解直角三角形专题训练
初中解直角三角形特性练习题
初中解直角三角形特性练习题1. 已知∠A=90°, AB=3, BC=4, 求 AC 的长度。
解：AC² = AB² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, AC = 5。
2. 已知直角三角形两直角边分别为 5cm、12cm，求斜边长。
解：斜边长AC = √(AB² + BC²) = √(5² + 12²) = √169 = 13。
3. 直角三角形 ABC，已知∠A=90°，用三角形 AB'C' 代替直角三角形ABC 中的直角三角形ABM，得到图2。
若AM=5，B'C'=4，AC=BC+1，求 BC 的长度。
解：由于∠A=90°，所以 AM² + MB² = AB²，即 5² + MB² =BC²，即 MB² = BC² - 5²。
又由于 B'C'=4，所以 B'M² = B'C'² - CM² =4² - 1² = 15，即 MB² = 15。
联立两式，得到 BC² - 25 = 15，即 BC² = 40，所以BC = 2√10。
4. 已知直角三角形 ABC 中∠B=90°，BD 为边 AC 上的高，AC=15，BD=9，求 AB 和 BC 的长度。
解：由于∠B=90°，所以∠ABD=∠CBD，又因为 BD 为边AC 上的高，所以 AB/BC=BD/DC=9/6=3/2。
联立两式以及 AB + BC = 15，解得 AB = 6，BC = 9。
5. 已知直角三角形 ABC 中∠B=90°，D 为边 AC 上的一点，AD=9，BD=12，求 AB 和 BC 的长度。
初中数学解直角三角形专项练习
知识点梳理
◆(一)锐角三角函数
1．三角函数定义
1在Rt△ABC中，若∠C=90°
2、同角三角函数的关系
（1）平方关系： （2）商数关系：
（3）倒数关系：
3、互为余角的三角函数关系
， ，
或者：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
基础达标训练
一、选择题
1．已知在 中， ，设 ，当 是最小的内角时， 的取值范围是
A． B． C． D．
2．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
3．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB＝（ ）A． B． C． D．
5．已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= ，AB= +1，则边BC的长为．
6．已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= ，AB= +1，则边BC的长为．
7．如图（4），在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠EBC=______.
8．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图（6）是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．设第一个正方形的边长为1．
6、锐角三角函数的取值范围
0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
◆（二）解直角三角形
1、直角三角形中边角关系
九年级数学下册专题28.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练(50道)(举一反三)(人教版)
专题28.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练（50道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的应用中考真题的综合问题的所有类型！一．解答题（共50题）1．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα= 4．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，5C，D在同一平面内）．(1)求C，D两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：3≈1.7）使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：2≈1.41,3≈1.73）俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度为308米【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．根据题意得：∠ACD=30°，∠设AD=x，则BD=BA+AD=1000+在Rt三角形ACD中，CD=在Rt三角形BCD中，BD=CD ∴1000+x=3x⋅tan68°，解得：x=10003⋅tan68°―1=1.7×AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m 到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：3≈1.7）由题意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m设AG＝x m，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，=x（m），∴FG=AGtan45°念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A 处测得烈士塔顶部点B 的仰角为45°，烈士塔底部点C 的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD 为10m ，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）善．某市政府为了实现5G 网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G 基站3000个，如图，在斜坡CB 上有一建成的5G 基站塔AB ，小明在坡脚C 处测得塔顶A 的仰角为45°，然后他沿坡面CB 行走了50米到达D 处，D 处离地平面的距离为30米且在D 处测得塔顶A 的仰角53°．（点A 、B 、C 、D 、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan 53°≈43）(1)求坡面CB的坡度；(2)求基站塔AB的高．根据他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为∴CD=50（米），DM=30（米），根据勾股定理得：CM=CD2―DM2=40（米）∴坡面CB的坡度为；DMCM =3040=34,即坡面CB的坡度比为3:4；船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF=8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan37°≈0.75）坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0,75,3≈1.73）地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G 处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，AB⊥BE，AC⊥CD，CD=BE，BC=DE．结果精确到0.1m）（参考数据：sin 31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【答案】6.9m【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．(1)求A、C两点之间的距离；(2)求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，5≈2.24）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．∴OD=AG=4.5m．答：OD的长为4.5m．【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解12．（2022·山东日照·中考真题）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC 长为260m．(1)求该滑雪场的高度h；(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．：根据题知坐索道车到达山项，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为30°，测得白塔顶部C的仰角的为37°．索道车从A 处运行到B处所用时间的为5分钟．(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米；(2)请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60, cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,3≈1.73）的长．(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC 方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度由题意得BD=a，CD∠B=∠D=∠CEB=90°∴四边形CDBE为矩形，则BE=CD=b，BD=在Rt∆ACE中，tan得AE=CE=CE×tanα15．（2022·湖南郴州·中考真题）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD=20m，背水坡BC 的坡度为i1=1:1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1:3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73．结果精确到0.1m）离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：测量项目测量数据从A处测得路灯顶部P的仰角αα=58°从D处测得路灯顶部P的仰角ββ=31°测角仪到地面的距离AB=DC=1.6m两次测量时测角仪之间的水平距离BC=2m计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据；cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60）【答案】3.5米【分析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，先得到四边形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的长度，再求出PF的长度，即可求出答案．【详解】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，∵AB=DC=1.6，AB//DC∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，同理：四边形CDFE是矩形；∴AD=BC=2，EF=CD=1.6，在直角△PDF中，有PF=DF·tanβ=(AD+AF)·tanβ，在直角△PAF中，有PF=AF·tanα，∴(AD+AF)·tanβ=AF·tanα，即(2+AF)×tan31°=AF×tan58°，∴(2+AF)×0.6=AF×1.6，解得：AF=1.2；∴PF=1.2×1.6≈1.9；∴PE=PF+EF=1.9+1.6=3.5（米）；∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出PF的长度．17．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30°方向走2000米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车东南方向的图书馆C处．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离；(2)若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A，那么她在15分钟内能否到达公共汽车站？【答案】(1)小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1000米(2)小欢15分钟内能到达公共汽车站【分析】（1）过点A作AD⊥C于点D，根据B位于A的北偏东30°方向和AB＝2000米可得AD的长度；（2）根据45°角的余弦和AD的长可得AC的长度，再结合小欢的速度可得答案．，∵DC ⊥AM 于点E ，在A 处测得大树底端C 的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B 处，测得大树顶端D 的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM =30°（图中各点均在同一平面内）．(1)求斜坡BC 的长；(2)求这棵大树CD 的高度（结果取整数）．（参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43，3≈1.73）【答案】(1)斜坡BC 的长为30米(2)这棵大树CD 的高度约为20米【分析】（1）根据题意可得：∠CAE =15°，AB =30米，根据三角形的外角性质可求出∠ACB =15°，从而得出AB =BC =30米，即可得出答案．（2）在Rt △CBE 中，利用锐角三角函数的定义求出CE ，BE 的长，然后在Rt △DEB 中，利轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．【答案】货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°，在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，∴BD= BC sin50°≈20×0.766=15.32(海里)，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．20．（2022·山东青岛·中考真题）如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）【答案】观光船从C处航行到D处的距离为462.5米【分析】过点C作CF⊥DE于点F，根据题意利用正切函数可得AB=496，由矩形的判定和性质得出CF=BE=296，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可．【详解】解：过点C作CF⊥DE于点F，由题意得，∠D=40°,∠ACB=68°，测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7m，测速仪C和E之间的距离CE=750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．(1)求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：3≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4）天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上．求菜园与果园之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin65°≈ 0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80，tan37°≈0.75的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i=3:4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4,tan58°≈1.6）【详解】分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为∴∠BEA=∠BFN四边形BENF为矩形，∴BEx，ABE中，分构成如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC=60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE=3m，EF=8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；(2)求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73）．到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，∴四边形AMCB为矩形，∴MC=AB=8m，AB∥CM，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：(1)两位市民甲、乙之间的距离CD；(2)此时飞机的高度AB，（结果保留根号）【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．27．（2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E 处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC 的长（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,3≈1.73）．【答案】58m【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°，再根据图形应用三角函数即可求解．【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则∠AGO=∠EHO=90°．京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos 25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【答案】70【分析】过点E作EN⊥BC，交GF于点M，则四边形HBNM是矩形，可得HB=MN，在Rt∵AF=50，∠AFH=40°，在Rt△AHF中，AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32（米），∵HG∥BC，∴∠EGF=∠ECB∵∠EFG=25°，∠ECB=36°，FG=7米∵FM=EMtan∠EFG,MG=EMtan∠EGF∴EM+EM=7，村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中DHAH≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB=AC=20cm，当∠BAC=120°时，伞完全打开，此时∠BDC=90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：3≈1.732）测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A 处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB 的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；(3)求此时无人机距离地面BC的高度．则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10(米)∵MN∥AE，∴∠PAF=∠MPA=60°．∵∠ADE=60°，∴∠PAF=∠ADE．∵∠DAE=30°，∴∠PAD=30°．∵∠APD=75°，∴∠ADP=75°．∴∠ADP=∠APD．∴AP=AD．∴△APF≌△DAE（AAS）．∴PF=AE=100．∴PG=PF+FG=100+10=110(米)∴无人机距离地面BC的高度为110米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．31．（2022·四川自贡·中考真题）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1h20min，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83km的C处．（1）求该轮船航行的速度．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．古洞古部落”享誉巴渠，被誉为“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40∘，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60∘，CB＝5m,CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.2≈1.41,3≈1.73）【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．33．（2022·广东广州·中考真题）如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30°、60°,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A′处.（1）求之间的距离（2）求从无人机A′上看目标的俯角的正切值.所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【详解】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．35．（2022·重庆·中考真题）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，其中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1:1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1．5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60,sin31°≈0.52）m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)－，在=0.60，解得x=2.5，答：DM和BC的水平距离BM为2.5米．考点：解直角三角形．37．（2022·四川巴中·中考真题）2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为300和600，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，并已知tanθ1=1.082，tanθ2 =0.412．如果安装工人确定支架AB高为25cm，求支架CD的高（结果精确到1cm）？【答案】支架DC的高应为119cm．【分析】过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可．【详解】解：如图所示，过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ2，EC=AB=25cm∵Rt△DAF中：∠DAF=θ1，DF=AFtanθ1，Rt△EAF中：∠EAF=θ2，EF=AFtanθ2，∴DE=DF-EF=AF（tanθ1-tanθ2）又∵AF=140cm，tanθ1=1.082，tanθ2=0.412，∴DE=140×（1.082-0.412）=93.8，∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm．答：支架DC的高应为119cm．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键．40．（2022·四川泸州·中考真题）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10 nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距82nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．根据题意可得，∠BAC=∠在Rt△ABC中，AC=BC=8∴AB=2BC=16(nmile)，在Rt△ADE中，AD=10 nmile=∴DE=AD•sin60°=10×32人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）【答案】(1)283米(2)经过点B到达点D较近【分析】（1）过E作BC的垂线，垂足为H，可得四边形ACHE是矩形，从而得到，ACHE是矩形，∴EH=AC=200米，根据题意得：∴DH=EH=200米，∴DE=2EH=30°，在Rt△ABC中，∴AB=2AC∴BC=AB2―BC2=2003（米），+100―200=2003―100（米）B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：3=1.732）；(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）由题意可得：。
解直角三角形中考经典专题
第一章复习题（一）1. 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ）A ．(21)，B．(12)，C ．(211)+，D ．(121)+，2. 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确的个数为（ ） ①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2ABCD 15S cm =菱形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3. 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25B ．253C ．10033D ．25253+4. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA=54，BC ＝10，则AB 的值是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 5. 在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A ．C 两地的距离为（ ） （A ）km 3310 （B ）km 335 （C ）km 25 （D ）km 35 6. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =51，则AD 的长为（ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）17. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2258. 如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为（ ） A ．2 B ．433C ．23D ．43 xy O C BABCAD lA C DE9. 小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米。
解直角三角形练习题(带答案)
解直角三角形—题集1.如图，在地面上的点处测得树顶的仰角为度，米，则树高为（ ）．A.米B.米C.米D.米【答案】A【解析】米．【标注】【知识点】仰角与俯角2.如图，斜坡，坡顶到水平地面的距离为米，坡底为米，在处，处分别测得顶部点的仰角为，，求的长度．（结果保留根号）．【答案】的长度为米．【解析】设米，则米，由题意得，四边形为矩形，∴，在中，∴ ，在中，，∴，∴，解得，，∴．答：的长度为米．【标注】【知识点】仰角与俯角A.的值越小，梯子越陡B.的值越小，梯子越陡C.的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与的函数值无关3.如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）．【答案】B【标注】【知识点】坡度4.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为米，坡面的坡度为，文化墙在天桥底部正前方米处（的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为．（1）（2）若新坡面坡角为，求坡角度数．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于米时应拆除，天桥改造后，该文化墙是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：，）【答案】（1）（2）．该文化墙需要拆除，证明见解析．【解析】（1）（2）∵新坡面坡角为，新坡面的坡度为，∴，∴．作于点，则米，∵新坡面的坡度为，∴，解得，米，∵坡面的坡度为，米，∴米，∴米，又∵米，∴米米，故该文化墙需要拆除．【标注】【知识点】坡度游船港口海警船北（1）（2）5.一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援．求点到直线的距离．求海警船到达事故船处所需的大约时间．（温馨提示：，）【答案】（1）（2）海里．小时．【解析】游船港口海警船北（1）（2）如图，过点作交延长线于．在中，∵，，海里，∴点到直线距离海里．在中，∵，，∴（海里），∴海警船到达事故船处所需的时间大约为：（小时）．【标注】【知识点】方位角在锐角三角函数中的应用6.一副直角三角板按如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，则的长为 ．【答案】【解析】过点作于点，在中，，，，∴．∵，∴．，在中，，，∴，∴，∴．【标注】【知识点】三角板拼接问题7.如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，一辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？ ．（填“是”或“否”）请简述你的理由 ．（参考数据：，，）．【答案】否 ; 点到的距离小于与墙的距离【解析】过点作，垂足为点，如图．在中，∵，米，∴米，∵汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，∴车门不会碰到墙(点到的距离小于与墙的距离)．故答案为：否；点到的距离小于与墙的距离．【标注】【知识点】测量物体之间的距离8.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，求树的高度．【答案】米．【解析】延长交延长线于点，则，作于，在中，，，∴（米），（米），在中，∵同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，（米），，∴（米），∴（米），在中，（米），故答案为：米．【标注】【知识点】影子问题（1）（2）9.如图，在中，，点是边的中点，，．求和的长．求的值．【答案】（1）（2），．．【解析】（1）（2）∵点是边的中点，且∴．∵，∴．∵在中，，，∴．在中，，，∴．故，．如图，作交于点．∵在中，，，∴设，，由勾股定理可得，解得，∴．在中，∵，，∴．即．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用10.如图，在四边形中，，于点，已知，，，求的长．【答案】．【解析】过点作于．∵在中，，，∴，．∵，，∴，∵，∴．∴在中，，，∴，．又∵在中，，，．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用11.如图，在中，，，=， ，求．【答案】．【解析】 在中，，，，，，由勾股定理得：，∵，∴，∵∴，，∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用。
(完整版)初中解直角三角形练习题
解直角三角形练习题一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm=则SinA= cosA= 3、Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=54,AB=10,则BC ＝4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\=5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB=7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=二、选择题1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ）A 、都扩大2倍B 、都扩大4倍C 、没有变化D 、都缩小一半2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ）A 、小于300B 、大于300C 、大于450且小于600D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、A a sin C 、acosA D 、Aa cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、15005、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ）A 、41cmB 、21cmC 、43cmD 、23cm三、求下列各式的值1、sin 2600+cos 26002、sin600－2sin300cos3003. sin300－cos 24504. 2cos450+|32-|5. 0045cos 360sin 2+ 6. 130sin 560cos 300-7. 2sin 2300·tan300+cos600·cot300 8. sin 2450-tan 2300四、解答下列各题1、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，，AB ＝13，BC ＝5， 求sinA, cosA, tanA, cotA2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若1312sin =A 求cosA, sinB, cosB3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，b=17, ∠B=450,求a, c 与∠A四、根据下列条件解直角三角形。
解直角三角形精选题
解直角三角形精选题42道一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3B．2x﹣y2＝9C．3x﹣y2＝15D．4x﹣y2＝212．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）A．B．C．D．43．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．B．C．D．26．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为（）A．B．C．D．27．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．211．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（）A．2B．C．D．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（）A．1B．2C．D．13．如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为（）A．B．C．D．14．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A 的值是（）A．B．C．D．15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．16．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．17．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（）A．1B．2C．D．二．填空题（共17小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．19．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于．20．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于．21．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝．22．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．23．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．24．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为．26．△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是．27．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是．28．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是．29．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是cm2．30．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，点C关于直线AB的对称点为D，点E为边AC上不与点A，C重合的动点，过点D作BE的垂线交BC于点F，则的值为．32．如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC＝2，点P是AB 上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的序号）．33．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为．34．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为．三．解答题（共8小题）35．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．36．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．37．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．38．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tan C＝，BC＝12，求cos B的值．39．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．40．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sin B＝，tan A＝，AC＝，（1）求∠B的度数和AB的长．（2）求tan∠CDB的值．41．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cos A＝．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．解直角三角形精选题42道参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3B．2x﹣y2＝9C．3x﹣y2＝15D．4x﹣y2＝21【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，∴AQ＝6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM＝QM＝CQ＝3，∴EM＝3y，∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2＝9，故选：B．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为（）A．B．C．D．4【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝，∴，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝，∴，故选：C．3．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3，∵S△ABC＝AC•BD＝×3•BD＝×1×3，∴BD＝，∴sin∠BAC＝＝＝．故选：B．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，∴BD＝AD，∴CD+BD＝8，∵cos∠BDC＝＝，∴＝，解得：CD＝3，BD＝5，∴BC＝4．故选：A．5．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：延长AD、BC，两线交于O，∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tan A＝＝，AB＝3，∴OB＝4，∵BC＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，∵∠ADC＝90°，∴∠ODC＝90°＝∠B，∵∠O＝∠O，∴△ODC∽△OBA，∴＝，∴＝，解得：DC＝，故选：C．6．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为（）A．B．C．D．2【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，∵tan C＝2＝，sin B＝＝，∴AD＝2DC，AB＝3AD，∵AB＝3，∴AD＝1，DC＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，故选：B．7．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin∠ACH＝＝，故选：D．8．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是（）A．B．2C．D．【解答】解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．法二：在求出AF＝4后∵tan∠BAD＝＝．∴＝．∴OF＝3．∴OD＝OF＝3．∴tan∠OBD＝＝．故选：A．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【解答】解：∵sin A＝＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2+BC2＝AB2，∴62+（4x）2＝（5x）2，解得：x＝2或x＝﹣2（舍），则BC＝4x＝8cm，故选：C．10．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H．∵∠BAC＝90°,BD＝DC,∴AD＝DB＝DC,∴∠B＝∠DAB,∵∠B＝∠ADE,∴∠DAB＝∠ADE,∴AB∥DE,∴∠DTC＝∠BAC＝90°,∵DT∥AB,BD＝DC,∴AT＝TC,∴EA＝EC＝ED,∴∠EDC＝∠ECD,∵EH⊥CD,∴CH＝DH,∵DE∥AB,∴∠EDC＝∠B,∴∠ECD＝∠B,∴cos∠ECH＝cos B＝,∴＝,∴＝＝2,故选：D．11．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（）A．2B．C．D．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，∴∠AED＝∠ABK，∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，故选：B．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（）A．1B．2C．D．【解答】解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故选：B．13．如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．∵OC∥AD，∴∠A＝∠BOC，∴cos∠A＝cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC＝＝，∴cos∠A＝cos∠BOC＝．又∵cos∠A＝，AB＝4，∴AD＝．故选：B．14．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sin A 的值是（）A．B．C．D．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵BC＝2，∴S△ABC＝BC×4＝4，∵AB＝＝4，∴CD＝＝，∵AC＝＝2，∴sin A＝＝＝，故选：A．15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：法一、如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．故选：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．故选：B．16．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE＝x，DE＝，∴AE＝，∴tan∠CAD＝＝．故选：D．17．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为（）A．1B．2C．D．【解答】解：连接格点MN、DM，如图所示：则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，故选：B．二．填空题（共17小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．【解答】解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．∴∠A＝∠BCD．∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝＝．故答案为．19．已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于4﹣4．【解答】解：作CH⊥AE于H，如图，∵AB＝AC＝8，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣30°）＝75°，∵△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，∴AD＝AB＝8，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵∠ACB＝∠CAD+∠E，∴∠E＝75°﹣30°＝45°，在Rt△ACH中，∵∠CAH＝30°，∴CH＝AC＝4，AH＝CH＝4，∴DH＝AD﹣AH＝8﹣4，在Rt△CEH中，∵∠E＝45°，∴EH＝CH＝4，∴DE＝EH﹣DH＝4﹣（8﹣4）＝4﹣4．故答案为4﹣4．20．已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于15或10．【解答】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝AB sin B＝5，BD＝AB cos B＝5，在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝，则BC＝BD+CD＝6，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×5＝15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD＝5，CD＝，则BC＝BD﹣CD＝4，∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×5＝10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．21．如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，则cos∠ADC＝．【解答】解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10，∴cos∠ADC＝＝．故答案为：．22．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是．【解答】解：如图，连接AB．∵OA＝AB＝，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB＝，故答案为：．23．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE•sin60°＝，∴E到直线BD的距离为，故答案为．24．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝．【解答】解：给图中相关点标上字母，连接DE，如图所示．在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠α＝30°．同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．又∵∠AEC＝60°，∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，∴AD＝＝a，∴cos（α+β）＝＝．故答案为：．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，∴AD＝BD＝CD＝AB，又∵CD＝3，∴AB＝6，∴cos∠DCB＝cos∠B＝＝＝，故答案为：．26．△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是21或15．【解答】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ABD中，∵AB＝12、∠B＝30°，∴AD＝AB＝6，BD＝AB cos B＝12×＝6，在Rt△ACD中，CD＝＝＝，∴BC＝BD+CD＝6+＝7，则S△ABC＝×BC×AD＝×7×6＝21；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由①知，AD＝6、BD＝6、CD＝，则BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝×BC×AD＝×5×6＝15，故答案为：21或15．27．在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是2．【解答】解：设菱形ABCD边长为t，∵BE＝2，∴AE＝t﹣2，∵cos A＝，∴，∴＝，∴t＝5，∴AE＝5﹣2＝3，∴DE＝＝4，∴tan∠DBE＝＝＝2．故答案为：2．28．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是（4，）．【解答】解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点A的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．29．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是2cm2．【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，∴AC＝2cm．由题意可知BC∥ED，∴∠AFC＝∠ADE＝45°，∴AC＝CF＝2cm．故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．故答案为：2．30．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA＝，则AD的长为2．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB＝AC＝6，∴∠A＝45°，在Rt△ADE中，设AE＝x，则DE＝x，AD＝x，在Rt△BED中，tan∠DBE＝＝，∴BE＝5x，∴x+5x＝6，解得x＝，∴AD＝×＝2．故答案为：2．31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，点C关于直线AB的对称点为D，点E为边AC上不与点A，C重合的动点，过点D作BE的垂线交BC于点F，则的值为．【解答】解：如图，设DF交AB于M，CD交AB于N，BE交DF于J．∵∠ACB＝90°，∴sin A＝＝，∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AC＝3k，∵C，D关于AB对称，∴CD⊥AB，CN＝DN，∵S△ABC＝×BC×AC＝×AB×CN，∴CN＝DN＝k，∴CD＝k，∵∠FCD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，∴∠DCF＝∠A，∵DF⊥BE，CD⊥AB，∴∠BJM＝∠DNM＝90°，∵∠BMJ＝∠DMN，∴∠D＝∠ABE，∴△DCF∽△BAE，∴＝＝＝．32．如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC＝2，点P是AB 上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是①③④（填写正确结论的序号）．【解答】解：∵D是AB中点∴AD＝BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD＝CD，∠ADC＝60°＝∠ACD，CE⊥AB，∠DCE＝30°∴CD＝BD∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝故①③正确，②错误∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°∴∠ACB＝90°若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN＝CP∵d12+d22＝MN2＝CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB∴CP＝∴d12+d22＝MN2＝CP2＝3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④33．已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，则△ABC的面积为2或14．【解答】解：过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，∴BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝5，∴CD＝＝3，①△ABC是钝角三角形时，AC＝AD﹣CD＝1，∴S△ABC＝AC•BD＝＝2；②△ABC是锐角三角形时，AC＝AD+CD＝7，∴S△ABC＝AC•BD＝×7×4＝14，故答案为：2或14．34．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tan B＝，那么边AD的长为9．【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．在Rt△ABH中，tan B＝＝，∴可以假设AH＝3k，BH＝4k，则AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案为：9．三．解答题（共8小题）35．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，∴AB＝10，在Rt△ACB中，由勾股定理得，AC＝＝＝6，即AC的长为6；（2）如图，连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，即F为AD的中点，∴CF＝AD＝FD，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝＝2，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，∴CE＝CD＝2，在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，∴tan∠FBD＝＝＝．解法二：∵BF为AD边上的中线，∴F是AD中点，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位线，∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．36．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交边AB 于点F，AC＝13，BC＝8，cos∠ACB＝．（1）求tan∠DCE的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，AC＝13，cos∠ACB＝＝，∴CD＝5，由勾股定理得：AD＝＝12，∵E是AD的中点，∴ED＝AD＝6，∴tan∠DCE＝＝；（2）过D作DG∥CF交AB于点G，如图所示：∵BC＝8，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵DG∥CF，∴＝＝，＝＝1，∴AF＝FG，设BG＝3x，则AF＝FG＝5x，BF＝FG+BG＝8x∴＝．37．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．【解答】解：在Rt△ABD中，∵，又∵AD＝1，∴AB＝3，∵BD2＝AB2﹣AD2，∴．在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1．∴BC＝BD+DC＝+1．38．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6．tan C＝，BC＝12，求cos B的值．【解答】解：∵tan C＝＝＝，∴CD＝4．∴BD＝12﹣4＝8．在Rt△ABD中，AB＝＝10．∴cos B＝＝．39．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的长是3+．40．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，sin B＝，tan A＝，AC＝，（1）求∠B的度数和AB的长．（2）求tan∠CDB的值．【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，在Rt△ACE中，∵tan A＝＝，∴AE＝2x，∴AC＝＝x，∴x＝，解得x＝1，∴CE＝1，AE＝2，在Rt△BCE中，∵sin B＝，∴∠B＝45°，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝1，∴AB＝AE+BE＝3，答：∠B的度数为45°，AB的值为3；（2）∵CD为中线，∴BD＝AB＝1.5，∴DE＝BD﹣BE＝1.5﹣1＝0.5，∴tan∠CDE＝＝＝2，即tan∠CDB的值为2．41．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC×tan60°＝10，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5，CM＝BC×cos30°＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．42．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cos A＝．（1）求CD的长；（2）求tan∠DBC的值．【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cos A＝，∴AD＝＝10，∴＝＝8．∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴CD＝DE＝8；（2）由（1）AD＝10，DC＝8，∴AC＝AD+DC＝18，在△ADE与△ABC中，∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴，即＝，∴BC＝24，∴．。
专题训练(八)解直角三角形常见的七种方法
专题训练(八) 解直角三角形常见的七种方法►方法一已知两边解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形．(1)b＝6，c＝2 2；(2)a＝4，b＝4 3.2．如图8－ZT－1，已知AD为△BAC的角平分线，且AD＝2，AC＝3，∠C＝90°，求BC的长及AB的长．图8－ZT－1►方法二已知一边和一个锐角解直角三角形3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)∠A＝60°，a＝6；(2)∠A＝30°，b＝10 3.4．已知：如图8－ZT －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长．(结果保留根号)图8－ZT －2► 方法三 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形5．2018·自贡改编如图8－ZT －3，在△ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，BC ＝12，tan A ＝34，∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．图8－ZT －36．如图8－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值．图8－ZT －4►方法四“化斜为直法”解三角形7．如图8－ZT－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3.求AB的长．图8－ZT－58．如图8－ZT－6，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝22，tan A＝12，AC＝3 5.(1)求∠B的度数及AB的长；(2)求tan∠CDB的值．图8－ZT －6► 方法五 “参数法”解直角三角形9．2018·马鞍山一模如图8－ZT －7，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，E 是AB的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．图8－ZT －7► 方法六 “等角代换法”解直角三角形10．2018·当涂县六校联考如图8－ZT －8，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，相交于点O ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD 是锐角，BD ＝BC .求证：sin ∠BCD ＝BD AC.图8－ZT －8► 方法七 “等比代换法”解直角三角形11．如图8－ZT －9所示，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点B ，A ，与反比例函数的图象交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OE ＝2.(1)求该反比例函数的表达式；(2)求直线AB对应的函数表达式．图8－ZT－9教师详解详析1．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a ＝c 2－b 2＝8－6＝ 2. ∵tan B ＝b a ＝62＝3，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.(2)∵在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.∵sin A ＝a c ＝48＝12，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.2．解：∵AD ＝2，AC ＝3，∠C ＝90°， ∴cos ∠CAD ＝AC AD ＝32，∴∠CAD ＝30°.∵AD 为△BAC 的角平分线， ∴∠BAC ＝2∠CAD ＝60°，∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝3×tan60°＝3×3＝3. ∵△ABC 是直角三角形，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝9＋3＝2 3.3．解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝6sin60°＝632＝4 3.∵sin B ＝bc，∴b ＝4 3×sin30°＝4 3×12＝2 3.(2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°. ∵tan A ＝ab，∴a ＝10 3×tan30°＝10 3×33＝10. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝10sin30°＝1012＝20.4．解：在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝ACAD ，∴AD ＝AC sin ∠ADC ＝3sin60°＝2，∴BD ＝2AD ＝4. ∵tan ∠ADC ＝ACDC ，∴DC ＝AC tan ∠ADC ＝3tan60°＝1，∴BC ＝BD ＋DC ＝5.在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝2 7，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝2 7＋5＋ 3. 5．解：在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°， ∴CH ＝12BC ＝6，BH ＝BC 2－CH 2＝6 3.在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CHAH ，∴AH ＝8，∴AC ＝AH 2＋CH 2＝10，6．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝45.又∵BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6×82×5＝245.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝2455＝2425.7．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3，答：AB 的长是3＋ 3.8．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .设CE ＝x .在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3，∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22，∴∠B ＝45°， ∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝9. (2)∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5， ∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2. 9．解：∵AC ⊥BD ， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD＝2， ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝2 5x ＝2 5×25＝4 55.10．证明：如图，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，延长CB 与DA 交于点F .∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∠FBA ＝∠FDC ， ∴∠BCD ＋∠BAD ＝180°， ∠EAB ＝∠BCD .∵∠F ＝∠F ，∠FBA ＝∠FDC ， ∴△FBA ∽△FDC ，∴FB FD ＝F AFC ，∴FB F A ＝FD FC. ∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△F AC ，∴∠FDB ＝∠BCA . ∵∠BED ＝∠ABC ＝90°， ∴△BED ∽△ABC ，∴BD AC ＝BEAB＝sin ∠EAB ＝sin ∠BCD ， 即sin ∠BCD ＝BDAC.11．解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2， ∴EB ＝OB ＋OE ＝6. ∵tan ∠ABO ＝AO OB ＝12＝CEEB ，∴CE ＝3，AO ＝2，∴A (0，2)，B (4，0)，C (－2，3)． 设反比例函数的表达式为y ＝kx .∵点C 在反比例函数的图象上， ∴将点C (－2，3)代入，得k ＝－6， 即反比例函数的表达式为y ＝－6x.(2)设直线AB 对应的函数表达式为y ＝k 1x ＋b .将A (0，2)，B (4，0)代入y ＝k 1x ＋b ，可得b ＝2，k 1＝－12，∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝－12x ＋2.。
解直角三角形测试题与答案
解直角三角形测试题与答案一、选择题（每小题 5 分，共 25 分）1、在直角三角形中，若一个锐角为 30°，斜边与较小直角边的和为 12，则斜边的长为（）A 4B 6C 8D 10答案：C解析：设较小直角边为 x，则斜边为 2x，由题意得 2x ＋ x ＝ 12，解得 x ＝ 4，所以斜边为 8。
2、在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA ＝，则 tanB 的值为（）A B C D答案：D解析：因为 sinA ＝，设 BC ＝ 4x，AB ＝ 5x，则 AC ＝ 3x，所以tanB ＝。
3、如图，在△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ 8，∠A 的平分线 AD ＝，则 BC 的长为（）A 12B 10C 8D 6答案：B解析：因为 AD 是∠A 的平分线，所以∠CAD ＝∠BAC。
在Rt△ACD 中，cos∠CAD ＝，即，解得 CD ＝ 6。
在 Rt△ABC 中，BC ＝。
4、已知在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，tanA ＝，则 sinA 的值为（）A B C D答案：B解析：设 BC ＝ 3x，AC ＝ 4x，则 AB ＝ 5x，所以 sinA ＝。
5、如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，cosA ＝，BE ＝ 2，则tan∠DBE 的值是（）A B 2C D答案：C解析：因为 cosA ＝，设 AD ＝ 5x，AE ＝ 3x，则 DE ＝ 4x。
因为BE ＝ 2，所以 5x 3x ＝ 2，解得 x ＝ 1，所以 DE ＝ 4。
在 Rt△BDE 中，tan∠DBE ＝。
二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）1、在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，若 sinA ＝，AB ＝ 10，则 BC＝＿_______。
答案：6解析：因为 sinA ＝，所以，设 BC ＝ 3x，AB ＝ 5x，因为 AB ＝10，所以 5x ＝ 10，解得 x ＝ 2，所以 BC ＝ 6。
解直角三角形专项练习
1、放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD均为线段，2、一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．（1）求圆形滚轮的半径AD的长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内。
4、如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为45°，此时该同学距地面高度AE为20米，电梯再上升5米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为37°，求大楼的高度BC．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．8、小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，A，B两点立于地面，将晒衣架稳固张开，测得张角∠AOB=62°，立杆OA=OB=140cm，小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm，问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由（参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）。
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解直角三角形专题训练
1．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，
则阴影部分的面积（）cm2．
A．14 B．24.5 C．7 D．49
2．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥
AB于E，且BE=2AE，已知AD=3，tan∠
BCE=，那么CE等于（）
A．2 B．3﹣2 C．5D．4
3．将一副三角板按如图方法摆放在一起，连接AC，
则tan∠DAC值为（）
A．1 B ．C ．D ．
4．如图，在▱ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，
那么cos∠A的值等于（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．如图，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，
且tan∠B=．AC上有一点E，满足AE：EC=2：3．那
么，tan∠ADE是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜边AB
为一边作等边△ABD，使点C，D在AB的同侧；再
以CD为一边作等边△CDE，使点C，E落在AD的
异侧．若AE=1，则CD的长为（）A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线
段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上
的D′处，那么tan∠BAD′等于（）
A．1 B ．C ．D．2
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB为90°，CD⊥AB，
cos∠BCD=，BD=1，则边AB的长是（）
A ．
B ．C．2 D ．
9．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，
垂足为E，sinA=，则下列结论正确的有（）
①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面积为60cm2；
④BD=cm．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，
D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为
（）A．2 B ．C ．D．1
11．如图，AD、BE是锐角三角形的两条高，
S△ABC=18，S△DEC=2，则cosC等于（）
A．3 B ．C ．D ．
12．（2013秋•雁塔区校级期中）如图，在矩形ABCD
中，CE⊥BD于点E，BE=2，DE=8，则tan∠ACE
的值为（）
A ．
B ．
C ．D．2
13．在锐角△ABC中，∠A=75°，sinC=，
则∠B=．
14．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D点在边BC上，且BD=1，DC=2，则
AD=．
15．边长为2的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上移动，∠AOD=45°，则顶点C到原点O的最大距离为．
16．已知，如图，在△ABC中，∠A=105°，
∠B=30°，BC=，求△ABC的面积．
17．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E．设CD=CB=，AD=9，AB=15．求∠B的余弦值及AC的长．
18．在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF 折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°．
（1）BE的长为，QF的长为；（2）四边形PEFH的面积为．
19．如图，已知∠B=90°，AB=2cm，BC=2cm，CD=3cm，AD=5cm，求四边形ABCD的面积．
20．（2015秋•石景山区期末）如图，Rt△ABC中，
∠ACB=90°，cosA=，D为AB上一点，且AD：BD=1：2，若BC=3，求CD的长．
21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanB=，CD=2，求△ABD的周长．
22．已知如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB
的中点，sinα=，AC=4，求S△ABC．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC 于点D，E点为线段BC的中点，AD=2，tan∠
ABD=．
（1）求AB的长；
（2）求sin∠EDC的值．。