振动波动练习题

π
2
+ 入 + π ]
OP x π y反 = A cos[ω (t ) + + 入 + π ] u 2
由于形成驻波的两波初位相相等,驻波方程 2π 为
x = A cos[ω (t + ) + 入 ] u
y = 2 A cos
λ
x cos(ωt + 入 )
代入已知条件 t = 0 时x π 入 = 可得 2 D点处
一,简谐振动方程
d2 x +ω2 x = 0 dt 2
x = Acos (ω t + )
二,简谐振动特征量
x = Acos (ω t + )
初始条件: 初始条件:
v0 = ωAsin
2 A = x0 + 2 v0
x0 = Acos
(初位移 初位移) 初位移 (初速度 初速度) 初速度
ω2
v0 tan = ω x0
2 3
1)1区入射波函数 y1; ) 区入射波函数
x S1 D S2
2)S1面上反射波 y1′, ) (设其振幅为A1′); 设其振幅为
x+d y ) 解: 1) 1 ( x , t ) = A1 cos ω ( t ) u1
y y1
ρ 1u 1
1 y1′
ρ2u2 ρ3u3
2 3
a 0 d
x y ′′ 1 l
x =λ/4 处
1 π y1 = A cos 2π (νt ) = A cos(2πνt ) 4 2 π 1 y2 = 2 A cos 2π (νt + ) = 2 A cos(2πνt + )
4 2
2 A合 = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos( 2 1 ) = A 合振动振幅
反 = 入 无半波损失时 有半波损失时 反 = 入 + π 所以, 所以,本题反射波的波动方程为
λ 与已知条件相比, 与已知条件相比,可得 入 = ±π
所以, 所以,入射波的方程式是
y2 = A cos[2π (νt ) + 入 + π ]
x
y1 = A cos[2π (νt + ) + π ]
例(3106)如果在固定端 3106)
x = 0 处反射的
x
反射波方程是 y2 = A cos 2π (νt ) λ 设反射波无能量损失,那么, 设反射波无能量损失,那么,入射波的
ν 方程式是 y1 = Acos[2π ( t + ) +π ]
形成的驻波的方程式是: 形成的驻波的方程式是: 2π 3π y = 2Asin x cos(2πνt + ) λ 2
O
D
PxC( 源自111 )解答y入 = A cos[2π (νt ) + 入 ]
x
λ
此波在P点引起的振动方程
y入P = A cos[2π (νt
3λ / 4
λ π = A cos[2πνt + + 入 ]
2
) + 入 ]
该振动即为反射波源,由于有半波损失
反射波在P点的振动方程
y反P = A cos[2πνt +
反射波在S处相位改变 反射波在 处相位改变π. 求:反射波函数 y′(x , t ) ′ 解:全反射, A不变. 全反射, 不变 不变. x l + (l x) = 2l x, , 处反射相位改变 π ,
2l x
x
波 相位
0
反射
在 (2lx)/λ ,
= A cos[ω t +
∴ y ′( x , t ) = A cos [ω t
x
在某一时刻各个不同质点的位移 某一时刻各个不同质点的位移 各个不同质点 任一位置处质点速度方向: 任一位置处质点速度方向: 沿波的传播速度方向看: 沿波的传播速度方向看: 传播速度方向看 波峰 波谷 波谷 波峰 质点运动速度为正 质点运动速度为正 质点运动速度为负 质点运动速度为负
惠更斯原理( 五 惠更斯原理(Huygens principle) ) (有关波的传播方向的规律 有关波的传播方向的规律) 有关波的传播方向的规律
y( x=0,t ) = Acos(ωt + ) X
0
向传播的简谐波 沿 x轴正向传播的简谐波 u // ox
y( x,t )
x x0 = Acos[ω(t ) +] u
x(y)
y
t = t0
t
振动曲线 振动曲线 质点在各个不同时刻的位移 质点在各个不同时刻的位移 不同时刻 质点速度方向: 质点速度方向: 曲线上行为正 曲线上行为正,下行为负 行为负 波形曲线(波形图) 波形曲线(波形图) 曲线
A1 sin 1 + A2 sin 2 合振动初位相 tan = A cos 1 + A2 cos 2 A sin( π / 2) + 2 A sin(π / 2) π = = A cos(π / 2) + 2 A cos(π / 2) 2
质点的合振动方程
y x = λ = A cos(2πνt + ) 4 2 dy 速度 V = = 2πνA cos(2πνt + π ) dt
S1 D S2
x
d +l ) π 2) y1 (l , t ) = A1′ cos ω (t ) ′ u1 d +l l x ′ y1 ( x, t ) = A1′ cos ω (t ) π u1 u1
x 2l d ′ ) π = A1 cos ω ( t + u1
λ
2π
2π ± π ]
2l
"+"
示
x
λ
λ
2π ± π ]
+
[例] 如图示, 如图示, 方向传播, 余弦波沿 x 方向传播, 点振动为 a y a = A1 cos ω t ,ρ1u1 < ρ2u2 > ρ3u3 . 求:
y y1 a 0 d x
ρ 1u 1
1 y1′ y1′′ l
ρ2u2 ρ3u3
六 波的叠加原理 (superposition principle of waves) 1 波的干涉条件
(1)振动方向相同 ) (2)频率相同 ) (3)相位差恒定 )
[例1] 如图示,已知:y0 = Acosω t ,波长为λ , ] 如图示,已知:
全 y0 = Acos t 反 S x 0 (l x) l 反 射 壁
π
一平面简谐波沿X轴正方向传 ( 3111 )一平面简谐波沿 轴正方向传 为波密媒质的反射面. 点反射, 播,BC为波密媒质的反射面.波由 点反射, 为波密媒质的反射面 波由P点反射 OP = 3λ/4, DP = λ/6.在t=0时,O处质点的 λ , . 时 处质点的 合振动是经过平衡位置向负方向运动. 合振动是经过平衡位置向负方向运动.求D点 点 处入射波与反射波的合振动方程.( .(设入射 处入射波与反射波的合振动方程.(设入射 波和反射波的振幅皆为A,频率为ν 波和反射波的振幅皆为A,频率为ν) 反射 y B
=0
y 处
=0 V <0
3λ λ 7λ x= = 4 6 12
代入驻波方程,可得D点处的合振动方程
y D = 3 A sin ωt
1
B
2
D
3
0
4
�
一,基本概念 1.波动和波源 2.振动状态传播(机械波的产生和传播) 3.波速 4.横波和纵波 5.简谐波(余弦波,正弦波) 6.波函数 7.波面,波前及波射线 8.平面波,球面波,柱面波 9.平均能量密度和波强(平均能流密度) 10. 惠更斯原理(衍射)波的叠加,干涉 11. 驻波
结论:振动是产生波动的原因 波动是某一质点的振动状态由近而远 的传播过程
x
λ
例( 3106 )解答 固定端: 固定端:波从波疏 波密 有半波损失. 有半波损失. 设入射波方程(波函数) 设入射波方程(波函数)
波疏, 波疏,反射波
y1 = A cos[2π (νt + ) + 入 ]
x
λ
此波在
x = 0 处引起的振动方程
y10 = Acos[2πνt +入]
该振动即为反射波源
同一直线上,同频率谐振动的合成 三,同一直线上,同频率谐振动的合成
A= A + A 1 2
A = A + A2 + 2A A2 cos(2 1 ) 1 1 A sin1 + A2 sin2 = arctan 1 A cos1 + A2 cos2 1
2 2
一维平面简谐波的波函数(推导方法) 四. 一维平面简谐波的波函数(推导方法) 已知平衡位置 平衡位置在 处质点振动方程(位移) ◆ 已知平衡位置在x=x0 处质点振动方程(位移)
x
λ
驻波方程
或
3π y = 2 A sin x cos(2πνt + ) λ 2 2π x + ) cos(2πνt + ) λ 2 2
2π
y = 2 A cos(
π
π
例( 3476 )一平面简谐波沿
ox 轴正方向
x
传播, 传播,波动方程为 y1 = A cos 2π (νt ) λ 轴负方向传播, 而另一平面简谐波沿ox 轴负方向传播, x 波动方程为 y2 = 2 A cos 2π (νt + ) λ 求 (1)x = λ / 4 处介质质点的合振动方程 ) (2) = λ / 4 ) x 处介质质点的速度表达式