信号与系统第二章---2(1)
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信号与系统课后题解第二章
⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
信号与系统第二章习题
当激励为et sin tut ut 1时的零状态响应为
rt et ht
sin tut ut 1ut ut 1
t
0
sin
d
τ
u
t
ut
2
1
t 1
sin
τ
d
τut
u
t
2
1 1 costut ut 2
X
20
第
例2-4 计算卷积 f1(t) f2(t)，并画出波形。
页
f1 t
f2 t
2
1
1 e t1u t 1
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut X
18
例2-3
第
页
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
求该系统对激励的 et sin tut ut 1零状态响应。
et
r t
1
1
O 12
t
对激励和响应分别微分一次，得
t0
因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是 4 et e2t
X
12
方法二
第
页
零状态响应rzs t是方程
d2 r dt
t
2
3
dr d
t
t
2r
t
2
t
6ut
且满足rzs 0 rzs0 0的解
（5）
由于上式等号右边有 t项 ，故rzst应含有冲激函数，
从而rzs t 将发生跳变，即 rzs 0 rzs 0
d2 rt 3 d rt 2rt 0
dt2
dt
rt et ht
sin tut ut 1ut ut 1
t
0
sin
d
τ
u
t
ut
2
1
t 1
sin
τ
d
τut
u
t
2
1 1 costut ut 2
X
20
第
例2-4 计算卷积 f1(t) f2(t)，并画出波形。
页
f1 t
f2 t
2
1
1 e t1u t 1
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut X
18
例2-3
第
页
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
求该系统对激励的 et sin tut ut 1零状态响应。
et
r t
1
1
O 12
t
对激励和响应分别微分一次，得
t0
因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是 4 et e2t
X
12
方法二
第
页
零状态响应rzs t是方程
d2 r dt
t
2
3
dr d
t
t
2r
t
2
t
6ut
且满足rzs 0 rzs0 0的解
（5）
由于上式等号右边有 t项 ，故rzst应含有冲激函数，
从而rzs t 将发生跳变，即 rzs 0 rzs 0
d2 rt 3 d rt 2rt 0
dt2
dt
信号与系统 2.1
⎧3P2 = 1 ⎪ ⎨4 P2 + 3P = 2 1 ⎪2 P + 2 P + 3 P = 0 1 0 ⎩ 2
所以，特解为
1 2 2 10 y p (t ) = t + t − 3 9 27
8
d 2 y (t ) dt2
+2
d y (t ) d f (t ) + 3 y (t ) = + f (t ) dt dt
7
P1 cos(β t ) + P2 sin (β t )(特征根不等于 ± j β )
Signals & Systems
例：给定微分方程式
d 2 y (t ) dt2
d y (t ) d f (t ) +2 + 3 y (t ) = + f (t ) dt dt
如果已知： (1) f (t ) = t 2 ; (2 ) f (t ) = e t , 方程的特解。 解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为 代入方程，整理得
10
Signals & Systems
全解举例2.1－1
例 描述某LTI系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解 解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2， λ2= – 3。齐次解为 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t （2）当f(t) = 2e – t时，其特解可设为 yp(t) = Pe – t 将其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1，于是特解为 yp(t) = e – t （3）全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0
所以，特解为
1 2 2 10 y p (t ) = t + t − 3 9 27
8
d 2 y (t ) dt2
+2
d y (t ) d f (t ) + 3 y (t ) = + f (t ) dt dt
7
P1 cos(β t ) + P2 sin (β t )(特征根不等于 ± j β )
Signals & Systems
例：给定微分方程式
d 2 y (t ) dt2
d y (t ) d f (t ) +2 + 3 y (t ) = + f (t ) dt dt
如果已知： (1) f (t ) = t 2 ; (2 ) f (t ) = e t , 方程的特解。 解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为 代入方程，整理得
10
Signals & Systems
全解举例2.1－1
例 描述某LTI系统的微分方程为 y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解 解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2， λ2= – 3。齐次解为 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t （2）当f(t) = 2e – t时，其特解可设为 yp(t) = Pe – t 将其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1，于是特解为 yp(t) = e – t （3）全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0
信号与系统第二章第一讲
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统第2章ppt课件
，这种频谱搬移技术在通信系统中
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)
乘以Cos(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
当 0 时 当 0 时
A () li m 0 A e () lim A e ( 0) lim 2 0 2 0
所以
A () li m 0A e()()
B()li m0Be()j
精选ppt
第二章 傅立叶变换
（6）符号函数 符号函数sgn(t)如图所示
由于sgn(t)不符合绝对可积条件， 故使用间接方法计算。
利用傅里叶反变换公式计算
第二章 傅立叶变换
例4 试求图示周期信号的频谱函数，图(b)中冲激函数的强度均为1.
(b)
[提示：（a）F()F[1]1F[cos(t)]
22
）
（b
Cn
1 T
T
2 T
fT(t)ejntdt
2
fT(t)(t)(tT2)
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)
乘以Cos(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
当 0 时 当 0 时
A () li m 0 A e () lim A e ( 0) lim 2 0 2 0
所以
A () li m 0A e()()
B()li m0Be()j
精选ppt
第二章 傅立叶变换
（6）符号函数 符号函数sgn(t)如图所示
由于sgn(t)不符合绝对可积条件， 故使用间接方法计算。
利用傅里叶反变换公式计算
第二章 傅立叶变换
例4 试求图示周期信号的频谱函数，图(b)中冲激函数的强度均为1.
(b)
[提示：（a）F()F[1]1F[cos(t)]
22
）
（b
Cn
1 T
T
2 T
fT(t)ejntdt
2
fT(t)(t)(tT2)
信号与线性系统-2 (1)
信号与线性系统-2(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：19，分数：100.00)已知信号f(t)波形如图(a)所示，试绘出下列函数的波形：（分数：6.00）(1).f(2t)；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解 f(2t)可由f(t)的波形沿时间轴压缩2倍而得到，如图(b)所示；(2).f(t)ε(t)；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解 f(t)ε(t)可由f(t)的波形取t＞0的部分而得到，如图(c)所示；(3).f(t-2)ε(t)；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解将f(t)的波形沿时间轴右移2得到f(t-2)，如图(d)所示，再取f(t-2)的波形中t＞0的部分即得f(t-2)ε(t)，如图(e)所示；(4).f(t-2)ε(t-2)；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解 f(t-2)ε(t-2)可由f(t)ε(t)的波形沿时间轴右移2而得到，如图(f)所示；(5).f(2-t)；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解将f(t)的波形沿纵轴反褶得到f(-t)，波形如图(g)所示，再将其沿时间轴右移2即得到f(2-t)，如图(h)所示；(6).f(-2-t)ε(-t)。
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
信号与系统课件(郑君里版)第二章
e ，t≥0；y(0)=2，y’(0)= 2 t ，t≥0；y(0)= 1， e
t
-1
y’(0)=0时的全解。
解: (1) 特征方程为
2 + 5λ+ 6 = 0
其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。 齐次解为
yh (t ) C1e2t C2e2t
由表2-2可知，当f(t) = 2 e t
y fh (t ) C f 1e
2t
C f 2e
t
其特解为常数 3 ， 于是有
y f (t ) C f 1e2t C f 2et 3
C1 1 C 2 4
根据初始值求得:
y f (t ) e2t 4et 3，t 0
四．系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced) 暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state) 零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
零输入响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一．冲激响应 1．定义 系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响 应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表 示。
t
ht
H
[例2.2.1] 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其 冲激响应h(t)。
相互关系
零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响 应的一部分和强迫响应构成 。
y (t ) e 2t 3 y x (t ) y f (t ) (2e 2t 4e t ) (e 2t 4e t 3)，t 0
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h(n) (t) an1h(n1) (t) a0h(t) (t)
h( j) (0 ) 0, j 0,1,2,, n 1
用前面类似的方法，可推得各0+初始值为：
h( j) (0 ) 0, j 0,1,2,, n 2
h(n1) (0 ) 1 若微分方程的特征根均为单根，则冲激响应
h(t) C1e-2t C2e-3t ,
将初始值代入，得
t 0
h(0 ) C1 C2 3 h(0 ) 2C1 3C2 12
C1 3 C2 6
得系统的冲激响应为：
h(t) δ(t) (3e-2t-6e-3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
二、阶跃响应
一个LTI系统，其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所 引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表g示(t)
将初始条件代入冲激响应函数中 h(t) C1e3t (t) h(0 ) C1 1
系统的冲激响应为：
h(t) e 3t (t)
第二章 连续系统的时域分析
总结：若n阶微分方程的右端只含有f(t),即：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a0 y(t) f (t) 当 f (t) ，(t其) 零状态响应（即冲激响应满足）
得： h(0 ) h(0 ) 3 3 h(0 ) h(0 ) 12 12
a 1; b 3 c 12
得系统的冲激响应为： h(t) δ(t) (3e-2t-6e-3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
当t>0时，h(t)满足方程
h(t) 5h(t) 6h(t) 0
它的特征根 2, 。故3系统的冲激响应
应 yzs (t) ，h(t)满h足(t) h(t) 5h(t) 6h(t) (t) 2 (t) 3 (t)
h(0 ) h(0 ) 0
求0+时刻初始值h(0 ), h(0 )
设： h(t) a (t) b (t) c (t) r0 (t) h(t) a (t) b (t) r1(t) h(t) a (t) r2 (t)
h(t) dg(t) dt
t
g(t) h(x)dx
即：defBiblioteka g(t) T[0, (t)]
(t)
g (t )
(t) LTI系统 g(t)
t
{x(0)}={0}
o
o
t
阶跃响应示意图
第二章 连续系统的时域分析
由于单位阶跃函数 (t与) 单位冲激函数 的(t)关系为：
(t) d (t)
dt
t
(t) (x)dx
根据LTI系统的微积分性质，同一系统的阶跃响应和冲激 响应的关系为：
例3：设描述某二阶LTI系统的微分方程为
y(t) 5y(t) 6y(t) f (t) 2 f (t) 3 f (t)
求其冲激响应。 解法一：选新变量y1(t)，其冲激响应为h1(t),满足方程
y1(t) 5y1(t) 6y1(t) f (t)
设其冲激响应为h1(t),则原方程的冲激响应为
解得： C1 1,C2 1 系统的冲激响应为：
h(t) (e2t e3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
一般而言，若描述LTI系统的微分方程为：
y(n)
(t)
a y(n1) n1
(t)
a0
y(t)
bm
f
(m)
(t)
bm1
f
( m 1)
(t)
b0
f
(t)
可分为如下两步求解系统的冲激响应h(t)
def
h(t) T[0, (t)]
(t)
h(t)
(t)
LTI系统 h(t)
t
{x(0)}={0}
o
o
t
第二章 连续系统的时域分析
例1： 已知某线性时不变系统的微分方程为
y(t) 3y(t) f (t)
试求系统的冲激响应h(t。)
解：当 f (t) (t), yzs (t) h(t)
则 h(t) 3h(t) (t)
h(0 ) 0 微分方程的特征根解得：
3
系统的冲激响应为 h(t) C1e 3t (t) 令： h(t) a (t) r0 (t)
h(t) r1(t) a 1
第二章 连续系统的时域分析
h(0 ) h(0 ) 1 h(0 ) h(0 ) 1 1
h(0 ) 0 h(0 ) 1
第二章 连续系统的时域分析
将初始条件代入冲激响应函数中 h(t) (C1e2t C2e3t ) (t) h(t) (2C1e2t 3C2e3t ) (t) (C1 C2 ) (t) h(0 ) C1 C2 0 h(0 ) 2C1 3C2 1
h(t) h1(t) 2h1(t) 3h1(t)
由于 h1(t) (e2t e3t ) (t)
h(t) h1(t) 2h1(t) 3h1(t)
δ(t) (3e-2t-6e-3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
解法二：根据冲激响应的定义，当 f (t) 系(t统) 的零状态响
h(t) n C jejt (t)
j1
第二章 连续系统的时域分析
例2：设描述某二阶LTI系统的微分方程为 y(t) 5y(t) 6y(t) f (t)
求其冲激响应。
解：当 f (t) (t), yzs (t) h(t)
则：h(t) 5h(t) 6h(t) (t)
h(0 ) h(0 ) 0 微分方程的特征根为： 1 2, 2 3 系统的冲激响应为：h(t) (C1e2t C2e3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质
第二章 连续系统的时域分析
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应
对于LTI系统，当初始状态为零时，输入为单位冲激
函数 (所t) 引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应。
1)求右端只含有f(t)的冲激响应h1(t)
y (n) 1
(t
)
an1
y1(
n1)
(t
)
a0
y1(t
)
f (t)
2)根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分性质
得原微分方程的冲激响应h(t)
h(t) bmh1(m) (t) bm1h1(m1) (t) b0h1(t)
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