材料力学-组合变形杆件的强度计算
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杆件的应力与强度—组合变形(建筑力学)
组合变形
教学目标
知识目标
1.理解组合变形的基本概念； 2.掌握斜弯曲梁的强度计算方法； 3.掌握单向偏心压缩（拉伸）杆件的强度计算方法。
技能目标
1.能够将组合变形问题分解为基本变形的组合； 2.能够对斜弯曲、偏心压缩（拉伸）等组合变形进行强度计算。
重点和难点
重点内容
难点内容
1.组合变形的基本概念；
压缩（拉伸）与弯曲
代入公式得： 解得：h≥280 mm Nhomakorabea此时截面中的最大压应力为：
课程研究内容
1.将组合变形问题分解为基本变形的组合；
2.简单组合变形强度计算方法。 2.应用叠加法解决工程中组合变形实际问题。
组合变形概念 • 组合变形：同时发生两种或两种以上的简单变形。
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形的分析方法
叠加法求解组合变形的计算步骤： （1）将构件的组合变形分解为基本变形； （2）分析、计算构件在每一种基本变形情况下产生的应力； （3）将同一点处的应力进行叠加，计算杆件危险点处的应力，然后进行强 度计算。
（2）内力分析。两个方向弯曲的最大弯矩值都是发生在固定端 截面处，分别为：
My=FL=2×2=4kN.m
斜弯曲
（3）应力分析。由变形情况可知，梁的最大拉应力发生在A点处，梁 的最大压应力发生在B点处，分别为：
故：梁的最大拉应力和最大压应力均为107.73MPa。
压缩（拉伸）与弯曲
l
φ Px 轴向力 ： Px=Pcosφ P 横向力： Py=Psinφ
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
【例1】如图所示为一悬臂梁，采用25a号 工字钢，已知q=5kN/m, F=2kN,Wy=48.28cm3,Wz=401.9cm3,求梁 的最大拉应力和最大压应力。
教学目标
知识目标
1.理解组合变形的基本概念； 2.掌握斜弯曲梁的强度计算方法； 3.掌握单向偏心压缩（拉伸）杆件的强度计算方法。
技能目标
1.能够将组合变形问题分解为基本变形的组合； 2.能够对斜弯曲、偏心压缩（拉伸）等组合变形进行强度计算。
重点和难点
重点内容
难点内容
1.组合变形的基本概念；
压缩（拉伸）与弯曲
代入公式得： 解得：h≥280 mm Nhomakorabea此时截面中的最大压应力为：
课程研究内容
1.将组合变形问题分解为基本变形的组合；
2.简单组合变形强度计算方法。 2.应用叠加法解决工程中组合变形实际问题。
组合变形概念 • 组合变形：同时发生两种或两种以上的简单变形。
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形实例
组合变形的分析方法
叠加法求解组合变形的计算步骤： （1）将构件的组合变形分解为基本变形； （2）分析、计算构件在每一种基本变形情况下产生的应力； （3）将同一点处的应力进行叠加，计算杆件危险点处的应力，然后进行强 度计算。
（2）内力分析。两个方向弯曲的最大弯矩值都是发生在固定端 截面处，分别为：
My=FL=2×2=4kN.m
斜弯曲
（3）应力分析。由变形情况可知，梁的最大拉应力发生在A点处，梁 的最大压应力发生在B点处，分别为：
故：梁的最大拉应力和最大压应力均为107.73MPa。
压缩（拉伸）与弯曲
l
φ Px 轴向力 ： Px=Pcosφ P 横向力： Py=Psinφ
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
斜弯曲
【例1】如图所示为一悬臂梁，采用25a号 工字钢，已知q=5kN/m, F=2kN,Wy=48.28cm3,Wz=401.9cm3,求梁 的最大拉应力和最大压应力。
建筑力学 第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算
建筑力学
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
§9-1 组合变形的概念
一、组合变形的概念
前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称为组合变形
组合变形
斜弯曲 拉（压）弯组合变形 偏心拉伸（压缩）变形 弯扭组合变形
§9-1 组合变形的概念
斜弯曲:
压弯组合变形:
F
Fy
z
Fz
x
y
§9-1 组合变形的概念
M z max Wz
z
Fx x
Fy
y
F
设图示简易吊车在当小车运行到梁端D时，吊车横梁处于最 不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN， 钢材的许用应力[]=160MPa，暂不考虑梁的自重。 按强度条件选择横梁工字钢的型号。
C
2m
A
A
FAx FAy
30 3.46m
FBC
30 3.46m
解：1、横梁AD受力分析
z
F2
b
（最大拉应力）
l y
解：
h
z
l
F1
（最大压应力）y
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
横向力与轴向力共同作用的组合变形 一、荷载分解
Fx F cos
z
Fx x
Fy
y
F
Fy F sin
§9-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
二、内力计算 a
z
Fx F cos
Fx Fy F sin
解：1、荷载分解
q
qy q cos 800 0.894 714 N / m A
B
L
qz q sin 800 0.447 358 N / m
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
解：危险截面在 A 处，其上之内力分量为： 弯矩： M y = FP1 a ， M z = FP2 H 扭矩： M x = FP2 a 轴力： FNx = FP1 在截面上垂直与 M 方向的垂直线 ab 与圆环截 求得 M y 与 M z 的矢量和 M 过截面中心， 面边界交于 a、b 两点，这两点分别受最大拉应力和最大压应力。但由于轴向压力的作用，最 大压应力值大于最大拉应力值，故 b 点为危险点，其应力状态如图所示。 10－7 试求图 a 和 b 中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。 解： （a）为拉弯组合
7
y
y
A
O
0.795
B
14.526
+13.73MPa
z
(a)
O O
+14.43MPa
(b)
C
y
A
C
B B
y
A
O O
B
z
12.6mm
14.1mm
zC
−15.32MPa
16.55MPa
zC
z
(c)
(d)
习题 10－9 解图
∴
+ σ max
= 14.526 − 0.795 = 13.73 MPa
− σ max = −14.526 − 0.795 = −15.32 MPa
Ebh
由此得
2 FP 6e
e=
10－9
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
图中所示为承受纵向荷载的人骨受力简图。试：
1．假定骨骼为实心圆截面，确定横截面 B－B 上的应力分布； 2．假定骨骼中心部分(其直径为骨骼外直径的一半)由海绵状骨质所组成，忽略海绵状承受 应力的能力，确定横截面 B－B 上的应力分布；
杆件的强度计算
平均应力
循环特征
应力幅
杆件的强度计算
1.6 交变应力与疲劳失效
1.6.1 交变应力及其循环特征
2.交变应力分类 交变应力按其循环特征，可以分为对称循环和非对称循环两种类型。 交变应力的最大应力σmax与最小应力σmin大小相等，符号相反，即σmax＝ －σmin，其循环特征为r=－1，这种应力循环称为对称循环。 r≠－1的应力循环称为非对称循环。在非对称循环中，当σmin=0，r=0 时，这种应力循环称为脉动循环。静载荷可以看作交变应力的特殊情况， 其σmax＝σmin＝σm，σa＝0，r＝1。
工程力学
杆件的强度计算
1.1 拉压杆件的强度条件 1.2 连接件的强度条件 1.3 梁的正应力强度
返回
1.4 圆轴扭转的强度 1.5 圆轴弯扭组合变形的强度 1.6 交变应力与疲劳失效
杆件的强度计算
1.1 拉压杆件的强度条件
返回
由于拉、压杆横截面上的应力是均匀分布的，因此，对于等截面的拉、 压杆，其最大轴力所在的截面是危险截面，拉、压杆强度条件为
式中，FNmax为危险截面的轴力；A为危险截面的面积。
强度条件可解决以下三类强度计算问题： (1)校核强度。(2)设计截面尺寸。(3)确定许可载荷。
杆件的强度计算
1.2 连接件的强度条件
1.2.1 剪切的实用计算
如右图所示，构件的某一截面两侧受
到一对大小相等，方向相反，作用线相距
很近的横向外力F作用，此时构件的相邻两
杆件的强度计算
1.4 圆轴扭转的强度
返回
1.4.1 圆轴扭转时横截面上的切应力
如图(a)、(b)所示分别为实心圆轴和空心圆轴横截面上扭转切应力的分
布规律。
组合变形的强度计算
组合变形的强度计算 组合变形的概念拉伸与弯曲的组合一.组合变形的概念1.组合变形:在外力的作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况在小变形和线弹性的前提下，可以采用叠加原理研究组合变形问题所谓叠加原理是指若干个力作用下总的变形等于各个力单独作用下变形的总和（叠加）在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形PRzxyPP2、组合变形的研究方法——叠加原理叠加原理应用的基本步骤：①外力分析：将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形.②内力分析：分析每种载荷的内力，确定危险截面.③应力分析：分别计算构件在每种基本变形情况下的危险将各基本变形情况下的应力叠加，确定最④强度计算:二.弯曲与拉伸(的组合杆件在外力作用下同时产生弯曲和拉伸（压缩）变形称为弯曲与拉伸（压缩）的组合偏心拉伸:弯曲与拉伸的组合变形链环受力立柱受力拉伸与弯曲组合的应力分析ϕϕsin p p cos p p y x ==A P x ='σy I M x l P M zy =''-=σ)(作用下：z T W M A N max max +=σzC W M A N max max -=σ危险截面处的弯矩抗弯截面模量y I M A N z +=''+'=σσσ根据叠加原理，可得x 横截面上的总应力为[]T z max max T W M A N σσ≤+=[]c zmax max C W M A N σσ≤-=强度条件为例:悬臂吊车,横梁由25 a 号工字钢制成，l =4m ，电葫芦重Q 1=4kN ，起重量Q2=20kN , α=30º, [σ]=100MPa，试校核强度。
取横梁AB为研究对象，受力如图b所示。
梁上载荷为P =Q1+Q2= 24kN，斜杆的拉力S 可分解为X B和Y B（1）外力计算横梁在横向力P和Y A、Y B作用下产生弯曲；同时在X A和X B作用下产生轴向压缩。
2016工程力学（高教版）教案：6.6杆件的强度计算
第六节 杆件的强度计算由内力图可直观地判断出等直杆内力最大值所发生的截面，称为危险截面，危险截面上应力值最大的点称为危险点。
为了保证构件有足够的强度，其危险点的有关应力需满足对应的强度条件。
一、正应力与切应力强度条件轴向拉（压）杆中的任一点均处于单向应力状态。
塑性及脆性材料的极限应力u σ分别为屈服极限s σ（或2.0σ）和强度极限b σ，则材料在单向应力状态下的破坏条件为u σσ= 材料的许用拉（压）应力[]nuσσ=，则单向应力状态下的正应力强度条件为[]σσ≤ （6-24）同理可得，材料在纯剪切应力状态下的切应力强度条件[]ττ≤ （6-25）二、正应力强度计算由式（6-1）和(6-25)得，拉（压）杆的正应力强度条件为[]σσ≤=AN maxmax （6-26） 由式（6-1）和(6-25)得，梁弯曲的正应力强度条件为[]σσ≤=zW M maxmax （6-27） 应用强度条件可进行强度校核、设计截面、确定许可载荷等三方面的强度计算。
例6-7 如图6-29(a)所示托架，AB 为圆钢杆2.3=d cm ，BC 为正方形木杆a=14cm 。
杆端均用铰链连接。
在结点B 作用一载荷P=60kN 。
已知钢的许用应力[]σ=140MPa 。
木材的许用拉、压应力分别为[]t σ=8MPa ，[]5.3=c σMpa ，试求：（1）校核托架能否正常工作。
（2）为保证托架安全工作，最大许可载荷为多大；（3）如果要求载荷P=60kN 不变，应如何修改钢杆和木杆的截面尺寸。
解 （1）校核托架强度 如图6-29(b)。
图6-29由 0=∑Y ，0sin 1=-P P α解得 100c s c 1==αP P kN 由 0=∑X ，0cos 21=+-P P α 解得 80cos 12==αP P kN杆AB 、BC 的轴力分别为10011==P N kN, 8022-=-=P N kN ，即杆BC 受压、轴力负号不参与运算。
材料力学 第九章组合变形杆件强度计算
cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
—— 中性轴方程(过截面形心的直线) 中性轴方程(过截面形心的直线)
b 中性轴 α
cos sin y0 + z0 = 0 Iz Iy
z
d
设中性轴与水平对称轴 z 的夹角为 ,则: 的夹角为α,
y0 tan α = z0
I z sin I y cos
=9.57mm
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合 拉伸(压缩)
当杆受轴向力F和横向力 共同作用时 当杆受轴向力 和横向力q共同作用时,杆将产 和横向力 共同作用时, 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. 生拉伸(压缩)和弯曲组合变形. q F
A B
F
对于弯曲刚度EI较大的杆, 对于弯曲刚度 较大的杆,由横向力引起的弯 较大的杆 曲变形与截面尺寸相比很小,因此, 曲变形与截面尺寸相比很小,因此,由轴向力在弯 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 曲变形上引起的附加弯矩可以忽略不计. 附加弯矩可以忽略不计 q F F A B w x FA q FS M=FAx-qx2/2-Fw F A M w FN x 附加弯矩 FA
第九章 组合变形杆件 的强度计算
作者:黄孟生
§ 9 -1 概 述
构件发生两种或两种以上基本变形的组合, 构件发生两种或两种以上基本变形的组合,若几种变 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级. 形所对应的应力(或变形)属于同一数量级.则构 件的变形称为组合变形. 组合变形.
组合变形的实例: 组合变形的实例
F
y
=
Iz = tan Iy
斜弯曲时, 注:① 当 Iy≠Iz 时,则α≠ .斜弯曲时,中性轴与外力作用
线不垂直. 线不垂直. ② 当Iy = Iz 时,则α= 只发生平面弯曲,而不发生斜 .只发生平面弯曲, 弯曲. 弯曲.
组合变形杆件的强度—斜弯曲梁的应力和强度计算(建筑力学)
6
180 120 2 6
mm 3
4.32 105 mm 3
屋面坡度为1：2，则
tan 1 sin 0.4472
2
cos 0.8944
斜弯曲梁的强度计算
（3）强度校核
max
M zmax M ymax
Wz
Wy
M max cos
Wz
M max sin
Wy
cos sin
M max( Wz
A处的正应力为最大拉应力，点C处的正应力为最大压应力：
yA yC ymax
zA zC zmax
max min
t max
cmax
My Iy
zmax
Mz Iz
ymax
My Wy
Mz Wz
M
sin
Wy
cos
Wz
M z 2.51 0.336 2 3.172 kN m M y 1.256 2 2.215 kN m
斜弯曲梁的强度计算
抗弯截面系数为：
Wz
bh2 6
0.6h h2 6
0.1h3
Wy
hb2 6
h (0.6h)2 6
0.06h3
由强度条件：
max
Mz Wz
My Wy
3.172 106 0.1h3
2.512 106 0.06h3
73.587 106 h3
≤[
]
h ≥ 3 73.587 106 194.5(mm) 10
取h = 200mm，b = 120mm。
斜弯曲梁的应力计算 一、斜弯曲的概念
对称截面梁在水平和铅垂两纵向 对称平面内同时承受横向外力的作用， 这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵 对称面内发生对称弯曲，称为斜弯曲 （即为两个相互垂直平面内的弯曲） x
180 120 2 6
mm 3
4.32 105 mm 3
屋面坡度为1：2，则
tan 1 sin 0.4472
2
cos 0.8944
斜弯曲梁的强度计算
（3）强度校核
max
M zmax M ymax
Wz
Wy
M max cos
Wz
M max sin
Wy
cos sin
M max( Wz
A处的正应力为最大拉应力，点C处的正应力为最大压应力：
yA yC ymax
zA zC zmax
max min
t max
cmax
My Iy
zmax
Mz Iz
ymax
My Wy
Mz Wz
M
sin
Wy
cos
Wz
M z 2.51 0.336 2 3.172 kN m M y 1.256 2 2.215 kN m
斜弯曲梁的强度计算
抗弯截面系数为：
Wz
bh2 6
0.6h h2 6
0.1h3
Wy
hb2 6
h (0.6h)2 6
0.06h3
由强度条件：
max
Mz Wz
My Wy
3.172 106 0.1h3
2.512 106 0.06h3
73.587 106 h3
≤[
]
h ≥ 3 73.587 106 194.5(mm) 10
取h = 200mm，b = 120mm。
斜弯曲梁的应力计算 一、斜弯曲的概念
对称截面梁在水平和铅垂两纵向 对称平面内同时承受横向外力的作用， 这时梁分别在水平纵对称面和铅垂纵 对称面内发生对称弯曲，称为斜弯曲 （即为两个相互垂直平面内的弯曲） x
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当压力作用在截面形心附近的一个区域内时，可保证
中性轴不穿过横截面。
截面核心
横截面上不 偏心压缩杆件
出现拉应力
压力必须作用 在截面核心上
截面核心的边界如何确定 ？
当压力作用在截面核心的边界上时，与此 相对应的中性轴正好与横截面相切。
ay ＝－
iz2 yF
az ＝－
iy2 zF
截面核心 是凸区域
yF
向，设钢的 [s ] = 160 MPa。试按第三强度理论校核
轴的强度。
5 kN 1.5 kN·m
12 kN
12.5 kN
2.1 kN
7 kN 9.1 kN
1.5 kN·m
4.5 kN
与P206 例 9-8 略有不同
内力图
作业：
9－17(a)、23
在 xz 平面内
产生平面弯曲
Mz ＝ F ·yF 纯弯曲
在 xy 平面内
产生平面弯曲
压-弯-弯 组合变形
F My
Mz
FN ＝ F
My ＝ F ·zF Mz ＝ F ·yF
FN My
Mz
轴力FN 引起的：
s ＝－ F
A
弯矩 Mz 引起的：
s ＝－ Mz y
Iz
弯矩 My 引起的：
s ＝－ My z
l
y
s F、q 共同引起的： ＝ s ＋ s ＝ FN － M ( x ) y
smax ＝
FN A
＋
Mmax Wz
A
Iz
smin ＝
FN － Mmax A Wz
smin ＝
FN － Mmax A Wz
smax ＞s
smax ＝s
中性轴
smax ＜s
强度条件：
中性轴
s s tmax ≤ [ t ] s s cmax ≤ [ c ]
斜弯曲
研究矩形截面悬臂梁的应力、变形及强度计算
l
z
O
Fz
x
j Fy
y
F
一、正应力计算
F ＝ Fy ＋ Fz
斜弯曲是两个正交的平面弯曲的组合
l
z
O
A(x,y,z)
Fz
x
y
x
j Fy F
任意截面上的任一点的应力：
Fy 引起的： 弯矩 Mz ＝ Fy ( l－x ) ＝ M cosj
正应力
s ＝－
Mz y
例：托架受荷载 F = 45 kN 作用。设 AC 杆为
工字钢，容许应力[s ]= 160 MPa，试选择工字钢
型号。
FAx FAy
FN ( kN )
－
104 kN
FB
45 60 kN
M ( kN·m )
104
＋
P199 例 9-3
§9-4 偏心压缩(拉伸)
F FM
F Mz
F 产生轴向压缩
My
My ＝ F ·zF 纯弯曲
A
iz2
iy2
在中性轴上任取一点( y0 , z0 )
s ＝0
1 ＋ yF y0 ＋ zF z0 ＝ 0
iz2
iy2
中性轴方程 中性轴是一条不过横截面形心的直线
中性轴方程
1＋
yF y0 ＋ zF z0 ＝ 0
iz2
iy2
中性轴在 y、z 轴上的截矩：
ay ＝－
iz2 yF
az ＝－
iy2 zF
负号说明中性轴的位置与外力作用点的位置
＝－
iz2
ay
zF
＝－
iy2
az
(ay , 0)
④
①
2
3
14
③
y
(0, az) z
②
例：试确定矩形截面的截面核心。
b
P203 例 9-6
A
④
D
①
h
2
③
1 h/6
3
h/6
z
4
b/6 b/6
B
②
中直性线轴方方程程
C
y
1 ＋ yF yB0 ＋ zF zB0 ＝ 0
iz2
iy2
例：试确定圆形截面的截面核心。
中性轴
D2
y
D1
横截面无凸角： 用图解法确定产生最大应力
的点。
z
中性轴
D2
y
e
l
z
x
中
f
y
j
F
性 轴
危险截面：固定端
危险点：e 点和 f 点（单向应力状态）
强度条件：
stmax ≤ [st] scmax ≤ [sc]
z y
l
三、变形计算
Fz x F j Fy
求悬臂梁自由端 截面形心的挠度
Fy
引起的：
x
8 kN
z
yl
l
l
1
y
内力图
§9-3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
q
z
O
Fx
l
y
弯曲变形是小变形 轴向力引起的弯矩很小，可略去不计。
q
z
O
A(x, y, z)
Fx
x
y
l
s 轴向力 F 引起的： ＝ FN
A
M(x)y
横向力 q 引起的： s ＝－
Iz
q
危险截面
z
固定端
A(x, y, z)
F x 危险点?
＝M (－ y ＋ z )
t ？ Iz
Iy
= t 存在，但不考虑。
二、中性轴的位置、最大正应力和强度条件
s
cosj
＝M(－
y＋
sinj
z)
Iz
Iy
横截面上正应力 是平面分布的
设 ( y0 , z0 ) 是中性轴上任一点的坐标
s ＝0
cosj
sinj
(－ Iz y0 ＋ Iy z0 ) ＝ 0
中性轴方程
Iz
＝－
M cosj Iz
y
z
O
y
x
l
A(x,y,z)
Fz
x
j Fy F
Fz 引起的： 弯矩 My ＝ Fz ( l－x ) ＝ M sinj
正应力 s ＝ My z ＝ M sinj z
Iy
Iy
l
z
O
A(x,y,z)
Fz
x
y
x
j Fy F
F 引起的：正应力 s ＝s ＋s
cosj
sinj
组合变形杆件的强度计算
◆ 概述 ◆ 斜弯曲 ◆ 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形 ◆ 偏心压缩(拉伸) ◆ 截面核心 ◆ 弯曲与扭转的组合变形
§9-1 概述
组合变形
FF M
偏心压缩
螺旋桨 支臂
M F
拉—扭 组合变形
Fy
F
拉—弯
Fx 组合变形
传动轴
弯—扭 组合变形
在小变形、线弹性的条件下： 可用叠加原理求解组合变形问题。
wy ＝
Fy l 3
3EIz
Fz
引起的：
wz ＝
Fz l 3
3EIy
总挠度： w wy2 wz2
b
wj
力F 的 作用线
Iy ≠ Iz
设总挠度与 y 轴成 b 角
az
中性轴
y
tanb ＝
wz wy
＝
Iz tanj
Iy
tana ＝ Iz tanj
Iy
b ≠j
总挠度方向与力F 的方向不重合
b ＝a
总挠度方向 垂直于中性轴
中性轴是一条过横截面形心的直线
j
力F 的 作用线
cosj
(－
Iz
y0 ＋
sinj
Iy
z0 ) ＝ 0
az
设中性轴与 z 轴成 a 角
中性轴
y
tana ＝
y0 z0
＝
Iz tanj
Iy
中性轴和外力作用线在相邻的象限内
Iy ≠ Iz
a ≠j
中性轴不垂直力F
斜弯曲
Iy ＝ Iz
a ＝j
中性轴垂直力F
平面弯曲
斜弯曲
Iy ＝ Iz
b ＝j
总挠度方向与力
F 的方向重合，
均垂直于中性轴
平面弯曲
例：简支梁由 22a 工字钢制成，已知 l =1 m，
F1 = 8 kN ，F2 = 12 kN ，工字钢的 Wy = 40.9 cm3，
Wz = 309 cm3，试求梁的最大正应力。 12 kN
z
12 kN
2
A
B
C 8 kN D
Iy＝Iz 的梁，只要横向力过截面形心，梁只产生平面弯曲。
中性轴将横截面分成二 个区：拉应力区和压应力区
中 性 轴
scmax ＝－ (
Mz Wz
＋
My )
Wy
stmax
＝
M
(
cosj
Iz
ymax ＋
sinj
Iy zmax )＝
Mz Wz
＋
My Wy
D1
横截面有凸角：
最大应力发生在角点上，根据
z
变形确定产生最大应力的点。
Iy
B点总应力： s ＝s ＋s ＋s
Iz = A·iz2
＝－( F ＋ F yF y ＋ F zF z )
A
Iz
Iy
Iy = A·iy2
＝－ F ( 1 ＋ yF y ＋ zF z )
A
iz2
iy2
横截面上正应力是平面分布的