江苏省黄桥中学2012-2013学年高二数学下学期期末调研测试试卷_理(解析版)苏教版
江苏高二高中数学期末考试带答案解析
江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.六个数5，7，7，8，10，11的方差是_______．2.已知复数（是虚数单位），则=_______．3.命题“”的否定是____________．4.某工厂生产三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出样本容量为的样本，样本中型产品有16件，则样本容量n为 .5.已知集合，，则________．6.如果执行下面的程序框图，那么输出的______．7.如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________.8.已知一个质点在腰长为4的等腰直角三角形内随机运动，则某时刻该质点距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_____9.口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.45，摸出红球或黄球的概率为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为___．10.观察下列等式：，，，，……猜想：_____（）.11.已知条件条件且是的充分不必要条件，则a的取值范围可以是______．12.已知正数满足,则的最小值为______．13.点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是14.已知奇函数是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数k的值是．二、解答题1.已知复数满足 (为虚数单位)，复数的虚部为2，且是实数.(1)求及；(2)求及.2.从参加数学竞赛的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）这一组的频率和频数分别为多少？（2）估计该次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）；（3）若从第一组和第三组的所有学生中随机抽取两人，求他们的成绩相差不超过10分的概率．3.设命题：；命题：函数的定义域为R.(1)若且是真命题，求实数的取值范围；(2)若或是真命题，且是假命题，求实数的取值范围．4.若二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)解关于的不等式.5.在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为 ;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.(1)将表示为的函数;(2)试确定下潜速度,使总的用氧量最少.6.已知函数，，，其中，且.⑴当时，求函数的最大值；⑵求函数的单调区间；⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.7.（矩阵与变换）若点在矩阵的变换下分别得到点.（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）若曲线C在的作用下的新曲线为，求曲线C的方程．8.（坐标系与参数方程）求直线（）被曲线所截的弦长。
江苏省苏州市高二数学下学期期末调研测试试题 理 苏教版
2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学（理科）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题 - 第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．数学Ⅰ试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1． 命题“,x ∀∈R sin 1x ≤”的否定是“ ▲ ”． 2． 抛物线y 2= 4x 的准线方程为 ▲ ． 3． 设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ． 4． “1x <”是 “2log 0x <”的 ▲ 条件．(在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、 “既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 5． 61()2x x-的二项展开式中的常数项是 ▲ （用数字作答）． 6． 若定义在R 上的函数()f x 的导函数为()24f x x '=-，则函数(1)f x -的单调递减区间是 ▲ ．7． 口袋中有形状、大小都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则“两次摸出的球颜色不相同”的概率是 ▲ ．8． 已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1AC 1与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积为 ▲ ． 9． 某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有 ▲ 种选法（用数字作答）． 10． 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：① 若α∥β，m ⊂β，n ⊂α，则m ∥n ；② 若α∥β，m ⊥β，n ∥α，则m ⊥n ； ③ 若α⊥β，m ⊥ α，n ⊥β，则m ⊥ n ； ④ 若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n ． 上面命题中，所有真命题．．．的序号为 ▲ ．11． 过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB =2a，则双曲线22221x y a b-=的离心率为 ▲ ．12． 已知圆221:()(1)1C x a y a -+--=和圆2222:(1)2C x y a -+=有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13． 定义函数(),(),(),()K f x f x K f x K f x K >⎧=⎨⎩≤（K 为给定常数），已知函数225()3ln 2f x x x x =-，若对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()K f x K =，则实数K 的取值范围为 ▲ ． 14． 在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：则第 ▲ 行中有三个连续位置上的数之比是3︰4︰5．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB = 2，且F 是CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求四面体BCEF 的体积．FEDCBA（第15题）已知点M 到双曲线221169x y -=的左、右焦点的距离之比为2︰3． （1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹上有且仅有三个点到直线y = x + m 的距离为4，求实数m 的值．17．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB = 4，AD = 2，A 1A = 2，点F 是棱BC 的中点，点E 在棱C 1D 1上，且D 1E = λ EC 1（λ为实数）． （1）求二面角D 1 - AC - D 的余弦值；（2）当λ =13时，求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值的大小；（3）求证：直线EF 与直线EA 不可能垂直．18．（本小题满分16分）有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为23．小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币． （1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率； （2）若用ξ表示小华抛得正面的个数，求ξ的分布列和数学期望； （3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率．1111FED C B A D C B A （第17题）已知函数3211()(1)323a f x x a x x =-++-． （1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为90x y b -+=，求实数a ，b 的值；（2）若0a ≤，求()f x 的单调减区间；（3）对一切实数a ∈(0,1)，求f (x )的极小值的最大值．20．（本小题满分16分）如图，点A （- a ，0），B （23，43）是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的两点，直线AB 与y 轴交于点C （0，1）．（1）求椭圆的方程；（2）过点C 任意作一条直线PQ 与椭圆相交于P ，Q ，求PQ 的取值范围．2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学Ⅰ（理科）参考答案 2013．6（第20题）一、填空题1．x ∃∈R ，sin 1x > 2．x = -1 3．-1 4．必要不充分 5． 52-6．（-∞，3） 7．498．2 9．310 10．②③11．a <或a > 13．233[e ,)2+∞ 14．62二、解答题 15．证明：（1）取EC 中点G ，连BG ，GF ．∵F 是CD 的中点，∴FG ∥DE ，且FG =12DE ． 又∵AB ∥DE ，且AB =12DE ．∴四边形ABGF 为平行四边形．……… 3分∴AF ∥BG ．又BG ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ． （条件每少一个扣1分，最多扣2分）∴AF ∥平面BCE ． …………5分（2）∵AB ⊥ 平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥ AF ．∵AB ∥DE ，∴AF ⊥ DE ． ………… 6分又∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥ CD ． ………… 7分 ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥ DE ，BG ⊥ CD ． ………… 8分 ∵CD ∩ DE = D ，∴BG ⊥平面CDE ． ………… 9分（直接用AF ∥BG ，AF ⊥平面CDE ，而得到BG ⊥平面CDE ．扣1分） ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ； ……………11分（3）四面体BCEF 的体积13CFE V S BG ∆=⋅1111123232CF DE AF =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯． ……………14分G F EDCB A16．解：（1）双曲线221169x y -=的左、右焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ．………1分 设点(,)M x y ，则1223MF MF =，23=． ……………3分 化简得点M 的轨迹方程为2226250x y x +++=． ……………7分 （2）点M 的轨迹方程即为22(13)144x y ++=，它表示以(13,0)-为圆心，12为半径的圆． ……………9分 因为圆上有且仅有三点到直线y = x + m 的距离为4， 所以圆心到直线y = x + m 的距离为88=． ……………12分解得13m =± ……………14分 17．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -．则(2,0,0),(0,4,0),A C 1(0,0,2),D1(2,0,2)D A =-，1(0,4,2)D C =-． (2)设平面1D AC 的法向量为(,,)x y z =n ， 则110,0D A D C ⋅=⋅=n n ．即,2x z z y ==．令1y =，则2x z ==．∴平面1D AC 的一个法向量(2,1,2)=n ．…… 4分 又平面DAC 的一个法向量为(0,0,1)=m ．故22cos ,||133⋅〈〉===⋅⨯m n m n m |n |， 即二面角1D AC D --的余弦值为23． ……… 6分（2）当λ =13时，E （0，1，2），F （1，4，0），(1,3,2)EF =-．所以cos ,||||143EF EF EF ⋅〈〉===⋅⨯n n n ． ……………9分因为 cos ,0EF 〈〉>n ，所以,EF 〈〉n 为锐角， 从而直线EF 与平面1D AC ． ……………10分（3）假设EF EA ⊥，则0EF EA ⋅=．∵4(0,,2),(1,4,0)1E F λλ+，∴4(2,,2)1EA λλ=--+，4(1,4,2)1EF λλ=--+． ……………12分∴442(4)4011λλλλ--+=++．化简得23230λλ-+=．该方程无解，所以假设不成立，即直线EF 不可能与直线EA 不可能垂直．……14分18．解：（1）设A 表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，B 表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，则P （A ）=1111121()22232233⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………2分P （B ）=1121115()222322312⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………4分则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为P （AB ）= P （A ）P （B ）=15531236⨯=． …………6分（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，且1111(0)22312P ξ==⨯⨯=；1(1)3P ξ==；5(2)12P ξ==；1121(3)2236P ξ==⨯⨯=．所求随机变量ξ的分布列为…………10分数学期望11515()01231231263E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 （3）设C 表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”， 则所求概率为2222()(0)(1)(2)(3)P C P P P P ξξξξ==+=+=+=2222115123()()()()12312672=+++=．所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为2372． ………… 16分19．解：（1）2()(1)1()f x ax a x a '=-++∈R ， ………… 1分由(2)9f '=，得a = 5． ………… 2分∴3251()333f x x x x =-+-．则(2)3f =．则（2，3）在直线90x y b -+=上．∴b = -15． ………… 4分（2）① 若0a =，221111()(1)2326f x x x x =-+-=--+，∴()f x 的单调减区间为（1，+∞）． ………… 6分 ② 若0a <，则21()(1)1()(1),,f x ax a x a x x x a'=-++=--∈R令()0f x '<，得1()(1)0x x a -->．∴1x a<，或x ˃ 1． ………… 9分∴()f x 的单调减区间为1(,)a -∞，（1，+∞）． ………… 10分（3）1()(1)()f x a x x a'=--，0 ˂ a ˂ 1，列表：分∴f (x ) 的极小值为32111111()(1)323a f a a a a a =⋅-++-22111111131()6236224a a a =-⋅+⋅-=--+． ………… 14分当23a =时，函数f (x ) 的极小值f (1a )取得最大值为124． ………… 16分20．解：（1）由B （23，43），C （0，1），得直线BC 方程为112y x =+．………… 2分 令y = 0，得x = -2，∴a = 2． ………… 3分 将B （23，43）代入椭圆方程，得24169914b +=．∴b 2= 2．椭圆方程为22142x y +=． ………… 5分 （2）① 当PQ 与x 轴垂直时，PQ= ………… 6分② 当PQ 与x 轴不垂直时，不妨设直线PQ ：y = kx + 1（k ≥0）， 代入椭圆方程x 2 + 2y 2 - 4 = 0，得x 2 + 2(kx + 1)2- 4 = 0．即 (2k 2 + 1) x 2+ 4kx - 2 = 0． ………… 8分设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则1,2x =则 | x 1 - x 2．PQ． ………… 10分 2242222242428(1)(41)45188(1)(21)441441k k k k k PQ k k k k k ++++==⋅=⋅++++++=2218(1)144k k ⋅+++． ………… 12分∵22144k k +=≥，在k………… 14分∴PQ 2= 2218(1)144k k⋅+++∈（8，9]．则PQ∈． ………… 15分 由①，②得PQ的取值范围是． ………… 16分数学Ⅱ（理科附加题）参考答案A 1 证明：如图，连结BP ，∵AB = AC ，AD 是BC 边的中线，∴AD 是此等腰三角形的一条对称轴．∴ABP ACP ∠=∠． ………… 2分 ∵BF ∥AC ，∠F = ∠ACP ．∴∠F = ∠ABP ． ………… 5分 又BPF EPB ∠=∠，∴BPF ∆∽EPB ∆． ………… 8分所以BP PFPE BP=，即2BP PE PF =⋅． ∵BP = CP ，∴CP 2= PE ·PF ． ……… 10分A 2 证明：（1）连结ED ．∵AF 为切线，∴∠FAB = ∠ACB ．………… 2分 ∵BD AC ⊥，CE AB ⊥， ∴90AEF BDC ∠=∠=．∴F DBC ∠=∠． ………… 5分 （2）∵BD AC ⊥，CE AB ⊥，∴,,,D E B C 四点共圆．则DEC DBC ∠=∠． 又F DBC ∠=∠，∴DEC F ∠=∠．则DE ∥AF ． ……………8分∴AD FEDC EC =，即AD EC DC FE ⋅=⋅． ……… 10分B 1 解：由题设得010*********MN -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分 设直线210x y -+=上任意一点(,)x y 在矩阵MN 对应的变换作用下变为(,)x y ''，则 1001x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 5分 即x x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦，∴,.x x y y '=⎧⎨'=-⎩………… 8分∵点(,)x y 在直线210x y -+=上，∴2()10x y ''--+=，即210x y ''++=． ∴曲线F 的方程为210x y ++=． ………… 10分B 2 解：（1）由题意得1112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分 即122a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴12,2.a b +=⎧⎨=⎩则1,2a b ==． ………… 5分（2）由（1）得矩阵M 1102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 矩阵M 的特征多项式为()()11()1202f λλλλλ--==---， 矩阵M 的另一个特征值是1．代入二元一次方程组()()10020x y x y λλ--=⎧⎪⎨⋅+-=⎪⎩，解得0y =， 于是M 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………… 8分 ∴α =11210⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． ∴M 10α = M 10101011111026222110101024⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⋅= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭．………… 10分C 1解：圆C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=． ………… 2分 圆心(1,0)C ，直线l 的直角坐标方程为40x y --=． ………… 5分所以过点C 与直线l 垂直的直线的方程为10x y +-=． ………… 8分化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ+-=，即cos()4πρθ-=．………… 10分C 2 解：（1）直线l 的普通方程0x y m --=，椭圆C 的普通方程为2213x y +=； …………………… 2分 （2）设椭圆C 上一点P的坐标为[)(),sin )0,2αααπ∈，∵m ˃ 2，∴点P 到直线l 的距离d =2cos 2m πα⎛⎫-+ ⎪==．∴2cos 6m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ …………………… 5分 ∵椭圆C 上有且只有1个点到直线l 的距离为2，∴关于α的方程2cos 6m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭[)0,2π上有且只有一个解．∴2m =+或2m =-+ …………………… 8分若2m =+，满足2m >，此时116πα=，点P 的坐标是31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；若22m =-+，不合题意．综上，实数m的值为2+，该点的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………10分D 1证明：（1）当2n =时，因为0x ≠，()2211212x x x x +=++>+，即n = 2时不等式成立； ……… 2分（2）假设n = k （2,*k k ∈N ≥）时不等式成立，即有()11k x kx +>+，则当1n k =+时，()()()()()111111k kx x x x kx ++=++>++ ……… 5分 ()2111x kx kx k x =+++>++． ……… 8分即当1n k =+时，不等式也成立．综合（1）（2）可知，原不等式成立． ……… 10分D 2（1）证明：由柯西不等式得()()222222222222149123a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅++=++⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ………… 2分 212336a b c ab c ⎛⎫⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭≥． ∵2221a b c ++=，∴22214936a b c ++≥． …………………… 5分 （2）解：由（1）得236m m +-≤．当m ≥2时，m + m - 2≤36，∴m ≤19；当02m <<时，m + 2 - m ≤36，恒成立；当m ≤0时，- m + 2 - m ≤36，∴m ≥-17． …………………… 8分 综上，实数m 的取值范围是[-17，19]． …………………… 10分。
江苏省黄桥中学2012届高三上学期期末模拟(二)数学试题
第9题图 0 1 2 6 7 8 8 0 2 8 0 2 28 79 8 7 6 2 0 1 0第8题图 江苏省黄桥中学2012届高三上学期期末模拟（二）数学试题一、填空题 1．已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ．2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ．3．若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，上是增函数，则m 的取值范围是 ．4．已知关于x 的不等式250ax x a -<-的解集为M ，若5M ∉，则实数a 的取值范围是 ．5．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos2αα+= ． 6．数列{na }的前n 项和223(N*)n S n n n =-∈，则4a = ．7．若函数)(x f 的导函数为34)('2+-=x x x f ，则函数)1(-x f 的单调递减区间为 ．8．某校开展了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取10名学生的学分，用茎叶图表示（如图所示），若1s 、2s 分别表示甲、乙两班各自10名学生学分的标准差，则1s 2s （请填“＜”，“＝”，“＞”）9．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．10．过直线x y =上的一点作圆2)4(22=-+y x 的两条切线21,l l ，当1l 与2l 关于x y =对称时，1l 与2l 的夹角为 ．11．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n 维向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．设a ＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，b ＝(b1，b2，b3，b4，…，bn)，规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====ni i ni ini i i b aba 12121cos θ，已知n 维向量a ，b ，当a ＝(1,1,1,1，…，1)，b ＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cosθ等于 ．B第16题图PF EA D12．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_ ．13．等腰ABC Rt ∆中，斜边24=BC ，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过B A ,两点，则该椭圆的离心率为 ．14．若实数c b a ,,满足111111,122222a b a b b c a c ++++=++=，则c 的最大值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且(0)PE BFED FA λλ==>．(1)判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； （2）当λ为何值时，DF ⊥平面PAC ？并证明．18．(本小题满分16分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的焦距为32，离心率为23．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点),0(b B ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|||,||,|DE BE BD 成等比数列，求2k 的值．17．(本小题满分14分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A1，A2，A3，B 均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为y ． （1）设∠CA1O =θ (rad)，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．19．(本小题满分16分)已知：三次函数c bx ax x x f +++=23)(，在),2(),1,(+∞--∞上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当4>x 时，.54)(2+->x x x f （1）求函数f (x)的解析式；（2）若函数)ln()1()2(3)()(m x m x x f x h ++--'=，求)(x h 的单调区间．20．(本小题满分16分) 设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正 整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列． 数学Ⅱ（附加题）21．设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2A第23题图P BMC 的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．22．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 若两圆的圆心距为5，求a 的值．23．在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．24．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件：①{}ni a i 2,,2,1,1,1 =-∈；②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记nA 为满足对“任意的1k n ≤≤，都有212=+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求nA ；（2）记nB 为满足“存在1k n ≤≤，使得0212≠+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求nB ．参考答案一、填空题：1． {}1 9，； 2．； 3． 104⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； 4． [1,25] ； 5． -2； 6． 11 ； 7． [2，4]； 8．〈； 9．92-； 10． 3π；11n n 4-．； 12． 37； 13．36- ； 14． 2-log23 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积． 【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =,, ………………………2分因为//AD BC ，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分 （2）由题意得(6A CA B B Cx=+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………………6分因为AC BD ⊥， 所以(6)(2)x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分B 第16题图PFEAD当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 (12)分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 (14)分所以，四边形ABCD 的面积为16． 16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且(0)PE BFED FA λλ==>．(1)判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； （2）当λ为何值时，DF ⊥平面PAC ？并证明．16、（1）作//FG BC 交CD 于G ，连接EG ，则而,,BF CGPE BFFA GD ED FA λ===,//,PE CGPC EG ED GD ∴=∴又//,,FG BC BCPC C FG GE G ==∴平面PBC //平面EFG ．又EF ⊂平面PBC,∴EF //平面PBC ． (6)分（2）当1λ=时,DF ⊥平面PAC ． …………………………………………………………8分 证明如下：1λ=，则F 为AB 的中点，又AD,AF=12AB， ∴在FAD Rt ∆与ACD Rt ∆中,2tan ==∠AF AD AFD ，2tan ==∠AD CDCAD ,………11分.,AFD CAD AC DF ∴∠=∠∴⊥又PA ⊥平面ABCD,DF ⊂平面ABCD,PA DF ∴⊥,DF ∴⊥平面PAC ． ………………………………………………………………14分17．(本小题满分14分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A1，A2，A3，B 均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为y ． （1）设∠CA1O =θ (rad)，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．17． （Ⅰ）解：在Rt △COA1中，θcos 21=CA ，θtan 2=CO ， ………2分θθtan 22cos 2331-+⋅=+=CB CA y =2cos )sin 3(2+-θθ（40πθ<<）……7分 （Ⅱ）θθθθθθ222/cos 1sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ， 令0='y ，则31sin =θ ………………12分当31sin >θ时，0>'y ；31sin <θ时，0<'y ，∵θsin =y 在]4,0[π上是增函数 ∴当角θ满足31sin =θ时，y 最小，最小为224+；此时BC222-=m …16分18．(本小题满分16分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的焦距为32，离心率为23．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点),0(b B ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|||,||,|DE BE BD 成等比数列，求2k 的值．19．(本小题满分16分)已知：三次函数c bx ax x x f +++=23)(，在),2(),1,(+∞--∞上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当4>x 时，.54)(2+->x x x f （1）求函数f (x)的解析式；（2）若函数)ln()1()2(3)()(m x m x x f x h ++--'=，求)(x h 的单调区间．解：（1）)(x f 在),2(),1,(+∞--∞上单增，（-1，2）上单减023)(2=++='∴b ax x x f 有两根－1，2 cx x x x f b a b a +--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-∴623)(623321322123…………4分令522554)()(232-+--=+--=c x x x x x x f x H)2)(13(253)(2-+=--='x x x x x H ),2(),31,()(+∞--∞在x H 单调增，)2,31(-单调减故110)31(0)4(-=∴⎪⎩⎪⎨⎧<-=c H H11623)(23---=∴x x x x f故.11623)(23---=x x x x f ………………………………………………6分（2）∵633)(2'--=x x x f)2)(ln()1(1)(≠->++-+=∴x m x m x m x x h 且m x x m x m x h +-=++-='∴111)(当m≤－2时，－m≥2，定义域：),(+∞-m0)(>'x h 恒成立，),()(+∞-m x h 在上单增；当12-≤<-m 时，12≥->m ，定义域：),2()2,(+∞- m0)(>'x h 恒成立，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增当m >－1时，－m <1，定义域：),2()2,(+∞- m 由0)(>'x h 得x >1，由0)(<'x h 得x <1． 故在（1，2），（2，+∞）上单增；在)1,(m -上单减 所以当m≤－2时，h(x)在（－m,+∞）上单增； 当12-≤<-m 时，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增；当m >－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m ，1）单减………16分20．(本小题满分16分) 设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正 整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若an=0，则1=0n a -，…，a1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{an}是首项为1，公比为12的等比数列． (4)分 【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k=1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1()*n ∈N ， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+． (9)分(iii) 若k=2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥⑤－⑥得122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d=2a ，考虑到a1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）． (14)分(iv) 当3k ≥时，若数列{an}能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列． 综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． (16)A PB MC 分数学Ⅱ21．设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值． 【解】由题意得01110000002011mn m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩,, ,,所以12m n =⎧⎨=⎩,. …………………………10分22．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若两圆的圆心距为5，求a 的值． 解：(1)由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ．所以⊙O1的直角坐标方程为x2＋y2＝2x ． 即 (x －1)2＋y2＝1．(3分)由 ρ＝2asinθ，得ρ2＝2aρsinθ．所以⊙O2的直角坐标方程为x2＋y2＝2ay ， 即 x2＋(y －a)2＝a2．(6分)(2)⊙O1与⊙O2的圆心之间的距离为12＋a2＝5，解得a ＝±2． …………………………10分23．在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．解:以A 为坐标原点,AB,AD,AP 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a)．因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →= (12,12,a 2)，BD → = (–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a)．⑴因为AM →⊥平面PBD,所以AM →·BD → = AM →·BP →= 0．即– 12 + a22= 0,所以a = 1,即PA = 1． …………………………………4分 ⑵由AD → = (0,1,0),M → = (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1)．又CP →= ( –1,–1,1)．所以cos<n, CP →> = n·CP →|n|·|CP →| = 22·3 = 63．所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63．……………………………10分24．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件：①{}n i a i 2,,2,1,1,1 =-∈； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记nA 为满足对“任意的1k n ≤≤，都有212=+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求nA ；（2）记nB 为满足“存在1k n ≤≤，使得0212≠+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求nB ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有0212=+-k k a a ，所以，2222nn n A =⨯⨯个相乘； …………………………4分（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-， 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ，不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）；同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j jk k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， (6)分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0， 所以，12C 2n nn n nB --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+…………………………8分11222(2+C 2C 2C )22n n n nn n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ 2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． ……………………10分。
苏州市2012高二期末卷理科(试卷+答案+得分,定稿)
12011－2012学年高二期末测试数 学（理科）2012．7注意事项：1．数学Ⅰ共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上指定的位置．3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米以上签字笔写在答题卡上指定的位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 5．考试结束后，上交答题卡． 市区均分：100.505分数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．命题“2,10x x x ∃∈--=R ”的否定是 ▲ ． 4. 8592．设i 是虚数单位，复数z =43i12i+-，则 | z | = ▲ ． 4.2353．空间直角坐标系中，点P （-1，2，2）到原点O 的距离为 ▲ ． 4.9544．7(2)x +展开式中含4x 项的系数为 ▲ （用数字作答）． 4.7015．掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面向上的情况的种数为 ▲ （用数字作答）．26．函数sin y x =与y = x 的交点个数为 ▲ ． 2.7937．若双曲线2221613x y m-=的右焦点在抛物线22y mx =的准线上，则实数m 的值为 ▲ ．4.0308．某射手射击1次，击中目标的概率为23．已知此人连续射击4次，设每次射击是否击中目标相互间没有影响，则他“击中3次且恰有两次连中”的概率为 ▲ ． 3.6749．在平面内，设A ，B 为两个定点，且AB = 3，动点M 满足2MAMB=，则AM 的最大值为 ▲ ． 3.13810．如图，在四棱锥P - ABCD 中，已知底面ABCD 是矩形，AB = 2，AD = a ，PD ⊥平面ABCD ，若边AB 上存在点M ，使得PM ⊥CM ，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 2.59911．过定点(1，2)一定可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是▲ ． 1.95412．已知函数()21ln 22f x x ax x =+-存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为 ▲ ．2.56513．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点B ，C 是椭圆E 上的两个动点，若直线AB 与AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为 ▲ ．1.93514．把正整数排列成如图（1）三角形数阵，擦去偶数行中的所有奇数及奇数行中的所有偶数，得到如图（2）的三角形数阵．设图（2）中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{a n }，若a k = 431，则k = ▲ ．PCBAMD3第14题图（1）第14题图（2）1245791012141617192123252628303234361234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435364二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AB = AC = AA 1 = 3a ，BC = 2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是A 1A ，C 1C 上一点，且AE = CF = 2a ． （1）求证：B 1F ⊥平面ADF ；（2）求三棱锥B 1 - ADF 的体积； （3）求证：BE ∥平面ADF ． 11.35816．（本小题满分14分）已知直线l ：2x + y + 4 = 0与圆C ：x 2 + y 2 + 2x - 4y + 1 = 0相交于A ，B 两点，求： （1）线段AB 的长；（2）以AB 为直径的圆M 的标准方程． 11.682 17．（本小题满分14分）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别为A 1D 1和A 1B 1的中点．（1）求异面直线AE 和BF 所成的角的余弦值；（2）求平面B 1BDD 1与平面BFC 1所成的锐二面角的余弦值；（3）若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上，且EP ∥平面BFC 1，求EP 的最大值和最小值． 8.972A FCBDC B 111E1 1 1 A x18．（本小题满分16分）在1，2，3，……，9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数之和为18的概率；（3）设X为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X的值是2）．求随机变量X的分布列及其数学期望E(X)．8.59619．（本小题满分16分）如图所示，某企业拟建造一个体积为V的圆柱型的容器（不计厚度，长度单位：米）．已知圆柱两个底面部分每平方米建造费用为a千元，侧面部分每平方米建造费用为b千元．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，设圆柱的底面半径为r，高为h（h≥2r），该容器的总建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求出此函数的定义域；（2）求该容器总建造费用最小时r的值．7.80520．（本小题满分16分）椭圆E：2214xy+=的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B．（1）若Rt△F1F2C的顶点C在椭圆E上的第一象限内，求点C的坐标；（2）在定直线l：x=m（m> 2）上任取一点P（P不在x轴上），线段P A交椭圆于点Q，若∠PBQ始终为钝角，求实数m的取值范围．5.189r．56ABNMP数学 Ⅱ（附加题）注意事项：1．数学Ⅱ共2页，考试时间30分钟．2．答题前务必要将选做题的前面标记框涂黑，以表示选做该题，不涂作无效答题． 3．请在答题卷上答题，在本试卷上答题无效．4．请从以下4组题中选做2组题作答，如果多做，则按作答的前两组题评分．每小题10分，共40分．A 组（选修4－1：几何证明选讲）A 1．在以AB 为直径的半圆上有两点M ，N ，设弦AN 与BM 交于点P ．求证：2AP AN BP BM AB ⋅+⋅=．A 2．在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ．若AC =12AB ， 求证：BN = 2AM ．B 组（选修4－2：矩阵与变换）B 1．已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A BCD ，其中(1,1)A ，(1,1)B -， (1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标． 9.2697B 2．给定矩阵M =21331233⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，N = 2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦及向量e 1 = 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，e 2 = 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． (1)证明M 和N 互为逆矩阵；(2)证明e 1和e 2都是M 的特征向量． 8.136C 组（选修4－4：坐标系与参数方程）C 1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为πcos()13ρθ-=，设曲线C 与x 轴及y 轴的交点分别为M ，N ． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ， N 的极坐标； （2）设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 7.043C 2．过点P （-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A ，B 两点．求线段AB 的长．6.259D 组（选修4－5：不等式选讲）D 1．求函数()f x = 4.D 2．设x ，y ，z 为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥． 4.82011－2012学年高二期末测试数学(理科)参考答案 2012．7数学Ⅰ部分一、填空题：1．2,10x x x ∀∈--≠R 23．3 4．280 5．11 6．1 7．- 4 8．16819．6 10．(0，1] 11．83(3)(2,)- 12．（-∞，1） 13．（1，0） 14．226 二、解答题： 15．（1）证明：∵AB = AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ． …………… 1分在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，∵B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴AD ⊥B 1B ． …………… 2分∵BC B 1B = B ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1．…………… 3分 ∵B 1F ⊂平面B 1BCC 1，∴AD ⊥B 1F ． …………… 4分在矩形B 1BCC 1中，∵C 1F = CD = a ，B 1C 1 = CF = 2a ， ∴Rt △DCF ≌ Rt △FC 1B 1．∴∠CFD = ∠C 1B 1F ．∴∠B 1FD = 90°．∴B 1F ⊥FD ． …………………… 5分 ∵AD FD = D ，∴B 1F ⊥平面AFD ． …………… 6分 （2）∵B 1F ⊥平面AFD ，∴1113B ADF ADF V S B F -=⋅⋅△=11132AD DF B F ⨯⨯⨯⨯ ……………… 10分 （3）连EF ，EC ，设EC AF M =，连DM ，2AE CF a ==，∴四边形AEFC 为矩形，M ∴为EC 中点． D 为BC 中点，//MD BE ∴． ……………… 12分 MD ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ，//BE ∴平面ADF ． ……………… 14分A FCBDC B 11 1 E 1 1 1 AM916．解：（方法一）（1）圆C 即：(x + 1)2 + (y -2)2 = 4，圆心C 的坐标为（-1，2），半径为2， 圆心C 到直线l的距离为d =3分∴AB =． …………………… 7分 （2）设过圆心C 且与l 垂直的直线为m ，则m ：12(1)2y x -=+，即1522y x =+． …………………… 9分联立直线l 与m 的方程，得所求圆心坐标为M 136(,)55-． …………… 11分 ∵圆M， ………………… 12分 ∴以AB 为直径的圆M 的标准方程为221364()()555x y ++-=． ………… 14分（方法二）（1）联立直线l 与圆C 的方程，消去y ，得5x 2 + 26x + 33 = 0． …………………… 3分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴AB =12|x x -=． ………………… 7分 （2）设M （a ，b ），则a =121325x x +=-． ………………… 9分 代入直线l 的方程，得b =65．∴M 136(,)55-． ………………… 11分 ∵圆M， ………………… 12分 ∴以AB 为直径的圆M 的标准方程为221364()()555x y ++-=． ………… 14分17．解：（1）A （2，0，0），E （1，0，2），B （2，2，0），F （2，1，2）．∴(1,0,2)AE =-，(0,1,2)BF =-． …………………… 2分则4cos ,5||||5AE BF AE BF AE BF ⋅<>===⋅．10∴异面直线AE 和BF 所成的角的余弦值为45． …………………… 4分 （2）平面B 1BDD 1的一个法向量(1,1,0)=-m ，…………………… 5分设平面BFC 1的法向量为(,,)x y z =n ， 120,(,,)(2,0,2)220.BF y z BC x y z x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩n n ∴,2.x z y z =⎧⎨=⎩ 取1z =得平面BFC 1的一个法向量(1,2,1)=n ． ………………… 7分cos ,||||⋅<>===⋅m n m n m n ． ………………… 8分∴平面B 1BDD 1与平面BFC 1．…………… 9分 （3）设P （x ，y ，0）（0≤x ≤2，0≤y ≤2）， …………… 10分则(1,,2)EP x y =--．由0EP ⋅=n ，得(1)220x y -+-=，即x + 2y - 3 = 0． …………… 11分∵0≤x ≤2，∴0≤3 - 2y ≤2．则1322y ≤≤． …………… 12分∵||(EP x===，∴当45y =时，EP当32y =时，EP ． …………… 14分18．解：（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A ，∵偶数有2，4，6，8，奇数有1，3，5，7，9，∴12213045454539()C C C C C C P A C ++= …………………… 2分 3742=． …………………… 4分 （2）记“这3个数之和为18”为事件B ，考虑三个数由小到大排列后的最小数，它只有可能为1，2，3，4，5之一，三个数从小到大排列只有可能为189，279，369，378，459，468，567七种情况之一，∴397()P B C = …………………… 6分112=． …………………… 8分 （3）随机变量X 的取值只能为0，1，2之一，11当X = 0时，共有35种情形，P （X = 0）=3935512C =； 当X = 1时，共有42种情形，P （X = 1）= 394212C =；当X = 2时，共有7种情形，P （X = 2）= 397112C =．则…………………… 14分∴X 的数学期望为5112()012122123E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………16 分 19．解：（1）设圆柱的高为h ，∵2πV r h =． ……………… 2分∴2222π2π2πbVya rb rh a r r=⋅+⋅=+． ……………… 5分 ∵h ≥2r > 0，∴22πVrr ≥> 0．即0 <r ……………… 7分（2）224πbVy a r r '=-． 令0y '=，得r =．……………… 9分 令0y '<( r > 0 )，得0r <<0y '>，得r >． ……… 11分∴当0r <<y 关于r 是减函数； 当r > ，y 关于r 是增函数． ……………………… 13分 若b ≤2a ，当r =米时，容器建造费用最小； ………… 14分12若b > 2a ，则y 在(0，]上单调减，所以r 米时，容器建造费用最小． ………………………… 15分总之，2,2.b a r b a =>≤ ………………………… 16分20．解：（1）椭圆E 中，a 2 = 4，b 2 = 1，c 2 = 3，F 1（0），F 20），A （-2，0），B （2，0），设C （x ，y ）．① 若∠F 2F 1C = 90°，则点C 不在第一象限内，与条件矛盾，不成立． ……… 1分 ② 若∠F 1F 2C = 90°，将xE 的方程，得y = ±12． ∵点C 在第一象限内，∴C12）． ………………… 3分 ③ 若∠F 1CF 2 = 90°，∴OC = OF 2x 2 + y 2 = 3． ………………… 5分 又2214x y +=，∴x 2 =83，y 2 =13． ∵点C 在第一象限内，x > 0，y > 0，∴x，y =． 即C）． ………………… 7分 （2）设00(,)Q x y ，则直线AQ 方程为：00(2)2y y x x =++．∴00(2)(,)2y m P m x ++． ……………………………… 9分00(2,)BQ x y ∴=-，00(2)(2,)2y m BP m x +=-+．∵y 0≠0时，又PBQ ∠为钝角，∴0BP BQ ⋅<．∴2000(2)(2)(2)02y m x m x +--+<+． ……………………………… 12分 ∵-2 < x 0 < 2，∴2200(4)(2)(2)0x m y m --++<． ∵220014x y =-，∴2(4)(103)0x m --<．∴103m >． ……………………… 16分13A BNMPE数学 Ⅱ（附加题）部分A 1．证明：作PE AB ⊥于E ，AB 为直径，90ANB AMB ∴∠=∠=． ……………… 3分 ,,,P E B N ∴四点共圆，,,,P E A M 四点共圆．……………… 5分∴AE AB AP AN ⋅=⋅，①∴BE AB BP BM ⋅=⋅．② ……………… 7 分① + ②，得()AB AE BE AP AN BP BM +=⋅+⋅．……… 9分 即2AP AN BP BM AB ⋅+⋅=． ………………………… 10分A 2．证明：如图，在△ABC 中，∵CM 是∠ACM 的平分线，∴AC AMBC BM=． ………………… 3分 ∵12AC AB =， ∴2AB AMBC BM=．① ………………… 5分 又∵BA 与BC 是圆O 的两条割线，∴BM BA BN BC ⋅=⋅，即BA BNBC BM=．② ……………… 7分 由①，②可知，2AM BNBM BM=． ……………… 9分 ∴BN = 2AM ． ……………… 10分 B 1．解：（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则1311,1311a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． …………………… 3分 ∴3,3,1,1.a b c d a b c d +=⎧⎪+=-⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩ 解得1,2,2,1a b c d ===-=-，1221M ⎡⎤∴=⎢⎥--⎣⎦．……… 5分 （2）由12132113--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得'(3,3)C -． …………………… 7分14设D （x ，y ），由121211x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得21,2 1.x y x y +=-⎧⎨--=-⎩ ………………… 9分 解得x = 1，y = -1，∴(1,1)D - ． ………………… 10分 B 2．解：（1）∵MN =2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣ 1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦21⎡⎢⎣ 12⎤⎥⎦=10⎡⎢⎣01⎤⎥⎦， …………………… 2分 NM =21⎡⎢⎣12⎤⎥⎦2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣ 1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦=10⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦， ∴M 和N 互为逆矩阵． ……………………… 5分 （2）∵ 2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣ 1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1313⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=1311⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………… 7分 2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣ 1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ……………………… 9分∴e 1和e 2是M 的特征向量． ……………………… 10分C 1．解：（1）由cos()13πρθ-=，得1cos sin 12ρθθ=，∴曲线C的直角坐标方程为112x y +=，即2x +=．……………… 3分当0θ=时，2ρ=，∴M 的极坐标为（2，0）；当2πθ=时，ρ=，∴N的极坐标为)2π． ……………… 5分（2）M 的直角坐标为（2，0），N的直角坐标为， ∴P的直角坐标为． ………………… 7分 则P的极坐标为π)6． ………………… 9分 ∴直线OP 的极坐标方程为,(,)6πθρ=∈-∞+∞． ………………… 10分15C 2．解：直线的参数方程为3,1,2x y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(s 为参数)，曲线1,1,x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)化为224x y -=． ………………… 3分将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=． ………………… 5分 设A ，B 对应的参数分别为12s s ，，则1,2s == ………………… 7分∴AB 12s s =- ………………… 9分 =． ………………… 10分 D 1．解：()f x =+1 ………………… 3分 由柯西不等式，得()f x=． ………………… 5分1= ………………… 7分 解得76x =． ………………… 9分 ∴()f x． ………………… 10分 D 2．∵2220x y xy +>≥，∴()()()3322x y x y x xy y xy x y +=+-++≥． ………………… 3分 同理()33y z yz y z ++≥，()33z x zx z x ++≥， ………………… 5分 三式相加即可得()()()()3332x y z xy x y yz y z zx z x +++++++≥． ……………… 7分16∵()()()()()()222xy x y yz y z zx z x x y z y x z z x y +++++=+++++，…………… 9分 ∴()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥ ． ……………… 10分。
苏教版高中数学选修2-3-高二年级学业质量调查测试.docx
第8题图淮安市2012－2013学年度高二年级学业质量调查测试数 学 试 卷（理） 2013.6本试卷满分共160分；考试时间120分钟。
一．填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知复数z 满足2(13)(1)iz i i =-+-，其中i 是虚数单位，则z = ▲ ． 2．若命题p 是：“存在实数m ，使方程210x mx ++=有实数根”，则命题“非p ”是“___ _ _▲ ”．3.若二项展开式()99221091x a x a x a a x ++++=- ，其中9210,,,,a a a a 是展开式系数，则|0129a a a a ++++的值为 ▲ .4.已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101M ,则矩阵M 的逆矩阵1M -= ▲ ． 5．若双曲线2212x y m m-=的一条准线方程是1=x ，则实数m 的值是___▲__ ． 6．31021(2)2xx-的展开式中常数项是 ▲ ． 7．将三名成人和三名儿童排成一排，则任何两名儿童都不相邻的不同排法总数为 ▲ ．8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，将该正方体沿对角面11BB D D 切成两块（如图），再将这两块重新拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积是___▲_ _．9．某种灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，则三个这样第10题图的灯泡使用1000小时后，至多只坏一个的概率是___▲_ _.10.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ ．11．已知函数32()3f x x mx x =--，3x =是()f x 的极值点，则()f x 在[]1,m 的最大值与最小值的和是 ▲ ．12．已知l b a ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，有下列四个命题： ① 若b a ==γββα ,，且b a //，则γα//；、② 若b a ,相交，且都在βα,外，βαβα//,//,//,//b b a a ，则βα//； ③ 若b a b a ⊥⊂=⊥,,,ββαβα ，则α⊥b ； ④ 若b l a l b a ⊥⊥⊂⊂,,,αα，则α⊥l . 其中正确命题的序号是 ▲ ．13．现从甲、乙、丙、丁、戊5名大学生中选出4名参加雅安地震志愿者服务活动，分别从事心理辅导、医疗服务、清理垃圾、照顾老人这四项工作，若甲不能从事心理辅导工作，则不同安排方案的种数是 ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，'()()0(0)xf x f x x ->>，则不等式()0f x >的解集是___▲___．二．解答题:本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答．题卡相应位置．．．．．．上． 15．已知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（1）求矩阵A ；（2）求出直线10x y +-=在矩阵A 对应的变换作用下所得曲线的方程．16．在各项均为正数的数列{a n }中，数列的前n 项和为n S 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (1)求123,,a a a 的值，并根据规律猜想出数列{}n a 的通项公式； (2)请用数学归纳法证明你的猜想．17．某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则授予0分加分资格；若考核优秀，授予20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ．18．如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD AB ⊥,122BD AE ==,点O M CE AB 、分别为、的中点． （1）求证：OD ∥平面ABC ；（2）求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值．ACO DE19．已知椭圆()012222>>=+b a b y a x 长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：223,223-+．（1）求椭圆的方程；（2）若点P 椭圆上第一象限，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，若满足120PF PF ⋅=，求点P 到椭圆右准线的距离；（3）过点()0,1Q 作直线l (与x 轴不垂直）与椭圆交于N M ,两点，与y 轴交于点R ，若,RM MQ RN NQ λμ==，求证：μλ+为定值．20．已知函数2)ln (0)f x ax x x x a =+->（. (1)已知直线1y x =+与()()g x f x '=相切，求a 的值；(2)若函数满足(1)2f =,且在定义域内2()2f x bx x >+恒成立,求实数b 的取值范围； (3)若函数()f x 在定义域上是单调函数,求实数a 的取值范围．。
2012-2013学年度第二学期高二期末(理科答案)6月28日
石家庄市2012～2013学年度第二学期期末考试试卷高二数学（理科）参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5.ABDAC 6-10.CABCC 11-12. DA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．16314．29- 15． 72 16.20116042三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）当0=a 时，x e x x f ⋅=2)(，x e x x x f ⋅+=')2()(2，………………2分e f 3)1(='，所以，当0=a 时，曲线)(x f y =在点1(，))1(f 处的切线的斜率为e 3………………4分（II ）当1=a 时，xe x x xf )1()(2--=，x x x e x x e x x e x x f )2)(1()1()12()(2+-=--+-='………………6分所以当x 变化时，)(x f '、)(x f 的变化情况如下表：x-∞(，)2-2-2(-，)111(，)∞+)(x f '+ 0 — 0 + )(x f↗极大值↘极小值↗……………8分所以，)(x f 的极大值为25)2(e f =-，极小值为e f -=)1(………………10分 18．解：(Ⅰ)因为按性别比例分层抽样， 所以抽取男生38152515=⨯+位，抽取女生58152525=⨯+位所以男、女生分别抽取抽取3位和5位才符合抽样要求………………5分（Ⅱ）因为99.01.238.31727)()())((81812281≈⨯≈----=∑∑∑===i j jii i iy yx xy y x xr ，……………6分所以物理成绩y 与数学成绩x 之间有较强的线性相关关系，……………8分根据所给的数据，可以计算得出72.01014727)())((ˆ81281≈≈---=∑∑==i ii i ix xy y x xb，……………10分 56.287772.084ˆˆ=⨯-=-=x b y a，……………11分 所以y 与x 的回归直线方程为ˆ0.7228.56yx =+.………………12分 19．解：（I ）设事件C 表示“这3人中恰有2人是低碳族” ……………1分384.02.08.0)(223=⨯⨯=C C P ………………4分答：甲、乙、丙这3人中恰有2人是低碳族的概率是384.0 ……………5分（II ）设A 小区有x 人，两周后非低碳族的概率32.0)2.01(5.02=-⨯⨯=xx P ， 故低碳族的概率是68.032.01=-=P ……………8分随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是68.0，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，故X ～25(B ，)68.0，……………10分 所以，1768.025)(=⨯=X E ………………12分 20．解：（I ）当1=n 时，1112a S a -==，∴11=a 当2=n 时，222122a S a a -⨯==+，∴232=a 当3=n 时， 3332132a S a a a -⨯==++，∴473=a 当4=n 时，44432142a S a a a a -⨯==+++，∴8154=a 由此猜想1212--=n n n a (∈n N *)．………………5分（II ）证明：（i ）当n ＝1时，左边＝a 1＝1，右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．……6分（ii ）假设1(≥=k k n 且∈k N *)时，结论成立，即1212--=k k k a ，……………8分那么1+=k n 时，111122)1(2++++-+=+--+=-=k k k k k k k a a a k a k S S a ，∴k k a a +=+221，∴kk k k k k a a 2122212222111-=-+=+=+-+， ∴1+=k n 时，结论成立，……………11分由（i ）（ii ）可知，猜想1212--=n n n a 成立．………………12分21．（Ⅰ）解：因为22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++333.820302525)5101520(502≈⨯⨯⨯⨯-⨯=，……2分又8.3337.879>,……………4分所以，我们有99.5%的把握认为患心肺疾病是与性别有关系的． ………………6分 （Ⅱ）解：ξ的所有可能取值：0，1，2，3 ……………7分37310357(0)12024C P C ξ====；12373106321(1)12040C C P C ξ⋅====； 2137310217(2)12040C C P C ξ⋅====；333101(3)120C P C ξ===； ……………9分 分布列如下：ξ0 1 2 3P724 2140 740 1120……………10分则721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 所以，ξ的数学期望为9()10E ξ=………………12分22．解：（I ）xax x ax x f 1212)(2-=-='，……………1分由于0(∈x ，)∞+，所以当0≤a 时，0)(<'x f ，∴)(x f 在0(，)∞+上是减函数……………3分当0>a 时，xax ax a x f )21)(21(2)(-+='当x 变化时，)(x f '、)(x f 的变化情况如下表：x0(，)21aa21a21(，)∞+)(x f ' — 0+ )(x f↘极小值↗则)(x f 在0(，)21a上是减函数，在a21(，)∞+上是增函数；……………5分综上所述，当0≤a 时，)(x f 的单调递减区间是0(，)∞+当0>a 时，)(x f 的单调递减区间是0(，)22a a ，单调递增区间是aa22(，)∞+…………6分 （II ）当221e a >时，e aa<22， 由（I ）知)(x f 在0(，)21a上是减函数，在a21(，)∞+上是增函数，所以，)(1x f 的最小值是211()ln(2)222a f a a =+，则)(2x f 的最小值为1ln(2)a +………8分 又因为xa x a x g 1212)(=⋅='，在0(，]e 上0)(>'x g ，所以)(x g 在0(，]e 上单调递增， 所以)(2x g 在0(，]e 上的最大值是()4ln(2)g e a =--，……………10分故由题设知2(1ln(2))(4ln(2))71.2a a a e +---<⎧⎪⎨>⎪⎩， 解得2212e a e <<，故a 的取值范围是221(e，)2e ………………12分 附加题：（以下是选修系列四三选一的内容,各校可根据本校的情况，酌情选择此题） 【几何证明选讲】解：（I ）连接DE ，根据题意在△ADE和△ACB 中， AD ×AB =mn =AE ×AC ，即ABAEAC AD =，又∠DAE =∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ， 因此∠ADE =∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．………………5分（Ⅱ）若m =6，n =8，方程0162=+-mn x x 的两根为12,421==x x ，故AD =4，AB =12. 取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH. 由于90=∠A ，故GH ∥AB ， HF ∥AC . HF =AG =7，DF =4 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为65………………10分 【坐标系与参数方程】解：（I ）由1l 的参数方程可知：1123y m k x -==- ，2:344l x y += ，234k ∴=- 直线12l l 与垂直，121k k ∴=- 4m ∴= ………………5分（II ）曲线C 的直角坐标方程为22194x y += ，将直线1l 的参数方程为2314x t y t=+⎧⎨=+⎩代入得： 2180120110t t +-= ，由参数t 的几何意义得：12552536MA MB t t ==………10分 【不等式选讲】 解：（I ）由a x f ≤)(得2121ax a +≤≤-，因为解集为}10|{≤≤x x ， 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-121021a a，解得1=a ………………5分（II ）由函数mx x m x f x f x g +++-=+++=|12||12|1)1()(1)(的定义域为R 知，对任意实数x 有0|12||12|≠+++-m x x 恒成立由于2|2121||12||12|=++-≥++-x x x x ，所以2->m 即m 的取值范围是2(-，)∞+………………10分。
江苏省苏州市2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试卷(解析版)
2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学（理科） 2013．6数学Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1． 命题“,x ∀∈R sin 1x ≤”的否定是“ ▲ ”．2． 抛物线y 2 = 4x 的准线方程为 ▲ ．解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=-1．故答案为x=-1． 3． 设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ．4． “1x <”是 “2log 0x <”的 ▲ 条件．(在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)解：由log 2x ＜0，解得0＜x ＜1，所以“x ＜1”是“log 2x ＜0”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分． 5． 61()2x x-的二项展开式中的常数项是 ▲ （用数字作答）．6． 若定义在R 上的函数()f x 的导函数为()24f x x '=-，则函数(1)f x -的单调递减区间是 ▲ ．7．口袋中有形状、大小都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则“两次摸出的球颜色不相同”的概率是▲．8．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的对角线AC1的长为6，且AC1与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积为▲．9．某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有▲种选法（用数字作答）．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂β，n⊂α，则m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n．上面命题中，所有真命题．．．的序号为▲ ．11． 过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB =2a，则双曲线22221x y a b-=的离心率为 ▲ ．12． 已知圆221:()(1)1C x a y a -+--=和圆2222:(1)2C x y a -+=有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13． 定义函数(),(),(),()K f x f x K f x K f x K >⎧=⎨⎩≤（K 为给定常数），已知函数225()3ln 2f x x x x =-，若对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()K f x K =，则实数K 的取值范围为 ▲ ．14． 在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：则第 ▲ 行中有三个连续位置上的数之比是3︰4︰5．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB = 2，且F 是CD 的中点．第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 … …FEDCBA（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求四面体BCEF的体积．已知点M 到双曲线221169x y -=的左、右焦点的距离之比为2︰3． （1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹上有且仅有三个点到直线y = x + m 的距离为4，求实数m 的值．17．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB = 4，AD = 2，A 1A = 2，点F 是棱BC 的中点，点E 在棱C 1D 1上，且D 1E = λ EC 1（λ为实数）． （1）求二面角D 1 - AC - D 的余弦值；（2）当λ =13时，求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值的大小；（3）求证：直线EF 与直线EA 不可能垂直．18．（本小题满分16分）有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为23．小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币．（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率； （2）若用ξ表示小华抛得正面的个数，求ξ的分布列和数学期望； （3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率．1111FEDC BA D CB A（第17题）已知函数3211()(1)323a f x x a x x =-++-． （1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为90x y b -+=，求实数a ，b 的值； （2）若0a ≤，求()f x 的单调减区间；（3）对一切实数a ∈(0,1)，求f (x )的极小值的最大值．20．（本小题满分16分）如图，点A （- a ，0），B （23，43）是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的两点，直线AB 与y 轴交于点C （0，1）．（1）求椭圆的方程；（2）过点C 任意作一条直线PQ 与椭圆相交于P ，Q ，求PQ 的取值范围．2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学Ⅰ（理科）参考答案 2013．6（第20题）yxO QP CB A一、填空题1．x ∃∈R ，sin 1x > 2．x = -1 3．-1 4．必要不充分 5． 52-6．（-∞，3） 7．498．2 9．310 10．②③11．52 12．24a <-或24a > 13．233[e ,)2+∞ 14．62二、解答题15．证明：（1）取EC 中点G ，连BG ，GF ．∵F 是CD 的中点，∴FG ∥DE ，且FG =12DE ．又∵AB ∥DE ，且AB =12DE ．∴四边形ABGF 为平行四边形．……… 3分∴AF ∥BG ．又BG ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ． （条件每少一个扣1分，最多扣2分）∴AF ∥平面BCE ． …………5分（2）∵AB ⊥ 平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥ AF ．∵AB ∥DE ，∴AF ⊥ DE ． ………… 6分又∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥ CD ． ………… 7分 ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥ DE ，BG ⊥ CD ． ………… 8分 ∵CD ∩ DE = D ，∴BG ⊥平面CDE ． ………… 9分（直接用AF ∥BG ，AF ⊥平面CDE ，而得到BG ⊥平面CDE ．扣1分） ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ； ……………11分（3）四面体BCEF 的体积13CFE V S BG ∆=⋅1111312332323CF DE AF =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⋅=． ……………14分16．解：（1）双曲线221169x y -=的左、右焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ．………1分 设点(,)M x y ，则1223MF MF =， 即2222(5)23(5)x y x y++=-+． ……………3分 化简得点M 的轨迹方程为2226250x y x +++=． ……………7分 （2）点M 的轨迹方程即为22(13)144x y ++=，它表示以(13,0)-为圆心，12为半径的圆． ……………9分 因为圆上有且仅有三点到直线y = x + m 的距离为4， 所以圆心到直线y = x + m 的距离为8，即|13|811m -+=+． ……………12分解得 1382m =±． ……………14分G FEDC BA17．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -．则(2,0,0),(0,4,0),A C 1(0,0,2),D1(2,0,2)D A =-，1(0,4,2)D C =-． ………… 2分 设平面1D AC 的法向量为(,,)x y z =n ， 则110,0D A D C ⋅=⋅=n n ．即,2x z z y ==．令1y =，则2x z ==．∴平面1D AC 的一个法向量(2,1,2)=n ．…… 4分又平面DAC 的一个法向量为(0,0,1)=m ．故22cos ,||133⋅〈〉===⋅⨯m n m n m |n |， 即二面角1D AC D --的余弦值为23． ……… 6分（2）当λ =13时，E （0，1，2），F （1，4，0），(1,3,2)EF =-．所以114cos ,42||||143EF EF EF ⋅〈〉===⋅⨯n n n ． ……………9分 因为 cos ,0EF 〈〉>n ，所以,EF 〈〉n 为锐角， 从而直线EF 与平面1D AC 所成角的正弦值的大小为1442． ……………10分 （3）假设EF EA ⊥，则0EF EA ⋅=．∵4(0,,2),(1,4,0)1E F λλ+，∴4(2,,2)1EA λλ=--+，4(1,4,2)1EF λλ=--+． ……………12分∴442(4)4011λλλλ--+=++．化简得23230λλ-+=．该方程无解，所以假设不成立，即直线EF 不可能与直线EA 不可能垂直．……14分18．解：（1）设A 表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，B 表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，则P （A ）=1111121()22232233⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………2分P （B ）=1121115()222322312⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………4分则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为P （AB ）= P （A ）P （B ）=15531236⨯=． …………6分（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，且1111(0)22312P ξ==⨯⨯=；1(1)3P ξ==；5(2)12P ξ==；1121(3)2236P ξ==⨯⨯=．x （第17题） A EB CDFA 1B 1C 1D 1yz所求随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P112 13 512 16…………10分数学期望11515()01231231263E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 （3）设C 表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”， 则所求概率为2222()(0)(1)(2)(3)P C P P P P ξξξξ==+=+=+=2222115123()()()()12312672=+++=．所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为2372． ………… 16分19．解：（1）2()(1)1()f x ax a x a '=-++∈R ， ………… 1分由(2)9f '=，得a = 5． ………… 2分∴3251()333f x x x x =-+-．则(2)3f =．则（2，3）在直线90x y b -+=上．∴b = -15． ………… 4分（2）① 若0a =，221111()(1)2326f x x x x =-+-=--+，∴()f x 的单调减区间为（1，+∞）． ………… 6分 ② 若0a <，则21()(1)1()(1),,f x ax a x a x x x a'=-++=--∈R令()0f x '<，得1()(1)0x x a -->．∴1x a<，或x ˃ 1． ………… 9分∴()f x 的单调减区间为1(,)a -∞，（1，+∞）． ………… 10分（3）1()(1)()f x a x x a '=--，0 ˃ a ˃ 1，列表：x（-∞，1） 1（1，1a ） 1a（1a，+∞） ()f x '+ 0 - 0 +()f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗………… 12分∴f (x ) 的极小值为32111111()(1)323a f a a a a a=⋅-++-22111111131()6236224a a a =-⋅+⋅-=--+． ………… 14分当23a =时，函数f (x ) 的极小值f (1a )取得最大值为124． ………… 16分20．解：（1）由B （23，43），C （0，1），得直线BC 方程为112y x =+．………… 2分 令y = 0，得x = -2，∴a = 2． ………… 3分 将B （23，43）代入椭圆方程，得24169914b +=．∴b 2 = 2．椭圆方程为22142x y +=． ………… 5分 （2）① 当PQ 与x 轴垂直时，PQ = 22； ………… 6分② 当PQ 与x 轴不垂直时，不妨设直线PQ ：y = kx + 1（k ≥0），代入椭圆方程x 2 + 2y 2 - 4 = 0，得x 2 + 2(kx + 1)2 - 4 = 0．即 (2k 2 + 1) x 2 + 4kx - 2 = 0． ………… 8分 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则 21,2228221k k x k -±+=+．则 | x 1 - x 2 | = 2228221k k ++．PQ = 222282121k k k ++⋅+． ………… 10分 2242222242428(1)(41)45188(1)(21)441441k k k k k PQ k k k k k ++++==⋅=⋅++++++=2218(1)144k k ⋅+++． ………… 12分 ∵2222114244k k k k+⋅=≥，在k =22时取等号， ………… 14分 ∴PQ 2 = 2218(1)144k k⋅+++∈（8，9]．则PQ ∈(22,3]． ………… 15分 由①，②得PQ 的取值范围是[22,3]． ………… 16分数学Ⅱ（理科附加题）参考答案A 1 证明：如图，连结BP ，∵AB = AC ，AD 是BC 边的中线， ∴AD 是此等腰三角形的一条对称轴． ∴ABP ACP ∠=∠． ………… 2分 ∵BF ∥AC ，∠F = ∠ACP ．∴∠F = ∠ABP ． ………… 5分 又BPF EPB ∠=∠，∴BPF ∆∽EPB ∆． ………… 8分所以BP PF PE BP =，即2BP PE PF =⋅． ∵BP = CP ，∴CP 2 = PE ·PF ． ……… 10分A 2 证明：（1）连结ED ．∵AF 为切线，∴∠FAB = ∠ACB ．………… 2分 ∵BD AC ⊥，CE AB ⊥， ∴90AEF BDC ∠=∠=．∴F DBC ∠=∠． ………… 5分 （2）∵BD AC ⊥，CE AB ⊥，∴,,,D E B C 四点共圆．则DEC DBC ∠=∠． 又F DBC ∠=∠，∴DEC F ∠=∠．则DE ∥AF ． ……………8分 ∴AD FE DC EC =，即AD EC DC FE ⋅=⋅． ……… 10分DBCAFECD B APEFB 1 解：由题设得010*********MN -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分 设直线210x y -+=上任意一点(,)x y 在矩阵MN 对应的变换作用下变为(,)x y ''， 则 1001x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 5分 即x x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦，∴,.x x y y '=⎧⎨'=-⎩………… 8分∵点(,)x y 在直线210x y -+=上，∴2()10x y ''--+=，即210x y ''++=．∴曲线F 的方程为210x y ++=． ………… 10分B 2 解：（1）由题意得1112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分 即122a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴12,2.a b +=⎧⎨=⎩则1,2a b ==． ………… 5分（2）由（1）得矩阵M 1102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 矩阵M 的特征多项式为()()11()1202f λλλλλ--==---， 矩阵M 的另一个特征值是1．代入二元一次方程组()()10020x y x y λλ--=⎧⎪⎨⋅+-=⎪⎩，解得0y =，于是M 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………… 8分∴α =11210⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．∴M 10α = M10101011111026222110101024⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⋅= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭．………… 10分C 1解：圆C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=． ………… 2分 圆心(1,0)C ，直线l 的直角坐标方程为40x y --=． ………… 5分所以过点C 与直线l 垂直的直线的方程为10x y +-=． ………… 8分化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ+-=，即2cos()42πρθ-=．………… 10分C 2 解：（1）直线l 的普通方程0x y m --=，椭圆C 的普通方程为2213x y +=； …………………… 2分（2）设椭圆C 上一点P 的坐标为[)()(3cos ,sin )0,2αααπ∈，∵m ˃ 2，∴点P 到直线l 的距离2cos 3cos sin 622m m d πααα⎛⎫+- ⎪--⎝⎭==2cos 622m πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==． ∴2cos 226m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． …………………… 5分∵椭圆C 上有且只有1个点到直线l 的距离为2，∴关于α的方程2cos 226m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[)0,2π上有且只有一个解．∴222m =+或222m =-+． …………………… 8分 若222m =+，满足2m >，此时116πα=，点P 的坐标是31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 若2222m =-+<，不合题意．综上，实数m 的值为222+，该点的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………10分D 1证明：（1）当2n =时，因为0x ≠，()2211212x x x x +=++>+，即n = 2时不等式成立； ……… 2分 （2）假设n = k （2,*k k ∈N ≥）时不等式成立，即有()11kx kx +>+，则当1n k =+时，()()()()()111111k kx x x x kx ++=++>++ ……… 5分()2111x kx kx k x =+++>++． ……… 8分即当1n k =+时，不等式也成立．综合（1）（2）可知，原不等式成立． ……… 10分D 2（1）证明：由柯西不等式得()()222222222222149123a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅++=++⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦………… 2分212336a b c ab c ⎛⎫⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭≥．∵2221a b c ++=，∴22214936a b c++≥． …………………… 5分（2）解：由（1）得236m m +-≤．当m ≥2时，m + m - 2≤36，∴m ≤19；当02m <<时，m + 2 - m ≤36，恒成立；当m ≤0时，- m + 2 - m ≤36，∴m ≥-17． …………………… 8分 综上，实数m 的取值范围是[-17，19]． …………………… 10分。
2012-2013学年度第二学期高二年级调研测试数学文科试卷(含答案)
2012～2013学年度第二学期高二年级调研测试数学试题（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．）1．若集合{}{}{}0,,2,3,3A m B A B ===I ，则实数=m ▲． 答案：32．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n 是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是 ▲ ． 答案：n 是3的倍数.3．函数0y =的定义域为 ▲ ．答案：{}2,x 4x x >-≠且4．用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“ ▲ ”． 答案：假设x ≠-1且x ≠1.5．已知复数22(815)(918)i z m m m m =-++-+为纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ． 答案： 5.6．已知函数3(0)()(0)xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则1()4f f ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦= ▲ ．答案： -12.7．已知集合{}3(,)1,,,(,)2,,4y A x y x R y R B x y y ax x R y R x ⎧-⎫==∈∈==+∈∈⎨⎬-⎩⎭，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为 ▲ ． 答案：148.已知方程3log 5x x =-的解所在区间为(,1)()k k k N *+ ∈，则k = ▲ ． 答案： 3.9.对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记36的“分裂”中最小的数为a ，而26的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝ ▲ ． 答案：4210.在矩形ABCD 中，5AB =，2BC =，现截去一个角PCQ ∆，使P Q 、分别落在边BC CD 、上，且PCQ ∆的周长为8，设PC x =，CQ y =,则用x 表示y 的表达式为y = ▲ ．答案：y=8328x x --(0<x ≤2). 11．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01m n <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④函数()()21f x x x x =⋅+--有2个零点． 其中正确命题的序号．．为 ▲ ． 答案：③④A BCDPQ12.当(34)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ▲ ． 答案：m ≤-5.13．设1a >,若函数2()log ()a f x ax x =-在区间1,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则a 的取值范围是▲ ． 答案： a>2.14．设不等式2(1)0x px p p +--≥对任意正整数x 都成立，则实数p 的取值范围是 ▲ ．答案：≤p ≤二、解答题：本大题共6小题，共90分.（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15. （本小题满分14分）设全集是实数集R ,22{|2730},{|0}A x x x B x x a =-+≤=+<,（1） 当4a =-时,求A B ； （2） 若()R A B B =r ð,求负数a 的取值范围.解：（1）1{|3}2A x x =≤≤ ………………………………………………4分 当4a =-时,{|22}B x x =-<< …………………………………………………4分{|23}A B x x =-<≤ ………………………………………………… 8分(2） 1{|}2R A x x =<或x>3r ð ………………………………………10分∵0a <,∴{|B x x =<, …………………… 12分当()R A B B =r ð时,有R B A ⊆r ð，要使R B A ⊆r ð,12≤成立, 解得104a -≤<………………14分 16．（本题满分14分）已知复数22(4sin )2(cos 1)z a i θθ=-++，其中a +∈R，),0(πθ∈，i 为虚数单位，且z 是方程2220x x ++=的一个根．（1）求θ与a 的值；（2）若w x yi =+（,x y 为实数），求满足1zw z i-≤+的点(,)x y 表示的图形的面积． 解：（1）由方程x 2+2x+2=0得x=-1±i ………………………………………2分 2(cos 1)0θ+≥∴z=-1+I ……………………………………………………………………4分又z=(a 2-42sin θ)+2(cos θ+1)i∴22a -4sin 1 2(cos 1)1θθ⎧=-⎨+=⎩ …………………………………………………………………… 6分 a ∈（0，+∞），),0(πθ∈∴θ=23π， …………………………………………………………………… 8分（2）1125z i z i i --==+-+ …………………………………………………… 10分∴1w -≤(1,0)为圆心，5为半径的圆，………………………… 12分∴面积为22(55ππ= ………………………… 14分 17．（本题满分14分）已知定义域为R 的函数2()2x x bf x a-=+是奇函数．(1)求,a b 的值；(2) 利用定义判断函数()y f x =的单调性；(3)若对任意[0,1]t ∈,不等式22(2)()0f t kt f k t ++->恒成立，求实数k 的取值范围．解： （1）1101(0)011111(1)(1)221bb a f a a b f f a a -⎧-=⎧⎪===⎧⎪⎪+∴+⎨⎨⎨=⎩⎪⎪-=-=⎩⎪++⎩得（需验证）………………4分 （其它解法酌情给分）12122(22)(21)(21)x x x x -=++（2）由（Ⅰ）知121221(),21x xf x x x R x x -=∀∈<+、，且 121212121221212(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++则 12121212,22220,210,210x x x x x x x x <∴<∴-<+>+>1212()()0()()f x f x f x f x ∴-<∴<()y f x R ∴=在上为增函数………………9分（求导数方法酌情给分） （3）22(2)()0f t kt f k t ++->22(2)()f t kt f k t ∴+>--22()()()f x f k t f t k ∴--=-是奇函数22(2)()f t kt f t k ∴+>-()f x 为增函数2222(1)t kt t k k t t ∴∴+>-∴+>-…………10分 [][]220.111,211t t t t k k t t ∈∴+∈∴>-∴<++恒成立-222(1)1(1)11111220111111t t t t t t t t t t t -+-==+=-+=++-≥=++++++……12分 当且仅当0t =时等号成立。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2012～2013学年黄桥中学高二期末调研测试
数学（理科）
数学Ⅰ试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1． 命题“,x ∀∈R sin 1x ≤”的否定是“ ▲ ”．
2． 抛物线y 2
= 4x 的准线方程为 ▲ ． 3． 设复数2
2i
(1i)z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ．
4． “1x <”是 “2log 0x <”的 ▲ 条件．(在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不
充分”、 “既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 5． 6
1()2x x
-的二项展开式中的常数项是 ▲ （用数字作答）
．
6． 若定义在R 上的函数()f x 的导函数为()24f x x '=-，则函数(1)f x -的单调递减区间
是 ▲ ．
7． 口袋中有形状、大小都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口
袋，然后再摸出1只球，则“两次摸出的球颜色不相同”的概率是 ▲ ．
8． 已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1AC 1与底面所成角的余弦值为
，则该正四棱柱的体积为 ▲ ．
9． 某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内
科医生和外科医生中都有人参加，则有 ▲ 种选法（用数字作答）．
10． 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
① 若α∥β，m ⊂β，n ⊂α，则m ∥n ；② 若α∥β，m ⊥β，n ∥α，则m ⊥n ；
③ 若α⊥β，m ⊥ α，n ⊥β，则m ⊥ n ； ④ 若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n ． 上面命题中，所有真命题．．．的序号为 ▲ ．
11． 过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB =2
a ，
则双曲线22
221x y a b
-=的离心率为 ▲ ．
12． 已知圆221:()(1)1C x a y a -+--=和圆2222:(1)2C x y a -+=有两个不同的公共点，则
实数a 的取值范围是 ▲ ．
13． 定义函数(),(),(),
()K f x f x K f x K f x K >⎧=⎨⎩≤（K 为给定常数），已知函数225
()3ln 2f x x x x =-，
若对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()K f x K =，则实数K 的取值范围为 ▲ ． 14． 在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的
和，最初几行是：
则第 ▲ 行中有三个连续位置上的数之比是3︰4︰5．
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB = 2，且F 是CD 的中点．
（1）求证：AF ∥平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求四面体BCEF 的体积．
F
E
D
C
B
A
（第15题）
已知点M 到双曲线22
1169
x y -
=的左、右焦点的距离之比为2︰3． （1）求点M 的轨迹方程；
（2）若点M 的轨迹上有且仅有三个点到直线y = x + m 的距离为4，求实数m 的值．
17．（本小题满分14分）
如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB = 4，AD = 2，A 1A = 2，点F 是棱BC 的中点，点E 在棱C 1D 1上，且D 1E = λ EC 1（λ为实数）． （1）求二面角D 1 - AC - D 的余弦值；
（2）当λ =1
3
时，求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值的大小；
（3）求证：直线EF 与直线EA 不可能垂直．
18．（本小题满分16分）
有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为
2
3
．小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币． （1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率； （2）若用ξ表示小华抛得正面的个数，求ξ的分布列和数学期望； （3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率．
1
11
1
F
E
D C B A D C B A （第17题）
已知函数3211
()(1)323
a f x x a x x =
-++-． （1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为90x y b -+=，求实数a ，b 的值；
（2）若0a ≤，求()f x 的单调减区间；
（3）对一切实数a ∈(0,1)，求f (x )的极小值的最大值．
20．（本小题满分16分）
如图，点A （- a ，0），B （23，4
3
）是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的两点，直线AB 与
y 轴交于点C （0，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点C 任意作一条直线PQ 与椭圆相交于P ，Q ，求PQ 的取值范围．
（第20题）。