新课标-最新冀教版八年级数学上学期16.3角的平分线课后作业及答案解析-精编试题
2019-2020学年度初中八年级上册数学[16.3 角的平分线]冀教版习题精选[含答案解析]三十三
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2019-2020学年度初中八年级上册数学[16.3 角的平分线]冀教版习题精选[含答案解析]三十三第1题【单选题】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB＝4，AD＝2，则△AED的周长是( )A、6B、7C、8D、10【答案】：【解析】：第2题【单选题】如图,等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,那么这个图形中的等腰三角形共有( )A、4个B、5个C、6个D、7个【答案】：【解析】：第3题【单选题】如图，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，则∠BCD的大小为( )A、50°B、100°C、130°D、150°【答案】：【解析】：第4题【单选题】如图，已知DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=( )A、130°B、150°C、100°D、140°【答案】：【解析】：第5题【填空题】如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠DON为______度．A、35【答案】：【解析】：第6题【填空题】如图，AB//CD，CB平分∠ABD，若∠C=35°，则∠D的度数为______．【答案】：【解析】：第7题【解答题】如图，AD∥BC，AD平分∠EAC，你能确定∠B与∠C的数量关系吗？请说明理由．【答案】：【解析】：第8题【解答题】如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠AOD，OF平分∠BOE，如果∠BOC=35°，那么∠EOF是多少度？A、解：∵∠AOD=∠BOC=35°，∴∠DOE=∠AOD=35°，∴∠BOE=180°﹣∠AOD﹣∠DOE=110°，∵OF平分∠BOE，∴∠EOF=110°÷2=55°．【答案】：【解析】：第9题【解答题】如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．【答案】：【解析】：第10题【解答题】如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？【答案】：【解析】：第11题【解答题】如图，∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E ，BE交CD于点F ，∠1+∠2=90°.试问直线AB ，CD 在位置上有什么关系？∠2与∠3在数量上有什么关系？并证明你的猜想.【答案】：【解析】：第12题【解答题】如图,PA=PB,∠1+∠2=180°.求证:OP平分∠AOB.【答案】：【解析】：第13题【综合题】如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°．求∠DOF的度数；试说明OD平分∠AOG．【答案】：无【解析】：第14题【综合题】已知：如图，直线分别交，于点，，且∠AEF=，的平分线与的平分线相交于点．最新教育资料精选求∠PEF的度数；若已知直线，求∠BEP+∠DFP的值．【答案】：无【解析】：11 / 11。
冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》教学设计3
冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》教学设计3一. 教材分析冀教版数学八年级上册《16.3 角的平分线》是角的平分线这一节的内容，主要让学生掌握角的平分线的性质和作法。
本节内容是在学生已经学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，是为后续学习三角形、多边形等知识做铺垫。
二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了角的基本概念和基本运算能力，但对于角的平分线的性质和作法可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、操作等活动，发现角的平分线的性质，并学会如何作角的平分线。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角的平分线的性质，并学会如何作角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考等活动，培养学生的观察能力、动手能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，增强学生对数学学科的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：角的平分线的性质和作法。
2.教学难点：角的平分线的性质的证明和作法的灵活运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生通过观察、操作、思考等活动，发现角的平分线的性质。
2.实践操作法：让学生亲自动手作角的平分线，加深对角的平分线性质的理解。
3.讲解法：教师对角的平分线的性质和作法进行讲解，帮助学生理解和掌握。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、圆规等。
2.教学课件：角的平分线的性质和作法的课件。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾角的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
呈现（10分钟）教师通过课件呈现角的平分线的定义和性质，让学生初步了解角的平分线。
操练（10分钟）教师引导学生用三角板、直尺、圆规等工具，亲自动手作角的平分线，并观察和思考角的平分线的性质。
巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生巩固对角的平分线的性质的理解和掌握。
拓展（10分钟）教师引导学生思考：角的平分线和角的对称轴有什么关系？角的平分线还有什么性质？让学生对角的平分线有更深入的了解。
冀教版八年级上册数学16.3《角的平分线》
《角的平分线》本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完轴对称的基础上进行教学的。
内容包括角平分线的作法、角平分线的性质与判定定理初步应用。
作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形与轴对称知识的延续，因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。
同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
【知识与能力目标】1.经历探索角的对称性的过程,进一步体验轴对称图形的特征,发展合情推理的能力.2.理解和掌握角的平分线的性质定理及其逆定理,并能利用它们进行证明或计算.3.理解和掌握用尺规作已知角的平分线.【过程与方法目标】1.了解角平分线的性质定理及其逆定理在生活、生产中的应用.2.在探索角平分线的性质定理及其逆定理中提高几何直觉.3.让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.【情感态度价值观目标】1.在探讨作角的平分线的方法及角平分线的性质定理及其逆定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣.2.增强学生解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神.3.通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.【教学重点】角平分线的性质定理及其逆定理的证明及应用.【教学难点】灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题. 课前准备【教师准备】直尺和圆规、课件1~2.【学生准备】直尺和圆规.教学过程导入新课【问题探究】(投影显示)如图所示的是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明其中的道理吗?【教师活动】首先提出探究问题,然后运用教具直观地进行讲述.【学生活动】小组讨论后得出:根据三角形全等的“边边边”判定法,可以说明这个仪器的工作原理.【教师活动】那么角平分线有哪些性质呢?又怎样判定一条线是角的平分线呢?今天我们就来研究这一问题.[设计意图]通过平分角的仪器,了解全等三角形判定方法在实际生活中的应用,从而引出角平分线的画法,为下面的学习做好铺垫.导入二:师:前面我们学习了角的平分线,你能说出它的定义吗?学生思考回答.师:你会作角平分线吗?生:会.师:怎么作呢?生1:用折纸的方法来作.生2:用量角器来作.师:很好,这节课我们继续学习角平分线的有关知识(板书课题).[设计意图]通过简单的复习,导出本节课的教学内容,抢答有利于提高学生的学习积极性.自主探究，新知构建活动一:角平分线的性质定理及其逆定理思路一1.整体感知师:在一张半透明纸上画出一个角,将纸对折,使这个角的两边重合,从中你能得到什么结论?生:角是轴对称图形,它的平分线是对称轴.师:出示课件.【课件1】按下图所示的过程,将你画出的∠AOB依上述办法对折后,设折痕为直线OC;再折纸,设折痕为直线n,直线n与边OA,OB分别交于点D,E,与折线OC交于点P;将纸展开后,猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系,并说明理由.生:由折纸过程可知PD=PE.特别地,当折痕n与OB垂直时,可得出:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.请同学们用逻辑推理的方法来加以证明,将这个命题画出图形,写出已知、求证.已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.2.师生互动互动1师:这是证明线段相等的问题.我们有哪些方法可以证明线段相等? 生:全等三角形的对应边相等.师:归纳得很好.我们就借鉴这个思路,证明哪两个三角形全等呢? 生:ΔPDO与ΔPEO.师:怎样证全等?生:可以通过AAS的判定方法.(证明过程略)师:于是得到了角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.明确借助于三角形全等来证明线段相等的方法.互动2师:反过来,到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?师:事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.这样就有角平分线的判定定理(角平分线性质定理的逆定理):到角的两边距离相等的点在角平分线上.互动3刚才我们掌握了角的平分线的性质和判定方法,现在请同学们利用刚才学到的知识解决下面的例题,请看例题:【课件2】(补充例题)如图所示,ΔABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到三边AB,BC,CA的距离相等.〔解析〕因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.证明:过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足为分别D,E,F. ∵BM是ΔABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF,∴PD=PE=PF,即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.说明:在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,那么可以用“同理”二字概括,省略详细证明过程.思考:点P在∠A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?(点P在∠A的平分线上,三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三角形三条边的距离都相等.)思路二如图所示,任意作一个角∠AOB,利用折纸的方法作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P分别作OA,OB的垂线,分别记垂足为D,E,测量PD,PE并作比较,你能得到什么结论?在OC上找几个点试试.生:相等.师:为什么?学生思考,小组讨论.师:你能证明这个结论吗?学生思考证明.教师说明:一般情况下,我们要证明一个几何命题成立,可以按照以下步骤进行,即:1.明确命题中的已知和求证.2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证.3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.教师找学生板演.已知:如图所示,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE.证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,OC平分∠AOB,∴∠PDO=∠PEO=90°,∠AOC=∠BOC.在ΔPDO和ΔPEO中,∴ΔPDO≌ΔPEO(AAS),∴PD=PE.集体纠正.师:你能总结这个结论吗?生:角平分线上的点到角的两边的距离相等.[知识拓展]利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.师:谁能说出它的逆命题?生:到角的两边距离相等的点在角平分线上.四人小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换:到角的两边距离相等的点在角平分线上.事实上,角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.即角平分线性质定理的逆定理:到角的两边距离相等的点在角平分线上.[知识拓展](1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等,使证明过程简化.(2)角平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合.(3)三角形的三条角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.活动二:角平分线的画法教师引导学生作图:作∠AOB的平分线.学生讨论作法.教师总结作法:1.以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E.2.分别以点D,E为圆心,适当长为半径,在∠AOB的内部画弧,两弧相交于点C.3.作射线OC,则OC为所要求作的∠AOB的平分线.学生作图.师:你能证明OC为什么是∠AOB的平分线吗?学生进行交流,写出证明过程,教师巡回指导.师:当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°),你会作这个角的平分线吗?这时的角平分线与直线AB是什么关系?生:垂直.师:你会作吗?学生小组操作.教师说明:实际上节课我们学习的过直线上一点作已知直线的垂线可以看作是作平角的平分线.课堂总结1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.作用:直接证明两线段相等.使用的前提是有角的平分线,关键是图中是否有“垂直”.2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.作用:证明角相等.3.区别与联系:性质说明了角平分线上点的纯粹性,即:只要是角平分线上的点,那么它到此角两边一定等距离,无一例外;判定反映了角平分线的完备性,即只要是到角两边距离相等的点,都一定在角平分线上,绝不会漏掉一个.在实际应用中,前者用来证明线段相等,后者用来证明角相等(角平分线).检测反馈，巩固提高1.如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,SΔABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 ()A.3B.4C.6D.52.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB平分OP3.如图所示,在ΔABC中,角平分线AD,BE相交于O点,连接CO,则下列结论成立的是()A.ΔCEO≌ΔCDOB.OE=ODC.CO平分∠ACBD.OC=OD4.如图所示,ΔABC中,∠C=90°,AM平分∠CAB,BC=16cm,CM∶MB=3∶5,求点M到AB的距离.布置作业【必做题】1.教材第122页练习第1,2题.2.教材第122~123页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第123页习题B组第1,2,3题.。
冀教版初中八年级数学上册16-3角的平分线第一课时角平分线的性质定理课件
∴∠ABD=∠DBC,即BD平分∠ABC, 如图,过点D作DE⊥BC于E,
∴DE=AD=2,
∴S△BCD=
1 2
1
BC×DE=2
×4×2=4.
图①
图②
(1)如图①,当PC⊥OA,PD⊥OB时,PC与PD的数量关系是 PC=PD ;
(2)如图②,点C、D在射线OA、OB上滑动,且∠AOB=90°,当 PC⊥PD时,PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.
解析 (1)PC=PD. 理由:∵OM是∠AOB的平分线, ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等). (2)成立,理由如下:
△ADF的面积为14,则 1 AF·DF=14,即1 ×7×DF=14,解得DF=4,
2
2
∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF=4,∵△ADC
的面积为22,∴ 1 AC×4=22,解得AC=11.
2
5.(新独家原创)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°, ∠DBC=45°,AD=2,BC=4,求△BCD的面积.
DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=1,∵AC=2,∴S△ACD= 1 AC·DF=
2
1 ×2×1=1.
2
4.(2024吉林舒兰期末)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB, 垂足为F,若AF=7,△ADF和△ADC的面积分别为14,22,则AC的 长为 11 .
解析 如图,过点D作DE⊥AC于点E,在直角△ADF中,AF=7,
∴PF=PG,PE=PG,∴PE=PF= 1 EF=2,∴PG=2,即点P到AB的距
冀教版八年级数学上册第十六章16.3角的平分线优秀教学案例
3.小组合作：组织学生进行小组讨论，鼓励学生相互交流、分享成果，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.反思与评价：让学生进行自我评价和同伴评价，教师对学生的学习过程和结果进行评价，给予肯定和鼓励，提出改进建议，促进学生的持续发展。
2.同伴评价：鼓励学生相互评价，发现他人的优点，学习他人的长处。
3.教师评价：教师对学生的学习过程和结果进行评价，给予肯定和鼓励，提出改进建议。
4.设计具有针对性的练习题：让学生在课后进行巩固练习，提高学生的知识运用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例导入：展示一把剪刀，引导学生观察剪刀的两个剪切面，提问：“你们能发现剪刀剪切面之间的特殊关系吗？”
5.针对性的练习题：设计具有针对性的练习题，让学生在课后进行巩固练习，提高学生的知识运用能力，确保学生能够将所学知识灵活运用到实际问题中。
3.能够理解并应用角的平分线的性质定理，如角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
4.能够熟练地使用直尺和圆规作角的平分线，提高空间想象能力和动手能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、思考、讨论，引导学生自主发现和总结角的平分线的性质，培养学生的观察能力和思维能力。
2.利用几何画板或实物模型，让学生直观地感受角的平分线性质，提高学生的空间想象能力。
3.设计具有梯度的练习题，让学生在解决实际问题的过程中，学会运用角的平分线的性质，提高学生的应用能力。
4.引导学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
冀教版初中数学八年级上册 16.3 角的平分线 教案
角平分线一、教学地位和作用：本节课是第一课时，是在学生对角平分线的定义和尺规作图已有初步认识的基础上进行研究的。
角平分线的性质与判定在这一单元占有较为重要的地位，它不仅可以帮助学生加深对逆命题与逆定理知识的理解，还可以为继续学习线段垂直平分线的性质与判定打下基础，因此本节课的内容具有承上启下的作用。
二、教学目标、重难点：1、使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解决有关简单问题。
2、通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学生体验定理的发现及证明的过程，提高思维能力。
3、通过师生互动以及交互性多媒体教学课件的使用，培养学生学习的自觉性，丰富想象力，激发学生探究新知的热情。
教学重点：角平分线的性质定理的探索与应用。
教学难点：理解运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性质定理以及两个定理的区别与联系。
三、教学手段、教学方法：五环节教学法：创设问题情境——学生自主探究——辩析研讨——反思评价。
整体结构上力求突出实验、观察、比较、猜想、论证等环节，体会数学发现的过程，训练与培养形象思维、直觉思维、逻辑思维。
四、教学过程：（一）创设问题情境：1、角平分线的定义。
引导学生回忆角平分线的定义。
问题情境1：你能用什么方法作出一个角∠AOB的平分线OC？问题情境2：让同学用两个全等的30º的直角三角板拼出一个图形，使这个图形中出现角平分线，并且平分出的两个角都是30º。
学生可能拼出的图形有：（拼法1）（拼法2）（拼法3）可能还有其它拼法，对学生的拼法及时给予肯定，并选择第三种拼法（如图1）提出问题：（1） P是∠DOE平分线上一点，PD、PE与∠DOE的边有怎样的位置关系？（2）点P到∠DOE两边的距离可以用哪些线段表示？（3）PD、PE有怎样的数量关系？（二）学生自主探究：１、探索并证明角平分线的性质定理：引导学生画出一个角的平分线，并在角平分线上任取一点，作出这点到角两边的距离。
新课标-冀教版八年级数学上学期角平分线中常用作辅助线的方法专题训练及答案解析-精编试题
专训角平分线中常用作辅助线的方法名师点金：因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个条件(角相等和公共边)，所以在处理角的平分线的问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来构造全等三角形．作一边的垂线段1．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3 cm，求△ABC的面积．(第1题)作两边的垂线段2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM 上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.(第2题)延长作对称图形法3．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO，AE⊥BD，求证：BD＝2AE.(第3题)截取作对称图形法4．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是△ADB和△ADC的角平分线，求证：BE ＋CF>EF.(第4题)答案1．解：连接OA ，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.∵BO 是∠ABC 的平分线，且OD ⊥BC ，OE ⊥AB ，∴OE ＝OD ＝3 cm.同理OF ＝OD ＝3 cm.∴S △ABC ＝S △BOC ＋S △ABO ＋S △ACO ＝12BC ·OD ＋12AB ·OE ＋12AC ·OF ＝12(BC ＋AB ＋AC)·OD ＝12×20×3＝30(cm 2)．2．证明：如图，过点P 作PE ⊥OA 于点E ，PF ⊥OB 于点F ，∴∠PEC ＝∠PFD ＝90°.∵OM 是∠AOB 的平分线，∴PE ＝PF.∵∠AOB ＝90°，∠CPD ＝90°，∴∠PCE ＋∠PDO ＝360°－90°－90°＝180°.而∠PDO ＋∠PDF ＝180°，∴∠PCE ＝∠PDF.(第2题)在△PCE 和△PDF 中，⎩⎨⎧∠PCE ＝∠PDF ，∠PEC ＝∠PFD ，PE ＝PF ，∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴PC＝PD.3．证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F.∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°.∵BD平分∠ABO，∴∠ABE＝∠FBE.又∵BE＝BE，∴△ABE≌△FBE.∴AE＝FE.∴AF＝2AE.∵∠AEB＝∠AOB＝90°，∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°.∴∠OAF＝∠OBD.又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，∴△AOF≌△BOD(ASA)．∴AF＝BD.∴BD＝2AE.(第3题)4．证明：在AD上截取DH＝BD，连接EH，FH.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝DH.∵DE平分∠ADB，∴∠BDE＝∠HDE.又∵DE＝DE，∴△BDE≌△HDE(SAS)．∴BE＝HE.同理△CDF≌△HDF(SAS)．∴CF＝HF.在△HEF中，∵HE＋HF>EF，∴BE＋CF>EF.。
2020-2021冀教版数学八年级上册 16.3 角的平分线
16.3 角的平分线基础闯关全练知识点一角平分线的性质定理1．如图16-3-1，△ABC中，∠C= 90°，AD平分∠BAC，BC= 10，BD=6．则点D到AB的距离是( )A.4B.5C.6D.72．如图16-3-2，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则= ( )A:2 : 3 : 4B.1 : 1 : 1C.1 : 2: 3D.4 : 3 : 23．如图16-3 -3所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在射线BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N．求证：PM= PN．知识点二角平分线性质定理的逆定理4．如图16-3 -4，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点.其中正确的是( )A．①②③④B．①②③C．④D．②③5．如图16-3-5，已知射线OC上的任意一点到∠AOB两边的距离都相等，点D、E、F分别在OC、OA、OB上，要想证得OE=OF，只需要添加以下四个条件中的一个即可，请写出所有可能的条件的序号：.①∠ODE=∠ODF;②∠OED=∠OFD;③ED=FD;④EF⊥OC.6．如图16 -3 -6，点P为∠AOB内部一点，∠AOB= 70°，PD⊥AO于点D，PE⊥BO于点E，且PD= PE，则∠AOP的度数是.7．如图16-3-7，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB=AC，DE= DF.求证：BD= CD.知识点三用尺规作已知甬的平分线8．如图16 -3-8，现要在三角形土地ABC内建一所中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这所中心医院的位置．能力提升全练1．如图16 -3-9所示，已知△ABC的周长是20，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC 于D，且OD =3，则△ABC的面积是．2．如图16 -3 -10，四边形ABCD中，∠B= 90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证：(1)AM⊥DM；(2)M为BC的中点．三年模拟全练一、选择题1．如图16 -3 -11，已知∠AOB和线段CD，如果P点到OA，OB的距离相等，且PC=PD，则P点是( )A.∠AOB的平分线与CD的交点B.CD的垂直平分线与OA的交点C.∠AOB的平分线与CD的垂直平分线的交点D.CD的中点二、解答题2．近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图16 -3 -12所示）．医疗站必须满足下列条件：①到两公路的距离相等；②到张、李两村的距离相等，请你通过作图确定医疗站P的位置．五年中考全练一、选择题1．如图16 -3 - 13，已知BG是∠ABC的平分绒，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是( )A.2B.3C.4D.62．如图16 -3 - 14，∠B=∠C= 90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB= ( )A.30°B.35°C.45°D.60°二、解答题3．证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图16 -3 - 15，∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，．求证：.请你补全已知和求证，并写出证明过程．核心素养全练如图16 -3 -16，∠AOB= 90°，OM是∠AOB的平分线，三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D，则PC和PD有怎样的数量关系？请说明理由，16.3角的平分线基础闯关全练1.A ∵∠C= 90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于CD的长，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC-BD= 10-6=4，∴点D到AB的距离是4．故选A．2.A 如图，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F．∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD= OE= OF，∵AB=4,AC=6,BC=8,∴=2:3:4．故选A.3．证明因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD．又因为AB=BC，BD =BD．所以△ABD≌△CBD，所以∠ADB=∠CDB，所以∠ADP=∠CDP，所以DP平分∠ADC.因为PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，所以PM =PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）．4．A ∵点P 到AE ，AD 的距离相等，∴点P 在∠BAC 的平分线上，①正确；∵点P 到AE ，BC 的距离相等．∴点P 在∠CBE 的平分线上，②正确；∵点P 到AD ，BC 的距离相等，∴点P 在∠BCD 的平分线上，③正确；点P 是∠BAC ，∠CBE ，∠BCD 的平分线的交点，④正确，故选A ．5．答案 ①②④解析∵射线OC 上的任意一点到∠AOB 两边的距离都相等，∴OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC.①添加∠ODE=∠ODF ，因为OD 为公共边，所以根据ASA 可证得△ODE ≌△ODF ．由三角形全等的性质可知OE=OF;②添加∠OED=∠OFD ，因为OD 为公共边，所以根据AAS 可证得△ODE ≌△ODF ，由三角形全等的性质可知OE=OF;④添加EF ⊥OC ，根据ASA 可证得三角形全等，进而证得OE= OF.故答案为①②④．6．答案35°解析 ∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，且PD= PE ，∴OP 平分∠AOB ，∴∠ADP=21∠AOB=21×70°=35°． 7.证明 如图，连接AD ，∵DE ⊥AB,DF ⊥AC,DE=DF,∴∠BAD=∠CAD,在△ABD 和△ACD 中．∴△ABD ≌△ACD( SAS)，∴BD=CD ．8．解析 作AB 的垂直平分线EF ，作∠BAC 的平分线AM ．两线交于点P ，则点P 的位置为这所中心医院的位置．图略．能力提升全练1．答案30解析 如图，连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC 于D,且OD=3，∴OE=OF=OD=3.∵△ABC 的周长是20，∴S ABC △=21AB ·OE+21BC ·OD+21AC ·OF= 21(AB+BC+AC) ×3=21×20×3= 30. 2．证明 (1)∵AB ∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM 平分∠BAD,DM 平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°．即AM ⊥DM.(2)如图，过M 作MN ⊥AD 于N,∵∠B=90°,AB ∥CD,∴BM ⊥AB,CM ⊥CD,∵AM 平分∠BAD,DM 平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM ．即M 为BC 的中点.三年模拟全练一、选择题1．C ∵P 点到OA ，OB 的距离相等，∴P 点在∠AOB 的平分线上，∵PC= PD ，∴P 点在线段CD 的垂直平分线上，∴P 点为∠AOB 的平分线和线段CD 的垂直平分线的交点，故选C ．二、解答题2．解析 如图.(1)画出两条相交公路所成夹角的平分线；(2)作出张村，李村连线的垂直平分线．两直线的交点P 即为医疗站的位置.五年中考全练一、选择题1．D ∵BG 平分∠ABC,DE ⊥AB,DF ⊥BC,∴DF=DE=6（角平分线的性质），故选D ．2.B 作MN ⊥AD 于N ，如图．∵∠B=∠C=90°,∴AB ∥CD,∴∠DAB=180°-∠ADC= 180°-110°= 70°,∵DM 平分∠ADC,MN ⊥AD,MC ⊥CD,∴MN=MC ．∵M 是BC 的中点．∴MC=MB ，∴MN=MB ，又MN ⊥AD,MB ⊥AB,∴AM 平分∠DAB,∴∠MAB=21∠DAB=35°, 故选B ．二、解答题3．解析 补全已知和求证：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ． 求证：PD =PE.证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO=∠PEO=90°．在△PDO 和△PEO 中，． ∴△PDO ≌△PEO( AAS)，∴PD=PE.核心素养全练解析PC= PD ．理由：过P 分别作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OA 于F ， ∴∠CFP =∠DEP = 90° ,∵OM 平分∠AOB,∴PE=PF,∵∠AOB=90°,∴∠FPE=90°,∴∠2+∠FPD = 90°,又∵∠1+∠FPD= 90°, ∴∠1 =∠2,在△CFP 和△DEP 中，∴△CFP ≌△DEP(ASA),∴PC=PD.。
16.3 角的平分线 课件 2024-2025学年冀教版数学八年级上册
感悟新知
知识点 4 三角形的角平分线的性质（拓展） 知4－讲
1. 性质定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条
边的距离相等，这一点叫三角形的内心 .
2. 几何语言 如图 16 -3-10，在△ ABC 中， ∵ AD，
BM， CN 分别是∠ BAC， ∠ ABC， ∠ ACB 的 平分线， ∴ AD， BM， CN 交于一点 O，且点 O 到三边 BC， AB， AC 的距离(OE， OG， OF 的长)相等，即 OE=OG=OF.
知4－讲
知4－讲
要点解读 三角形的三条角平分线相交于三角形内
一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之， 三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条 角平分线的交点.
例5 如图 16-3-11，△ ABC 的三边 AB， BC， AC 的 长 知分4－练 别为 10 cm， 15 cm 和 20 cm，三条角平 分 线的交 点 为 O，则S △ AOB∶ S △ BOC∶ S △ COA=( ) A. 2∶ 3∶ 4 B. 3∶ 4∶ 5 C. 1∶ 2∶ 3 D. 5∶ 12∶ 13
∠BEO＝∠CDO， 在△ BEO 和△ CDO 中，∠BOE＝∠COD，
BO＝CO， ∴△BEO≌△CDO(AAS)，∴OE＝OD. 又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴AO 平分∠BAC.
知2－练
感悟新知
知识点 3 作已知角的平分线
知3－讲
尺规作角平分线的步骤 如图 16 -3- 6，已知∠ AOB. 求作： ∠ AOB 的平分线 .
求证： AD 平分∠ BAC.
知2－练
解题秘方：利用角平分线性质定理的逆定理证明 角平分线时，紧扣点在角的内部且点 到角两边的距离相等进行证明 .
冀教版初中八年级数学上册16-3角的平分线第二课时角平分线性质定理的逆定理课件
解析 (1)证明:过点P作PC⊥OA,垂足为C,过点P作PD⊥MN, 垂足为D,过点P作PE⊥OB,垂足为E,如图,
∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN, ∴PC=PD, ∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,
∴PD=PE,∴PC=PE,∴OP平分∠AOB.
(2)∵△PMN的面积是16,MN=8,
4.(2024黑龙江齐齐哈尔二十八中期中)如图,DE⊥AB交AB 的延长线于点E,DF⊥AC于点F,若∠ABD+∠C=180°,BE= CF,求证:AD平分∠BAC.
证明 ∵∠ABD+∠C=180°,∠ABD+∠DBE=180°,
∴∠C=∠DBE,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠E=∠DFC=90°,
2
2
即线段OM与ON的长度之和为20.
素养探究全练
10.(推理能力)如图1,点P是∠AOB的平分线OC上的一点,我们可 以在OA,OB上取点M,N,使OM=ON,连接PM,PN,就可以得到 △POM≌△PON. (1)请你在图1中,根据题意,画出上面叙述的全等三角形△POM 和△PON,并加以证明. (2)请你参考(1)中作全等三角形的方法,解答下列问题: ①如图2,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别是 ∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F.请你判断并写出
解析 (1)如图,AG即为所作.
(2)∵AG平分∠BAC, ∴点G到AB和AC的距离相等, ∴S△ABG∶S△ACG=AB∶AC,即18∶S△ACG=6∶10, ∴S△ACG=10 =1380.
6
能力提升全练
8.(新考向·尺规作图)(2020河北中考,6,★☆☆)如图1,已知∠ABC, 用尺规作∠ABC的平分线. 如图2,步骤如下: 第一步:以B为圆心,以a为半径画弧,分别交射线BA,BC于点D,E; 第二步:分别以D,E为圆心,以b为半径画弧,两弧在∠ABC内 部交于点P; 第三步:画射线BP.射线BP即为所求.
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16.3角的平分线
专题一线段垂直平分线与角平分线的综合应用
1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A，D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2.如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连结BC，AB=10 cm，CA=4 cm，则△OBC的面积为________cm2．
3.如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．则∠FAC=_______．
专题二利用角平分线的性质求三角形的面积
4.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC 的面积是________．
5.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30 m，40 m，50 m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花.请你设计一种方案，保留作图痕迹.
状元笔记
【知识要点】
1.角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角平分线性质定理的逆定理
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
【温馨提示】
1.运用角平分线的性质时，必须满足三个条件，即：一个平分，两个垂直，然后才能得一个结论，即两条线段相等.
2.对于角平分线的性质定理及其逆定理的条件和结论要正确掌握，避免错误.
3. 三角形三个角的平分线交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等.
【方法技巧】
当题目中出现角平分线、垂线段、距离等条件时，可考虑应用角平分线的性质定理及其逆定理求解或把问题转化.
参考答案
1.C 解析：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，又∵∠C=∠DEA=90°，DA=DA，∴△ADC≌△ADE.
∴∠ADC=∠ADE ，AC=AE ，∵BE+AE=AB ，∴BE+AC=AB.因为在直角△BDE 中∠B+∠BDE=90°，在直角△ABC 中∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠BDE.所以①②④正确.∵△ADC ≌△ADE ，∴AC=AE ，DC=DE ，∴A 、D 两点在线段EC 的垂直平分线上.
2.20 解析：作CE ⊥OM ，垂足为E.∵点B 在OA 的垂直平分线上，∴BO=BA=10 cm.
∵OP 是∠MON 的角平分线，CA ⊥ON ，CE ⊥OM ，∴CE=CA=4 cm ，∴
)(20410212cm S OBC =⨯⨯=∆. 3. 45° 解析：易证△AEF ≌△DEF ，∴∠ADF=∠DAF.
又∵∠ADF=∠B+∠BAD ，∠DAF=∠FAC+∠DAC ，
∵∠BAD=∠DAC ，∴∠FAC=∠B=45°．
4.42 解析：作OE ⊥AB ，作OF ⊥AC ，垂足分别为E ，F.∵OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，∴OE=OF=OD=4, 1()4=422
ABC ABO BCO ACO S S S S AB BC AC =++=⨯++⨯△△△△. 5.解：如图所示：分别作∠ABC ，∠ACB 的平分线，交于点D ，连结AD ，BD ，CD ，则
::3:4:5ABD ADC BDC S S S =△△△.。