三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第六章数列推理与证明第五节数列的综合应用课件理

(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元， 旅游业 总收入为 bn 万元，写出 an，bn 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
解： (1)第 1 年投入为 400 800 万元， 万元， 第 1 年旅游业收入为 (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入， 1 1 第 年投入为 －× 万元， 由此 an>0， 800× 1 n－ 第b2 2 年旅游业收入为 400 5 1＋ 4 万元， 5 n 4 n … 即 1 600×4 － 1－ 4 000×1－ 5 >0. 1 1 n－1 1n－ 1＋ 第n 800×1 －× 万元， 年旅游业收入为 400 万元， 4年投入为 n 5 2 4 令 x＝ ，代入上式得 5x － 7x＋ 2>0， 5 n 年内的总投入为 所以 年内旅游业总收入为 2 1 1n－1 解此不等式得 x < 或 x >1( 舍去 ) ， an＝ 800 b 400＋ 800 400× ＋ ＋…＋ 800 400×1－ ＋ 5 1－ 5 5 4 4 4 2 4 5 n 即 800 < ，由此得 n 1－ n ≥ 5. 400 × 5 5 4 4 5 n 5 1 － ＝ 1× 600 × － ＝ 4＝ 000 . 1. 4 5 4 5 所以至少经过 旅游业的总收入才能超过总投入 . 1－ 5 年， 4 5
2 n－1 又因 b1＝a，n≥2 3 a， 故 bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1) 2 2 － 2 2 ＝a＋ a＋ 3 a＋…＋ 3 n 1a 3 2 － 2 2 2 ＝ 1＋3＋ 3 ＋…＋ 3 n 1 a 2 1－3 n 2 － n 1a， ＝ a＝3－2· 2 3 1－ 3 2 － n 1a，(n∈N*)． 显然 n＝1 也适合，故 bn＝3－2· 3
考点三
数列与其他知识的交汇 常考常新型考点 ——多角探明
[命题分析 ] 数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量 交汇命题，难度比较大，在备考中仍应引起高度重视． 常见的命题角度有： (1)数列与函数的交汇； (2)数列与不等式的交汇．
[题点全练] 角度一：数列与函数的交汇 1． (2014· 四川高考)设等差数列{an}的公差为 d，点 (an， bn)在函数 f(x)＝ 2x 的图象上(n∈ N*)． (1)证明：数列 {bn}为等比数列； (2)若 a1＝ 1，函数 f(x)的图象在点 (a2，b2)处的切线在 1 x 轴上的截距为 2－ ， 求数列{anb2 n}的前 n 项和 Sn. ln 2
[方法归纳 ] 1．数列与函数的综合的 2 个方面 (1)以数列的特征量 n，an，Sn 等为坐标的点在函数图 象上，可以得到数列的递推关系； (2)数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数， 然后 利用函数的性质求解数列问题．
2．数列与不等式相结合问题的 2 个处理方法 (1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比 较法、综合法、分析法、放缩法等； (2) 如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解 法，如列表法、因式分解法、穿根法等． 总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起 来综合处理就行了．

2 3
－ n 1 a
万元．
(1)求甲、乙两超市第 n 年销售额的表达式；
(2) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额 的 50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可 能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年． 解：(1)设甲、乙超市第 n 年销售额分别为 an，bn，又设甲超
[由题悟法 ] 解数列应用题的建模思路 从实际出发， 通过抽象概括建立数学模型， 通过对模型 的解析，再返回实际中去，其思路框图为：
[即时应用] 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境 建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入 800 1 万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收 5 入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用， 1 预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 . 4
解： (1)设等比数列 {an}的公比为 q， a4＋ S4， a5＋S5， a6＋ S6 成等差数列，所以 a5＋ S5－ a4－ S4＝ a6＋S6－ a5－ S5， 即 2a6－ 3a5＋ a4＝ 0，所以 2q2－ 3q＋ 1＝ 0. 1 因为 q≠ 1，所以 q＝ ， 2 1 所以等比数列{an}的通项公式为 an＝ n. 2 an＋ an＋ 1 n 3 3 (2)由题意得 bn＝ · 3＝ · 2 4 2 3 3 n＋1 － 32 2 9 3 Tn＝ · ＝ 4 3 4 2 1－ 2
n a1＝ 12， 4 1 － 4 ＋1 2 12＋ (n－ n 1)· n 解得 所以 a ＝ 2 ＝ 2 n ＋ 10. ①－②，得－ 3Tn＝ 4＋ ＝ － n4 ＋ … ＋ 4 － n× 4 d ＝ 2. －3
2n＋10－10 2n n (2)证明：由 (1) ，得 b ＝ 2 a － 10 ＝ 2 ＝ 2 ＝ 4 ， n n n＋1 n× 4 . ＋ bn＋1 4n 1 所以 ＝ n ＝ 4. n＋1 bn 3n 4－ 1×4 ＋ 4 所以 Tn＝ . 所以 {b }是首项为94，公比为 4 的等比数列． n
意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合．
[即时应用 ] 1 已知公比不为 1 的等比数列 {an}的首项 a1＝ ，前 n 项和 2 为 Sn，且 a4＋ S4， a5＋ S5， a6＋ S6 成等差数列． (1)求等比数列 {an}的通项公式； (2)对 n∈ N*，在 an 与 an＋1 之间插入 3n 个数，使这 3n＋2 个数成等差数列，记插入的这 3n 个数的和为 bn，求数列 {bn}的前 n 项和 Tn.
[由题悟法 ] 等差数列、等比数列综合问题的 2 大解题策略 (1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标， 为最终解 决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需 要先求出首项和公差 (公比 )等，确定解题的顺序． (2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中， 如果等比数列的公比不能确定， 则要看其是否有等于 1 的可 能， 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公 式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的． [提醒 ] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注
第五节 数列的综合应用
考点一 等差数列与等比数列的综合问题 重点保分型考点——师生共研
[典例引领] 在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列； (3)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn.
解： (1)设数列 {an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， (3)由 nbn＝ n× 4n，得 Tn＝ 1× 4＋ 2× 42＋…＋ n× 4n，① a ＋ 9d＝ 30， 1 由 a10＝ 302 ， a20＝50，得方程组 n n＋1 4Tn＝ 1× 4 ＋…＋ (n－ 1)× 4 ＋ n × 4 ，② a ＋ d＝ 50， 1 19
(2)函数 f( ＝ 1· 4 ＋ 2· 4 ＋…＋ ( n － 1)· 4 ＋ n · 4 . y－ 2a ＝ (2 a ln 2)( x － a ) ， n2 2 2 解：(1)证明：由已知，bn＝ 12an＞0. n＋1 4 －4 它在 x 轴上的截距为 a22－ . n n＋1 ln 2 因此， Sn－4Sn＝4＋4 ＋…＋4 －n· 4 ＝ － 3 bn＋1 当 n≥1 时， b1 ＝2an＋1－ 1 an＝2d. 由题意，a2－ n ＝ 2－ ， n＋1 ln 2 ln 2 1－3n4 －4 n＋1 n· 4 ＝ . d 3 所以 解得， a 数列 ＝2. {bn}是首项为 2a1，公比为 2 的等比数列．
＋
2
n n＋a 1 ＝n，b ＝2n，a b2 ＝n· 所以，d＝a2 － a ＝ 1 ， 4 . 1 14 n 4 n n n 3n－ ＋ 所以 Sn＝ . 9 2 3 于是，Sn＝1· 4＋2· 4 ＋3· 4 ＋…＋(n－1)· 4n－1＋n· 4n，
角度二：数列与不等式的交汇 2． (2016· 郑州质量预测)已知数列 {an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ 2an－ 2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝ log2a1＋ log2a2＋…＋ log2an，求使 (n－ 8)bn≥ nk 对任意 n∈ N*恒成立的实数 k 的取值范围．
n － 1 . n，
考点二
等差数列与等比数列的实际应用 重点保分型考点——师生共研
[典例引领] 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为 a 万元，由 a 2 于经营方式不同，甲超市前 n 年的总销售额为 (n －n＋2)万 2 元，乙超市第 n 年的销售额比前一年销售额多
即
n－1>6－4·
2 3
－ n 1，即
2 3
－ n 1.
又当
2 － n 1 n≥ 7 时，0<4· <1， 3
*
故当 n∈ N 且
2 － n 1 n≥7 时，n>7－ 4· 恒成立． 3
所以第 7 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半， 乙超 市将被甲超市收购．
n n＋ 1 (2)bn＝ log2a1＋ log2a2＋ …＋ log2an＝ 1＋ 2＋…＋ n＝ . 2 解： (1)由 Sn＝2an－2 可得 a1＝2.
* 要使 ( n － 8) b ≥ nk 对任意 n ∈ N 恒成立， 因为 Sn＝2a nn－ 2，