角平分线(1)(课件)八年级数学下册(北师大版)
八年级数学下册1.4角平分线角的平分线的性质教材分析素材北师大版
角的平分线的性质教材分析
本节课是在学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行的，是全等三角形知识的运用和延续．用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式──利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素相应相等．
角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法．数学问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段（角的平分线上的点到角的两边的垂线段）相等．角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供了思路和方法．因此它既是对前面所学知识的应用,又是为后续学习作铺垫,具有举足轻重的作用.因此本节课在教材中占有非常重要的地位．
基于以上分析,确定本节课的教学重点：探索并证明角的平分线的性质．
教学难点是：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质．
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
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北师大版八年级下册数学1.4 角平分线 教案设计
北师大版八年级下册数学1.4 角平分线 教案设计
1 / 4 课 题 1.4、角平分线(二) 课型 新授课
教学目标 要求学生掌握三角形三条角平分线的性质定理，会用这个定理解决一些简单问题。
教学重点 三角形三条角平分线的性质定理
教学难点 掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明。
教学方法 动手 观察 讨论 交流
教学后记
教 学 内 容 及 过 程
教师活动 学生活动
引入：习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？
学生尝试折纸验证。
三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
探索新知：
已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，
证明：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?
（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，学生初步感受到了数学中的和谐，对数学对象之间的相互联系有了感性的体验。在教师的帮助下提炼出数学中的联系，建构的认知结构。
动手折出三角形的三条角平分线，观察它们有什么性质。联想到三角形三条线段垂直平分线的性质，观察到三线共点。
初中数学湘教版八年级下册1.4角平分线的性质
1.4 角平分线的性质
教学目标
1．角的平分线的性质
2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
教学重难点
重点：角平分线的性质及其应用．
难点：灵活应用两个性质解决问题．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．
Ⅱ．导入新课
角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
折出如图所示的折痕PD、PE．
画一画
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．
结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．
问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．
由已知事项推出的事项：PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？(出示投影)
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO(HL)．于是可得∠PDE=∠POD．
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．
湘教版八年级数学下册1.4 角平分线的性质教案与反思
1．4 角平分线的性质
令公桃李满天下，何用堂前更种花。出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》
学校 陈道元
东宫白庶子,南寺远禅师。——白居易《远师》
枫岭头学校
张海泉
1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)
2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)
一、情境导入
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等
【类型一】
利用角平分线的性质求线段长
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．
解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长为DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案为7cm.
方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
【类型二】
利用角平分线的性质求面积
如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.若AB＝18cm，BC＝12cm，DE＝2.4cm，求△ABC的面积．
解析：根据角平分线的性质得到DE＝DF，再将△ABC分成△BCD和△ADB两个三角形，分别求出它们的面积再求和．
解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BF，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝12BC·DF＋12AB·DE＝(BC＋AB)·DE＝12×30×2.4＝36cm2)．
方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和．
八年级数学下册1.4角平分线角的平分线的性质重难点突破素材北师大版讲解
1 角的平分线的性质重难点突破
一、探索并证明角的平分线的性质
突破建议：首先将实际问题抽象为数学模型，运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．然后通过实际测量得到“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，接下来用严密的推理证明得到的结论，让学生经历实践发现、分析概括、推理证明的过程，体会分析几何问题的基本思路．
可参考以下过程设计：
追问2：下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，射线AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．
追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
师生活动：师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具本方法．
如果学生没有思路，教师可作如下提示：
1．在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点 2 重合，且仪器的两边相等（AB=CD），怎样在作图中体现这个过程呢？
2．在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
追问4：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？
师生活动：学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据．
【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，提高作图技能．最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性．
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？首先思考下面的问题：
1．操作测量：任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：
北师大版八年级数学上册 1.4角平分线(1)
八年级数学导学案第 9 课时 主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦
课题：第9课时 角平分线（1） 教师个性化设计、学法指导或学生笔记
学习目标：1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． 3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
教学难点：正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
1：情境引入 ： 我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：
从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．
你能证明它吗?
2：探究新知
请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
（2）你能写出这个定理的逆命题吗?
我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．
已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在么AOB的角平分线上．
21EDCPOBA八年级数学导学案第 9 课时 主备人：王文锦 审核人：王文锦 审批人：王文锦
3.巩固练习
综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范
例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
（4）课本例题学习
4：随堂练习 课本第29页1、2题。
5：课堂小结
这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。
北师大版八年级数学下册《角平分线》第一课时教案 (1)
课 题 角平分线(一) 课型 新授课
教学目标 1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
教学重点 角平分线性质定理及其逆定理。
教学难点 掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。
教学方法 启发式教学
教 学 内 容 及 过 程
教师活动 学生活动
一、角平分线性质定理
1．让学生到黑板上画出他们收集到的日常生活中应用角平分线的例子，并分别说出它们的作用。
2．高度评价学生的参与热情和学习成果，激励学生继续努力。尤其是对于其中很有创意的发现，可以以该学生名字命名，以此鼓励、保护学生的积极性。
3．综合学生的发现，对于其中应用角平分线性质的几个例子，让学生猜想：它们应用的性质有没有什么相同的地方?
4．让学生拿出纸折的角，把角对折至两条边完全重合，注意角的顶点处要折好；然后把角的两条边对折几次，让学生观察折痕的特点。可以带学生完成上述操作，以便学生顺利地把注
1．积极踊跃地到黑板上画出自己收集到的例子，并说出它们分别的作用在哪里。
2．受到老师的表扬和鼓励，很有成就感，增加了学习数学、探索数学、研究数学的兴趣，同时体会数学和现实生活的联系。
3．对于自己的发现进行深入探索，很有兴趣。但是对于从实际问题中提炼观点，感到有难度。
4．拿出准备好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕长度相等。
5．说出猜想：折痕和角的两边垂直，并且对应的折痕长度相等。说明白已是通意力集中到观察折痕上。
5．让学生说出他们的猜想，并说明他们怎么想到的，暴露学生的思维过程，一是为了让学生理顺自己的思路，二是可以找到学生思维的进程。
【最新】北师大版八年级数学下册《角平分线(1)》导学案
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新北师大版八年级数学下册《角平分线（1）》导学案
导学目标: 1、体会证明的必要性，增加证明意识和能力。2证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3能运用角平分线的性质定理和判定定理。
重点：证明角平分线的判定定理 难点： 运用角平分线的性质定理和判定定理。
导学过程
一、知识回顾：
角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到的？
二、自主学习：阅读教材P2-3。并尝试解决课后问题。
1、定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。（结合题设与结论写出已知与求证）
已知：在ΔABC中，
求证：
证明：
推理格式：∵
∴
导学过程
导学 后 反思 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
2、定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。（结合题设与结论写出已知与求证并证明）
已知：
求证：
证明：
推理格式：∵
∴
三、简单运用 巩固新知
1、如图下左图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
2、如图下中图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，word格式-可编辑-感谢下载支持
则∠BAP__________∠CAP.
3、如图上右图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=______.
4、已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.
5、如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6
北师大版八年级下册数学 1.4角平分线(角平分线判定专题) 练习(含解析)
word版 初中数学
1 / 11
角平分线的判定
一、选择题
1、如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是( )
A .P是∠A与∠B两角平分线的交点
B .P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C .P为AC、AB两边上的高的交点
D .P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
二、填空题
2、如图，已知∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，过点P分别向OA、OD做垂线，垂足是M、N．则点P __________ ∠AOD的平分线上．（填“在”或“不在”）
3、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=__________（度）．
4、如图，在△ABC中，∠ABC=110°，∠ACB=40°，CE是∠ACB的角平分线，D是word版 初中数学
2 / 11 AC上一点，若∠CBD=40°，则∠CED=__________．
5、如图，已知∠CDA=∠CBA=90°，且CD=CB，则点C在∠__________的平分线上，点A在∠__________的平分线上．
三、解答题
6、已知，如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P
求证：点P在∠A的平分线上。
7、如图，点E，F分别在OA，OB上，DE=DF，∠OED+∠OFD=180°
求证：OD平分∠AOB
8、如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，BD与CE相交于点F，BF=CF．求证：点F在∠BAC的平分线上． word版 初中数学
北师大数学八年级下册第一章-线段的垂直平分线与角平分线经典讲义
1
第02讲_线段的垂直平分线与角平分线
知识图谱
线段的垂直平分线
知识精讲 一、垂直平分线的概念和性质
垂直平分线
（中垂线） 定义1：经过某条线段的中点，且垂直于这条线段的直线
定义2：中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴
性质 （1）垂直平分线垂直且平分其所在线段
（2）垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等
l为中垂线 AC=BC，AD=BD 判定 在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 ABlOABlOCD 2 尺规作图
作法：如图 （1）分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；
（2）作直线CD，CD为所求直线
三点剖析
重难点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法
考点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法
易错点：①垂直平分线的画法和角平分线的画法进行区分
②垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线。
垂直平分线的概念和性质
例题1、 如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 ．
【答案】 13
【解析】 △DE是AB的垂直平分线，