B的差为A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|…，|a n﹣b n|）；A与B之间的距离为．（Ⅰ）当k＝2，n＝5时，设A＝（1，2，1，1，2），B＝（2，1，1，2，1），求A﹣B，d（A，B）；（Ⅱ）若对于任意的A，B，C∈S n，有A﹣B∈S n，求k的值并证明：d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）．【分析】（Ⅰ）直接代入计算A﹣B和d（A，B）．（Ⅱ）根据a i，b i∈{k，1}（i＝1，2，…，n），都有|a n﹣b n|＝k或1，可计算得k＝0，然后表示出d（A﹣C，B﹣C）＝|（a i﹣c i）﹣（b i﹣c i）|，分别讨论当c i＝0，当c i＝1两种情况．解：（Ⅰ）A﹣B＝（|1﹣2|，|2﹣1|，|1﹣1|，|1﹣2|，|2﹣1|）＝（1，1，0，1，1），d（A，B）＝|a i﹣b i|＝1+1+0+1+1＝4．（Ⅱ）证明：因为S＝{X|X＝（x1，x2，…x n），x i∈{k，1}，i＝1，2，…n}（n≥2），A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…|a n﹣b n|）∈S n，所以对任意的A，B∈S n，即对a i，b i∈{k，1}（i＝1，2，…，n），都有|a n﹣b n|＝k或1，所以k＝0，设C＝（c1，c2，…c n）∈S n，则d（A﹣C，B﹣C）＝|（a i﹣c i）﹣（b i﹣c i）|，当c i＝0时，|（a i﹣c i）﹣（b i﹣c i）|＝|a i﹣b i|，当c i＝1时，|（a i﹣c i）﹣（b i﹣c i）|＝|（1﹣a i）﹣（1﹣b i）|＝|a i﹣b i|，所以d（A﹣C，B﹣C）＝|（a i﹣c i）﹣（b i﹣c i）|＝|a i﹣b i|＝d（A，B）．。