新高考Ⅰ卷2023数学试卷及答案解析(完整版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷数学参考答案
【分析】根据向量的坐标运算求出a b λ+a b μ+再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==-所以(1,1a b λλ+=+-(1,1a b μμ+=+()()a b a b λμ+⊥+可得()()0a b a b λμ+⋅+= )()()()11110λμλμ+++--=整理得：1λμ=-．故选：D ． Df x得ex>上单调递减在12e,-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增OE AC E=∠则tan CAC1Rt ABF 中914,AF a =12cos F AF ∠=所以在12AF F △因为2223F A F B =-所以(又11F A F B ⊥所以1183F A F B c ⎛⋅= ⎝又点A 在C 上则2222254991c t a b -=所以22222225169c b c a a b -=即25整理得422550c c -）3A B +=即π4C =sin sin(B ==2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=-2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∥.（2）设(0,2,)(0P λλ则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C =--=--设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 2z =得3,1y x λλ=-=- (1,3,n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,m a b =则22222202m A C a c m D C a ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-⎪⎩1a =得1,=b c (1,1,2)m ∴=cos ,6n m n m n m⋅==化简可得2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)或(0,2,3)P0fx则(f x 时()f x 在R 上单调递减；在(),ln a -∞-上单调递减）2133a a =13()6d a +=）{}n b 为等差数列13b b =+即2311)a -=1d >0n a ∴>又9999S T -50502550a a ∴-当12a d =16n p ++=本题第一问直接考查全概率公式的应用后两问的解题关键是根据题意找到递推式然1⎛⎫32.11⎛⎫。
2023新高考I卷数学真题及答案解析
2023新高考I卷数学真题及答案解析2023新高考I卷数学真题及答案解析小编整理了2023新高考I卷数学真题及答案，数学给予人们的不仅是知识，更重要的是能力，这种能力包括观察实验、收集信息、归纳类比、直觉判断、逻辑推理、建立模型和精确计算。
下面是小编为大家整理的2023新高考I卷数学真题及答案，希望能帮助到大家!2023新高考I卷数学真题及答案2023高考考试时间及科目安排传统高考地区各科目高考时间安排如下：6月7日 9:00-11:30 语文考试，6月7日 15:00-17:00 数学考试6月8日9:00-11:30 文综/理综，6月8日15:00-17:00 外语考试3+1+2新高考地区高考各科目时间安排如下：6月7日 9:00-11:30 语文考试，6月7日 15:00-17:00 数学考试6月8日9:00-10:15 物理/历史，6月8日15:00-17:00 外语考试6月9日 8:30-9:45 化学考试，6月9日 11:00-12:15 地理考试6月10日 14:30-15:45 政治考试，6月10日 17:00-18:15 生物考试3+3新高考地区高考各科目时间安排如下：语文科目考试时间：6月7日9:00-11:30;数学科目考试时间：6月7日15:00-17:00;外语科目考试时间：6月7日15:00-17:00;物理科目考试时间：6月7日8:30-9:30;政治科目考试时间：6月7日11:00-12:00;化学科目考试时间：6月7日15:00-16:00;历史科目考试时间：6月10日8:30-9:30;生物科目考试时间：6月10日11:00-12:00;2023年高考试卷类型2023年除了浙江省高考试卷有所调整外，其余各省市采用的试卷基本与2022保持一致，浙江省语数外三科由原来的自主命题变为采用新高考一卷。
这样新高考一卷就增加到了8个省份，试卷类型也由去年的八套试卷，变成了今年的七套试卷，详情如下：一、全国甲卷(5省区)：云南、四川、广西、贵州、西藏二、全国乙卷(12省区)：内蒙古、吉林、黑龙江、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆、山西、安徽、江西、河南三、新高考全国一卷(8省)：山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江四、新高考全国二卷(3省市)：辽宁、重庆、海南五、天津卷：天津市六、上海卷：上海市七、北京卷：北京市注：2023年实行新高考的14省市的物理、化学、生物、政治、历史、地理6科由本省市单独命卷。
2023年高考数学全国一卷试卷及解析
2023年高考数学全国一卷试卷及解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集{}54321，，，，=U ，集合{}41，=M ，{}52，=N ，则=⋃M C N U （）A .{}5,3,2B .{}431，，C .{}5,4,2,1D .{}5,4,3,22.()()()=-++i i i 22153（）A .1-B .1C .i -1D .i+13.已知向量()1,3=a ，()2,2=b ，则=-+b a b a ,cos （）A .171B .1717C .55D .5524.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A .61B .31C .21D .325.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若1062=+a a ，4584=a a ，则=5S （）A .25B .22C .20D .156.执行右边的程序框图，则输出的=B （）A .21B .34C .55D .897.设21,F F 为椭圆1522=+y x C ：的两个焦点，点P 在C 上，若021=⋅PF PF ，则=⋅21PF PF （）A .1B .2C .4D .58.曲线1+=x e y x 在点⎪⎭⎫⎝⎛21e ，处的切线方程为（）A .x e y 4=B .x ey 2=C .44ex e y +=D .432ex e y +=9.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，C 的一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .55B .552C .553D .55410.在三棱锥ABC P -中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，2==PB P A ，6=PC ，则该棱锥的体积为（）A .1B .3C .2D .311.已知函数()()21--=x ex f .记⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22f a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23f b ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=26f c ，则（）A .a c b >>B .c a b >>C .ab c >>D .b a c >>12.函数()x f y =的图象由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 的图象向左平移6π个单位长度，则()x f y =的图象与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若3678S S =，则{}n a 的公比为.14.若()()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x x f 为偶函数，则=a .15.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为.16.在正方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，O 为1AC 的中点，若该正方体的棱与球O 的球面有公共点，则球O 的半径的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2023年新高考1卷数学真题试卷附详解
2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=（ ）A. {}2,1,0,1--B. {}0,1,2C. {}2-D. 22. 已知1i22iz -=+,则z z -=（ ） A.i -B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-,若()()a b a b λμ+⊥+,则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=- C. 1λμ= D. 1λμ=-4. 设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是（ ）A. (],2-∞-B. [)2,0-C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =,则=a （ ）A.B.C.D.6. 过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α,则sin α=（ ）A. 1B.C.D.7. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列；乙:{}nS n为等差数列,则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==,则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19-D. 79-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱,定义声压级20lgp pL p =⨯,其中常数()000p p >是听觉下限阈值,p 是实际声压．下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ,则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ,()()()22f xy y f x x f y =+,则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中,能够被整体放入棱长为1（单位:m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ,高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ,高为0.01m 的圆柱体三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中,1112,1,AB A B AA ===,则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上,点B 在y 轴上,11222,3F A F B F A F B ⊥=-,则C 的离心率为________． 四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中,()3,2sin sin A B C A C B +=-=． （1）求sin A ；（2）设5AB =,求AB 边上的高．18. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上,22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明:2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上,当二面角222P A C D --为150︒时,求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明:当0a >时,()32ln 2f x a >+． 20. 设等差数列{}n a 的公差为d ,且1d >．令2n nn nb a +=,记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=,求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列,且999999S T -=,求d ．21. 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投籃,若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅,则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ,求()E Y ．22. 在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离,记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD 的周长大于2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷答案一、选择题.1. C解:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-．故选:C ． 2. A解:因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-,所以1i 2z =,即i z z -=-． 故选:A ． 3. D解:因为()()1,1,1,1a b ==-,所以()1,1a b λλλ+=+-,()1,1a b μμμ+=+- 由()()a b a b λμ+⊥+可得,()()0a b a b λμ+⋅+= 即()()()()11110λμλμ+++--=,整理得:1λμ=-． 故选:D ． 4. D解:函数2xy =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥.所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选:D. 5. A解:由21e ,得22213e e =,因此2241134a a --=⨯,而1a >,所以a =故选:A. 6. B解:因为22410x y x +--=,即()2225x y -+=,可得圆心()2,0C ,半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线,切点为,A B因为PC ==,则PA ==可得sin APC APC ∠==∠==则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ∠=∠=∠-∠=-=-<⎝⎭⎝⎭即APB ∠为钝角.所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α. 故选:B. 7. C解:甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+ 因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件. 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥ 两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件,C 正确. 故选:C. 8. B解:因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=,而1cos sin 6αβ=,因此1sin cos 2αβ=则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=. 故选:B.二、选择题.9. BD解:对于选项A :设2345,,,x x x x 的平均数为m ,126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n 则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系,所以无法判断,m n 的大小 例如:1,2,3,4,5,6,可得 3.5m n ==. 例如1,1,1,1,1,7,可得1,2m n ==. 例如1,2,2,2,2,2,可得112,6m n ==；故A 错误； 对于选项B :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +,故B 正确； 对于选项C :因为1x 是最小值,6x 是最大值则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性,即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差例如:2,4,6,8,10,12,则平均数()12468101276n =+++++= 标准差1s ==4,6,8,10,则平均数()14681074m =+++= 标准差2s ==5>,即12s s >；故C 错误； 对于选项D :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤则6152x x x x -≥-,当且仅当1256,x x x x ==时,等号成立,故D 正确； 故选:BD. 10. ACD解:由题意可知:[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈= 对于选项A :可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为12p p L L ≥,则121220lg0p p p L L p =-⨯≥,即12lg 0pp ≥ 所以121p p ≥且12,0p p >,可得12p p ≥,故A 正确； 对于选项B :可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为2324010p p p L L L -=-≥,则2320lg10p p ⨯≥,即231lg 2p p ≥ 所以23pp ≥23,0p p >,可得23p ≥ 当且仅当250p L =时,等号成立,故B 错误； 对于选项C :因为33020lg40p p L p =⨯=,即30lg 2pp =可得3100p p =,即30100p p =,故C 正确； 对于选项D :由选项A 可知:121220lgp p p L L p =-⨯ 且12905040p p L L ≤-=-,则1220lg40p p ⨯≤ 即12lg2p p ≤,可得12100pp ≤,且12,0p p >,所以12100p p ≤,故D 正确； 故选:ACD. 11. ABC解:因为22()()()f xy y f x x f y =+对于A ,令0x y ==,(0)0(0)0(0)0f f f =+=,故A 正确. 对于B ,令1x y ==,(1)1(1)1(1)f f f =+,则(1)0f =,故B 正确. 对于C ,令1x y ==-,(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-,则(1)0f -=令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=又函数()f x 的定义域为R ,所以()f x 为偶函数,故C 正确对于D ,不妨令()0f x =,显然符合题设条件,此时()f x 无极值,故D 错误. 12. ABD解:对于选项A :因为0.99m 1m <,即球体的直径小于正方体的棱长 所以能够被整体放入正方体内,故A 正确；对于选项B :, 1.4> 所以能够被整体放入正方体内,故B 正确；对于选项C :, 1.8< 所以不能够被整体放入正方体内,故C 正确；对于选项D :, 1.2>设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,以1AC 为轴对称放置圆柱,设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h如图,结合对称性可知:11111110.62OC C A C O OC OO ===-= 则1111C O h AA C A =,即0.61h -=解得10.340.012h =>> 所以能够被整体放入正方体内,故D 正确； 故选:ABD.三、填空题．13. 64解:（1（当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有144116C C =种；（2（当从8门课中选修3门①若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述:不同的选课方案共有16242464++=种. 故答案为:64. 14.解:如图,过1A 作1A M AC ⊥,垂足为M ,易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高因为1112,1,AB A B AA ===则111111111122222AO AC B AO AC ======故()1112AM AC A C =-=,则1A M ===所以所求体积为1(413V =⨯++=故答案为:6. 15. [2,3)解:因为02x π≤≤,所以02x πωω≤≤ 令()cos 10f x x ω=-=,则cos 1x ω=有3个根 令t x ω=,则cos 1t =有3个根,其中[0,2π]t ω∈结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<,故23ω≤<故答案为:[2,3).16.解:依题意,设22AF m =,则2113,22BF m BF AF a m ===+在1Rt ABF 中,2229(22)25m a m m ++=,则(3)()0a m a m +-=,故a m =或3a m=-（舍去）所以124,2AF a AF a ==,213BF BF a ==,则5AB a = 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===所以在12AF F △中,2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯,整理得2259c a =故5c e a ==.四、解答题．17. （1 （2）6 【小问1详解】3A B C += π3C C ∴-=,即π4C =又2sin()sin sin()A C B A C -==+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+ sin cos 3cos sin A C A C ∴= sin 3cos A A ∴=即tan 3A =,所以π02A <<sin10A ∴==. 【小问2详解】由（1）知,cos10A ==由sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=由正弦定理,sin sin c bC B=,可得52b ==11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅sin 6h b A ∴=⋅==. 18. （1）证明见解析 （2）1 【小问1详解】以C 为坐标原点,1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- 2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∴∥.【小问2详解】 设(0,2,)(04)P λλ≤≤则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 令 2z =,得3,1y x λλ=-=-(1,3,2)n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令 1a =,得1,2==b c(1,1,2)m ∴=cos ,cos1506n m n m n m⋅∴===︒=化简可得,2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P21B P ∴=.19. （1）答案见解析 （2）证明见解析 【小问1详解】解:因为()()e x f x a a x =+-,定义域为R ,所以()e 1xf x a '=-当0a ≤时,由于e 0x >,则e 0x a ≤,故()0e 1xf x a -'=<恒成立所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时,令()e 10xf x a '=-=,解得ln x a =-当ln x a <-时,()0f x '<,则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减； 当ln x a >-时,0fx,则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上:当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减；当0a >时,()f x 在(),ln a -∞-上单调递减,()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增. 【小问2详解】由（1）得,()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=要证3()2ln 2f x a >+,即证2312ln 2ln a a a ++>+,即证21ln 02a a -->恒成立. 令()()21ln 02g a a a a =-->,则()21212a g a a a a-'=-=令()0g a '<,则02a <<；令()0g a '>,则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()2min 1ln 02222g a g ⎛⎛==--=>⎝⎭⎝⎭,则()0g a >恒成立. 所以当0a >时,3()2ln 2f x a >+恒成立,证毕. 20.（1）3n a n = （2）5150d =【小问1详解】21333a a a =+,132d a d ∴=+,解得1a d = 32133()6d d S a a =+==∴又31232612923T b b b d d d d=++=++= 339621S T d d∴+=+= 即22730d d -+=,解得3d =或12d =（舍去） 1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列,2132b b b ∴=+,即21312212a a a =+ 2323111616()d a a a a a ∴-==,即2211320a a d d -+=,解得1a d =或12a d = 1d >,0n a ∴>又999999S T -=,由等差数列性质知,5050999999a b -=,即50501a b -=505025501a a ∴-=,即2505025500a a --=,解得5051a =或5050a =-（舍去） 当12a d =时,501495151a a d d =+==,解得1d =,与1d >矛盾,无解； 当1a d =时,501495051a a d d =+==,解得5150d =. 综上,5150d =. 21. （1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ,“第i 次投篮的人是乙”为事件i B 所以,()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =,依题可知,()1i i P B p =-,则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+ 构造等比数列{}i p λ+设()125i i p p λλ++=+,解得13λ=-,则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 又11111,236p p =-=,所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16,公比为25的等比数列,即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以当*N n ∈时,()122115251263185315nn n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 22. （1）214y x =+ （2）见解析 【小问1详解】设(,)P x y ,则y =两边同平方化简得214y x =+ 故21:4W y x =+. 【小问2详解】法一:设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<,易知矩形四条边所在直线的斜率均存在,且不为0.则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<- 同理令0BC k b c n =+=>,且1mn =-,则1m n=-设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥,1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >,易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()0f x '=,解得x =当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时,()0f x '<,此时()f x 单调递减当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,()0f x '>,此时()f x 单调递增则min 27()4f x f ==⎝⎭故122C ≥=,即C ≥当C =时,n m ==,且((b a b a -=-,即m n =时等号成立,矛盾,故C >得证.法二:不妨设,,A B D 在W 上,且BA DA ⊥依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,易知直线BA ,DA 的斜率均存在且不为0则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-,由对称性,不妨设1k ≤ 直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=()()222420k ka a k a ∆=--=->,则2k a ≠则||2|AB k a =-同理||2AD a =+||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =,则(]0,1m ∈,设32(1)1()33m f m m m m m+==+++则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=,令()0'=f m ,解得12m =当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f m '<,此时()f m 单调递减 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,()0f m '>,此时()f m 单调递增 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭||||AB AD ∴+≥但12|2|2|2k a a k a a k ⎫-+≥-++⎪⎭,此处取等条件为1k =,与最终取等时k =,故AB AD +>. 法三:为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,\矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=-.由于 1020,A B t B C t ''''=-=-, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=--. 令 20tan t t θ+=10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时第 21 页 共 21 页332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<- 从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥ 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥≥=当且仅当cos 3θ=时等号成立,故A B B C ''''+>,故矩形周长大于。
2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)含答案解析
绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−6≥0}，则M∩N=( )A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}2.已知z=1−i2+2i，则z−z−=( )A. −iB. iC. 0D. 13.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗⃗=(1,−1).若(a⃗⃗+λb⃗⃗)⊥(a⃗⃗+μb⃗⃗)，则( )A. λ+μ=1B. λ+μ=−1C. λμ=1D. λμ=−14.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)5.设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的离心率分别为e1，e2.若e2=√ 3e1，则a=( )A. 2√ 33B. √ 2C. √ 3D. √ 66.过点(0,−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=( )A. 1B. √ 154C. √ 104D. √ 647.记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{S nn}为等差数列，则( )A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos(2α+2β)=( )A. 79B. 19C. −19D. −79二、多选题：本题共4小题，共20分。
2023年新高考数学I卷及参考答案（含解析）
2023年新高考数学I卷及参考答案(含解析)2023年新高考数学I卷及参考答案(含解析)新高考全国一卷在全国范围内所使用的标准化考试试卷。
该试卷包括语文、数学、外语和必选的文综或理综科目。
以下是关于2023年新高考数学 I 卷及参考答案的相关内容，供大家参考!2023年新课标I卷数学高考试题及答案解析新高考卷什么省用一.云南、广西、贵州、四川、西藏，共5省市区全国甲卷(原全国Ⅲ卷不变)这五个省份的语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。
二.河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西，共12省市区全国乙卷(全国Ⅰ卷、全国Ⅱ卷合并后)全国乙卷的语文、数学、外语、文科综合、理科综合均由教育部考试中心统一命题。
以上是传统高考省市，接下来我们看看新高考省份。
三.广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北、山东，共7省新高考Ⅰ卷语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省是综合改革3+3省份。
四.辽宁、重庆、海南，共3省市新高考Ⅱ卷语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题;物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
其中辽宁、重庆两省市是3+1+2省份，海南是综合改革3+3省份。
五.北京市、上海市、天津市、浙江省，共4省市自主命题这四个地区的考生分别使用其自主命题的试卷，即：北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷。
新高考卷难吗比较难。
在2022年高考的全国卷中，数学共有6套试卷，分别是甲卷文理科共2套、乙卷文理科共2套、新高考1卷1套和新高考2卷2套。
这6套数学试卷中，从考生目前反映的情况来看，综合难度最大的还是无疑是新高考一卷了。
有不少考生表示，前面几道题还好，从第6题开始人就懵了，最后不少考生考完数学都哭了起来。
比如新高考一卷数学的第12题，也就是多选题的压轴题，难度太大，很多考生直言毫无头绪。
2023年新高考全国一卷数学试卷及答案（参考）
2023年新高考全国一卷数学试卷及答案（参考）2023年新高考全国一卷数学试卷及答案（参考）高考数学考察的是得分能力，而不是做题能力!我们需要在有限的时间内拿到更多的分数，以下是小编整理的一些2023年新高考全国一卷数学试卷及答案，仅供参考。
2023年新高考全国一卷数学试卷及答案理科数学的考点1.【数列】&【解三角形】数列与解三角形的知识点在解答题的第一题中，是非此即彼的状态，近些年的特征是大题第一题两年数列两年解三角形轮流来，x年大题第一题考查的是数列，x年大题第一题考查的是解三角形，故预计x 年大题第一题较大可能仍然考查解三角形。
数列主要考察数列的定义，等差数列、等比数列的性质，数列的通项公式及数列的求和。
解三角形在解答题中主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用。
2.【立体几何】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道立体几何题，主要考查空间线面平行、垂直的证明，求二面角等，出题比较稳定，第二问需合理建立空间直角坐标系，并正确计算。
3.【概率】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道概率题，主要考查古典概型，几何概型，二项分布，超几何分布，回归分析与统计，近年来概率题每年考查的角度都不一样，并且题干长，是学生感到困难的一题，需正确理解题意。
4.【解析几何】高考在第20题的位置考查一道解析几何题。
主要考查圆锥曲线的定义和性质，轨迹方程问题、含参问题、定点定值问题、取值范围问题，通过点的坐标运算解决问题。
5.【导数】高考在第21题的位置考查一道导数题。
主要考查含参数的函数的切线、单调性、最值、零点、不等式证明等问题，并且含参问题一般较难，处于必做题的最后一题。
6.【选做题】今年高考几何证明选讲已经删除，选考题只剩两道，一道是坐标系与参数方程问题，另一道是不等式选讲问题。
坐标系与参数方程题主要考查曲线的极坐标方程、参数方程、直线参数方程的几何意义的应用以及范围的最值问题;不等式选讲题主要考查绝对值不等式的化简，求参数的范围及不等式的证明。
2023全国高考新课标1卷数学试卷（带答案解析）
2023全国高考新课标1卷数学试卷(带答案解析)2023全国高考新课标1卷数学试卷(带答案解析)2023新高考使用全国一卷的省份达到了8个，分别是广东、福建、江苏、河北、山东、湖南，湖北和浙江。
以下是关于2023全国高考新课标1卷数学试卷带答案的相关内容，供大家参考!2023全国新高考1卷数学试题真题及参考答案2023新课标一卷数学难吗2023年新课标一卷数学会对学生提出较高的要求，但总体来说难度不会太大。
主要有以下几个方面的变化：1、新课标倡导数学实践和探究，更加强调学生的数学运用能力和问题解决能力。
所以，考试题目中的计算链会相对简单，但可能出现更多的非例行计算题，要求学生能够发现问题，提出假设，并验证。
这增加了一定难度。
2、新考纲对几何和统计的要求有所加强，几何方面可能考查平面向量、立体几何等较难的内容。
统计方面可能涉及条件概率及贝叶斯定理等。
这也是一定难度的增加。
3、新考纲提高对图形、统计数据和情景分析的要求。
这意味着一套题目中，读图、抓数和分析能力的发挥变得更加关键。
对某些学生而言，这也增加了难度。
4、新课标倡导综合利用相关数学知识解决问题，这要求考生有较强的分析问题和转化问题的能力，并能够灵活运用多道数学知识。
这是对许多学生来说比较难的一点。
但是，总体来说，2023年新课标一卷数学的难度不会离经叛道。
原因有：1、考试范围和要点没有太大调整，主要考查的依然是基础知识与技能。
2、难度系数的确定还是会考虑到绝大多数学生的学习状态和接受能力。
3、试卷的区分度和鉴别度不会过高，主要还是体现基本教学要点。
4、这次改革的重点是更加注重对能力和素质的培养，而不在于考查过于难的知识。
对大部分学生来说，只要认真学习新课标所要求的知识与技能，并积极培养相关的数学素养与能力，2023年新课标一卷数学是可以很好地应对的。
部分考生也许会感到一定难度，但只要在复习中有针对性的提高，成绩依然可以达到较好水平。
新课标一卷数学对考生的影响1、它提高了对数学素养和能力的要求，新课标更加强调对数学思维方式、数学建模和问题解决能力的培养。
全国卷Ⅰ2023年新高考数学真题及答案解析(多解版)
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N = （）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1,2 C.{}2- D.2【答案】C 【解析】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．2.已知1i22iz -=+，则z z -=（）A.i -B.iC.0D.1【答案】A 【解析】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．3.已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A.1λμ+=B.1λμ+=-C.1λμ= D.1λμ=-【答案】D 【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．4.设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,0- C.(]0,2 D.[)2,+∞【答案】D 【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D5.设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （）A.3B.C.D.【答案】A 【解析】由21e =，得22213e e =，因此2241134a a --=⨯，而1a >，所以233a =.故选：A 6.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【答案】B 【解析】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为PC ==，则PA ==可得106sin44APC APC ∠==∠=，则10615sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=，22226101cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎛∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()15sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α；法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，可得PC ==，则PA PB ===，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以15sin 4α==；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =，若切线斜率不存在，则切线方程为0y =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，=，整理得2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得12k k -==所以1212tan 1k k k k -==+α，即sin cos αα=，可得cos =α，则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0α>，解得15sin 4α=.故选：B.7.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】方法一，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法二，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C 8.已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A.79 B.19C.19-D.79-【答案】B 【解析】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差13s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然53>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgp pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A.12p p ≥B.2310p p >C.30100p p =D.12100p p ≤【答案】ACD 【解析】由题意可知：[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，对于选项A ：可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则121220lg0p p p L L p =-⨯≥，即12lg 0pp ≥，所以121p p ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥，则2320lg10p p⨯≥，即231lg 2p p ≥，所以23p p ≥23,0p p >，可得23p ≥，当且仅当250p L =时，等号成立，故B 错误；对于选项C ：因为33020lg40p p L p =⨯=，即30lg 2pp =，可得3100p p =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121220lgp p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1220lg40p p ⨯≤，即12lg2p p ≤，可得12100pp ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A.()00f =B.()10f =C.()f x 是偶函数 D.0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误.方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+，故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'，令()0f x '<，得120ex -<<；令()0f x ¢>，得12e x ->；故()f x 在120,e -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e -⎛⎫ ⎪⎝∞⎭-上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为1.4m 的四面体C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD 【解析】对于选项A ：因为0.99m 1m <，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；对于选项B 1.4>，所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；对于选项C 1.8<，所以不能够被整体放入正方体内，故C 正确；对于选项D ：因为1.2m 1m >，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过1AC 的中点O 作1OE AC ⊥，设OE AC E =I ，可知1131,=2AC CC AC ===，则11tan CC OE CAC AC AO ∠==，=，解得64OE =，且2263990.6482425⎛==>= ⎝⎭，即0.64>，故以1AC 为轴可能对称放置底面直径为1.2m 圆柱，若底面直径为1.2m 的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心1O ，与正方体的下底面的切点为M ，可知：111,0.6AC O M O M ⊥=，则1111tan CC O MCAC AC AO ∠==，10.6AO =，解得1AO =，根据对称性可知圆柱的高为2 1.732 1.21.4140.03520.01-⨯≈-⨯=>，所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种.故答案为：64.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1112,1,AB A B AA ===的体积为________．【答案】6【解析】【分析】结合图像，依次求得111,,AO AO A M ，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过1A 作1A M AC ⊥，垂足为M ，易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高，因为1112,1,AB A B AA ===则1111111111222222A O A C B AO AC ==⨯⨯====故()111222AM AC A C =-=，则162A M ===，所以所求体积为1676(41326V =⨯++⨯=.故答案为：766.15.已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】[)2,3【解析】【分析】令()0f x =，得cos 1x ω=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[)2,3.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=-，则C 的离心率为________．【答案】355【解析】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故355c e a ==.方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c -，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =- ，所以()()002,,3x c y c t -=--，则00235,3x c y t ==-，又11F A F B ⊥ ，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=-⎪⎝⎭ 2282033c t =-=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b -=，整理得2222254199c t a b -=，则22222516199c c a b-=，所以22222225169c b c a a b -=，即()()2222222225169cca a c a c a --=-，整理得424255090c c a -+=，则()()22225950c a ca --=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以5e =或5e =（舍去），故5e =.故答案为：355.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．【答案】（1）31010（2）6【解析】【小问1详解】3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，sin10A∴==.【小问2详解】由（1）知，10cos10A==，由sin sin()B A C=+sin cos cos sin)210105A C A C=+==，由正弦定理，sin sinc bC B=，可得255522b⨯==，11sin22AB h AB AC A∴⋅=⋅⋅，sin610h b A∴=⋅==.18.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D-中，12,4AB AA==．点2222,,,A B C D分别在棱111,,AA BB CC,1DD上，22221,2,3AA BB DD CC====．（1）证明：2222B C A D∥；（2）点P在棱1BB上，当二面角222P A C D--为150︒时，求2B P．【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【小问1详解】以C为坐标原点，1,,CD CB CC所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A ，2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=-，2222B C A D ∴ ∥，又2222B C A D ，不在同一条直线上，2222B C A D ∴∥.【小问2详解】设(0,2,)(04)P λλ≤≤，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---，设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =，则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令2z =，得3,1y x λλ=-=-，(1,3,2)n λλ∴=--，设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =，则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1a =，得1,2==b c ，(1,1,2)m ∴=，2263cos ,cos150264(1)(3)n m n m n m λλ⋅∴==︒=+-+- ，化简可得，2430λλ-+=，解得1λ=或3λ=，(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P ，21B P ∴=.19.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【小问1详解】因为()()e xf x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一：（函数最值）由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则202a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 2212ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：（切线放缩1x e x ≥+）令()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e eln 1xx x af x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法三：（切线放缩ln 1x x ≤-）由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e1af a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，又因为221110224a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以2112a a ->-，而ln 1a a ≤-，所以21ln 2a a ->，故3()2ln 2f x a >+成立，得证明.方法四：（同构+切线放缩）当0a >时，要证3()2ln 2f x a >+，即证明()32ln 2x a e a x a +->+，只需证：232ln 02x ae x a a -+-->，即证()()ln 22211ln 11ln 022x a e x a a a a +-+++--+>，因为1x e x ≥+，故()ln ln 10x a e x a +-++≥，因为ln 1x x ≤-，故()2211ln 02a a --≥，又2102a >，故()()ln 22211ln 11ln 022x a e x a a a a +-+++--+>成立，即3()2ln 2f x a >+成立，得证明.20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．【答案】（1）3n a n =（2）5150d =【解析】【小问1详解】21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d=++=++=，339621S T d d∴+=+=，即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去），1(1)3n a a n d n∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+，2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=，505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．【答案】（1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ，所以，()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-，则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+，构造等比数列{}i p λ+，设()125i i p p λλ++=+，解得13λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315nnnn n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【答案】（1）214y x =+（2）见解析【解析】【小问1详解】设(,)P x y ,则y =，两边同平方化简得214y x =+，故21:4W y x =+.【小问2详解】法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<-，同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =-，则1m n=-，设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令()0f x '=，解得22x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 227()24f x f ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，故122C ≥=,即C ≥.当C =时,2,2n m ==,且((b a b a -=-m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0，则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-，由对称性，不妨设1k ≤，直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=，()()222420k ka a k a ∆=--=->，则2k a≠则||2|AB k a =-，同理||2AD a =，||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a ak k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m +==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=，令()0'=f m ，解得12m =，当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减，当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增，则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||2AB AD ∴+≥，12|2|2|2k a a k a a k ⎫-≥-++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时22k =不一致，故332AB AD +>.法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''',根据对称性不妨设00t ≥.则1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+,由于A B B C ''''⊥,则()()10201t t t t ++=-.由于1020,A B t B C t ''''=-=-,且0t 介于12,t t 之间,则1020A B B C t t ''''+=-+-.令20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥②当ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<-,从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥,故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故332A B B C''''+>，故矩形周长大于..。
2023年全国卷新高考I卷数学真题解析
（2023·新高考Ⅰ卷·1·★）已知集合{2,1,0,1,2}M =−−，2{|60}N x x x =−−≥，则M N =（ ）（A ）{2,1,0,1}−− （B ）{0,1,2} （C ）{2}− （D ）{2} 答案：C解析：260(2)(3)02x x x x x −−≥⇔+−≥⇔≤−或3x ≥，所以(,2][3,)N =−∞−+∞， 又{2,1,0,1,2}M =−−，所以{2}MN =−.（2023·新高考Ⅰ卷·2·★）已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） （A ）i − （B ）i （C ）0 （D ）1 答案：A解析：由题意，221i (1i)(22i)22i 2i 2i 4i 1i22i (22i)(22i)44i 82z −−−−−+−=====−++−−，所以1i 2z =，故11i i i 22z z −=−−=−. （2023·新高考Ⅰ卷·3·★）已知向量(1,1)=a ，(1,1)=−b ，若()()λμ+⊥+a b a b ，则（ ） （A ）1λμ+= （B ）1λμ+=− （C ）1λμ= （D ）1λμ=− 答案：D解析：向量垂直可用数量积为0来翻译，此处可先求两个向量的坐标，再算数量积，但若注意到0⋅=a b ，则会发现直接展开计算量更小，因为()()λμ+⊥+a b a b ，所以22()()()0λμλμλμ+⋅+=++⋅+=a b a b a a b b ①，又(1,1)=a ，(1,1)=−b ，所以222112=+=a ，2221(1)2=+−=b ，111(1)0⋅=⨯+⨯−=a b ， 代入①得：220λμ+=，所以1λμ=−.（2023·新高考Ⅰ卷·4·★★）设函数()()2x x a f x −=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是（ ） （A ）(,2]−∞− （B ）[2,0)− （C ）(0,2] （D ）[2,)+∞ 答案：D解析：函数()y f x =由2u y =和()u x x a =−复合而成，可由同增异减准则分析单调性， 因为2u y =在R 上，所以要使()()2x x a f x −=在(0,1)上，只需()u x x a =−在(0,1)上，二次函数2()u x x a x ax =−=−的对称轴为2a x =，如图，由图可知应有12a≥，解得：2a ≥.x =（2023·新高考Ⅰ卷·5·★）设椭圆2212:1(1)x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e ，若21e =，则a =（ ）（A （B （C （D 答案：A解析：由题意，1e =，22e ==，因为21e =，解得：a =. （2023·新高考Ⅰ卷·6·★★）过点(0,2)−与圆22410x y x +−−=相切的两直线的夹角为α，则sin α=（ ） （A ）1 （B（C（D答案：B解析：2222410(2)5x y x x y +−−=⇒−+=，圆心为(2,0)C，r =，记(0,2)P −，两切点分别为A ，B ， 如图，P A ，PB 的夹角APB απ=−∠，所以sin sin()sin APB APB απ=−∠=∠，注意到2APB APC ∠=∠，故要求sin APB ∠，可先在Rt PAC ∆中求sin APC ∠和cos APC ∠，再用二倍角公式，因为PC ==AC r ==，所以PA =从而cos PA APC PC∠==，sin AC APC PC∠==故sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==.（2023·新高考Ⅰ卷·7·★★★）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列，乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（ ）（A ）甲是乙的充分条件但不是必要条件 （B ）甲是乙的必要条件但不是充分条件 （C ）甲是乙的充要条件（D ）甲既不是乙的充分也不是乙的必要条件 答案：C解析：判断是否为等差数列，就看通项是否为pn q +或前n 项和是否为2An Bn +的形式，故直接设形式来分析，先看充分性，若{}n a 为等差数列，则可设2n S An Bn =+， 此时nS An B n=+，满足等差数列的形式特征， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故充分性成立；再看必要性，此时可将nS n设为等差数列的通项形式，看看n S 是否满足等差数列的形式特征， 若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则可设n S pn q n =+，所以2n S pn qn =+，满足等差数列前n 项和的形式特征， 从而{}n a 是等差数列，必要性成立，故选C.【反思】{}n a 是等差数列的充要条件是通项为pn q +的形式，或前n 项和n S 为2An Bn +的形式，熟悉这一特征可巧解一些等差数列的概念判断题.（2023·新高考Ⅰ卷·8·★★★）已知1sin()3αβ−=，1cos sin 6αβ=，则cos(22)αβ+=（ ）（A ）79 （B ）19（C ）19− （D ）79− 答案：B解析：只要求出cos()αβ+或sin()αβ+，就能用二倍角公式算cos(22)αβ+，而已知的cos sin αβ是sin()αβ+展开才有的结构，故先算sin()αβ+，将sin()αβ−展开也会出现cos sin αβ，于是展开， 由题意，1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ−=−= ①， 又1cos sin 6αβ=，代入①可求得1sin cos 2αβ=， 所以112sin()sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=， 故2221cos(22)12sin ()12()39αβαβ+=−+=−⨯=.（2023·新高考Ⅰ卷·9·★★★）（多选）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ） （A ）2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 （B ）2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 （C ）2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 （D ）2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差 答案：BD解析：A 项，1x 和6x 偏离平均数的程度不一定相同，所以去掉它们后，平均数可能发生变化，故能想象A 项错误，我们举个例子，不妨设这组数据为0，2，3，4，5，6， 则原平均数023*******x +++++==， 去掉0和6之后的平均数2345742x x +++'==≠， 故A 项错误；B 项，不妨假设126x x x ≤≤⋅⋅⋅≤，则2345,,,x x x x 和126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数都是342x x +，故B 项正确； C 项，1x 和6x 偏离平均数较大，去掉它们后，标准差可能减小，故通过直观想象能得出C 项错误， 举个例子，不妨设这组数据为1，2，3，5，6，7， 则12356746x +++++==，2221[(14)(24)6s =−+−+222214(34)(54)(64)(74)]3−+−+−+−=，去掉1和7后，235644x +++'==， 2222215[(24)(34)(54)(64)]42s '=−+−+−+−=，所以22s s '<，从而s s '<，故C 项错误；D 项，沿用B 项的假设，则2345,,,x x x x 的极差为52x x −，126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差为61x x −， 要比较两个极差的大小，可再将它们作差判断正负，因为61526521()()()()0x x x x x x x x −−−=−+−≥，所以5261x x x x −≤−，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·10·★★★）（多选）噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量噪声的强度，定义声压级020lgP pL p =⨯，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（ ） （A ）12p p ≥ （B ）2310p p > （C ）30100p p = （D ）12100p p ≤ 答案：ACD解析：因为我们要比较的是1p ，2p ，3p 的一些大小情况，所以先由所给等式解出p ，由题意，020lg P p L p =⨯，所以0lg20P L p p =，从而20010PL p p =，故20010P Lp p = ①， A 项，由式①可以看到，P L 越大，则p 也越大，由表中数据可知燃油汽车的声压级P L 大于等于混合动力汽车的声压级，所以12p p ≥，故A 项正确； B 项，由表中数据可知506020200201010p p p ≤≤，所以0201000p p ≤≤ ①， 又402030010100p p p ==，所以2310p p ≤，故B 项错误，C 项正确；D 项，由表中数据可知609020200101010p p p ≤≤，所以0101000p p ≤≤，而由①可得020*********p p ≤≤， 所以12100p p ≤，故D 项正确.（2023·新高考Ⅰ卷·11·★★★）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则（ ） （A ）(0)0f = （B ）(1)0f = （C ）()f x 是偶函数 （D ）0x =为()f x 的极小值点 答案：ABC解析：A 项，给出22()()()f xy y f x x f y =+这类性质，让求一些具体的函数值，常用赋值法， 令0x y ==可得22(00)0(0)0(0)f f f ⨯=+，所以(0)0f =，故A 项正确；B 项，令1x y ==可得22(11)1(1)1(1)f f f ⨯=+，所以(1)0f =，故B 项正确；C 项，要判断奇偶性，就看()f x −与()f x 的关系，为了产生()f x −，可将y 取成1−， 令1y =−可得2()()(1)f x f x x f −=+− ①，所以还得算(1)f −，继续赋值，令1x y ==−可得222((1))(1)(1)(1)(1)f f f −=−−+−−，所以(1)2(1)f f =−，结合(1)0f =可得(1)0f −=， 代入①得()()f x f x −=，所以()f x 是偶函数，故C 项正确；D 项，ABC 都对，可大胆猜测D 项错误，正面推理判断此选项较困难，可尝试举个反例，观察发现常值函数()0f x =满足所给等式，故可用它来判断选项，令()0f x =，经检验，满足22()()()f xy y f x x f y =+，显然此时0x =不是()f x 的极小值点，故D 项错误.（2023·新高考Ⅰ卷·12·★★★★）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） （A ）直径为0.99m 的球体（B ）所有棱长均为1.4m 的正四面体 （C ）底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体 （D ）底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体 答案：ABD解析：A 项，因为正方体的内切球直径为1m ，所以直径为0.99m 的球体可以放入正方体容器，故A 项正确； B 项，看到正方体和正四面体，要想到由正方体的面对角线可以构成正四面体，如图1，，比1.4大，从而所有棱长均为1.4m 的正四面体可以放入正方体容器，故B 项正确；C 项，注意到圆柱的底面直径很小，圆柱很细长，不妨将其近似成线段，故先看1.8m 的线段能否放入正方体， 如图1，正方体的棱长为1，则正方体表面上任意两点之间距离的最大值为1 1.8BD =<，所以高为1.8m 的圆柱不可能放入该正方体，故C 项错误；D 项，注意到圆柱的高很小，不妨将圆柱近似看成圆，故先分析直径为1.2m 的圆能否放入正方体，为了研究这一问题，我们得先找正方体的尽可能大的截面，正方体有一个非常特殊的截面，我们不妨来看看， 如图2，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别为所在棱的中点，则EFGHIJ的正六边形， 其内切圆如图3，其中K 为HI中点，则内切圆半径r OK ===，直径2 1.2r =>， 所以可以想象，底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体能放进正方体容器，故D 项正确.1A 1B 1C 1D AB CD1图2图1A 1B 1C 1D A B CDE FGHIJ E F GHIJOK 3图（2023·新高考Ⅰ卷·13·★★）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选2门或3门课，并且每类选修课至少选1门，则不同的选课方案共有_____种.（用数字作答） 答案：64解析：由于一共可以选2门或3门，所以据此分类，若选2门，则只能体育类、艺术类各选1门，有1144C C 16=种选法；若选3门，则可以体育1门艺术2门，或体育2门，艺术1门，有12214444C C C C 48+=种选法；由分类加法计数原理，不同的选课方案共有164864+=种.（2023·新高考Ⅰ卷·14·★★★）在正四棱台1111ABCD A B C D −中，2AB =，111A B =，1AA =积为_____.答案：7√66解析：求正四棱台的体积只差高，由于知道侧棱长，故在包含高和侧棱的截面11AAC C 中来分析， 设正四棱台的高为h ，如图，作1A E AC ⊥于点E ，1C F AC ⊥于点F ，则11A E C F h ==， 因为111A B =，2AB =，所以11EF AC ==AC =1()2AE AC EF =−=，又1AA =，所以1A E ==h =，正四棱台的上、下底面积分别为1S '=，4S =，所以正四棱台的体积1(3V S S h '=++=1A 1B 1C 1D ABCDEF（2023·新高考Ⅰ卷·15·★★）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=−>在区间[0,2]π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是_____. 答案：[2,3)解析：()0cos 10cos 1f x x x ωω=⇔−=⇔=，所以问题等价于cos y x ω=在[0,2]π恰有3个最大值点， 函数cos y x ω=的图象容易画出，故直接画图来看， 如图，要使cos y x ω=在[0,2]π上有恰有3个最大值点，应有462πππωω≤<，解得：23ω≤<.（2023·新高考Ⅰ卷·16·★★★）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥，2223F A F B =−，则C 的离心率为_____.解析：如图，条件中有2223F A F B =−，不妨设一段长度，看能否表示其余线段的长，设22AF m =，因为2223F A F B =−，所以23BF m =，故225AB AF BF m =+=，由对称性，123BF BF m ==， 又11F A F B ⊥，所以14AF m ==，1AF 和2AF 都有了，用双曲线的定义可找到m 和a 的关系，于是用双余弦法建立方程求离心率，由图可知A 在双曲线C 的右支上，所以1222AF AF m a −==，从而m a =，故123BF BF a ==， 又122F F c =，所以在12BF F ∆中，由余弦定理推论， 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +−∠=⋅222222994922339a a c a c a a a +−−==⨯⨯，在1ABF ∆中，1133cos 55BF m ABF ABm ∠===， 因为112ABF F BF ∠=∠，所以22292395a c a −=， 故双曲线C的离心率c e a ==.（2023·新高考Ⅰ卷·17·★★★）已知在ABC ∆中，3A B C +=，2sin()sin A C B −=. （1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高.解：（1）由题意，3A B C C π+=−=，所以4C π=，（要求的是sin A ，故用4C π=和34A B π+=将2sin()sin A C B −=的消元，把变量统一成A ） 由334A B C π+==可得34B A π=−，代入2sin()sin A C B −=可得32sin()sin()44A A ππ−=−， 所以332(sin coscos sin )sin cos cos sin 4444A A A A ππππ−=−，整理得：1cos sin 3A A =， 代入22sin cos 1A A +=可得221sin sin19A A +=，所以sin A =0A π<<可得sin A =.（2）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则5c AB ==，如图，AB 边上的高sin CD CD a B == ①， （已知A ，C ，故sin B 可用内角和为π来求）3sin sin()422B A A A π=−=+=， （再求a ，已知条件有C ，c ，sin A ，故用正弦定理求a ） 由正弦定理，sin sin a cA C =，所以sin sin c A a C==代入①得6CD ==，故AB 边上的高为6.ABCD a（2023·新高考Ⅰ卷·18·★）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，2AB =，14AA =. 点2A ，2B ，2C ，2D 分别在棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，21AA =，222BB DD ==，23CC =. （1）证明：22B C ∥22A D ；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D −−为o 150时，求2B P .1A 1B 1C 1D ABC DP 2B 2C2D 2A解：（1）（正四棱柱底面为正方形，侧棱垂直于底面，故天然就有三条两两垂直的直线，可建系证明） 以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则2(0,2,2)B ，2(0,0,3)C ，2(2,2,1)A ，2(2,0,2)D ， 所以22(0,2,1)B C =−，22(0,2,1)A D =−，故2222B C A D =， 由图可知直线22B C 与22A D 不重合，所以22B C ∥22A D .（2）（点P 在棱1BB 上运动时，只有z 坐标会变，故可直接设其坐标，用于计算平面22PA C 的法向量） 设(0,2,)(04)P a a ≤≤，则22(2,2,2)A C =−−，2(0,2,3)C P a =−，22(2,0,1)C D =−， 设平面22PA C 和平面222A C D 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n ，则2211121122202(3)0A C x y z C P y a z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩m m ， 令13y a =−，则1112x a z =−⎧⎨=−⎩，所以(1,3,2)a a =−−−m 是平面22PA C 的一个法向量，222222222222020A C x y z C D x z ⎧⋅=−−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩n n ，令21x =，则2212y z =⎧⎨=⎩， 所以(1,1,2)=n 是平面222A C D 的一个法向量， 因为二面角222P A C D −−为o 150，所以cos ,⋅<>===⋅m n m n m n， 解得：3a =或1，所以221B P a =−=.（2023·新高考Ⅰ卷·19·★★★）已知函数()(e )x f x a a x =+−. （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，3()2ln 2f x a >+. 解：（1）由题意，()e 1x f x a '=−，（1()0ln f x x a'=⇒=，但这个零点只在0a >时有意义，故据此讨论） 当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减， 当0a >时，11()0e 10e ln x x f x a x a a'<⇔−<⇔<⇔<，1()0ln f x x a '>⇔>， 所以()f x 在1(,ln )a −∞上单调递减，在1(ln ,)a+∞上单调递增.（2）由（1）可得当0a >时，()f x 有最小值1ln 2111(ln )(e )ln ()ln 1ln a f a a a a a a a a a a=+−=++=++，（要证3()2ln 2f x a >+，只需证13(ln )2ln 2f a a >+，此不等式中ln a 已孤立，故直接移项构造函数分析） 令13()(ln )2ln (0)2g a f a a a =−−>，则21()ln 2g a a a =−−，所以2121()2a g a a a a−'=−=，故()0g a a '>⇔>，()00g a a '<⇔<<， 所以()g a在上单调递减，在)+∞上单调递增，故11()(ln ln 022222g a g ≥=−−=−>，所以13(ln )2ln 2f a a >+， 又因为1(ln )f a是()f x 的最小值，所以3()2ln 2f x a >+.（2023·新高考Ⅰ卷·20·★★★★）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >，令2n n n nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列，且999999S T −=，求d .解：（1）（所给条件容易用公式翻译，故直接代公式，建立关于1a 和d 的方程组并求解） 因为21333a a a =+，所以1113()3(2)a d a a d +=++，整理得：1a d = ①， 又311323332S a d a d ⨯=+=+，3123123111261226122T b b b a a a a a d a d=++=++=++++， 代入3321S T +=可得1111261233212a d a a d a d++++=++ ②， 将①代入②整理得：327d d+=，解得：3d =或12，又由题意，1d >，所以3d =，结合①可得13a =， 所以1(1)3n a a n d n =+−=.（2）（条件{}n b 为等差数列怎样翻译？可先由1b ，2b ，3b 为等差数列建立方程找1a 和d 的关系） 由题意，112b a =，216b a d =+，31122b a d =+，因为{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，故111122122a d a a d=+++， （上式要化简，同乘以3个分母即可）所以11111112(2)2()(2)12()a a d a d a d a a d +=++++， 整理得：11()(2)0a d a d −−=，所以1a d =或12a d =，（求d 肯定要由999999S T −=来建立方程，故讨论上述两种情况，分别求出n S 和n T ）若1a d =，则1(1)n a a n d nd =+−=，1()()(1)222n n n a a n d nd n n S d +++===，21n n n n b nd d++==， 所以121()()(3)222n n n n n b b n n d d T d++++===，故999999S T −=即为9951995099d d⨯⨯−=，解得：5150d =或1−（舍去）； 若12a d =，则1(1)(1)n a a n d n d =+−=+，1()[2(1)](3)222n n n a a n d n d n n S d ++++===，2(1)n n n nb n d d+==+，所以11()()(1)222n n nn n b b n n d d T d+++===， 故999999S T −=即为9950995199d d ⨯⨯−=，解得：5051d =−或1，均不满足1d >，舍去； 综上所述，d 的值为5150.（2023·新高考Ⅰ卷·21·★★★★）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. （1）求第二次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且(1)1(0)i i i P X P X q ==−==，1,2,,i n =⋅⋅⋅，则11()nni i i i E X q ===∑∑，记前n 次（即从第1次到第n 次）投篮中甲投篮的次数为Y ，求()E Y .解：（1）（第一次投篮的人可能是甲，也可能是乙，两种情况下第二次投篮的人是乙的概率都是已知的，故按第一次投篮的人是谁划分样本空间，套用全概率公式）记第(1,2,3,)i i =⋅⋅⋅次投篮的人是甲为事件i A ，第2次投篮的人是乙为事件B ， 由全概率公式，1111()()(|)()(|)0.5(10.6)0.50.80.6P B P A P B A P A P B A =+=⨯−+⨯=.（2）（要分析第i 次投篮的人是甲的概率，先看第1i −次的情况，不外乎是甲或乙投篮，且两种情况下第i 次投篮的人是甲的概率都已知，故根据第1i −次由谁投篮划分样本空间，套用全概率公式来建立递推公式） 当2i ≥时，由全概率公式，111111()()(|)()(|)()0.6[1()]0.2i i i i i i i i i P A P A P A A P A P A A P A P A −−−−−−=+=⨯+−⨯， 整理得：121()()55i i P A P A −=+ ①， （要由此递推公式求()i P A ，可用待定系数法构造等比数列，设12()[()]5i i P A P A λλ−+=+，展开化简得123()()55i i P A P A λ−=−，与121()()55i i P A P A −=+对比可得3155λ−=，所以13λ=−）由①可得1121()[()]353i i P A P A −−=−，又11()0.52P A ==，所以111()36P A −=，故1()3i P A ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是等比数列， 首项为16，公比为25，所以1112()()365i i P A −−=⨯，故1121()()653i i P A −=⨯+， 即第i 次投篮的人是甲的概率为1121()653i −⨯+.（3）（题干给出了一个期望的结论，我们先把它和本题的背景对应起来. 所给结论涉及两点分布，那本题背景下有没有两点分布呢？有的，在第i 次的投篮中，若设甲投篮的次数为i X ，则i X 的取值为1（表示第i 次投篮的是甲）或0（表示第i 次投篮的是乙），所以i X 就服从两点分布，且前n 次投篮的总次数即为1ni i X =∑，故直接套用所给的期望公式就能求得答案）设第i 次投篮中，甲投篮的次数为i X ，则(1)()i i P X P A ==，且12n Y X X X =++⋅⋅⋅+， 所以12()()n E Y E X X X =++⋅⋅⋅+，由所给结论， 01112121121121()()()()()()()653653653n n E Y P A P A P A −=++⋅⋅⋅+=⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+ 01121()12221525[()()()][1()]26555363185315nn n n n n −−=++⋅⋅⋅++=⨯+=−+−.（2023·新高考Ⅰ卷·22·★★★★）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点1(0,)2的距离，记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于解：（1）设(,)P x y ,则y =214y x =+，故21:4W y x =+. （2）方法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅−+<+,令2240114ABk b a b a b am ⎛⎫+−+ ⎪⎝=+⎭==<−， 同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =−，则1m n=−， 设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n−=−=−=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=−−≥−=+ ⎝0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x '=，解得2x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 27()24f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故12C ≥=,即C ≥当C =,2n m ==,且((b a b a −=−m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.方法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0， 则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k−，由对称性，不妨设1k ≤， 直线AB 的方程为21()4y k x a a =−++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−++⎪⎩得220x kx ka a −+−=，()()222420k ka a k a ∆=−−=−>，则2k a ≠则||2|AB k a =−，同理||2AD a =+，||||2|2AB AD k a a ∴+=−1122k a a k k ⎫≥−++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m+==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '−+=+−=，令()0'=f m ，解得12m =， 当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减， 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增， 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||AB AD ∴+≥但1|2|2|2|2k a a k a a k ⎫−≥−++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时2k =不一致，故2AB AD +>. 方法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于 设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=−.由于 1020,A B t B C t ''''=−=−, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=−+−. 令 20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=−∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=−=−−,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=+−故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''−+⎛⎫+=−++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ−−<<−, 从而0cot tan 22t θθ−<<又00t ≥, 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''−++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ−+>+=+==2≥≥=，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故A B B C''''+>.（本题的第二个的关键是通过放缩得12C =|AB|+|BC|≥(n +1n )√1+n 2，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.）。
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新高考Ⅰ卷2023数学试卷及答案解析（完
整版）
新高考Ⅰ卷2023数学试卷及答案解析
2023高考数学多长时间
2个小时。
2023高考数学考试时间为：6月7日下午15：00至17：00，共2个小时。
高考数学试卷时一般选择题和填空题每道题的答题时间平均为3分钟左右。
做大题时，基础题型每道题的答题时间平均为10分钟左右，难题可以适当多些时。
基础较好的同学建议45分钟以内做完填空题，所有同学不得超过55分钟，否则后面大题无法完成。
序号在前的难度小，序号在后的难度大。
一份试卷中一般有1-2题的难度在20%以下。
所以做选择题时一定要注意答题顺序，才能控制好时间。
高考数学答题注意事项
考试中难免有些题拿不准。
对于完全没有思路的题，只要写出一些相关的公式或知识点，阅卷老师都会酌情给分。
考生应善于使用缺步解答、跳步解答、辅助解答等技巧，尽量争取得分。
避免出现在一道难题上耗时过多，却丢掉了本能够轻易回答容易题目的时间，这样就太得不偿失了。
同时，学生在碰到长时间难以解答的题目时，容易使得心情急躁，也会影响接下去考试的心情。
高考数学时间分配技巧
高考数学时间分配原则
对于高考数学基础比较薄弱的同学，重在保简易题。
鉴于高考数学客观题部分主要是对基础知识点的考察，可以稍稍放慢速度，把时间控制在50-60分钟，力求做到准确细致，尽量保证70分的基础分不丢分。
之后的三道简易高考数学解答题每题平均花10-15分钟完成。
至于后三道高考数学大题，建议先阅读完题目，根据题意把可以联想到的常考知识点写出来，例如涉及函数单调性、切线斜率的可对函数求导，圆锥曲线的设出标准方程、数列里求出首项等等。
如果没有其它的思路，不要耽误太多时间，把剩下的时间倒回去检查前面的题目。
高考数学题要认真仔细对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。
审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。
所以，在高考数学实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。