2018-2019学年北京市昌平区高二(上)期末数学试卷解析版

2018-2019学年北京市昌平区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（3，2，1），则线段AB的中点的坐标是（）A. （1，1，1）B. （2，1，1）C. （1，1，2）D. （1，2，3）【答案】B【解析】解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（3，2，1），∴线段AB的中点的坐标是（2，1，1）．故选：B．利用中点坐标公式直接求解．本题考查线段中点坐标的求法，考查中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.若a＜b＜0下列不等式中不成立的是的是（）A. |a|＞|b|B. ＞C. ＞D. a2＞b2【答案】B【解析】解：∵a＜b＜0，∴a＜a-b＜0，∴．因此B不正确．故选：B．由a＜b＜0，可得a＜a-b＜0，可得．即可判断出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3.在等差数列{a n}中，a1=5，a4+a7=0，则数列{a n}中为正数的项的个数为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=5，a4+a7=0，∴5+3d+5+6d=0，∴d=-，∴a n=5-（n-1）=-n+，∵a n=-n+＞0时，解得n＜5.5，则{a n}中为整数的项的个数为5，故选：B．由已知结合等差数列的通项公式求出a n，然后利用等差数列的通项公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，属于基本运算的应用．4.已知函数f（x）=x+-1（x＞1），则f（x）有（）A. 最小值2B. 最大值2C. 最小值0D. 最大值0【答案】A【解析】解：∵x＞1，∴x-1＞0∴f（x）=x+-1=（x-1）+≥2=2，当且仅当x=2时取等号，故函数f（x）有最小值2，故选：A．根据基本不等式即可求出．本题考查了不等式的应用，属于基础题．5.已知椭圆kx2+5y2=5的一个焦点坐标是F（2，0），则实数k的值为（）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】解：椭圆kx2+5y2=5的一个焦点坐标是F（2，0），可得椭圆方程为+=1，且c==2，解得k=1，故选：D．将椭圆方程化为标准方程，由题意可得焦点在x轴上，由a2-b2=c2，解方程即可得到所求值．本题考查椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的标准方程和基本量的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，若=，=，=，M为PC中点，则+=（）A.B. -+-C. -D. -++【答案】C【解析】解：∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，=，=，=，M为PC中点，∴+=-=-（）-（）=-+-+--=--+--=-． 故选：C ．利用空间向量加法法则得+=-=-（）-（），由此能求出结果．本题考查向量和的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. “m ＞0，n ＞0”是“方程+=1表示椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵m ＞0，n ＞0，推导不出+=1为椭圆方程，+=1为椭圆方程⇒m ＞0，n ＞0，∴“m ＞0，n ＞0”是“+=1为椭圆方程”的必要不充分条件．故选：B ．利用椭圆的性质求解．本题考查充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、不充分不必要条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．8. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=2，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A （2，0，0），D 1（0，0，2），D （0，0，0），B 1（2，2，2），=（-2，0，2），=（2，2，2），设异面直线AD 1与DB 1所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：A．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.已知点A在直线y=4上，动点P满足平行于y轴，且⊥，则点P的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】解：设P（x，y），点A在直线y=4上，A（x，4），动点P满足平行于y轴，且⊥，可得：，即x2=-4y．则点P的轨迹是：抛物线．故选：D．设出P的坐标，利用已知条件，列出方程，转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，轨迹方程的求法，是基本知识的考查．10.已知直线y=2与双曲线Γ：-=1的渐近线交于M，N两点，任取双曲线Γ上的一点P，若=λ+μ（λ，μ∈R），则（）A. λ+μ=-B. λ-μ=-C. λμ=-D. =-【答案】D【解析】解：双曲线Γ：-=1的渐近线方程为y=±x，将直线y=2代入y=±x，可得M（-，2），N（，2）．∵=λ+μ，λ，μ∈R，∴P（，2λ+2μ），∵P是双曲线Γ：-=1的点，∴，∴可得．故选：D．求出双曲线的渐近线方程，可得M，N两点的坐标，利用向量知识求出P的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论．本题考查双曲线的渐近线方程，考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，确定P 的坐标是关键．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.已知命题p：∀x≥0，sin x≤1，则￢p：______．【答案】∃x0≥0，使得sin x0＞1【解析】解：命题p为全称命题，则根据全称命题的否定是特此命题得：￢p：∃x0≥0，使得sin x0＞1．故答案为：：∃x0≥0，使得sin x0＞1．根据全称命题的否定是特称命题得到结论．本题主要考查全称命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．12.已知向量=（1，-2，5），=（-1，x，3），若⊥，则实数x=______．【答案】7【解析】解：∵向量=（1，-2，5），=（-1，x，3），⊥，∴=-1-2x+15=0，解得实数x=7．故答案为：7．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．13.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______；若（2，0）是它的一个焦点，则a=______．【答案】y±x【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得a=b，则该双曲线的渐近线方程为：y=±x；若（2，0）是它的一个焦点，可得c=2，则a=，故答案为：y=±x；．利用双曲线的离心率推出b，a的关系，然后求解双曲线的渐近线方程；本题考查双曲线的渐近线方程，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．14.设=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2），能说明“∥⇒==”是假命题的一组向量为=______，=______．【答案】（1，2，0）（2，4，0）【解析】解：设=（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2），能说明“∥⇒==”是假命题的一组向量为：=（1，2，0），=（2，4，0）．故答案为：（1，2，0），（2，4，0）．∥⇒x1=λx2，y1=λy2，z2=λz2，λ≠0．本题考查满足条件的向量的求法，考查向量平行的性质基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.S n的部分数据：-则数列n的公比，首项1．【答案】--3【解析】解：由a n=S n-S n-1，则a2=S3-S2=+1=，a3=S4-S3=--=-，则q===-，∴a1===-3，故答案为：-，-3．先根据数列的递推公式a2，a3，即可求出公比和首项本题考查了数列的递推公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知数列{a n}的通项公式为a n=5n-8，则a1+a3+a5+…+a2n+3=______；若＞9（m，n∈N*），则m+n的最小值为______．【答案】5n2+12n+4 9【解析】解：数列{a n}的通项公式为a n=5n-8，可得a1+a3+a5+…+a2n+3=（-3）+7+17+…+（10n+7）=（-3+10n+7）（n+2）=5n2+12n+4；若＞9，可得（5m-8）（5n-8）＞9mn，化为5（m+n）＜2mn+8，由mn≤（）2，当且仅当m=n取得等号，即5（m+n）＜（m+n）2+8，解得m+n＞8或m+n＜2，由于m，n∈N*，可得m+n＞8，即m+n的最小值为9．故答案为：5n2+12n+4，9．由数列的通项公式结合等差数列的求和公式，以及基本不等式和不等式的解法，可得所求结论．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查基本不等式的运用和不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.已知f（x）=（x-a）（x-2）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＜0．【答案】解：（Ⅰ）a=1时，不等式f（x）＞0化为（x-1）（x-2）＞0，解得x＜1或x＞2，∴不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜0，即（x-a）（x-2）＜0；当a=2时，不等式化为（x-2）2＜0，不等式无解；当a＞2时，解不等式（x-a）（x-2）＜0，得2＜x＜a；当a＜2时，解不等式（x-a）（x-2）＜0，得a＜x＜2；综上所述，a=2时，不等式无解，a＞2时，不等式的解集为（2，a），a＜2时，不等式的解集为（a，2）．【解析】（Ⅰ）a=1时求出对应不等式的解集即可；（Ⅱ）讨论a=2、a＞2和a＜2时，求出不等式的解集即可．本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题．18.在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=b1=2，a2=b2，a4=b3．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设∁n=a n+b n，求数列{∁n}的前n项和S n．【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1=b1=2，a2=b2，a4=b3，即2+d=2q，2+3d=2q2，解得d=0，q=1或d=2．q=2，可得a n=b n=2；或a n=2n，b n=2n；（Ⅱ）∁n=a n+b n=4或∁n=a n+b n=2n+2n，数列{∁n}的前n项和S n=4n；或S n=（2+4+6+…+2n）+（2+4+…++2n）=n（2+2n）+=n2+n+2n+1-2．【解析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，由等差数列和等比数列的通项公式可得d，q的方程组，可得所求通项公式；（Ⅱ）求得∁n=a n+b n=4或∁n=a n+b n=2n+2n，由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查运算能力，属于基础题．19.已知抛物线C的顶点为坐标原点，过焦点F（2，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B．（Ⅰ）求抛物线C的方程及准线方程；（Ⅱ）求线段AB长的最小值．【答案】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y2=2px，由题意可得=2，即p=4，则抛物线方程为y2=8x，其准线方程为x=-2，（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率存在时，设方程为y=k（x-2），与抛物线联立，消y可得k2x-（4k2+8）x+4k2=0，△=（4k2+8）2-16k4＞0∴x1+x2=4+，∴|AB|=x1+x2+p=4++4=8+＞8，当直线的斜率不存在时，此时直线AB的方程为x=2，代入y2=8x，解得y=±4，∴|AB|=8，综上所述AB长的最小值为8．【解析】（Ⅰ）依题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由抛物线焦点坐标求得p，则抛物线方程可求，则准线方程可求（Ⅱ）联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合抛物线的性质即可求出．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，PA=2AD，AD∥BC，DB=DC，AD=2，BC=6，∠ABC=60°．（Ⅰ）求证：PD⊥BC；（Ⅱ）求二面角D-PA-B的余弦值；（Ⅲ）求证：AB⊥平面PCD．【答案】证明：（Ⅰ）∵在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PD⊥AD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC．解：（Ⅱ）取BC中点E，连结DE，则DE⊥AD，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，平面PAD的法向量=（1，0，0），A（2，0，0），B（3，，0），P（0，0，2），=（2，0，-2），=（3，，-2），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，设z=1，得=（，-1，1），设二面角D-PA-B的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角D-PA-B的余弦值为．证明：（Ⅲ）C（-3，，0），=（1，，0），=（0，0，-2），=（-3，，-2），=0，=0，∴AB⊥PD，AB⊥PC，∵PD∩PC=P，∴AB⊥平面PCD．【解析】（Ⅰ）由平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，得PD⊥平面ABCD，由此能证明PD⊥BC．（Ⅱ）取BC中点E，连结DE，则DE⊥AD，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DP 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角D-PA-B的余弦值．（Ⅲ）推导出=0，=0，从而AB⊥PD，AB⊥PC，由此能证明AB⊥平面PCD．本题考查线线垂直、线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为（，0），离心率为．设椭圆M的长轴和短轴的一个端点分别为A，B，以原点O为圆心，线段AB的长为半径作圆O．（Ⅰ）求椭圆M和圆O的方程；（Ⅱ）设点P为圆O上任意一点，过点P分别作两条直线l1，l2与椭圆M相切，求证：l1⊥l2．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆M：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为（，0），离心率为，∴，解得a=，b=1，c=，∴椭圆M的方程为+y2=1．设椭圆M的长轴和短轴的一个端点分别为A，B，以原点O为圆心，线段AB的长为半径作圆O，∴r=|AB|==2，∴圆O的方程为x2+y2=4．证明：（Ⅱ）当点P的坐标为（，1），（，-1），（-，1），（-，-1）时，则过这四点分别作满足条件的直线l1，l2，若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l1⊥l2若直线l1，l2斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y0=k（x-x0），由，得=3，即（1+3k2）x2+6k（y0-kx0）x+3（y0-kx0）2-3=0，则=0，化简得（3-x02）k2+2x0y0k+1-y=0，又=4，∴（3-x02）k2+2x0y0k+x-3=0，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴l1，l2与椭圆都只有一个公共点，∴k1，k2满足（3-x02）k2+2x0y0k+x-3=0，∴k1k2==-1，∴l1⊥l2．【解析】（Ⅰ）由椭圆的一个焦点为（，0），离心率为，列出方程组，求出a=，b=1，c=，由此能求出椭圆M的方程；求出r=|AB|==2，由此能求出圆O的方程．（Ⅱ）当点P的坐标为（，1），（，-1），（-，1），（-，-1）时，则过这四点分别作满足条件的直线l1，l2，若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l1⊥l2若直线l1，l2斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y0=k（x-x0），由，得（1+3k2）x2+6k（y0-kx0）x+3（y0-kx0）2-3=0，从而=0，推导出（3-x02）k2+2x0y0k+x-3=0，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1，k2满足（3-x02）k2+2x0y0k+x-3=0，由此能证明l1⊥l2．本题考查椭圆、圆的标准方程的求法，考查两直线垂直的证明，考查椭圆、圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。