八年级数学下册三角形的证明角平分线角平分线的性质课件北师大版
验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
A
D C
P
E
B
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
2.联系角平分线性质：
面积 周长
利用角平分线的性 质所得到的等量关 系进行转化求解
二 角平分线的判定
思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结
论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
逆
命
O
题
A
D C
P
E
B
思考：这个结 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平论分正线确上吗．？
E
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
B
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
知识总结
判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
O
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
B
D
M P
A
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
EC
变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝
90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,
AB=14.
4
（1）则点P到AB的距离为_______.
B
D
P
A
C
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900， AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
OP= OP，
∴PD=PE.
知识要点
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. A
应用所具备的条件：
D
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上；
O （3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
F
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
B
D
C
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC.
例 2: 如 图 ， AM 是 ∠ BAC 的 平 分 线 ， 点 P 在 AM 上 ， PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm， 则PE=___4___cm.
第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时 角平分线
学习目标
1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理， 理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应 用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学 生的推理证明意识和能力．
（2）求△APB的面积.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
SPDB
1 2
·AB·PD=28.
B
（3）求∆PDB的周长.
D
CPDB PD PB DB
P
PC PB DB
BC DB AD DB
A
C
AB 14
=
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
导入新课
情境引入
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路
和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这
个集贸市场应建在何处？
O
（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
讲授新课
一 角平分线的性质 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
辅助线 添加
过角平分线上一点向两边作 垂线段
E G
C
M
F
┑
B HD
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图
中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修
建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，
到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建
在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，
不写作法，保留作图痕迹) A
M O
N
B
解：如图所示：
证明猜想 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP， ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
D
A
OP=OP（公共边）， O
P
PD= PE（已知 ），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
解：在RT△MOP和RT△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴RT△MOP≌RT△NOP（HL）.
O
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
A M
P
N
B
课堂小结
性质 定理
一பைடு நூலகம்点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等
角平分线 判 定 定理
在一个角的内部，到角两边距离 相等的点在这个角的平分线上
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D
A
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
D C
∴ BD = CD ,
任意一点
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将
三次数据填入下表： A
D
C
PD PE
第一次
p
第二次
O
E
B
第三次
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写 出猜结想：：_角P_D_的_=_平P_E_分__线_ 上的点到角的两边的距离相等.
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别 是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，BE= BF .
B
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 3.
A E
C D
F G
C D
A
EB
3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的 两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线， 交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
M
A
P
O
N
B
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上， 到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
归纳总结
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
C
P
P
已知 条件
结论
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
当堂练习
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且
BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. E
∴点P 在∠AOB的平分线上.
A
D C
P
E
B
例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H， FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， A FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
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1.4.1角平分线1北师大版数学八年级下册第1章三角形的证明
随堂练习1
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外
角平分线,它们有什么位置关系? C
D A F
E
B
2017.2
随堂练习2
2.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路
与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺
1:20 000)。
A区
2017.2
你能用什么办法平分一个已知角呢？
2017.2
定理：角平分线上的点到这个 角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
2017.2
你能写出这个定理的逆命题吗? 性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在 这个角的平分线上．
这是真命题吗？如果是，请
《数学》( 北师大版 八年级 下册 )
第四节
2017.2
回顾
思考
M P
1.垂直平分线性质定理 ： 线段垂直平分线上的点到这条线段
A N C B
两个端点距离相等。
2.垂直平分线判断定理：
到一条线段两个端点距离相等的
点,在这条线段的垂直平分线上。
2017.2
回顾
思考
还记得角平分线上的点有什么性质吗?
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E
B
联系拓广3
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,作AB的垂直 平分线,交AB于点D,交AC于点E，连接BE，则BE平分 ∠ABC.请证明这一结论。你有几种证明方法？
2017.2
联系拓广4 2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边 的距离相等.
北师大版数学八年级下册第2课时三角形三边的垂直平分线及作图课件(共18张)
∴ DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°. ∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°.
∴ AE＝DE.
又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°.
A
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°. ∴∠CAE＝∠CDF.
GF
∴△DEG≌△AEC (ASA). B ∴EG＝EC.
别作三条线段的垂直平
分线，即点 P 为所求.
P
A
B
当堂小结 1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且
这一点到三个顶点的距离相等.
2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
l2 A
l3
l1
P
B
C
课堂练习
1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段
AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，
求证：边 AC 的垂直平分线经过
点 P，且 PA = PB = PC.
B
A
P C
分析：
l 是 AB 的垂 直平分线
m 是 BC 的 垂直平分线
PA=PB PB=PC
PA=PC
点 P 在 AC 的 垂直平分线上
A
l
n
试试看，你会写出证明过程吗？ B
P
m
C
证明：连接 PA，PB，PC.
A
∵点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上， l
能作出三角形吗? 如果能，能作几个? 所作出的三角形
都全等吗? 已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h.
A 求作：△ABC，使 BC = a，BC 边上的高为 h.
北师大版八年级数学下册1.4.1角平分线的性质课件
3．
6.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7，
DE＝4，则△ABD的面积为 14．
7.已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°,点D在 BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
A
E
F
பைடு நூலகம்
B
D
C
8. 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 于E，且EA=EB. 求证：EO为∠AOB的平分线
求证：PD＝PE.
新课讲解
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
新课讲解
典例分析
例 如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10， DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求 DE的长.
是什么？ 怎样用尺规作出已知角的角平
∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图：∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1,则OF=
3.怎样用尺规作出已知角的角平 角平分线的性质定理的逆定理
怎样用尺规作出已知角的角平 ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
如何证明？ ∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7， (2)点在该平分线上； 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 一个锐角等于30°.
2.角平分线的性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理
那么它所对的直角边等于斜 DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交
6.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7，
DE＝4，则△ABD的面积为 14．
7.已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°,点D在 BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
A
E
F
பைடு நூலகம்
B
D
C
8. 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 于E，且EA=EB. 求证：EO为∠AOB的平分线
求证：PD＝PE.
新课讲解
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
新课讲解
典例分析
例 如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10， DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求 DE的长.
是什么？ 怎样用尺规作出已知角的角平
∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图：∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1,则OF=
3.怎样用尺规作出已知角的角平 角平分线的性质定理的逆定理
怎样用尺规作出已知角的角平 ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
如何证明？ ∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7， (2)点在该平分线上； 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 一个锐角等于30°.
2.角平分线的性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理
那么它所对的直角边等于斜 DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交
2020版八年级数学下册第一章三角形的证明1.4角平分线(第1课时)课件(新版)北师大版
4 角平分线 第1课时
【知识再现】
1.角平分线的定义:一条____射__线___把一个角分成两个 ____相__等___的角,这条射线叫这个角的平分线.
2.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离____相__等___. 3.线段的垂直平分线的判定:到一条线段两个端点距离 相等的点在这条线段的____垂__直__平__分__线___上.
CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=
60°,则下列结论:①∠ABP=30°;
②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正确的
结论个数是 世纪金榜导学号( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
【火眼金睛】 已知:如图所示,BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点 F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
正解:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中,
BED CFD， BDE CDF， BD CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.
【一题多变】
如图,已知OQ平分∠AOB,点P为OQ上任意一点,点N为OA
上一点,点M为OB上一点,若∠PNO+∠PMO=180°,则PM和
请自我检测一下预习的效果吧! 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分 线,DC=3,则点D到AB的距离是___3___.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB 的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为 ____a_-_m__.
【知识再现】
1.角平分线的定义:一条____射__线___把一个角分成两个 ____相__等___的角,这条射线叫这个角的平分线.
2.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离____相__等___. 3.线段的垂直平分线的判定:到一条线段两个端点距离 相等的点在这条线段的____垂__直__平__分__线___上.
CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=
60°,则下列结论:①∠ABP=30°;
②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正确的
结论个数是 世纪金榜导学号( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
【火眼金睛】 已知:如图所示,BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点 F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
正解:∵BF⊥AC,CE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和△CDF中,
BED CFD， BDE CDF， BD CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS),∴DE=DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.
【一题多变】
如图,已知OQ平分∠AOB,点P为OQ上任意一点,点N为OA
上一点,点M为OB上一点,若∠PNO+∠PMO=180°,则PM和
请自我检测一下预习的效果吧! 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分 线,DC=3,则点D到AB的距离是___3___.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB 的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为 ____a_-_m__.
八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
北师大版数学八年级下册1.4第2课时三角形三条内角的平分线课件(共17张)
∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = 6 cm.
C E
A
D
B
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建
一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在 ( C )
A
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A
＝40°，则∠BOC 的度数为 ( A )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即
三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ 1∠ACB，
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于
点 N，连接 OC.
S ABC S AOC S BOC S AOB
B
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
OP
1 OM ( AB BC OM )
2
1 4 32 64.
A
2
DM C
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一
∴ DE = CD = 4 cm.
E
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. C D
B
在等腰 Rt△BDE 中，BD 2DE2 4 2 cm.
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
初中数学《角平分线》课件-完美版【北师大版】2
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， 连接 OA． ∵点 O 是∠ABC， ∠ACB 的平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即 OE＝OF＝OD＝3.
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
初中数学《角平分线》完美ppt北师大 版2-精 品课件 ppt(实 用版)
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
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初中数学《角平分线》完美ppt北师大 版2-精 品课件 ppt(实 用版)
三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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八年级数学下册第一章角平分线第2课时三角形的角平分线作业pptx课件新版北师大版
两条直角边分别与OA，OB相交于点E，F.
（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），小明
发现PE与PF仍然相等；
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证明：（2）当PE⊥OA时，如图①，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，
∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，
且∠PEO＋∠EPF＋∠EOF＋∠PFO＝360°，
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7.【2023·北京海淀区期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AD平分∠BAC交BC于点D.
（1）若BC＝8，BD＝5，求点D到AB的距离.
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC－BD＝8－5＝3，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
B.S1＋S2＜S3
C.S1＋S2＞S3
D.无法确定
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点拨：过点I分别向边AB，BC，AC作垂线，垂足分别为
D，E，F，如图，
根据角平分线的性质，得ID＝IE＝IF，
设ID＝IE＝IF＝h，则S1＝
h，
S2＝ h，S3＝ h，
∵AC＋AB＞BC，∴S1＋S2＞S3.
∵∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB＋
∠EPF＋∠PFG＋∠OEP＝360°，∴∠PFG＋
∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝
PF，∴PE＝PF.
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（2）把三角尺绕点P旋转（如图②），小明
发现PE与PF仍然相等；
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证明：（2）当PE⊥OA时，如图①，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，
∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，
且∠PEO＋∠EPF＋∠EOF＋∠PFO＝360°，
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7.【2023·北京海淀区期中】如图，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AD平分∠BAC交BC于点D.
（1）若BC＝8，BD＝5，求点D到AB的距离.
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝8，BD＝5，
∴CD＝BC－BD＝8－5＝3，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
B.S1＋S2＜S3
C.S1＋S2＞S3
D.无法确定
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点拨：过点I分别向边AB，BC，AC作垂线，垂足分别为
D，E，F，如图，
根据角平分线的性质，得ID＝IE＝IF，
设ID＝IE＝IF＝h，则S1＝
h，
S2＝ h，S3＝ h，
∵AC＋AB＞BC，∴S1＋S2＞S3.
∵∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB＋
∠EPF＋∠PFG＋∠OEP＝360°，∴∠PFG＋
∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝
PF，∴PE＝PF.
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北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明第10课 角平分线的性质和判定课件
∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°在
Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°∴DE
＝ AD＝ ×10＝5
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7.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵D是BC的中点，∴DB＝DC ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90° 又∵BE＝CF ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL) ∴DE＝DF 又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC
(例1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝ 又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( )
∵D是BC中点，∴BD＝CD 证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB，BC⊥OA
如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝________cm. 知识点1：角平分线的性质 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30°
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
Hale Waihona Puke 三、过关检测 第1关8.如图，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°， 则∠BAD＝___4_0____°，∠ADC＝_5_0__°.
9.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交 AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( B ) A．10 B．15 C．20 D．30
北师大版数学八年级下册课件：三角形三边的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线
北师版八年级数学下册
新课导入
作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？
三条边的垂直平分
线交于一点P
P
新课探究
例 2 求证：三角形三条边的垂直平分线
相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相
等. 已知：如图，在△ABC
A
中，边 AB 的垂直平分线与边
BC 的垂直平分线相交于点 P.
B
（4）连接 AB，AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
A
D
C
做一做
已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂
线，使它经过点 P.
m
A
P
l B
你明白这个作法吗？
议一议
如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用 尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的 作法，并与同伴交流. m
P
A
D
= AC + BC = 27 + BC
E
= 50.
B
C
所以 BC = 23 .
2. 分别作出直角三角形、锐角三角形、 钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分 别在什么位置.
在三角形内 在斜边中点 在三角形外
3. 如图，在△ABC 中，BC = 2，∠BAC ＞ 90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 F ，请 找出图中相等的线段，并求出△AEF 的周长.
这是个等腰直角三角形
5. 已知：△ABC 中，AB = AC，AD 是
BC边一上的中线，AB 的垂直平分线交 AD 于
O.
求证：OA = OB = OC.
A
O
B DC
证明：∵AB = AC，
北师版八年级数学下册
新课导入
作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？
三条边的垂直平分
线交于一点P
P
新课探究
例 2 求证：三角形三条边的垂直平分线
相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相
等. 已知：如图，在△ABC
A
中，边 AB 的垂直平分线与边
BC 的垂直平分线相交于点 P.
B
（4）连接 AB，AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
A
D
C
做一做
已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂
线，使它经过点 P.
m
A
P
l B
你明白这个作法吗？
议一议
如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用 尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的 作法，并与同伴交流. m
P
A
D
= AC + BC = 27 + BC
E
= 50.
B
C
所以 BC = 23 .
2. 分别作出直角三角形、锐角三角形、 钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分 别在什么位置.
在三角形内 在斜边中点 在三角形外
3. 如图，在△ABC 中，BC = 2，∠BAC ＞ 90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 F ，请 找出图中相等的线段，并求出△AEF 的周长.
这是个等腰直角三角形
5. 已知：△ABC 中，AB = AC，AD 是
BC边一上的中线，AB 的垂直平分线交 AD 于
O.
求证：OA = OB = OC.
A
O
B DC
证明：∵AB = AC，