与圆有关的分类讨论题(含答案)

与圆有关的分类讨论题
一．选择题
1．如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分，
用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）
A．B．1 C．1或3 D．
2．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞
b），则此圆的半径为（）
A． B．C．或D．a+b或a﹣b
3．已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则tan∠OPA的值为（）
A．3 B．C．或D．3或
二．填空题
4．如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为______．
5．已知：⊙O的直径为14cm，弦AB=10cm，点P为AB上一点，OP=5cm，则AP的长为______cm．
6．⊙O的半径OA=2，弦AB、AC的长分别为一元二次方程x2﹣（2+2）x+4=0的两个根，则∠BAC的度数为______．
7．已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2的弦AB，连接PB，则PB的长为______．
8.若Rt△ABC的内一个内角为30°，它的外接圆○O的半径为2，OD⊥AC交AC于D，则OD=________
9、已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为23cm，则弦的中点到这条弦所对弧的中点的距离为_______________cm。

10、已知：⊙O半径OA=1，弦AB、AC长分别为2、1则∠BAC=________________。

11、如图，直线AB、CD相交于点D，∠AOC=300，半径为1cm的⊙
P的圆心在直线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的
速度沿由A向B的方向移动，那么____________秒钟后⊙P与直线CD
相切。

12、已知等腰⊿ABC内接于半径为5的⊙O中，如果底边BC的长为8，则BC边上的高为____________________。

13.已知△ABC内接与圆O，AB=AC=a，BC=b，AE切○O于点A，BC∥AE，在射线AE 上是否存在一点P，使得以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似？若
不存在，请说明理由；若存在，求出AP的长。

14、如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。

半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。

设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。

（1）当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2001•黑龙江）如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）
A．B．1 C．1或3 D．
【分析】利用勾股定理，弧长公式，圆的周长公式求解．
【解答】解：如图，分两种情况，
①设扇形S2做成圆锥的底面半径为R2，
由题意知：扇形S2的圆心角为270度，
则它的弧长==2πR2，R2=；
②设扇形S1做成圆锥的底面半径为R1，
由题意知：扇形S1的圆心角为90度，
则它的弧长==2πR1，R1=．
故选D．
【点评】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式求解．
2．（2005•资阳）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a ＞b），则此圆的半径为（）
A． B．C．或D．a+b或a﹣b
【分析】搞清⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离、最小距离的差或和为⊙O的直径，即可求解．
【解答】解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，若这个点在圆的内部或在圆上时时，圆的直径是a+b，因而半径是；当此点在圆外时，圆的直径是a﹣b，因而半径是．则此圆的半径为或．
故选C．
【点评】注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
3．（2003•山西）已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则tan∠OPA的值为（）
A．3 B．C．或D．3或
【分析】点P是直线AB上的一点，则P可能在线段BE上，或BE的延长线上，因分两种情况进行讨论．
过O作AB的垂线，根据三角函数的定义就可以求解．
【解答】解：作OE⊥AB，则EB=8×=4．
∵PB=3，∴EP=4﹣3=1．
又⊙O的半径为5，∴OE==3．
当P在线段BE上时：tan∠OPA==3；
当P在线段EB的延长线上时：设P是P1，则tan∠OP1A=3÷（1+3+3）=．
故选D．
【点评】根据勾股定理和垂径定理求出直角三角形各边长，再根据三角函数的定义解答．
二．填空题（共4小题）
4．（2004•黑龙江）如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为30°或150°．
【分析】弦长与半径相等，连接圆心和弦的端点，可得等边三角形，那么圆心角为60°，那么这条弦所对的优弧上的圆周角为30°，则劣弧上的圆周角为150°．
【解答】解：如图
若AB=OA=OB，则
∠AOB=60°
∴∠D=∠AOB=30°
∠C=180°﹣∠D=150°．
【点评】解决本题的关键是得到这条弦所对的圆心角的度数．本题需注意：在一个圆中，弦所对的圆周角是两个，它们互为补角．
5．（2005•哈尔滨）已知：⊙O的直径为14cm，弦AB=10cm，点P为AB上一点，OP=5cm，则AP的长为4或6cm．
【分析】点P的位置有两种情况，根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：连接OA，OB，作OE⊥AB，垂足为E．点P的位置有两种情况：
①当如图位置时，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=EB=AB=5，OA=7，
由勾股定理得，OE=2，PE=1，
∴AP=AE﹣PE=4cm；
②当点P在如图的点F位置时，可求得EF=1，所以AF=AE+EF=6cm．
故填4或6．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，注意点P的位置有两种情况．
6．（2005•辽宁）⊙O的半径OA=2，弦AB、AC的长分别为一元二次方程x2﹣（2+2）x+4=0的两个根，则∠BAC的度数为75°或15°．
【分析】先解一元二次方程，得AB、AC的长；再根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．
【解答】解：x2﹣（2+2）x+4=0
方程可化为：（x﹣2）（x﹣2）=0
解得：x1=2，x2=2．
如图：（1）∵AC=，AD=4，
∴cos∠CAD==，
∴∠CAD=30°．
∵AB=2，AD=4，
∴cos∠BAD==，
∴∠BAD=45°．
则∠BAC=30°+45°=75°；
如图（2）
∠BAC=45°﹣30°=15°．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法和圆、三角函数等相关问题，着重考查了基础知识的综合应用能力，是一道很好的题目．
7．（2005•黄冈）已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2的弦AB，连接PB，则PB的长为2或．
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）弦AB在⊙O的同旁，可以根据已知条件证明△POA≌△POB，然后即可求出PA；（2）弦AB在⊙O的两旁，此时可以根据已知条件证明PABO是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出PA．
【解答】解：连接OA，
（1）如图，当弦AB与PA在O的同旁时，
∵PA=AO=2，PA是⊙的切线，
∴∠AOP=45°，
∵OA=OB，
∴∠BOP=∠AOP=45°，
而OP=OP，
∴△POA≌△POB，
∴PB=PA=2；
（2）如图，当弦AB与PA在O的两旁，连接OA，OB，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
而PA=AO=2，
∴OP=2；
∵AB=2，
而OA=OB=2，
∴AO⊥BO，
∴PABO是平行四边形，
∴PB，AO互相平分；
设AO交PB与点C，
即OC=1，
∴BC=，
∴PB=2．
【点评】在解本题时应分情况进行讨论，解题过程中主要运用了切线的性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定等知识，综合性比较强，对于学生分析问题的能力要求比较高．。