信号与系统第二章讲解
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信号与系统 第二章ppt剖析
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
第
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
7 页
电阻
iR t
1 R
vt
电感
iLt
1 L
t v d
ist
电容
iC
t
C
dv d
t
t
iR iL R LC
a ic
vt
b
根据KCL iRt iLt iC t iS t
系统的完全响应
第 17
页
求出齐次解rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解:
n
rt Aieit rp t i 1
利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应
的求解区间定为 t ,如0 果响应在0时刻没有跳变，通常
取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。
1
2
10
B1
, 3
B2
, 9
B3 27
所以，特解为
rp t
1 3
2 9
t
10 27
第 15
页
(2)
(原方程：
d2 rt
dt2
2
d rt
dt
3r t
d et
dt
et
）
当et et时, 很明显, 可选rt Bet。这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Bet 2Bet 3Bet et et
于是，特解为 1 et。 3
B 1 3
几种典型激励函数相应的特解
第 16
页
激励函数e(t)
E(常数)
响应函数r(t)的特解
第
例1 求并联电路的端电压 vt 与激励 is t 间的关系。
7 页
电阻
iR t
1 R
vt
电感
iLt
1 L
t v d
ist
电容
iC
t
C
dv d
t
t
iR iL R LC
a ic
vt
b
根据KCL iRt iLt iC t iS t
系统的完全响应
第 17
页
求出齐次解rh t 和特解rp t 相加即得方程的完全解:
n
rt Aieit rp t i 1
利用初始条件求待定系数Ai 我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应
的求解区间定为 t ,如0 果响应在0时刻没有跳变，通常
取t=0,这样对应的一组条件称为初始条件。
1
2
10
B1
, 3
B2
, 9
B3 27
所以，特解为
rp t
1 3
2 9
t
10 27
第 15
页
(2)
(原方程：
d2 rt
dt2
2
d rt
dt
3r t
d et
dt
et
）
当et et时, 很明显, 可选rt Bet。这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Bet 2Bet 3Bet et et
于是，特解为 1 et。 3
B 1 3
几种典型激励函数相应的特解
第 16
页
激励函数e(t)
E(常数)
响应函数r(t)的特解
信号与系统第二章第一讲
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统第2章信号的复数表示
π
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
信号与系统讲义-2
f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
,
d
02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
信号与系统课件(郑君里版)第二章
e ，t≥0；y(0)=2，y’(0)= 2 t ，t≥0；y(0)= 1， e
t
-1
y’(0)=0时的全解。
解: (1) 特征方程为
2 + 5λ+ 6 = 0
其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。 齐次解为
yh (t ) C1e2t C2e2t
由表2-2可知，当f(t) = 2 e t
y fh (t ) C f 1e
2t
C f 2e
t
其特解为常数 3 ， 于是有
y f (t ) C f 1e2t C f 2et 3
C1 1 C 2 4
根据初始值求得:
y f (t ) e2t 4et 3，t 0
四．系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced) 暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state) 零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
零输入响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一．冲激响应 1．定义 系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响 应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表 示。
t
ht
H
[例2.2.1] 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其 冲激响应h(t)。
相互关系
零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响 应的一部分和强迫响应构成 。
y (t ) e 2t 3 y x (t ) y f (t ) (2e 2t 4e t ) (e 2t 4e t 3)，t 0
《信号与系统》第二章总结
其中零状态响应rzs (t )由初始态为零时的方程求解而定 即rzs (t ) = rzsh (t ) + rzsp (t )
其中rzsh (t )和rzsp (t )分别为如下方程的齐次解和特解 zsp d n rzs (t ) d n −1rzs (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 zs + Cn rzs (t ) dt n dt n −1 dt d m e(t ) d m −1e(t ) de(t ) = E + E1 + L + Em −1 + Em e(t ), m −1 0 dt m dt dt (k ) rzs (0− ) = 0
则h(t )为t ≥ 0+时满足起始态为零的微分齐次方程的解
n α t 当n > m时，h(t ) = ∑ Ak e k u (t ) k =1 （设特征方程的根为n个单根α k）
当n ≤ m时，h(t )还须含δ ( m − n ) (t )、δ ( m − n −1) (t )、 、δ (t ), L 而各项系数由Em决定
•连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解 求解系 求解 统的微分 微分、积分方程 方程。 微分 方程 •连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn r (t ) n n −1 dt dt dt d m e (t ) d m −1e(t ) de(t ) = E0 + E1 + L + Em −1 + Em e(t ) m m −1 dt dt dt
其中rzsh (t )和rzsp (t )分别为如下方程的齐次解和特解 zsp d n rzs (t ) d n −1rzs (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 zs + Cn rzs (t ) dt n dt n −1 dt d m e(t ) d m −1e(t ) de(t ) = E + E1 + L + Em −1 + Em e(t ), m −1 0 dt m dt dt (k ) rzs (0− ) = 0
则h(t )为t ≥ 0+时满足起始态为零的微分齐次方程的解
n α t 当n > m时，h(t ) = ∑ Ak e k u (t ) k =1 （设特征方程的根为n个单根α k）
当n ≤ m时，h(t )还须含δ ( m − n ) (t )、δ ( m − n −1) (t )、 、δ (t ), L 而各项系数由Em决定
•连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解 求解系 求解 统的微分 微分、积分方程 方程。 微分 方程 •连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn r (t ) n n −1 dt dt dt d m e (t ) d m −1e(t ) de(t ) = E0 + E1 + L + Em −1 + Em e(t ) m m −1 dt dt dt
信号与系统第二章ppt课件
解 先画出f1(t－τ)|t=0, 即f1(－τ)和f2(τ)波形如题解图2.6(a)所 示。再令t从－∞ 开始增长，随f1(t－τ)波形右移，分区间计算卷 积积分：
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
30
第2章 连续信号与系统的时域分析 31
最后整理得
第2章 连续信号与系统的时域分析
波形如题解图2.6(b)所示。
32
第2章 连续信号与系统的时域分析
3
(2) 因为
第2章 连续信号与系统的时域分析
所以
4
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画 出其波形。
(1) 2； (2) －2； (3) －j5； (4) －1+j2。
5
第2章 连续信号与系统的时域分析
解 (1) f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。 (2) f2(t)=e－2t, 波形如题解图2.2(b)所示。显然, f1(t)和f2(t)都 是实指数信号。 (3) f3(t)=e－j5t=cos5t－j sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、 虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c) 所示。 (4) f4(t)=e(－1+j2)t=e－t·ej2t=e－t(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信 号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信 号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。
(4) 由于tε(t)|t=－∞=0,有 所以
38
第2章 连续信号与系统的时域分析
2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求 f(－1)、f(0)和f(1)的值。
题图 2.4
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代入方程 Bet 2Bet 3Bet et et
B1 3
rp
(t)
1 3
et
齐次解和特解相加即为方程的完全解
n
rt Aieit rp t i 1
三、借助初始条件求待定系数 Ai
对于n阶微分方程，若激励 e是(t) 时t 刻 0加入的，则求解
区间为 。0一组t 边界条件可以给定为响应及其各阶导
E0
dm d
e(t) tm
E1
dm1 e(t) d t m1
Em1
d e(t) dt
Eme(t)
若系统为时不变的，则C、E均为常数，此方程为常系 数的n阶线性常微分方程。
一、齐次解
齐次解是齐次微分方程的解，是形式为 Ae的t 一些指数 函数的线性组合。
C0
dn r(t) dtn
C1
d n1 dt
r(t)
n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
0
令 r(t) Aet ，代入上式。由于 Cn 0，且对任意时间t均 成立，因此有：
C0 n C1 n1 Cn1 Cn 0 特征方程
对应的n个根 1,2 , 为,微n 分方程的特征根。
• 若n个特征根各不相同，则微分方程的齐次解：
n
rh (t) A1e1t A2e2t Anent Aieit i 1 A1, A2 , An由初始条件决定。
第二章 连续时间系统的时域分析
连续时间系统一般是采用高阶微分方程进行描述。
输入-输出法（端口描述法）
时域分析：指对系统的分析与计算全部在时间变量领域内 进行，不通过任何变换。
经典分析：求解系统模型（微分方程） 两种方式
卷积分析：利用单位冲激响应求得零状态响应
2.2 系统数学模型（微分方程）的建立
• 元件约束特性：表征元件特性的关系式。
• 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系， 即KVL或KCL。
例2-2-1 求并联电路的端电压 v与t 激励 is间t的 关系。 解：以 vt 作变量，各元件的电压电流关系为：
电阻
iR
t
1 R
vt
电感
iL t
1 L
t v d
is t
电容
iC
t
C
d vt
dt
根据KCL iR t iL t iC t iSt
• 若有重根，如 1为 k阶重根，则相应于 1的重根部分 将有 k 项：
(B1t k1 B2t k2 Bk1t Bk )e1t k Bit ki e1t
i1
特征方程 求出特征根 齐次解
例2-3：求微分方程 d3
dt3
r t
7
d2 dt2
rt
16
d dt
r t
12r t
et
i
iR R(t)
iiLL(t)
R
LC
a
iCi c(t)
vt
b
将元件关系代入，并化简
C
d2 vt
dt2
1 R
d vt
dt
1 L
vt
d is d
t
t
二阶微分方程
机械位移系统
k
m
Fs
f
F与St刚 体运动速度 间v的t关系可由推导得到：
m
d2 d
vt
t2
f
d vt kvt
dt
d FSt
dt
二阶微分方程
数在此区间内任一时刻 处的值，t即0
r(t0 ),
d dt
r(t0
),
d2 dt 2
r(t0 ),
d n1 dt n1
r(t0 )
通常取 t0 0 ，有
r(0),
d dt
r(0),
d2 dt 2
r (0),
d n1 dt n1
r(0)
初始条件
记为 r k (0) (k 0,1,, n 1)
由
完全响应
n
rt Aieit rp t i 1 自由响应
强迫响应
借助初始条件，即可建立联立方程组，确定系数 Ai ， 从而获得惟一解。
从系统的角度来看，r (t ) 是系统的完全响应，由两部分 组成。特征方程的特征根被称为系统的“固有频率”,因 此可以说齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而 与激励的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应； 特解的形式由激励信号确定，称为强迫响应。
的齐次解。
解：系统的特征方程
3 7 2 16 12 0
22 3 0
特征根 齐次解
1 2重根, 2 3
rh t A1t A2 e2t A3e3t
二、特解
特解的函数形式与激励函数形式有关。将激励 e代(t)入 微分方程的右端，化简后右端的表达式称为“自由项”。 根据自由项的形式可设定特解的函数表达式，之后代入方 程中，求出特解中的待定系数。
例2-5 如图所示电路，已知激励信号 e(t) sin(，2t)u(t)
初始时刻电容端电压均为零，求输出信号 v2 (的t) 表达式。
R1
R2
解：⑴ 列写微分方程
+
e(t)
-
1 + v1 (t)
-
1 C1
1F 2
d
2v2 (t) dt 2
7
dv2 (t) dt
6v2
不同性质的系统可能具有相同的数学模型。 对于复杂系统，可以用高阶微分方程描述。
2.3 用时域经典法求解微分方程
若线性系统的激励信号为 e(t，) 响应为 r(，t)其数学模型 可用如下高阶微分方程来描述：
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
与几种典型激励函数对应的特解形式
激励函数 e(t) (常数)
tp e t
cos t sin t t pe t sin t t pe t cos t
响应函数r(t)的特解
B(常数)
B1t p B2t p1 Bpt Bp1 Be t
B1 cos t B2 sin t
B1t p B2t p1 Bpt Bp1 e t cos t D1t p D2t p1 Dpt Dp1 e t sin t
例2-4 给定微分方程
d2 d
rt
t2
2
d rt
dt
3rt
d et
dt
et
已知：1 et t2; 2 et et ,分别求方程的特解。
解：1 将et t 2代入方程右端, 得到t 2 2t, 为使等式两端
平衡，特解表达式为：
rp t B1t2 B2t B3 B1, B为2, B待3 定系数
代入方程 3B1t2 4B1 3B2 t 2B1 2B2 3B3 t2 2t
根据等式两端对应幂次的系数相等，有
34BB11
1 3B2
2
2B1 2B2 3B3 0
B1
1 3
,
B2
2, 9
B3
10 27
rp
t
1 3
t
2
2 9
t
10 27
⑵ et et ， 特解 rp (t) Bet
B1 3
rp
(t)
1 3
et
齐次解和特解相加即为方程的完全解
n
rt Aieit rp t i 1
三、借助初始条件求待定系数 Ai
对于n阶微分方程，若激励 e是(t) 时t 刻 0加入的，则求解
区间为 。0一组t 边界条件可以给定为响应及其各阶导
E0
dm d
e(t) tm
E1
dm1 e(t) d t m1
Em1
d e(t) dt
Eme(t)
若系统为时不变的，则C、E均为常数，此方程为常系 数的n阶线性常微分方程。
一、齐次解
齐次解是齐次微分方程的解，是形式为 Ae的t 一些指数 函数的线性组合。
C0
dn r(t) dtn
C1
d n1 dt
r(t)
n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
0
令 r(t) Aet ，代入上式。由于 Cn 0，且对任意时间t均 成立，因此有：
C0 n C1 n1 Cn1 Cn 0 特征方程
对应的n个根 1,2 , 为,微n 分方程的特征根。
• 若n个特征根各不相同，则微分方程的齐次解：
n
rh (t) A1e1t A2e2t Anent Aieit i 1 A1, A2 , An由初始条件决定。
第二章 连续时间系统的时域分析
连续时间系统一般是采用高阶微分方程进行描述。
输入-输出法（端口描述法）
时域分析：指对系统的分析与计算全部在时间变量领域内 进行，不通过任何变换。
经典分析：求解系统模型（微分方程） 两种方式
卷积分析：利用单位冲激响应求得零状态响应
2.2 系统数学模型（微分方程）的建立
• 元件约束特性：表征元件特性的关系式。
• 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系， 即KVL或KCL。
例2-2-1 求并联电路的端电压 v与t 激励 is间t的 关系。 解：以 vt 作变量，各元件的电压电流关系为：
电阻
iR
t
1 R
vt
电感
iL t
1 L
t v d
is t
电容
iC
t
C
d vt
dt
根据KCL iR t iL t iC t iSt
• 若有重根，如 1为 k阶重根，则相应于 1的重根部分 将有 k 项：
(B1t k1 B2t k2 Bk1t Bk )e1t k Bit ki e1t
i1
特征方程 求出特征根 齐次解
例2-3：求微分方程 d3
dt3
r t
7
d2 dt2
rt
16
d dt
r t
12r t
et
i
iR R(t)
iiLL(t)
R
LC
a
iCi c(t)
vt
b
将元件关系代入，并化简
C
d2 vt
dt2
1 R
d vt
dt
1 L
vt
d is d
t
t
二阶微分方程
机械位移系统
k
m
Fs
f
F与St刚 体运动速度 间v的t关系可由推导得到：
m
d2 d
vt
t2
f
d vt kvt
dt
d FSt
dt
二阶微分方程
数在此区间内任一时刻 处的值，t即0
r(t0 ),
d dt
r(t0
),
d2 dt 2
r(t0 ),
d n1 dt n1
r(t0 )
通常取 t0 0 ，有
r(0),
d dt
r(0),
d2 dt 2
r (0),
d n1 dt n1
r(0)
初始条件
记为 r k (0) (k 0,1,, n 1)
由
完全响应
n
rt Aieit rp t i 1 自由响应
强迫响应
借助初始条件，即可建立联立方程组，确定系数 Ai ， 从而获得惟一解。
从系统的角度来看，r (t ) 是系统的完全响应，由两部分 组成。特征方程的特征根被称为系统的“固有频率”,因 此可以说齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而 与激励的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应； 特解的形式由激励信号确定，称为强迫响应。
的齐次解。
解：系统的特征方程
3 7 2 16 12 0
22 3 0
特征根 齐次解
1 2重根, 2 3
rh t A1t A2 e2t A3e3t
二、特解
特解的函数形式与激励函数形式有关。将激励 e代(t)入 微分方程的右端，化简后右端的表达式称为“自由项”。 根据自由项的形式可设定特解的函数表达式，之后代入方 程中，求出特解中的待定系数。
例2-5 如图所示电路，已知激励信号 e(t) sin(，2t)u(t)
初始时刻电容端电压均为零，求输出信号 v2 (的t) 表达式。
R1
R2
解：⑴ 列写微分方程
+
e(t)
-
1 + v1 (t)
-
1 C1
1F 2
d
2v2 (t) dt 2
7
dv2 (t) dt
6v2
不同性质的系统可能具有相同的数学模型。 对于复杂系统，可以用高阶微分方程描述。
2.3 用时域经典法求解微分方程
若线性系统的激励信号为 e(t，) 响应为 r(，t)其数学模型 可用如下高阶微分方程来描述：
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
与几种典型激励函数对应的特解形式
激励函数 e(t) (常数)
tp e t
cos t sin t t pe t sin t t pe t cos t
响应函数r(t)的特解
B(常数)
B1t p B2t p1 Bpt Bp1 Be t
B1 cos t B2 sin t
B1t p B2t p1 Bpt Bp1 e t cos t D1t p D2t p1 Dpt Dp1 e t sin t
例2-4 给定微分方程
d2 d
rt
t2
2
d rt
dt
3rt
d et
dt
et
已知：1 et t2; 2 et et ,分别求方程的特解。
解：1 将et t 2代入方程右端, 得到t 2 2t, 为使等式两端
平衡，特解表达式为：
rp t B1t2 B2t B3 B1, B为2, B待3 定系数
代入方程 3B1t2 4B1 3B2 t 2B1 2B2 3B3 t2 2t
根据等式两端对应幂次的系数相等，有
34BB11
1 3B2
2
2B1 2B2 3B3 0
B1
1 3
,
B2
2, 9
B3
10 27
rp
t
1 3
t
2
2 9
t
10 27
⑵ et et ， 特解 rp (t) Bet