《信号与系统》考研试题解答第二章连续系统的时域分析
《信号与系统》考研试题解答第二章连续系统的时域分析
X2.1 (东南大学2002年考研题)一线性时不变连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为(e-3t+e-t) (t)，强迫响应为(1-e-2t) (t)，则下面的说法正确的是______________(A)该系统一定是二阶系统(B)该系统一定是稳定系统(C)零输入响应中一定包含(e-3t+e-t) (t)(D )零状态响应中一定包含(1-e-2t) (t)X2.2(西安电子科技大学2005年考研题)信号f1(t)和f2(t)如图X2.2所示,f=f1(t)* f2(t)，则f(-1)等于__________图X2.2X2.3 (西女电子科技大学2005年考研题)下列等式不成立的是(A) f1(t t。
)* f2(t t°) 锂) * f2(t)(B)-J—f1(t)* f2(t) dtd f1(t)dt-J* — f2(t) dt 2(C) f(t)* (t) f (t)(D) f(t)* (t) f (t)答案：X2.1[D] , X2.2[C], X2.3[B]、判断与填空题T2.1 (北京航空航天大学2001年考研题)判断下列说法是否正确，正确的打错误的打“X” 。
(1 )若y(t) f(t)*h(t)，则y(2t) 2f(2t)*h(2t)。
[](2)如果x(t)和y(t)均为奇函数，贝U x(t)*y(t)为偶函数。
[](3)卷积的方法只适用于线性时不变系统的分析。
[](4 )若y(t) f(t)*h(t)，则y( t) f( t)*h( t)。
[](5)两个LTI系统级联，其总的输入输出关系与它们在级联中的次序没有关系。
[]第二章、单项选择题连续系统的时域分析(C) 1.5 ( D)-0.5(A)T2.2 (华中科技大学2004年考研题)判断下列叙述或公式的正误，正确的在方括号中打“/，错误的在方括号中打“X”。
(1)线性常系数微分方程表示的系统，其输出响应是由微分方程的特解和齐次解组成，或由零输入响应和零状态响应所组成。
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 连续时间系统的时域分析【圣才
Ri(t) v1(t) e(t)
Ri(t)
1 C
t
i(
)d
v1 (t )
e(t)
vo (t) v1(t)
消元可得微分方程：
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1
台
C
d
dt
vo (t)
1 R
vo (t)
R
e(t)
2-2 图 2-2-2 所示为理想火箭推动器模型。火箭质量为 m1，荷载舱质量为 m2，两 者中间用刚度系数为 k 的弹簧相连接。火箭和荷载舱各自受到摩擦力的作用，摩擦系数分 别为 f1 和 f2。求火箭推进力 e（t）与荷载舱运动速度 v2（t）之间的微分方程表示。
M
di1 (t ) dt
Ri2 (t)
0
化简方程组可得微分方程：
(L2
M
2
)
d4 dt 4
vo
(t)
2RL
d3 dt 3
vo
(t)
2L C
R2
d2 dt 2
vo
(t)
2R C
d dt
vo
(t)
1 C2
vo
(t)
MR
d2 dt 2
e(t)
（3）由图 2-2-1（c）所示列写电路方程，得：
C
dv1 (t ) dt
b．自由响应由两部分组成，其中，一部分由起始状态决定，另一部分由激励信号决 定，二者都与系统的自身参数有关；当系统 0－状态为零，则零输入响应为零，但自由响应 可以不为零。
c．零输入响应在 0－时刻到 0＋时刻不跳变，此时刻若发生跳变，可能为零状态响应分 量。
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与系统第2章连续信号与系统的时域分析
信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成： 第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成τ轴， 分别得到f1(τ)和f2(τ)的波形。 第二步，将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到f2(-τ) 波形。
第三步，给定一个t值，将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。在t<0时， 波形往左移；在t>0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-τ)的波形。
d
n (t
d tn
)
,
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
, (n)(t),, (2)(t), (1) (t), (t), (1)(t), (2) (t), (n) (t),
它是由δ(t)及其各次积分和各阶导数组成的。自左至右，每 一项都是前一项的导数，或者每一项都是后一项的积分。 这样 得到的函数族统称为奇异函数。
解 方法一 图解法。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵 轴翻转180°后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，t=0时， 门函数左边沿位于x=-τ/2位置，右边沿位于x=τ/2位置，如图2.2 - 5(b)所示。在任一t时刻，移动门函数左边沿位于x=t-τ/2位置， 右边沿则位于x=t+τ/2位置，如图2.2 - 5(c)所示。按照图2.2- 5中 卷积过程的图解表示，可计算求得：
1
0 1234 (a)
f2(－ ) 1
o (b)
f2(t－ )
1
f1( )
t0 (c) t＜ 0
3
1
f1( )
f2(t－ )
0 t3 (d) 0 ＜t ＜ 3
y(t)
1
f1( ) f2(t－ )
y(3)
信号与系统第2章 连续时间信号与系统的时域分析[精]
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由 于 激 励 信号 的 作用 ， 响 应 r(t) 及 其 各阶 导 数 可能 在 t 0 处 发 生 跳 变， 即 r(0 ) r(0 ) ，其跳变量以 [r(0 ) r(0)] 表示。这样对于已知系统，一旦系统微分 方程确定，判断其在 t 0 处是否发生跳变完全取决于微分方程右端自由项中是否 包含冲激函数 (t) 及其导数。如果包含 (t) 及其导数，则在 t 0 处发生跳变，否则 没有发生跳变。而关于这些跳变量的数值，可以根据微分方程两边 (t) 函数平衡的 原理来计算。
r
''(0
)
r
''(0
)
r '' zs
(0
)
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.4.2 零输入响应的求解
设系统的数学模型以 n 阶微分方程表示，即
d nr(t)
d n1r(t)
dr(t)
an dtn an1 dtn1 a1 dt a0r(t)
d me(t)
d m1e(t)
an n
a n1 n1
a1 a0 0
对应式(2.3-5)特征方程的根 1 、 2 、…、 n 称为微分方程的特征根。
当特征根无重根（各不相同）、都是单根时，微分方程的齐次解为
rh (t) A1e1t A2e2t
n
Anent Aieit i 1
f (t) 2
1
/ 2 0 / 2
f1 (t )
1 t
0 图 2.1-1 信号的相加
f2 (t)
1
t
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图 2-1
解：利用图解法求解二者卷积：
（1）当 t＜－3 时，f1（t）*f2（t）＝0；
（2）当－3≤t＜－2 时
t
f1(t) f2 (t)
2dt 2(t 3)
3
（3）当－2≤t＜－1 时
t
f1(t) f2 (t)
2dt 2
1t
（4）当－1≤t＜0 时
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【解析】根据单位冲激函数的时间尺度变换性质，有 δ（at）＝δ（t）/|a|。
二、填空题 1．卷积积分 tu（t）*u（t－2）的值为______。[武汉大学 2015 研] 【答案】（1/2）（t－2）2u（t－2） 【解析】本题用时域解答需先知道卷积公式 tu（t）*u（t）＝（1/2）t2u（t），则原式 可化为： tu（t）*u（t－2）＝tu（t）*u（t）*δ（t－2）＝[（1/2）t2u（t）]*δ（t－2）＝（1/2） （t－2）2u（t－2） 此外也可以先求两式的拉氏变换，相乘后取反变换即可得卷积结果。
图 2-4
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2．某连续时间 LTI 系统，若系统的输入 x（t）＝u（t）－u（t－1），冲激响应 h（t）
＝2[u（t）－u（t－2）]，则该系统的零状态响应 yzs（t）在 t＝2 时刻的值 yz（s 2）＝ ______。
[北京交通大学 2015 研]
【答案】2
【解析】解法一：依题意有
yzs (2)
x( ) h( t)d
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考研专业课郑君里版《信号与系统》第二章补充习题——附带答案详解
第二章 连续时间系统的时域分析1．已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-，求卷积积分12()()()f t f t f t =*，并画出()f t 的波形图。
解：1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-，右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-，作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形，由此可得：当0t ≤时，21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时，0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上，||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。
讨论：当1()f t 、2()f t 为普通函数（不含有()t δ、()t δ'等）时，卷积结果()f t 是一个连续函数，且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和，右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和，也就是说，()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。
τttt2．计算题图2（a ）所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=，并画出)(t f 的图形。
解法一：图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b)，由此可得： 当10t +≤，即1t ≤-时，()0f t = 当011t ≤+≤，即10t -≤≤时，120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤，即01t ≤≤时，1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤，即12t ≤≤时，121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥，即2t ≥时，()0f t =综上，220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。
信号与系统第二章连续系统的时域分析
解：齐次解同上。由于f(t)=e–2t，其指数与特征根之 一相重。故其特解可设为yp(t) = (P1t + P0)e–2t 代入微分方程可得P1e-2t = e–2t 所以P1= 1 但P0不能求得。全解为
) (t)
2.若描述系统的微分方程为：
y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+… +b1f(1)(t)+b0f(t)
可根据LTI系统的线性性质和微积分特性
求出阶跃响应。
三、冲激响应和阶跃响应的关系
(t) d (t)
其经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解是齐次微分方程： y(n) (t) +an-1y(n-1) (t) +…+ a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。 齐次解yh(t)的函数形式由上述微分方程的特 征根确定。特解的函数形式与激励有关。
例（p40）描述某系统的微分方程为： y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)，求：
dt
t
(t) (x)dx
h(t) dg(t) dt
t
g(t) h(x)dx
例2.2-3 如图所示的LTI系统，求其阶跃响应
x’(t)
f(t)
x’’(t)
+
-
-
3
2
1
x(t)
－
y(t)
2+
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第二章 连续系统的时域分析、单项选择题X2.1 (东南大学2002年考研题)一线性时不变连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为(e-3t+e -t ) (t)，强迫响应为 ・2t(1-e ) ；(t)，则下面的说法正确的是(A )该系统一定是二阶系统(B) 该系统一定是稳定系统 (C) 零输入响应中一定包含 (e-3t+e -t ) ；(t) (D )零状态响应中一定包含 (1-e-2t) (t)X2.2 (西安电子科技大学2005年考研题)则f(-1)等于 _________ 。
图 X2.2X2.3(西女电子科技大学 2005年考研题) 下列等式不成立的是(A) 皿-鮎)* f 2(t t 。
)= f't)* f 2(t)(B) 沪f1⑴* M 汪f1⑴*炸 f 2(t)(C) f(t)*、(t)= f ⑴(D) f(t)*、(t)= f(t)答案： X2.1[D] , X2.2[C] , X2.3[B]、判断与填空题T2.1 (北京航空航天大学 2001年考研题)判断下列说法是否正确，正确的打，错 误的打“x”。
(1 )若 y(t) = f (t)* h(t)，则 y(2t) =2f (2t)* h(2t)。
[](2) 如果x(t)和y(t)均为奇函数，贝U x(t)*y(t)为偶函数。
[](3)卷积的方法只适用于线性时不变系统的分析。
[](4)若 y(t) = f(t)*h(t)，则 y(-t)二 f(-t)*h(-t)。
[](5)两个LTI 系统级联，其总的输入输出关系与它们在级联中的次序没有关系。
[](a)(C ) 1.5 ( D ) -0.5信号 f i (t)和 f 2(t)如图 X2.2 所示，f =f i (t)*，T2.2 (华中科技大学2004年考研题)判断下列叙述或公式的正误，正确的在方括号中打“/，错误的在方括号中打“X”。
(1)线性常系数微分方程表示的系统，其输出响应是由微分方程的特解和齐次解组成，或由零输入响应和零状态响应所组成。
齐次解称之为自由响应[],特解称之为强迫响应[];零输入响应称之为自由响应[]，零状态响应称之为强迫响应[]。
(2)(上海交通大学2000年考研题)f(t)「(tr f(t)[]f(t) (\)= f(0)[]t—()d "[]tf( .)d. = f (t)* ;(t)[]T2.3在下列各题的横线上填上适当的内容：(1) (北京邮电大学2000年考研题)—e * =(t)Ldt ---------t(2) (国防科技大学2001年考研题) …f(.)d.二f(t)*_ **^0 " =T2.4 (华南理工大学2004年考研题)一连续LTI系统的单位阶跃响应g(t)二e" ；(t), 则该系统的单位冲激响应为h(t)= ________________________ 。
T2.5 (华南理工大学2004年考研题)已知信号h(t)= ；(t-1)- ；(t-2), f(t)= (t-2)-往4)，则卷积f (t)* h(t) = ___________________ 。
T2.6 (南京理工大学2000年考研题)某系统如图T2 . 6所示，若输入□0f(t) ：(t -nT)，则系统的零状态响应为_________________n =0图T2 . 6T2.7 (北京交通大学2004年考研题)对连续信号延迟t0的延时器的单位阶冲激应为__________ ，积分器的单位阶冲激应为____________ ，微分器的单位阶冲激应为___________ 答案:T2.1 (1 )V ( 2)V ( 3)V (4)V (5)VT2.2 (1 )V,V,X,X ( 2)V,X,X,V-2tT2.3 (1) e (2) (t)-3tT2.4 h(t)=、⑴-3e (t)T2.5 h(t)*f(t)= (t-3) <t-3) - (t-4) (t-4) - (t-5) (t-5) (t-6) (t-6)T2.6 ⑴T2.7 、(t-t o), ⑴(t)三、画图、证明与分析计算题J2.1 (东南大学2001年考研题)已知某线性系统可以用以下微分方程描述y (t) 6y (t) 5y(t) = 9f (t) 5f (t)系统的激励为f(t)= (t)，在t=0和t=1时刻测量得到系统的输出为y(0)=0, y(1)=1-e-5。
(1)求系统在激励下的全响应，并指出响应中的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应分量；(2)画出系统模拟框图。
解：(1)先求系统的冲激响应h(t)。
h(t)应满足以下微分方程：h (t) 6h (t) 5h(t^9 (t) 5 (t) (J2.1-1)设h1(t)满足微分方程：hi(t) 6h1(t) 5h(t) (t) (J2.1 -2) 贝V h(t) =9h(t) 5g(t) (J2.1—3)由式(J2.1 -2)求h«t):特征方程：九2+6二+5 =0特征根：- -1, '2 - -5贝V h(t)二Ae 叭A2e2t；(t)二Ae」；(t)下面求系数A、A2。
由式(J2.1-2)微分方程可知：h；(t)中应包含(t)项，则h；(t) 在t =0处不连续,即hdO J 讪0 0 =0; h(t)中不含(t)项,则0(t)在t =0处连续，即h1(0 .) =^(0_) =0°对式(J2.1 _2)微分方程在t =0 _〜0内积分,可得h；(0 .) =1。
利用0初始值h1(0 .) =0, h1(0 ) =1确定系数A、A2：h i (O 』=A 1 + A ? = 0 A 1 = 0.25h /(t) = —A —5A ? =1A? = —0.25故 h ,(t) =0.25e ±-e-t；(t)代入式(J2.1 - 3)可得h(t) =(10e^ _e 丄孰t)则零状态响应为y zs (t) = f(t)*h(t)二1(t 「)10e)-e- ；(.)d. at5=0(10e —^—e Y d i 常⑴=(1 +e±—2e't >(t)由此可得：y zs (0)=(l+e 上—2e't 》(t)y =0y zs (1)=(!+e 丄-2e 仓》(t)仁=1+e 丄—2e'F 面求系统的零输入响 应y zi (t),y zi (t)应满足以下微分方程y z ；(t) 6y z ；(t) 5丫』)=0 则 y/t) = 电⑸；(t)下面求系数B 、B 2 :Yzi (0) = B i + B 2*y/ire ^B ie'B 2y(0) = y zi (0) +y zs (0) = B +B 2 =0 y(1) =y zi (1) y zs (1) =e 」B i e'B 2 1 e 」-2e*=1-B +B 2 =0二丿e^B t +e 』B 2=-e 丄+e 』故 y zi (t) =：€耳—e 丄；(t)则系统的全响应为y(t)二 y zi (t) y zs (t) =(1 —e 「；(t)由上式可知，自由响应y h (t)、强迫响应y p (t)分别为:y h (t)二 v*(t),y p (t)=1(2 )系统框图如下：B = -1 (B 2 = 1图 J2.1-1J2.2 (上海大学2000年考研题)某线性时不变系统的单位阶跃响应为g(t)二3e2t-1 ；(t)用时域解法求：(1 )系统的冲激响应h(t);(2)系统对激励f/t)二t；(t)的零状态响应y zsi(t);(3)系统对激励f2(t) =t〔；(t) - ；(t -1) 1的零状态响应y zs2(t).=dg(t)=2、.(t) -6e't ；(t)解：(i) h(t)dt(2)y zsi(t) = f i(t)* h(t)二f i⑴* h(」)(t) = ；(t)* (3e^t-1)；(t)】=f (3e/^—1)名(巧dt =(1.5_t _1.5e』)&(t)J-=O(3)f2(t) =t l；(t) - ；(t -1) =t ；(t) _(t _1) ；(t -1)- ；(t -1)t；(t) > y zsi(t) = 1.5-t-1.5e2 ；(t)(t-1)；(t-1) > y zs1(t-1) = 1.5 — (t-1) “.也❾‘门建一1)=2.5_t —i^e^ts L(t -1)；(t 一1) > g(t -1) = 3^^(tJ)-^；(t -1)y zs2(t)订{% f2(t)l=T {0}, t ；(t)丨T {0}, -(t -1) ；(t -1)丨T {0}, - ；(t -1)1(t - 1) - g(t - 1)=yzs1 (t) - y zs1二1.5—t —1.5e』；(t) 一1.5—t 1.5e'(2)L(t -1)J2.3 (重庆大学2001年考研题)已知一线性时不变系统的单位冲激响应JI 他、h(t)=—sin —t F(t)，输入信号f(t)的波形如图J2.3-1所示。
用时域法求系统的零状态响2 12丿应y zs(t).图J2.3-1解：利用卷积的微积分性质，可得y zs (t) =f(t)*h(t)二 f ⑴(t)*h (」)(t)h (」)(t)二 tt 」()d = 71■:t一sin —丁 i&O d i = 1 - cos — it(t)对输入信号f(t)求一阶导数，如图J2.3-2。
桦)1-110 T Z1618图 J2.3-2oOf ⑴(t) :、(t _6n) _、(t _6n_4) 1oO二 h (」)(t)* ' l (t —6n) -、(t —6n —4)1QO八 h(4(t —6n)—h (4(t —6n-4)cos?(t_6n) ；(t_6 n)_ 1 - co^ (^6 n_4) ；(t ■t 二、1 -^1)n cos- n=0 _2- 6n) - ； (t - 6n - 4)- J2.4 (北京交通大学 2001年考研题)已知一线性时不变系统的单位冲激响应 f(t)的波形如图J2.4-1 (a)、(b)所示。
用时域法求系统的零状态响应y zs (t),画出 -6n - 4)h(t)和激励y zs (t)的波形.2i f(t)21 h(t)tdt1 F212(a)(b)解：为运算方便，分别对 h(t)、f(t)分别求微分和积分，如图J2.4-2。
1__2t1* -2J-图 J2.4-1(a)h '(t) (b)f(J)(t)= / f(E)dm =22(t)—2(t —2"(t —2)h(t) =、(t) 、(t —1) —2、(t —2)y zs(t) = f(t)*h(t)二f(J)(t)*h(t)二f(J)(t) f (J)(t 一1) —2f (J)(t -2)=2t ；(t) 2(t -1) ；(t _1) _6(t -2) ；(t _2) _2(t _3) ；(t_3) 4(t _4) ；(t _4)y zs(t)的波形如图J2.4-3所示。